圆周角的定义及推论
圆周角定理推论
圆周角定理推论
中心角定理：如果一个三角形的三条边的长度都已知，则可以用这三条边到三角形的三个角的长度来求解出这个三角形的三个角的大小，这个定理又称为三角形钝角定理。
也可以称之为圆周角定理，它是圆周角的一种表示法，说明圆周角满足三角形的钝角定理。
即如果已知圆周角的三边长度，则可求出其三个内角。
例如，已知圆周角的三边长度分别为4,4,4，则可求出其三个内角分别为60°，60°，60°。
圆周角定理的公式是：若a、b、c分别为圆周角的三边长度，则有A = arccos（（b2 + c2 - a2）/ 2bc），B = arccos（（a2 + c2 - b2）/ 2bc），C = arccos（（a2 + b2 - c2）/ 2bc）。
其中A，B，C分别为圆周角的三角形的三个内角。
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
数学知识点：圆周角定理_知识点总结在数学的世界中，圆周角定理是一个非常重要的概念，它为我们解决与圆相关的几何问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解圆周角定理的奥秘。
圆周角的定义首先得搞清楚。
圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
比如说，在一个圆中，顶点在圆上的角，如果它的两条边都与圆相交，那这个角就是圆周角。
圆周角定理指出：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
这是个关键且核心的定理。
为了更好地理解这个定理，咱们来看几个具体的例子。
假设在一个圆中，有一段弧 AB，那么不管在圆周上取哪个点作为顶点，形成的圆周角的度数都是相等的，并且都等于弧 AB 所对圆心角的一半。
这个定理的证明其实也不难。
我们可以通过连接圆心和圆周角的顶点，然后利用三角形的内角和定理以及圆心角和圆周角之间的关系来进行推导。
圆周角定理有很多重要的推论。
比如，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
为什么说半圆（或直径）所对的圆周角是直角呢？因为半圆所对的圆心角是 180°，根据圆周角定理，它所对的圆周角就是 90°，所以是直角。
而 90°的圆周角所对的弦是直径，这是因为圆周角是 90°，那么它所对的圆心角就是 180°，而圆心角所对的弦就是直径。
在实际的解题应用中，圆周角定理及其推论的作用可大了。
比如，在证明一些直角三角形与圆的关系时，就经常会用到“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这个推论。
再比如，当我们已知圆周角的度数，要求圆心角的度数时，就可以直接运用圆周角定理来计算。
还有，在计算与圆相关的角度问题时，如果能够巧妙地运用圆周角定理，往往能够使问题变得简单明了。
另外，圆周角定理也和其他的几何定理相互关联。
比如，它和圆的内接四边形的性质定理就有着密切的联系。
圆的内接四边形的对角互补，而当其中一个角是圆周角时，通过圆周角定理和对角互补的性质，我们可以解决很多关于角度计算和证明的问题。
人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论
人教版初三上册数学第24章知识点复习：
圆周角定理及推论
一、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：
a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )
b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧
c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.
②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
二、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
三、推论解释说明
圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.
②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”
③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件
④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
以上就是为大家整理的人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。
圆周角定义及定理
圆周角的定义是：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
其特点可归纳为：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。
这两个条件缺一不可。
圆周角定理为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
具体来说，定理有三方面的意义：
圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中；
它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧；
具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。
此外，还有以下推论：
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
直径(半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦为直径。
如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆周角—知识讲解(基础)
圆周角--知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1．理解圆周角的概念．了解圆周角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径；4．掌握圆内接四边形的对角互补.5．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )A．45° B．60° C．30° D．55°【答案】A.∵ AB＝BC＝CD＝DA，∴»»»»90 AB BC CD DA====°，∴∠BEC＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．类型三、圆内接四边形4.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠ADE=∠B=120°．【答案】B；【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=120°，∴∠ADE=120°．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°【答案】B．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．5.如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD=130°，则∠DCE=°．【思路点拨】由圆周角定理，可求得∠A的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得∠DCE=∠A．【答案】65；解：∵∠BOD=130°，∴∠A=∠BOD=65°，∵∠A+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=65°．【总结升华】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，点C是AB上一点，O是圆心，且∠AOB=120°，则∠ACB=度．【答案】120；解：设点E是优弧AB上的一点，∵∠AOB=120°，∴∠AEB=60°，∴∠ACB=180°﹣∠AEB=120°．。
圆周角的概念和圆周角定理
