层次分析法的计算
层次分析法
来表示一致性.其值越小,一致性越好.
CI 0时,具备完全一致性 .
其中max是A的最大特征值 .
由于CI中含有A的维数n, 一般n越大, A的一 致性越差, 因此A的一致性的要求不能一刀 切, 应随n的增大, 放宽要求。Satty提出, 对 于固定的n, 随机地构造成对比较矩阵, 其中
aii
图1 层次结构模型
第三层
目标层
合理使用学校年度资金
准则层
改善办 学条件
提高办 学水平
教职工物质 文化生活
措施层
书新 馆建
动改 场建
学装 楼修
训引 人进
科加 建强
图 运 教 才培 设学
位增 津加 贴岗
图2 资金分配层次结构图
三 层次分析
层次分析是从对具体问题的了解出发, 建 立层次结构模型, 进行决策分析。
xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“
xi比x
的贡献略大”时
j
xi
xj
5,当认为“
xi比x
的贡献大”时
j
xi
xj
7,当认为“
xi比x
的贡献大很多”时
j
xi
xj
9,当认为“xi的贡献大到x
不能
j
与之相提并论”时
xi x j 2n, n 1,2,3,4,当认为xi x j 介于2n 1和2n 1之间时.
（4）定义未知参数 在这种问题中, 运用层次分析法建立表达式 来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值 工程, 产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数, 它们可以用层次分析来定义。下面是一个 经济学例子。
3.3 层次分析法
是说物体之间的重要性程度满足一致性要求。一般 地，若正互反矩阵 A 满足
aij a jk aik
i, j,， k 1,2,, n
(3.3.4)则称
为完全一致性矩阵，简称为一致性矩阵或一致阵。 A
显然，对于一致性矩阵 A 而言，每列元素对应成比例 ，因而 A 的秩为1。又因为主对角线上的元素均为1 ，因而 A 有唯一的非零特征根为
对于（3.3.2）式中的矩阵 A，计算得到 m ax 5.206， 归一化的特征向量为 w (0.461,0.195,0.091,0.194,0.059)T 。由式（3.3.6）得到 CI 0.0515 ，再在表3.3.2中查出
RI 1.12 ，然后由式（3.3.7）计算
CR 0.0515 1.12 0.0460 0.1 ，故矩阵
断矩阵的随机一致性指标值。
表3.3.2
随机一致性指标值
当 n 1或2时，矩阵 A为一致性矩阵；当 标 RI 作比值，即
n 3时
，将 A 的一致性指标 CI 与它的同阶随机一致性指
CR CI RI .
（3.3.7）
CR称为一致性比率。 CR的值越小，说明判断矩阵 A
的一致性就越好。一般地，当 CR 0.1时，可以认 为 A的不一致性在容许的范围之内，此时 A具有满 意的一致性，利用 A的最大特征值对应的特征向量 对因素进行排序。若 C R 0 .1 ，则需要对判断矩阵 A 进行修正，或者重新构造矩阵 A 。
假设要比较层次结构中某一层 n个因素 C 1 , C 2 , , C n对 上一层次因素O 的影响，对因素 C i 和 C j 进行对比 ，并用 a ij 来表示因素 C i 相对于因素 C j 来说对因素
层次分析法(详细)
1
1/5 1/3 2 6.53
5
1 3 3 20
3
1/3 1 1 7.33
1/2
1/3 1 1 3.83
B
p1 p2
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0.16 0.17 0.15 0.20 0.14 0.13 0.16 0.17 0.30 0.20 0.14 0.13
p3
p4 p5 p6
0.16 0.09 0.15 0.25 0.42 0.13
3
1
1
和积法具体计算步骤：
o将判断矩阵的每一列元素作归一 化处理，其元素的一般项为：
bij= bij 1nbij
(i,j=1,2,….n)
B
p1 p2
p1 1 1
p2 1 1
p3 1 2
p4 4 4
p5 1 1
p6 1/2 1/2
p3
p4 p5 p6
1
1/4 1 2 6.25
1/2
1/4 1 2 5.75
层次分析法（AHP）特点： 分析思路清楚，可将系统分析人 员的思维过程系统化、数学化和模 型化； 分析时需要的定量数据不多，但 要求对问题所包含的因素及其关系 具体而明确；
