数学---陕西省延安市实验中学大学区校际联盟2016-2017学年高二(上)期末试卷(理)(b卷)(解析版)

2016-2017学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤02．（4分）等比数列{a n}中a1=3，a4=24，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．1893．（4分）语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（4分）若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为（）A．1 B．或C．D．3或5．（4分）有下列4个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题；③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；④“若a b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（4分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}7．（4分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．58．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（4分）已知++=0，||=2，||=3，||=，则向量与的夹角为（）A．60°B．45°C．30°D．以上都不对10．（4分）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A（，4），则|P A|+|PM|的最小值是（）A．B．4 C．D．5二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为．12．（3分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．13．（3分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．14．（3分）在数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+，则通项公式a n=．15．（3分）对于△ABC，有如下命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sin A=cos B，则△ABC为直角三角形；③若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是．（把你认为所有正确的都填上）三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）在△ABC中，a=3，c=2，B=150°，求边b的长及S△ABC．17．（8分）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，求a n．18．（9分）已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．19．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．20．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．（1）求证：DE⊥平面PCB；（2）求点C到平面DEB的距离；（3）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．参考答案一．选择题1．B【解析】∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．故选B．2．C【解析】∵等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1，∴a4=a1q3=3q3=24，解得q=2，∴a3+a4+a5=3q2+3q3+3q4=84，故选：C．3．B【解析】若P点的轨迹是椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）成立．若动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴语句甲是语句乙的必要不充分条件．故选：B．4．D【解析】当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=3当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=．故选D5．B【解析】①若x+y=0，则x，y互为相反数，为真命题．则逆否命题也为真命题，故①正确，②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题为若a2＞b2，则a＞b，若a=﹣2，b=0．满足a2＞b2，但a ＞b不出来了，故②为假命题；③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题为若x＞﹣3，则x2﹣x﹣6≤0，当x=4时，x2﹣x﹣6≤0不成立，故③为假命题．④若a b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题为：若a，b是无理数，则a b是无理数．该命题是假命题．取a=，b=，则a b===2．为有理数．所以该命题是假命题．故真命题的个数为1个，故选：B6．C【解析】⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．7．C【解析】∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C8．B【解析】作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．9．A【解析】∵++=0，且||=2，||=3，||=，∴，设向量与的夹角为θ，则=，即19=4+2×2×3×cosθ+9，∴cosθ=，则θ=60°．故选：A．10．C【解析】抛物线焦点F（，0），准线x=﹣，延长PM交准线于N，由抛物线定义|PF|=|PN|，∵|P A|+|PM|+|MN|=|P A|+|PN|=|P A|+|PF|≥|AF|=5，而|MN|=，∴P A|+|PM|≥5﹣=，当且仅当A，P，F三点共线时，取“=”号，此时，P位于抛物线上，∴|P A|+|PM|的最小值为：，故选：二、填空题11．【解析】∵双曲线的右焦点为，∴9+a=13，∴a=4，∴双曲线的方程为：﹣=1，∴该双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为y=±x．12．【解析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案为：13．2【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．14．4﹣【解析】∵a n+1﹣a n==∴…a n﹣a n﹣1=以上n﹣1个式子相加可得，a n﹣a1=∵a1=3，∴故答案为：4﹣15．③【解析】①若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或C=，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．②若sin A=cos B，例如∠A=100°和∠B=10°，满足sin A=cos B，则△ABC不是直角三角形，故②不正确．③由sin2A+sin2B+cos2C＜1可得sin2A+sin2B＜sin2C由正弦定理可得a2+b2＜c2再由余弦定理可得cos C＜0，C为钝角，命题③正确．故答案为：③．三、解答题16．解：在△ABC中，∵a=3，c=2，B=150°，∴b2=a2+c2﹣2ac cos B=（3）2+22﹣2•3•2•（﹣）=49．∴解得：b=7，∴S△ABC=ac sin B=×3×2×=．17．解：a1=S1=3+2=5，a n=S n﹣S n﹣1=（3+2n）﹣（3+2n﹣1）=2n﹣1，当n=1时，2n﹣1=1≠a1，∴．18．解：若p真，则a＞1；若q真，则△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4；∵p且q为假，p或q为真，∴命题p，q一真一假；∴当p真q假时，，∴a≥4；当p假q真时，，∴0＜a≤1；综上，a的取值范围是（0，1]∪[4，+∞）．19．解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．20．（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD=CD，E是PC的中点，DE⊥PC，PC∩BC=C，∴DE⊥平面PCB．（2）解：过点C作CM⊥BE于点M，由（1）知平面DEB⊥平面PCB，又平面DEB∩平面PCB=BE，∴CM⊥平面DEB，∴线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，∵PD=AB=2，PD=AB=CD=2，∠PDC=90°，∴PC=2，EC=，BC=2，∴BE=，∴CM=．（3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），∴，设平面BDE的法向量为，则，，∴，令z=1，得到y=﹣1，x=1，∴，又∵，且AC⊥平面PDB，∴平面PDB的一个法向量为．设二面角E﹣BD﹣P的平面角为α，则cosα=|cos＜＞|=||=．∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．。