1单自由度系统振动总结与习题
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
结构动力学习题解答一二章
2、 动量距定理法
适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析;
(2) 利用动量距定理J ,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法:
;
1、7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA,半径为rA,齿轮B的质量为mB,半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,
解:由齿轮转速之间的关系 得角速度 ;转角 ;
系统的动能为:
CA
;B D
图1-36
系统的势能为:
;
系统的机械能为
;
由 得系统运动微分方程
;
适用范围:所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1)设系统的广义坐标为 ,写出系统对于坐标 的动能T与势能U的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U;
(2)由格朗日方程 =0,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
1、2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。
方法一:衰减曲线法。
求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值 、 。
(2)由对数衰减率定义 , 进一步推导有
,
因为 较小,所以有
。
方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。
;L/2L/2
则固有频率为:
图1-33(b)
第二章单自由度系统自由振动)
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
【2019年整理】机械振动第二章习题
n2 h sin t
研究受迫振动方程特解
2 n
h
2
sin t
l 2 O
m
将ω=1/2ωn代入上式
解得：
h sint
3 4
2 n
2
4F0 /(3 4k sin t)
ml 4 m
4F0 sint
3k l
l
2
k
A
F
例. 图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1， 偏心块的质量为m2 ，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速 度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。
图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢 复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。
若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。 则各力在坐标轴上的投影为：
Fk kx
Fc
c
c
dx dt
F H sint
可建立质点运动微分方程
m
d2x dt 2
k x
c
dx dt
x
mx kx kesint
s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
x bsint
s
l0
st
x
O
激振力的力幅为
H ke
h
ke
e
x
b
2 n
2
m(
2 n
2)
1(
)2
n
s
b为物块绝对运动的振幅。
第一章(单自由度系统的振动)
单自由度系统的振动方程
c
k
m
s k
c
o
u
m
u
f (t)
mu(t) k[u(t) s ] cu(t) mg f (t)
k (u s ) cu
m
mg
f (t)
mg k s
mu(t) cu(t) k u(t) f (t)（单自由度系统振动方程的一般形式）
结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。
问题2
k1
k2
k3
m
k4
k1 k3
k2
√
k4
问题2
k1
k2
k3
m
k4
k1
k3
k2
╳
k4 k1
k3
k2
m
k4
问题3
无质量弹性杆
刚性杆
k
m
等效
k
m
F
k F /
第一章：单自由度系统的振动
第二讲：
无阻尼单自由度系统的自由振动
•正确理解固有频率的概念 •会求单自由度无阻尼系统的固有频率
无阻尼单自由度系统的自由振动
4
o 势能：V mg(R r)(1 cos ) 1 mg(R r) 2
2
R
m 简谐运动： max sin(nt )
B
rC
Tmax
3m 4
(
R
r
)2
(n
max
)
2
A
D
mg
Vmax
1 2
mg
(
R
r
)m2 ax
Tmax Vmax
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
机械振动第二章习题
bo 2
（3）当ω>>ωn时，有阻尼受迫振动的振幅影响也较小，这 时可以忽略阻尼，将系统当作无阻尼系统处理。
由微分方程的特解 x2bsi nt()
有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角ε，ε
称为相位差。
tan 2n 或 n2 2
tan 122
ε表达了相位差随谐振力频率的变化关系。
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
对任意瞬时t，必须满足：
b(n22)hcos0 2nbhsin0
两方程联立，可解出：
b
h
(n22)24n22
tan
2n n2 2
得微分方程的通解为：
kcHale Waihona Puke FkFcm