24.1圆的有关性质（第四课时）一、内容和内容解析1.内容圆周角概念，圆周角定理及其推论.2.内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角.顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来.圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弦、弧之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带.圆周角定理得证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理.二、目标和目标解析1.目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论.（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法.2.目标解析达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理和推论解决简单问题.达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理.三、教学问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部.所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法,分情况证明.学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏.因此，教学的关键是:①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面，让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系,为后面证明中的分类讨论做好铺垫.②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师在利用计算机软件来验证，让学生进一步明确他们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.③从特殊的位置关系——圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形.基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理.四、教学过程设计1.了解圆周角的概念问题1 如图1，∠ACB 的顶点和边有哪些特点？师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB 的顶点在O Θ上，角的两边分别交O Θ于点A,B 两点.教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角与圆心角都是圆有关的角.设计意图：结合图形，获得圆周角定义，理解圆周角的概念.练习 教科书第88页练习第一题.师生活动：学生思考并回答问题.设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解.2.探索圆周角定理问题2 在图2中，∠ACB 是圆周角，作出弧AB所对的圆心角∠AOB.分别测量∠ACB 和∠AOB 的度数.他们之间有什么关系？师生活动：学生画图，连接OA,OB 得到圆心角∠AOB.跳时指出∠ACB 和∠AOB 都对着弧AB 提出以下问题.教师追问1：图2中，∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？师生活动：学生通过观察，度量，猜想AOB ACB ∠=∠21.即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师追问2：在O Θ上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图度量，并验证猜想外，教师也可以利用《几何画板》软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：①拖动圆周角的顶点在优弧AB 上运动；②改变弧的大小；③改变圆的大小后分别进行①和②的掩演示.引导学生发现，在演示过程中，∠ACB 和∠AOB 度数的比值保持不变.设计意图：引导学生经历观察猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角与圆心角的关系，即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系.3.证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？教师追问1：在圆上任取弧BC ，画出圆心角∠BAC 和圆周角∠BOC,圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系（图3）：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.同时进一步明确证明的必要性和证明的方法.教师追问2：第①种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到第①种情况属于特殊情况，另外两种情况比第①种情况复杂.研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其他情况能否转化成特殊情况.师生结合图3（1），分析第①种情况，得到BOC A C A BOC C A OC OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21教师指出：符号”B A “⇒表示由条件A 推出B ，可以用”“⇒方式给出推理过程.设计意图：从特殊情况入手，证明猜想G 便于学生的学习又为其他两种情况的证明提供了转化的方向.教师追问3: 在第②③种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生思考，尝试解决.如果学生有困难，教师可提示学生：将第②③种情况转化成第①种情况.根据学生的情况，师生共同研究完成第②种情况的证明.证明：如图4，连接AO 并延长交ΘO 于点D.BOD BAD B BAD BOD B BAD OB OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21. 同理,COD CAD ∠=∠21. BOC COD BOD CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴212121. 学生独立完成第③种情况的证明.从而得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.设计意图：将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想.学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升.4.探究特殊情况，获得推论问题4 我们知道，一条弧，可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？师生活动：学生画出弧BC 所对的几个圆周角和圆心角（图5），先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等.再思考同弧或等弧的情况.如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论.设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系.问题5 半圆或直径所对的圆周角有什么特殊性？师生活动：学生画出弧AB 所对的几个圆周角和圆心角（图6），通过观察、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.教师进一步引导学生得出：90°的圆周角所对的弦是直径.设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论.5.应用圆周角定理与推论例如图7，OΘ的直径AB的长为10cm.弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交OΘ于点D, 求BC,AD,BD的长.师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路.如图8，欲求BC的长，由BC所在的△ABC中AB为OΘ的直径，可知∠ACB=90°.又AB和AC已知，在Rt△ABC中，由勾股定理可求BC的长.由CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，连接OD，可得∠AOD=∠BOD=90°,进而由勾股定理可求AD,BD的长.学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流.设计意图：应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学的内容.6.小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？设计意图：通过小结使学生归纳梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认知数学思想、教学方法，积累数学活动的经验.7.布置作业教科书第88页练习题第2，3，4题.。