层次分析法（AHP）特点： 这种方法适用于多准则、多目标 的复杂问题的决策分析，广泛用于 物流系统规划与评价、地区经济发 展方案比较、科学技术成果评比、 资源规划和分析以及企业人员素质 测评。
层次分析法（AHP）具体步骤： 建立两两比较的判断矩阵 判断矩阵表示针对上一层次 某单元（元素），本层次与它有关 单元之间相对重要性的比较。一般 取如下形式：
Cs
p1 b11 b21 … … bn1
层次分析法的计算步骤
层次分析法的计算步骤
一、定义层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由梅尔·拉斯
菲尔德（M.L. Saaty）于1977年提出的一种多层结构和多维度的层次分
析方法。
它是一种评估决策者面临复杂决策的基于层次结构逻辑的决策分
析方法，可以很轻松地将复杂的主观问题转换为客观的量化问题，从而求
解复杂的决策问题。
二、层次分析法计算流程
（1）决策问题的分类和层次结构的确定
首先，根据决策者的要求，将决策问题确定为一个有层次结构（AHP）和深度（hierarchy）的问题，将决策问题的内容分为n个层次。
（2）建立层次分析矩阵
将决策问题中的n个层次按从上至下的顺序，建立起一个n×n的层
次分析矩阵，称之为层次分析矩阵。
（3）确定层次分析矩阵的元素
在层次分析矩阵中，每一对元素的值都由决策者给出，即根据决策者
的判断，确定每个元素在n个层次层次中的比较的优劣。
（4）计算层次分析矩阵的均值尺度指数
均值尺度指数是由每行元素进行加权求和结果和n相除而得到的。
它
表示每个元素在此行的平均相对权重。
（5）分析层次分析矩阵
一旦层次分析矩阵计算完毕。
层次分析法
层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多因素决策和评估的定量方法。
它由美国运筹学家托斯·L·赛蒂（Thomas L. Saaty）在1970年代提出，并成为了一种广泛应用的决策支持工具。
层次分析法通过将一个复杂的决策问题分解为多个层次和因素，然后利用专家的主观判断，对这些层次和因素进行两两比较和权重分配，最终得出最优选择的方法。
下面是层次分析法的基本步骤：
建立层次结构：确定决策问题的目标和准则，并将其拆分为若干层次，形成一个层次结构。
两两比较：对每个层次的元素进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
比较可以使用数字尺度，通常是一个1到9的比较矩阵，其中1表示相同重要性，9表示极端重要性差异。
构建判断矩阵：将两两比较的结果整理成一个判断矩阵，其中矩阵的元素表示各个元素之间的相对重要性。
计算权重：根据判断矩阵计算权重向量，表示各个元素相对于其上一层次的重要性，通常使用特征向量法进行计算。
一致性检验：对判断矩阵的一致性进行检验，确保专家的判断具有合理的一致性。
综合评价：利用权重向量和层次结构中的数据，进行综合评估和决策选择。
层次分析法在许多领域都有广泛应用，包括工程、管理、市场营销、投资决策等。
它能够帮助决策者在复杂的决策问题中进行系统化的分析和评估，从而提供科学的决策支持。
（完整版）层次分析法的计算步骤
（完整版）层次分析法的计算步骤8.3.2 层次分析法的计算步骤⼀、建⽴层次结构模型运⽤AHP进⾏系统分析，⾸先要将所包含的因素分组，每⼀组作为⼀个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次⼤体上可分为3类1、最⾼层：在这⼀层次中只有⼀个元素，⼀般是分析问题的预定⽬标或理想结果，因此⼜称⽬标层；2、中间层：这⼀层次包括了为实现⽬标所涉及的中间环节，它可由若⼲个层次组成，包括所需要考虑的准则，⼦准则，因此⼜称为准则层；3、最底层：表⽰为实现⽬标可供选择的各种措施、决策、⽅案等，因此⼜称为措施层或⽅案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这⾥要注意，层次之间的⽀配关系不⼀定是完全的，即可以有元素（⾮底层元素）并不⽀配下⼀层次的所有元素⽽只⽀配其中部分元素。
这种⾃上⽽下的⽀配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，⼀般可不受限制。
