dm11 几种特殊图

第四节 树
例如图11.4.1中, (a),(b)是树， (c)是 中 是树， 例如图 是树 是 森林。 森林。
第四节 树
树叶？？ 树叶？？ 分支点？？ 分支点？？
第四节 树
【定理11.4.1】 设T=<V,E>是n阶m条边的无向 定理 】 是 阶 条边的无向 图(n≥2)，则下列各命题等价： ，则下列各命题等价： (1) T是树； 是树； 是树 (2) T中每对顶点之间有唯一的一条路径； 中每对顶点之间有唯一的一条路径； 中每对顶点之间有唯一的一条路径 (3) T中无回路且边数m=n-1,即|E|=|V|-1； T中无回路且边数 中无回路且边数m=n-1,即|E|=|V|-1； (4) T是连通的且边数 是连通的且边数m=n-1,即|E|=|V|-1； 是连通的且边数 即 ； (5) T中无回路，但在 的任何两个不同的顶点之 中无回路， 中无回路 但在T的任何两个不同的顶点之 间加一条新边就得到唯一的一个圈； 间加一条新边就得到唯一的一个圈； (6) T是连通的，且T的每条边均为桥。 是连通的， 的每条边均为桥。 是连通的 的每条边均为桥
第二节 哈密尔顿图
d(u)+d(v)≥5 d(u)+d(v)<5
第二节 哈密尔顿图
1)顶点数目 顶点数目n≥3的完全图都是哈密尔顿 顶点数目 的完全图都是哈密尔顿 图。 2)每个顶点度数均不小于 每个顶点度数均不小于n/2的图是哈 每个顶点度数均不小于 的图是哈 密尔顿图。例如k-正则图在 正则图在k≥n/2时是 密尔顿图。例如 正则图在 时是 哈密尔顿图。 哈密尔顿图。
第四节 树
证明： 证明：(1)＝> (2) ＝> (3) ＝> ＝ (4)＝>(1) ＝ 例如：(1) T是树 例如： 是树=>(2) T中每对顶点之间有唯 中每对顶点之间有唯 是树 一的一条路径 证明：T是树 是树=>T是连通的 T中每两顶点之间 是连通的， 证明：T是树=>T是连通的，T中每两顶点之间 存在一条路径； 存在一条路径； 若路径不唯一，设某两结点u和 之间有两条路 之间有两条路: 若路径不唯一，设某两结点 和v之间有两条路 uui1ui2…uikv和uuj1uj2…ujmv。于是 和 。 uui1ui2…uikvujmujm-1…uj1u构成一条回路， 构成一条回路， 构成一条回路 是树矛盾 与T是树矛盾。 是树矛盾。
第二节 哈密尔顿图
【定理11.2.1】必要条件 定理 】 为一个图。 设G=<V,E>为一个图。 为一个图 设无向图G=<V,E>是哈密尔顿图 是哈密尔顿图, 设无向图 是哈密尔顿图 V1是V的任意真子集，则 的任意真子集， 是 的任意真子集 p(G－V1)≤|V1| － 其中p(G－V1)为从 中删除 后，所 为从G中删除 其中 － 为从 中删除V1后 得图的连通分支数。 得图的连通分支数。
第三节 旅行售货员问题
TSP（Traveling Salesman Problem） （ ） 设有n个城市 每两个城市之间均有路,有 个城市,每两个城市之间均有路 设有 个城市 每两个城市之间均有路 有 一个售货员从某个城市出发要经过其它 n-1个城市恰一次 最后回到出发城市 问 个城市恰一次,最后回到出发城市 个城市恰一次 最后回到出发城市,问 如何走使得经过的总路程最短？ 如何走使得经过的总路程最短？
第二节 哈密尔顿图
例子： 例子：构造图的闭包
第二节 哈密尔顿图
【定理11.2.3】 简 定理 】 单图无向图G是哈密 单图无向图 是哈密 尔顿图当且仅当它的 闭包C(G)是哈密尔 闭包 是哈密尔 顿图。 顿图。 原图不满足定理 11.2.2，闭包满足定 ， 理11.2.2。 。
第二节 哈密尔顿图
第一节 欧拉图
【推论11.1.2】 推论 】 一个有向图D是欧拉图当且仅当D是连 是欧拉图当且仅当 一个有向图 是欧拉图当且仅当 是连 通的，且所有顶点的入度等于出度。 通的，且所有顶点的入度等于出度。
第一节 欧拉图
〖例11.1.1〗 〗
第一节 欧拉图
(1)欧拉图的欧拉回路上包含了所有的 欧拉图的欧拉回路上包含了所有的 顶点，不过有些顶点可能会重复。 顶点，不过有些顶点可能会重复。 (2)欧拉图不存在割边。 欧拉图不存在割边。 欧拉图不存在割边 (3)奇数 大于 个顶点 奇数(大于 奇数 大于1)个顶点 的完全图、 为偶数时的 的完全图、k为偶数时的 k-正则图都是欧拉图。 正则图都是欧拉图。 正则图都是欧拉图
第一节 欧拉图
求给定欧拉图的欧拉回路： 求给定欧拉图的欧拉回路： 能不走桥就不走桥。 能不走桥就不走桥。
我国民间很早就流传一种“ 我国民间很早就流传一种 “ 一笔 游戏。 有两种情况可以一笔画。 画”游戏。 有两种情况可以一笔画。 1) 如果图中所有结点是偶数度结点， 则 如果图中所有结点是偶数度结点， 可以任选一点作为始点一笔画完； 可以任选一点作为始点一笔画完； 2) 如果图中只有两个奇度结点， 则可以 如果图中只有两个奇度结点， 选择其中一个奇度结点作为始点也可一 笔画完。 笔画完。
第二节 哈密尔顿图
【定理11.2.1】必要条件 定理 】 判断下图是否为哈密尔顿图
第二节 哈密尔顿图