F
x
xA ne st inn 2 (n 2t) b sin t()
其中A和为积分常数，由运动的初始条件确定。 有阻尼受迫振动由两部分合成： 第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动
令： Hm2e2
h m2e 2
m1 m2
受迫振动振幅：
bhn2
m2e2 k(m1m2)2
绘出振幅频率曲线。
b
此曲线当ω<ωn时，振幅 从零开始，随着频率增大 而增大；
当ω=ωn时，振幅趋于∞； 当ω>ωn时，振幅随着增大而减 小，最后趋于m2e/(m1 +m2) 。 O
m 2e n m1 m2
由式
b
n2
h
2
b0
h
n2
H k
(2)若0<ω<ωn
h
b
2 n
2
ω值越大，振幅b越大，即振幅b随着频率ω单调上升，当ω接近ωn时，振 幅将趋于无穷大。
振动力学各章作业题解（）
振动⼒学各章作业题解（）第02章单⾃由度系统的振动2.1 ⼀根抗弯刚度72=3610Ncm EI ?的简⽀架，两⽀承间跨度l 1=2m ，⼀端伸臂l 2=1m ，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q =2548 N 的重物的⾃由振动频率。
【提⽰：22123()EJ k l l l =+，2212()3st Ql l l EI δ+=，11.77n st gk gQ ωδ=== 1/s 】 2.2 梁AB 其抗弯刚度72=910Ncm EI ?，A 端与B 端由弹簧⽀承，弹簧刚性系数均为k =52.92 kN/m ，如图所⽰。
略去梁的分布质量，试求位于B 端点左边1⽶处，重为Q =4900 N 的物块⾃由振动的周期。
【解法1：通过计算静变形求解。
A ，B 弹簧受⼒为3Q 和23Q，压缩量为3Q k 和23Q k ，则由弹簧引起的静变形为159Q k δ=；利⽤材料⼒学挠度公式求出梁变形引起的静变形222212(321)4619Q QEI EIδ??--==?。
周期为：1222 1.08nT gδδππω+===s 。
解法2：通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。
A ，B 弹簧相对Q 处的等效刚度为（产⽣单位变形需要的⼒，利⽤解法1中计算的静变形结果）195k k =；利⽤材料⼒学挠度公式求出梁相对Q 处的等效刚度294EI k =；总等效刚度为：12111eq k k k =+。
周期为22 1.08neqQT gk ππω===s 。
】 2.4 ⼀均质刚杆重为P ，长度为L 。
A 处为光滑铰接，在C 处由刚性系数为k 的弹簧使杆在⽔平位置时平衡。
弹簧质量不计，求杆在竖直⾯内旋转振动时的周期。
【解：利⽤定轴转动微分⽅程：21()32st P l l P k a a g ??δ=-- ，2st lk a P δ=，得：22103P l k a g+= ， 222/3223n Pl g l PT ka a gkπππω===】题 2-1 图BAQl 1 l 2题 2-2 图2m1mQkkAB 题 2-4 图lakA CB2.8 ⼀个重为98 N 的物体，由刚性系数为k =9.8 kN/m 的弹簧⽀承着（简化为标准m-k-c 振动系统），在速度为1 cm/s 时其阻⼒为0.98 N 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
50 n
ke 3 105 ke 120kg ，所以 m 2 2 50 50 m
②
1 Mr 2 是滑轮的惯性矩。 2
在静平衡位置， mgr kr 20 ，因此②变为：
1 r (mg mx ) kr 2 mgr Mr 2 2
代替 ，运动方程变为： x 用 r 代替 x ， r
1 kr 2 0 ( Mr 2 mr 2 ) 2
n
K g M
2、等效法
2 M e 动能：T真实＝T等效＝ M e x
2 势能：V真实＝V等效＝ K e x K e
1 2
1 2
n
Ke Me
3、能量法
Tmax
Vmax
1 KA2 2
1 M n 2 A 2
Vmax Tmax n
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、等效刚度计算方法
l
x sin( n t )
因此梁上各点的速度分布为
( x, t ) A sin v
l
x n cos( n t )
因而动能最大值为 1 1q l 2 Tmax M n A 2 ( A sin x n ) 2 dx 2 2g 0 l 1 A 2 2 ( M 1 Q ) n 2 2g 1 1 48 EI 2 A 在最大振幅位置 Vmax KA 2 2 2 l3 48EI 由 Vmax Tmax 求得： n = 1 Q 3 M 2 g l
1.阻尼强迫振动的振幅与初始条件无关，并 且不随时间 t 而变。 2.阻尼强迫振动的频率与干扰力的频率相 同，与阻尼无关。 3.与无阻尼强迫振动情况一样，有阻尼强迫 振动的振幅比系统在静力 P0 作用下引起的静位 移 x st 大 倍（ 称为动力放大系数） 。
cos( ) n sin( ) sin nd t ] nd
2
粘 性 阻 尼 自 由 振 动
Cx Kx 0 M x
x e ( x0 cos nd nx0 x 0 sin nd t )
nt
n
n
C ， Cc 称为临界阻尼系数，对数衰 Cc
nd
减率表征阻尼对系统的能量耗散快慢程度
Ln
xm Ae nt m e nTd xm1 Aentm Td
并联弹簧：
Ke K1 K2
1 V真实＝V等效＝ K e x 2 K e 2
2、求如图所示系统的自由振动的频率
2 解：k e = = k； 1 1 3 2k k
1
ke 2K wn = = me 3M
3、求等效刚度Ke
解:等效系统简图: Mk=w 由图可求:k 1 1 (a+b)=w.b 1 =
n 系统振动的固有频率。 n 2f =
g
＝
K = M
Ke Me
稳态强迫振动的振幅 A 和静态力作用下的位移的 无 阻 尼 强 迫 振 动
Kx P0 sin t M x
x x0 cos nt xst xo
.
