湖南省长郡中学2012届高三第五次月考试题(数学理)WORD版.pdf

数 学 试 题（理）
考试范围： 集合与常用逻辑用语，函数与导数及其应用， 三角函数与解三角形，平面向
量，复数，数列，不等式，立体几何，解析几何，概率统计，选修
4— 1、 4— 4
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量
120 分钟，满分 150 分。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
(2)(2013 山·东 )设正实数
x， y，z 满足
x2－
3xy＋
4y2－
z＝
0.则当
z 取得最小值时， xy
x＋ 2y
－ z 的最大值为
()
9
A．0
B.8
9
C．2
D.4
x2 y2 2． 设椭圆 a2＋ b2＝ 1(a>b>0)c,0)，方程 ax2＋bx－ c＝ 0 的两个
10
)
,0
10
，求 cos 的值。 2
17．（本小题满分 12 分）
在三棱柱 ABC— A1B1C1 中， AA1 平面 ABC， ACB 90 , AC BC AA1 1 ， D、
E 分别为棱 AB、 BC的中点， M 为棱 AA1 上的点。
（ 1）证明： A1B1 C1D;
（ 2）当 AM
3
时，求二面角 M — DE— A 的大小。
C．{-1 ， 0}
D． {-1， 0，1}
5 分，共 35 分。把答案填在答题卡中对应题号后
x 2cos
9．直线： x 1 与圆：
（ 为参数）的交点的个数为
。
y 2sin
10．如图，半径为 2 的⊙ O 中， AOB 90 ，D 为 OB 的中点，
AD 的延长线交⊙ O 于点 E，则线段 DE 的长为
R ， 使 得 f ( x0 )
0与
g(x0) 0 同时成立，则实数 a 的取值范围是
。
b 14 形如 y＝ |x|－ a( a>0 ， b>0) 的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它
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称为“囧函数”． 若当 a＝ 1，b＝ 1 时的“囧函数”与函数 则 n＝________.
。
11．直线 3x 4y 12 0 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， O
为原点，在 AOB 中随机取一点 P (a, b) ，则取出的点满足 a 4b 的概率为
。
12． 2 4 x3 dx = 0
13 ． 设 函 数 f ( x) x2
。
ax a 3, g( x)
x a. 若 不．存．在． x0
实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1， x2)
()
A ．必在圆 x2＋y2＝ 2 内
B．必在圆 x2＋ y2＝ 2 上
C．必在圆 x2＋ y2＝ 2 外
D．以上三种情形都有可能
22
xy 6． 椭圆 M ：a2＋ b2＝ 1(a>b>0)的左、 右焦点分别为
F1、F2，P 为椭圆
M
上任一点，
且
P→F
（）
1 B． f ( x) sin x 1, S
22 1 D． f (x) sin x 1,S 22
2012 2011
x2 6．若双曲线 a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 上不．存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP（ O 为双曲
线的中心）的对称点在 y 轴上，则该双曲线离心率的取值范围为 （）
2
18．（本小题满分 12 分）
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某学校在招聘教师时，要进行笔试， 面试和试教三个过程，笔试设置了 3 个题，每一个
题答对得 5 分，否则得 0 分。面试则要示应聘者回答 3 个问题，每一个问题答对得 5
分，否则得 0 分，并且规定在笔试中至少得到 10 发，才有资格参加面试，而笔试和面
试得分之和至少为 25 分，才有试教的机会，现有甲去该学校应聘，假设甲答对笔试中
y＝ lg|x|图象的交点个数为 n，
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分 12 分）
已知向量 a (sin , 2)与b (1,cos ) 互相垂直，其中 （ 1）求 sin 和 cos 的值；
(0, ). 2
（ 2）若 sin(
以
下
四
个
函
数
：
f1( x) 2log 2 x, f2 ( x) log 2( x 2), f3( x) (log 4 x)2 , f4 (x) log 2 (2 x). 则互为“同
形”函数的一组是
（）
A． f1( x)与 f2 ( x)
B． f 2( x)与f3 (x)
C． f2 (x)与f 4( x)
（ 2）若 b=1， A， B 是椭圆 C 上的两点，且 | AB | 3 ，求 AOB 面积的最大值。
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20．（本小题满分 13 分）
设数列 { an } 前 n 项和为 Sn ，已知 Sn 2an 2n 1(n N ).
→ 1·PF
2 的最大值的取值范围是
[
c2,3
2
c]
，其中
c＝
a2－ b2，则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是
()
A
．
[14，
1 2]
B ． [ 12，
2 2]
C．( 22， 1)
D ．[ 12， 1)
4．若两个不同的函数的图象经过若干次平移变换后能够重合，
则称这两个函数互为 “同形”
函
数
。
给
出
D． f1( x)与f4 ( x)
5．函数 f ( x) A sin( x ) B 的一部分图象如图，则 f ( x)
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的解析式和 S f (0) f (1) f (2)
别是
A． f ( x) C． f ( x)
1 sin 2 x 1,S 2011
2 1
sin 1,S 2012 24
f (2011) 的值分
每一个题的概率为 3 ，答对面试中的第一个问题的概率为
1 .
4
2
（ 1）求甲在应聘过程中所得分数为零分的概率；
（ 2）设甲在应聘过程中的所得分数为随机变量
, 求 的数学期望，并指出甲获得试教
机会的概率。
19．（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 C : x2 3y2 3b2 (b 0).
（ 1）求椭圆 C 的离心率；
A． ( 2, )
B． 2,
C． 1, 2
D． (1, 2)
7．已知函数
f ( x)
ax 1 ax (a
0且 a
1) ， [m] 表示不超过实数
m 的最大整数，则函数
1 [ f ( x) ] [ f (
2
A．（ 0， 1） 二、填空题：本大题共
的横线上。
1 x) ] 的值域是
2
（） B． {0， 1} 7 个小题，每小题