为了避免由于⽀配的元素过多⽽给两两⽐较判断带来困难，每层次中各元素所⽀配的元素⼀般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若⼲⼦层。
例如，⼤学毕业的选择问题，毕业⽣需要从收⼊、社会地位及发展机会⽅⾯考虑是否留校⼯作、读研究⽣、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1所⽰的层次结构模型。
图8.1再如，国家综合实⼒⽐较的层次结构模型如图6 .2：图6 .2图中，最⾼层表⽰解决问题的⽬的，即应⽤AHP所要达到的⽬标；中间层表⽰采⽤某种措施和政策来实现预定⽬标所涉及的中间环节，⼀般⼜分为策略层、约束层、准则层等；最低层表⽰解决问题的措施或政策（即⽅案）。
然后，⽤连线表明上⼀层因素与下⼀层的联系。
如果某个因素与下⼀层所有因素均有联系，那么称这个因素与下⼀层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下⼀层次的部分因素有联系。
层次之间可以建⽴⼦层次。
⼦层次从属于主层次的某个因素。
层次分析法计算公式
层次分析法计算公式
分层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用来分
析复杂决策问题的技术，它是由美国管理学家Thomas Saaty在1970年末
开发的。
AHP是一种从多个不同的角度对复杂的决策问题进行分解，从而
识别出决策问题中的变量之间的关系，并在此基础上建立优先级的方法。
AHP的基本思想是将复杂的决策问题分解为一系列层次的子问题，将
不同层次的子问题用比较的方法进行比较，从而得出解决问题的一系列优
先级次序。
AHP的计算步骤包括建立层次结构，建立决策矩阵，确定归一
化向量，确定最终的得分和优先级。
1、建立层次结构：AHP的层次结构是分析复杂决策问题的第一步，
它包括三个层次：根层、中间层和叶节点层。
根层描述决策问题的最高一级，负责概括整个决策问题；中间层描述
决策问题在不同的方面，将整个决策问题划分为多个子问题；叶节点层描
述各个子问题的具体内容，它们不再能进行分解，代表最终要解决的问题。
2、建立决策矩阵：决策矩阵是通过对比法，对各决策因素之间进行
比较并用矩阵来表示的。
决策矩阵由三部分组成：行列式、行列式所在的矩阵的行、列分别表
示不同决策因素之间的相对优劣，即矩阵的每个单元表示一种比较关系；。
层次分析法的计算_图文_图文
它们对于元素
的层次单排序权值分别为
（当 与 无关系时， ）。此时B层次总 排序权值如表二给出。
层次 A1 A2 ……
a1 a2 ……
B1
b11 b12 ……
B2
b21 b22 ……
┋
┋
┋
Bn
bn1 bn2 ……
注
：
Am B层次总排 am 序权重
b1m
w1
b2m
w2
┋
┋
bnm
wn
同样，三个方案对于各个准则的判断矩阵 以及运算所得的结果见三、四、五、六。
0.1818 0.7272 0.0910
表三
A
B
CW
A1
1/4
B4
1
C 1/2 1/8
2 0.1818 8 0.7272 1 0.0910
对准则 （功能强）来说： 即认为判断矩阵具有满意的一致性。
表四
A
B
CW
对准则 （价格低）来说：
A
1
4
1/3 0.2559
B
1/4
1
1/8 0.0733
即C认为判断3矩阵具有8满意的一1 致性0.。6708
解：1、明确问题；2、建立层次结构；先构造层
次结构，如下图所示。
购买一台满意的计算机G
目标层
功能强S1
价格低S2
易维护S3 准则层
A
B
C
方案层
对于三个准则（S1，S2，S3）关于 目标G的优先顺序，根据讨论，该厂在计算 机应用上首先要求功能强，其次要求易维 护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表 所示。
例如
由于e4=e3，迭代经过4次中止，权矩阵A的每一列归一化
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n i 1
( AW )i nWi
.
式中AWi表示向量AW的第i个分量。
例如
1 5
1/ 5 1
1/ 3
3
每行之乘积
1
1 5
1 3
0.7
51 3 15
3 1/ 3 1
3
11
1
3
0.412
0.105
球Mi的三次方根
2.466
标准化
0.637
,
1
0.258
即权系数为
W (0.105, 0.637, 0.258)T
.