关系： A xmax xst 动力放大系数
n
简 谐 激 力 下 的 粘 性 阻 尼 系 统 强 迫 振 动
Cx Kx P0 sin(t ) M x
x(t ) e nt ( x0 cos nd t 0 nx0 x
nd
sin nd t )
ent A[sin( ) cos nd t
A sin(t )
第一项为自由振动项， 完全由初始条件 决定； 第二项称为伴随自由振动项， 它 由干扰力引起， 但其振动频率为有阻尼 自由振动频率， 这两项均为自由振动部 分；第三项是干扰力引起的纯强迫振 动， 是频率与干扰力频率相同的简谐振 动。
1 (1 ) (2 ) 2
sin nd (t )d
T 处，反之由在力的作用结束之后出现。 2
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、固有频率求法 1、静伸长法
2 A A mn A 110 134.82 0.0019 因为 A xst ，所以 2.53 2 xst F0 mn F0 1500
当运动频率为 150rad/s 时，
150 1.113 n 134.8
又因为 所以
1 (1 2 ) 2 (2 ) 2
k1l1 k 2 l3
2 2 3 2
n
2
m2 l 4 m1l 2
一质量为 m 、半径为 r 的圆柱体用常数为 k 的弹簧连接，如图所示。若它沿粗糙 的水平表面无滑动地自由滚动，试用能量法求它的固有频率。
解：系统的总动能由转动动能和平移动能组成，即 1 2 1 2 J 0 T mx 2 2 1 x J 0 为圆柱体的惯性矩 J 0 mr 2 ，同时有 r x ， r 2 因此系统在任何时候，动能 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 2 J 0 mx ( mr )( x r ) 2 mx T mx 2 2 2 2 2 4 1 系统的位能为 V kx 2 2 d (T V ) 3 kx ) x 0 0 ，所以可得 ( m x 由于 dt 2 3 不可能总等于零，因此运动方程为 m kx 0 x 因为 x 2 故有 n 2k 3m
转动问题： 1）列力的动平衡方程 2）列矩的动平衡方程 3）得运动方程 4）定义求固有频率
所以，固有频率 n
k M /2m
5下图表示一质量 m系在弦上并具有张力 T。假定小变形，振动时张力不 变，求弦在铅锤方向振动的固有频率。
解： 张力为常数，小变形，故复原力为： T [ x / a x /( L a)] 应用牛顿第二定律，得运动方程： T [ x / a x /( L a)] 0 ，即 mx TL /[a( L a)]x 0 mx
T=
n
U=
max A n
1 k ( a ) 2 2 A
T max U max ；
2 1 2 2 1 2 ml A Ka 2 . A 2 n 2 2
n
a l
k ； m
周期 T=
2l a
m k
利用等效能量法求图示系统的固有频率
解:真实系统:T=
l 1 1 2 ) 2 + m2. x m1( 2 x 2 2 l4 l 1 l 1 2 2 U= k1 ( 1 .x) k 2. ( 3 .x) 2 l4 2 l4 1 2 等效系统 T e = me. x 2 1 2 V e = ke x 2 l 2 T=T e m e =m 2 +m 1 ( 2 ) l4 l 2 l 2 V=V e k e ( 1 ) +k 2 ( 3 ) l4 l4
w b k1 a b a w k 2 2 (a+b)=w.a 2 = K2 a b b .( 1 2 ) 3 = 2 + ab w.a b b a + ( ) 3 = 2 k 2 ( a b) ( a b ) k1 1 k 2
w(a 2 k1 b 2 k 2 ) 3 = k1k 2 (a b) 2
1 机械振动的分类
自由度
单自由度 多自由度
阻尼 无阻尼
外激力 自由
响应 简谐
粘性阻尼 流体阻尼 摩擦阻尼
强迫 自激 参数
周期 瞬态 随机
连续体
振 动 类 型 无 阻 尼 自 由 振 动
力学模型
振动方程及响应
典型响应曲线
主要特性
Kx 0 M x x x x0 cos n t 0 sin n t
1 1 1 (1 1.1132 )2 0.142 2 2 1.113 2.53
1 2
2
(1 2 )2
作业
当 m 为多大时，如图所示系统才发生共振？
解：以静平衡位置为原点建立坐标，并设 m 向右移动 x ，则 k1x k2 x 0 ，即 m (k1 k2 ) x 0 m x x 所以系统的等效刚度为 ke k1 k2 3 105 N/m 当激振力频率和系统固有频率相等时，共振才会发生，即
sin nt
xst sin n t sin t 2 2 n 1 1 n n
1 (
1
2 ) n
n ，共振
接近 n ，拍振
n C 2n ， nd n 1 ，阻尼比 M n
n
TL ma( L a)
3、如下图所示的，带有集中荷重 W Mg 的简支梁中，梁的自重为 Q ql ( q 为 梁每单位长度的重量)， 用能量法决定其固有频率。 （假定梁在振动时的挠度曲线 为 y ( x ) A sin x ） l
解：假定一个梁在振动时的挠度曲线：
x l 假设梁按简谐规律振动，则梁上各点的振动位移为 v( x, t ) A sin y ( x) A sin
2 2
任 意 激 力 下 系 统 强 迫 振 动
x0 cos nd t t nt x(t ) e x 0 nx0 sin tt nd nd
1 M nd
当力的作用时间 t1