半径所对的圆周角-概述说明以及解释
半径所对的圆周角-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆周角是圆的一个重要性质，它是指从圆心出发所夹的两条弧所对的角。
而半径所对的圆周角则是指一条弧所对的角的顶点处于圆的中心，并且与圆的半径相交。
本文将探讨半径所对的圆周角的性质及其与半径的关系，旨在帮助读者更深入地理解圆的几何特性。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍圆周角的定义，以便读者了解基本概念。
其次，将详细讨论半径所对的圆周角性质，包括相关定理和推论。
最后，将探讨圆周角与半径之间的关系，分析它们之间的几何性质和相互影响。
通过这些内容的讨论，读者能够深入了解圆周角的相关知识，为进一步学习和研究奠定基础。
1.3 目的本文旨在探讨半径所对的圆周角这一重要概念。
通过深入分析圆周角的定义、性质以及与半径的关系，我们希望读者能够更好地理解这一概念，并且能够应用在实际问题中。
此外，我们也将通过展望部分，展示半径所对的圆周角在数学领域以及其他相关领域中的潜在应用价值，为读者提供更广阔的思考空间和启发。
通过本文的阐述，我们希望读者能够对半径所对的圆周角有一个全面而深入的了解，从而加深对数学知识的理解和掌握。
2.正文2.1 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点，圆上的一条弧所夹的角。
在直角坐标系中，圆周角的度数通常用弧度来表示，其中一个完整的圆周角等于360度或2π弧度。
圆周角的大小与所夹的圆弧的长度成正比，当圆弧长度为半径的长度时，圆周角大小为一个弧度。
根据圆周角的定义，我们可以得出一个重要定理：弧长相等的两个圆周角是相等的。
这个定理可以方便我们计算圆周角的大小，只需要知道所夹弧的长度和半径的长度即可求得圆周角的大小。
总之，圆周角是一种特殊的角度，它的大小与所夹的圆弧长度成正比，是圆的重要性质之一。
在接下来的内容中，我们将探讨半径所对的圆周角的性质以及圆周角与半径之间的关系。
2.2 半径所对的圆周角性质在一个圆上，一个半径所对的圆周角是一个直角。
这是一个非常重要的性质，也是我们在几何学中经常会应用到的一个定理。
圆周角定理的推论
综上所述，船只能在⊙O外。 C
PE ·O α
A
B
3、如图，AE⊙O的直径, △ABC的顶点都 在⊙O上,AD是△ABC的高;
求证：AB ·AC = AE ·AD
证明：连结BE
A
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°
∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°
∴∠ADC =∠ABE=900， ∠C =∠E
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最
大？最大值是多少？
C
N
MF
A D GE B
解：（1） AB 为直径
ACB 90
在 Rt ABC 中 ，AB 8 2 6 2 10
S ABC
1 AC 2
• BC
1 AB • CG 2
8 6 10 h
圆周角定理的推论1： 用于找相 等的角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相 等的弧
问题讨论
1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上 任一点，你能确定∠BAC的度数吗? 2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过
圆心O吗？为什么？
A
E
A
B
O
2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的 4倍，则这弦所对的圆周角度数为___3_6_º_或__1_4_4_º___ 3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=___6_4_º_ 4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=__1_0_0_º_
A
O
B
C
O
B
A
C
生活实践
❖ 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
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湘教版九年级数学下册教案
§2.2.2 圆周角第1课时圆周角(1)
【教学目标】
【知识与技能】1.理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.
2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.
【过程与方法】经历探索圆周角与圆心角的关系的过程,加深对分类讨论和由特殊到一般的转化等数学思想方法的理解.
【情感态度】1.在探究过程中体验数学的思想方法,进一步提高探究能力和动手能力.
2.通过分组讨论,培养合作交流意识和探索精神.
【教学重点】
理解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系,能进行有关圆周角问题的简单推理和计算.
【教学难点】
分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用.
【教学过程】
一、情境导入：初步认识阅读教材P49-50，回答下列问题.
1.如图所示的角中，哪些是圆周角？
2.顶点在______上，并且两边都与圆_________的角叫做圆周角.
3.在同圆或等圆中,_____或_______所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的______的一半.
4.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也_______.
【教学说明】圆周角必须符合两个条件①顶点在圆上②两边与圆相交.
二、思考探究，获取新知
探究圆周角定理.
1.同学们作出AB所对的圆周角,和圆心角,学生分组讨论,并回答下
列问题:
问题1 AB所对的圆周角有几个？
问题2 度量下这些圆周角的关系.
问题3 这些圆周角与圆心角∠AOB的关系.
学生解答:
【教学说明】①AB所对的圆周角的个数有无数个.
②通过度量,这些圆周角相等.
③通过度量,同弧对的圆周角是它所对圆心角的一半.
2.同学们思考如何推导上面的问题(3)的结论?
教师引导,学生讨论①当点O在∠BAC边AB上，
②当点O在∠BAC的内部，
③当点O在∠BAC外部.
①②由同学们分组讨论,自己完成.
③由同学们讨论,代表回答.
总结出圆周角定理：
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
还可以得出下面推论:
同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等; 例题:如图,(1)已知AD BC =.求证:AB=CD.
(2)如果AD=BC,求证:DC AB =.
证明:(1)∵AD BC =,
∴AD AC BC AC +=+,
∴DC AB =,∴AB=CD.
(2)∵AD=BC,
∴AD BC =,
∴AD AC BC AC +=+,即DC AB =.
三、运用新知，深化理解
1.如图，在⊙O 中，AD=DC ，则图中相等的圆周角的对数是（）
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
2.如图所示，点A，B，C，D在圆周上，∠A=65°,求∠D的度数.
第2题图第3题图第4题图
3.如图所示,已知圆心角∠BOC=100°,点A为优弧BC上一点，求圆周角
∠BAC的度数.
4.如图所示,在⊙O中，∠AOB=100°,C为优弧AB的中点，求∠CAB的度数.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
五、课堂作业：教材P56第3~5题.
六、教学反思：。