判断下图是否为哈密尔顿图 V1＝{a,f}, p(G-V1)=4>|V1|=<V,E>具有哈密 【推论1 】 设无向图 推论 具有哈密 尔顿通路, 的任意非空真子集， 尔顿通路 V1是V的任意非空真子集， 是 的任意非空真子集 则 p(G－V1)≤|V1|+1 － 推论2 【推论 】 有割点的图一定不是哈密尔顿 图。
【定理11.2.4】 设G=<V,E>是n阶强 定理 】 是 阶强 连通有向图， 中任意结点v都满足 连通有向图，对V中任意结点 都满足 中任意结点 d+(v)+d-(v)≥n, 则G是哈密尔顿图。 是哈密尔顿图。 是哈密尔顿图
第二节 哈密尔顿图
〖例11.2.3〗画出分别满足如下条件的无 〗 向图: 向图 (1) 具有欧拉回路和哈密尔顿回路； 具有欧拉回路和哈密尔顿回路； (2) 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路； 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路； (3) 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路； 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路； (4) 既没有欧拉回路，也没有哈密尔顿回 既没有欧拉回路， 路。
第二节 哈密尔顿图
(1) 具有欧拉回路和哈密尔顿回路； 具有欧拉回路和哈密尔顿回路； (2) 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路； 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路；
第二节 哈密尔顿图
(3) 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路； 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路； (4) 既没有欧拉回路，也没有哈密尔顿回 既没有欧拉回路， 路。
哥尼斯堡七桥问题： 哥尼斯堡七桥问题：哥尼斯堡城中有一 条河，河中有两个岛，河上有七座桥。 条河，河中有两个岛，河上有七座桥。 其中C和D是河的两岸，A和B是河中两 其中 和 是河的两岸， 和 是河中两 是河的两岸 个岛屿， 之间有七座桥相连。 个岛屿，在A,B,C,D之间有七座桥相连。 之间有七座桥相连
欧拉图
●能不能从某一个地方出发
走遍这七座桥， 走遍这七座桥，而且每座桥 只准走一次，最后回到出发点。 只准走一次，最后回到出发点。
●欧拉判别法 A和B表示两个岛， 表示两个岛， 和 表示两个岛 C和D表示两岸， 表示两岸， 和 表示两岸 a,b,c,d,e,f,g 表示七座桥 。
第一节 欧拉图
【定义 11.1.1 】 设G=<V,E>为连通图 为连通图 (无向的或有向的 。 无向的或有向的)。 无向的或有向的 G中经过每条边一次且仅一次的通路称 中经过每条边一次且仅一次 中经过每条边一次且仅一次的通路称 欧拉通路； 作欧拉通路； G中经过每条边一次且仅一次的回路称 中经过每条边一次且仅一次 中经过每条边一次且仅一次的回路称 欧拉回路； 作欧拉回路； 具有欧拉回路的图称为欧拉图 欧拉图， 具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧 拉通路而不具有欧拉回路的图叫半欧拉 拉通路而不具有欧拉回路的图叫半欧拉 图。
第三节 旅行售货员问题
TSP（Traveling Salesman Problem） （ ）
第四节 树
【定义11.4.1】 定义 】 (1)连通不含回路的无向图称为无向树， 连通不含回路的无向图称为无向树， 连通不含回路的无向图称为无向树 简称为树 在树中，度数等于1的顶点称 简称为树。在树中，度数等于 的顶点称 树叶，度数大于等于2的顶点称为 的顶点称为分支 为树叶，度数大于等于 的顶点称为分支 点。 (2)连通分支数大于等于 且每个连通分 连通分支数大于等于2且每个连通分 连通分支数大于等于 支都是树的无向图称为森林 森林。 支都是树的无向图称为森林。 平凡图称为平凡树 通常用T表示树 平凡树。 表示树。 平凡图称为平凡树。通常用 表示树。
离散数学
Discrete Mathematics
单美静
第十一章 几种特殊图
目标:
掌握欧拉图、哈密尔顿图、树、二部图、平 面图的基本概念、判别方法及其相关性质 熟练掌握欧拉图、哈密尔顿图、树的应用及 算法 熟练掌握图的平面图相关应用 了解二部图的某些应用
学习建议:
对照图的基本知识 程序设计、练习
欧拉图
第一节 欧拉图
【定理11.1.2 】 定理 有向图D具有欧拉图通路当且仅当 具有欧拉图通路当且仅当D是 有向图 具有欧拉图通路当且仅当 是 连通的， 所有顶点的入度等于出度。 连通的，且所有顶点的入度等于出度。 或除两个顶点外， 或除两个顶点外，其余顶点的入度等于 出度，而在这两个顶点中， 出度，而在这两个顶点中，一个的入度 比出度大1，另一个的入度比出度小1。 比出度大 ，另一个的入度比出度小 。
第一节 欧拉图
证明： 证明： 必要性 充分性 （1）数学归纳法 ） （2）构造通路 ）