式中(AW)i表示向量AW的第i个分量。
例 某厂准备购买一台计算机，希望功能强，
价格低，维护容易。现有A、B、C三种机型可供 选择。其中A的性能较好，价格一般，维护一般 水平；B的性能最好，价格较贵，维护也只需一 般水平；C的性能差，但价格便宜，容易维护。 试用层次分析法进行决策分析。
解：1、明确问题；2、建立层次结构；先构造层
4、层次单排序及其一致性检验（用方 根法计算这三个准则关于目标的排序权值）
M1 15, M 2 0.667, M3 1
w1 3 15 2.446, w2 3 0.667 0.405, w3 3 1 1
标准化：
2.446
2.446
W1 2.446 0.405 1 3.871 0.637
在具体计算中，当ek与ek-1接近到一定程度时， 我们就取e=ek
例如
1 1 1/ 5 1/ 3 A 1 1 1/ 3 , e0 1/ 3
5 3 1 1/ 3
1 1 1/ 5 1/ 3 0.733 e '1 Ae0 1 1 1/ 3 1/ 3 0.778 , e '1 0.733 0.778 3 4.511
1.936 3 0.637
0.318 0.785 3 0.105 3 0.258
1.936 0.318 0.785 3.0385 1.911 0.315 0.774
判断矩阵的一致性指标CI为
CI max n 3.0385 3 0.0192,
5 3 1 0.665 1.991
0.467 0.155
e2
e '2 e '2
1 3.014
0.565 1.991
0.184 0.661
1 1 1/ 5 0.155 0.471 e '3 Ae2 1 1 1/ 3 0.184 0.559 , e '3 0.471 0.559 1.988 3.018
0.105
1 1/ 5 1/ 3 0.105 0.318
W
0.637
.AW
5
1
3
0.637
1.936
0.258
3 1/ 3 1 0.258 0.785
再求最大)i nWi
0.318 3 0.105
1.936 3 0.637
0.785 3 0.258
5 3 1 1/ 3 3
0.733 0.162
e1
e '1 e '1
1 4.511
0.778
0.172
3 0.665
1 1 1/ 5 0.162 0.467 e '2 Ae1 1 1 1/ 3 0.172 0.565 , e '2 0.467 0.565 1.991 3.014
W2
0.405 2.446 0.405
1
0.105
W3
2.446
1 0.405 1
0.258.
则 Wi 为所求特征向量。
计算最大特征值
max
n i 1
( AW )i nWi
.
式中 ( AW )i 表示向量AW的第i个分量。
一致检验结果为
0.637
1 5 3 0.637
W 0.105.AW 1/ 5
1
1/
3
0.105
0.258
1/ 3 3 1 0.258
1 0.637+5 0.105+3 0.258 1.936 1/5 0.637+1 0.105+1/3 0.258 0.318 1/3 0.637+3 0.105+1 0.258 0.785
max
3 i 1
( AW )i nWi
3.037
二、迭代法
建立n阶方阵 A (aij )nn. 按下列方法求向量迭代序列：
1
n
1
e0
n
M
1
n n1.
e 'k 为 Aek1 的n个分量之和
可以证明，迭代的维列向量序列 {ek } 收敛。
记其极限为e，且记
1
e
2
M
n
n1.
则权系数可取
i i ,i 1, 2,L , n
5 3 1 0.661 1.988
0.471 0.156
e3
e '3 e '3
1 3.018
0.559
0.185
1.988 0.659
1 1 1/ 5 0.156 0.473 e '4 Ae3 1 1 1/ 3 0.185 0.561 , e '4 0.473 0.5611.994 3.028
次结构，如下图所示。
购买一台满意的计算机G
目标层
功能强S1
价格低S2
易维护S3 准则层
A
B
C
方案层
对于三个准则（S1，S2，S3）关于 目标G的优先顺序，根据讨论，该厂在计算 机应用上首先要求功能强，其次要求易维 护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表 所示。
3、构造判断矩阵
表一
G S1 S2 S3 S1 1 5 3 S2 1/5 1 1/3 S3 1/3 3 1
一、最大特征值和特征向量的近似计算（方根法）
计算的主要步骤：
1、计算判断矩阵A的每一行元素乘积
n
Mi aij ,i 1, 2,L , n. j 1
2．计算Mi的n次方根
Wi n Mi . 3．若 W i 标准化为
Wi
Wi
n
,
W j
j 1
则 Wi 为所求特征向量。
4．计算最大特征值
max
三、和法
1、计算判断矩阵A的每一列归一化
n
ij aij / aij i 1 n
2．按行求和 wi ij j 1
n
3．归一化 Wi wi / wi i 1
W (w1, w2 ,L , wn )T
则Wi为所求特征向量。
4．计算AW
5、计算最大特征值得近似值
max
n i 1
( AW )i nWi
5 3 1 0.659 1.994
0.473 0.156
e4
e '4 e '4
1 3.028
0.561 1.994
0.185 0.659
由于e4=e3，迭代经过4次中止，权系数是
1 0.156,2 0.185,3 0.659.
相应的综合评价公式是
y 0.156x1 0.185x2 0.659x3