重庆市南开中学2015届高三12月月考数学(理)试题

重庆南开中学高2015级高三12月月考
数学试题(理科)
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，
考试时间120分钟．
(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
(2)选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，字迹清楚；
(3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在草稿 纸、试题卷上答题无效；
(4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1．关于x 的不等式ax +b >0的解集不可能．．．是( ) (A)R (B)φ (C) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-
a b x x ＞ (D)⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≠a b x x 2．抛物线x y 42
=的焦点到准线的距离为( ) (A)
41 (B)2
1
(C)2 (D)4 4 2 3．已知⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππ，2a ，5102cos 2sin =
-a a ，则=a cos ( ) (A)54-
(B)53- (C)54 (D)5
3
4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4a ，2a 2，a 3成等差数列，若a 1=1。

则S 4=( ) (A)7 (B)8 (C)15 (D)16
5．已知单位向量a ，b 夹角为3
π
，则b a -2=( )
(A)2 (B)
3 (C)2 (D)
5
6．已知直线()00022＞，＞b a by ax =+-平分圆01422
2
=+-++y x y x C ：的圆周长，则
b
a 2
1+的最小值为( ) (A) 24 (B) 223+ (C)4 (D)6
7．已知定义在R 上的偶函数()x f 满足：当x ≥0时，()83-=x x f ，则关于x 的不等式：
()122＞-x f 的解集为( )
(A){}20＞或＜x x x (B) {}
40＞或＜x x x (C) {}42＞或＜x x x - (D) {}
22＞或＜x x x - 8．下列说法正确的个数是( )
①命题“0123≤+-∈∀x x R x ，”的否定是“012
0300＞，+-∈∃x x R x ”
； ②“ac b =”是“三个数a ，b ，c 成等比数列”的充要条件；
⑨“1-=m ”是“直线01)12(=+-+y m mx 和直线023=++my x 垂直”的充要条件： ④“复数()R b a bi a Z ∈+=，是纯虚数的充要条件是0=a ”是真命题．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
9．设21F F ，为双曲线C ：()00122
22＞，＞b a b
y a x =-的左、右焦点，过坐标原点O 的直线与双
曲线C 在第一象限内交于点P ，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆为锐角三角形，则直线 OP 斜率的取值范围是( )
(A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34332， (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛334， (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3321， (D) ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2332， 10．存在实数a ，使得对函数()x g y =定义域内的任意x ，都有()x g a ＜成立，则称a 为 g(x)的下界，若a 为所有下界中最大的数，则称a 为函数()x g 的下确界．已知+
∈R z y x ，，
且以z y x ，，为边长可以构成三角形，则()()2
z y x zx
yz xy z y x f ++++=
，，的下确界为( )
(A)
61 (B)41 (C) 31 (D) 2
1
第Ⅱ卷(非选择置共100分)
二、填空置：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上。

11．设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤--≥≥02y -x 0630,0，y x y x 则y x z +=2的最大值为
12．数列{}n a 满足：11·2014+-=n n n a a a a ，，n l 表示n a 的前n 项之积，则
=2014l
13．椭圆()0122
22＞＞b a b
y a x =+的左、右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P 使线段1PF
与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段1PF 的中点，则该椭圆的离心率为
考生注意。

14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

14．如图，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上 的射影为D ，CD =2，BD =4，则EA = 15．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为()为参数θθ
θ⎩⎨
⎧==sin 3cos 2y x
以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为
()
03cos 3sin =+-ϕϕp ，则直线l 截曲线C 所得的弦长为
16．不等式43＜b x -的解集中的整数只有1，2，3，则实数b 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分13分) 已知函数()2
1
cos cos sin 32+
-=x x x x f ，ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、 b 、c 且()1=A f
(1)求角A 的大小；
(2)若a =7，b =5，求c 的值．
18．(本小题满分13分)
己知点()02，A 关于直线041=-+y x l ：的对称点为A 1，圆()()4n -y m -x 2
2
=+：C (其
中0＞n )经过点A 和A 1．
(1)求圆C 的方程：
(2)圆C 与过点()
220-，B 的直线2l 相切，求直线2l 的方程．
19．(本小题满分13分)
数列{}n a 满足：()1122
1+-=+n n a a 且31=a ，1＞n a
(1)设)1(log 2-=n n a b ，求证：{}1+n b 为等比数列； (2)设n n nb c =，求数列{}n c 的前项和n S ． 20．(本小题满分l2分) 设函数()()()0121ln ≥+
-=a x x
a
x x f ，＞其中． (1)求函数()x f 的单调区间；
(2)已知对任意的()()∞+∈，，221 x ，不等式()[]02
1
＞a x f x --成立，求实数a 的取值范围．
21．(本小题满分l2分)
已知椭圆1C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点(
)
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--22102，、，Q P ． (1)求椭圆1C 的标准方程：
(2)如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线2-=x 上的动点T 作圆2C 的两条切线， 设切点分别为A 、B ，若直线AB 与椭圆1C 求交于不同的两点C 、D ，求CD
AB 的取值范 围．
22．(本小题满分12分)
己知数{}n a 满足n a a a n n 2111+==+，，数列{}n b 满足1121=+=+b n
b b b n
n n ，．
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令n
b na b a
c n n n n n --+=++111
，记n n c c c S +⋯++=21，求证：
12
1
＜n S ≤．。