§9.7 抛物线 (2)
抛物线的全部知识点
抛物线的全部知识点抛物线是数学中非常重要的曲线之一，它在物理、工程和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
以下是抛物线的全部知识点：1. 抛物线的定义：抛物线是平面上各点到一个定点（焦点）与该定点所在直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
通常我们用二次函数的标准形式来表示抛物线：y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数，且a≠0。
2.抛物线的焦点和准线：焦点是抛物线上到该点的距离与抛物线与x 轴的距离之比为常数的点。
准线是与焦点等距的直线。
3.抛物线的对称轴：对称轴是通过焦点和抛物线上其它任意一点的直线，它将抛物线分成两部分，且两部分是对称关系。
4.抛物线的顶点：顶点是抛物线上曲线最高或最低点的坐标。
在标准形式的二次函数中，顶点的x坐标为-x轴的对称轴的值，y坐标为函数的极值。
5.抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
6.抛物线的焦距和直径：焦距是焦点到准线的距离，直径是准线上两个焦点之间的距离，直径是焦距的两倍。
7. 抛物线的标准形式和顶点形式转换：通过平移和缩放，可以将二次函数转换为标准形式或顶点形式。
标准形式的抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数；顶点形式的抛物线方程为y = a(x-h)^2 + k，其中(a,b)为顶点的坐标，h为顶点的x坐标，k为顶点的y坐标。
8. 抛物线的焦点和准线的坐标计算：焦点的坐标为(x,y)，其中x = -b/2a，y = (4ac-b^2)/4a。
准线的方程为x = -b/2a。
9.抛物线的性质：抛物线是连续曲线，没有断点；抛物线是光滑曲线，没有拐点；对于开口向上（a>0）的抛物线，它是上升曲线；对于开口向下（a<0）的抛物线，它是下降曲线。
10.抛物线的切线和法线：切线是曲线上其中一点的切线，与曲线在该点的切点重合。
法线是与切线垂直的直线。
11.抛物线的渐近线：抛物线的对称轴和渐近线没有交点，但抛物线的顶点离开对称轴趋近于无穷远时，它会与对称轴越来越接近，近似成为渐近线。
抛物线的概念
抛物线的概念抛物线的概念抛物线是一种二次函数的图像，它是由一个固定点（称为焦点）和一条固定直线（称为准线）上的所有点构成的集合。
在平面直角坐标系中，抛物线可以用以下方程表示：y = ax^2 + bx + c。
1. 抛物线的基本概念1.1 焦点和准线焦点是抛物线上距离准线等于到顶点距离一半的点，通常用字母F表示。
准线是与焦点相对称且与抛物线平行的直线，通常用字母L表示。
1.2 顶点顶点是抛物线上最高或最低的点，它位于焦点和准线之间。
在标准形式下，顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
1.3 对称轴对称轴是通过顶点且与焦点垂直的直线。
在标准形式下，对称轴方程为x = -b/2a。
2. 抛物线的性质2.1 对称性抛物线具有对称性，即以对称轴为轴进行镜像得到的图像完全重合。
这意味着如果(x, y)在抛物线上，则(-x, y)也在抛物线上。
2.2 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且顶点为最小值点；当a<0时，抛物线开口向下，且顶点为最大值点。
2.3 零点和交点抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过解方程y=0得到。
抛物线与y轴的交点称为截距，可以通过求解x=0得到。
两条不同的抛物线相交于两个交点。
2.4 切线和法线在任意一点处，抛物线的切线是通过该点且与抛物线相切的直线。
法线是与切线垂直的直线。
3. 抛物线的应用3.1 物理学中的应用在自由落体运动中，一个自由落体被重力作用下沿着一条竖直方向运动。
如果将竖直方向定义为y轴，则自由落体的运动可以表示为y = 1/2gt^2 + v0t + y0，其中g是重力加速度，v0是初速度，y0是初位置。
这个公式描述了一个开口向下的抛物线。
3.2 工程学中的应用在桥梁设计中，工程师需要计算桥梁的曲率和坡度，以确保桥梁能够承受重量并保持结构稳定。
抛物线可以用来描述桥梁的曲线形状，从而帮助工程师进行计算和设计。
3.3 经济学中的应用在经济学中，抛物线可以用来表示成本和收益之间的关系。
9.7 抛物线
§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下知识拓展1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2．[P72T4]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．[P72T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三易错自纠4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A．4 B．6C．8 D．12答案B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是() A．y2＝±22x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±42x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．答案[－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义及应用典例设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离． 于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质命题点1 求抛物线的标准方程A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x答案 D解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3， 所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， 所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x . 命题点2 抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 因为⎝⎛⎭⎫p 2，0在抛物线内部， 所以直线与抛物线必有两交点． 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意得3x 0＝x 0＋p 2，即x 0＝p 4，即A ⎝⎛⎭⎫p 4，2，代入抛物线方程，得p22＝2， ∵p >0，∴p ＝2.故选D. A.53 B.75 C.97 D ．2答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|P A |＝12|AB |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.题型三 直线与抛物线的综合问题命题点1 直线与抛物线的交点问题 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则抛物线C 与直线必有两个交点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2， 则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ， 设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练 (2018届武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝x p，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p .又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎨⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x222p ，解得N ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，＝p (pk 2＋2)3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值； 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14m .[2分] (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分] (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0， 得m >－12.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝⎛⎭⎫1m ，y P ，∴Q ⎝⎛⎭⎫1m ，1m ，[8分] 得QA →＝⎝⎛⎭⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎫x 2－1m ，mx 22－1m .结合(*)式化简得－4m 2－6m＋4＝0， 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，－12∉⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2 D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案 D解析 分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.2．(2018届云南昆明一中摸底)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 答案 B解析 由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝23|FK |＝43，∴|BF →|＝|BH →|＝43， ∴|AF →|＝3|BF →|＝4，故选B.A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y .A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎨⎧ x 0＋p2＝2x 0，S△OAF ＝12·p2·y 0＝1，即⎩⎨⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝⎛⎭⎫p 2，4p ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上， ∴16p 2＝2p ×p2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 设B (x 1，y 1)，因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，所以1|x x y '＝＝x 1＝1，则B ⎝⎛⎭⎫1，12， 因为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以直线l 的方程为y ＝12， 故|AF |＝|BF |＝1.A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2， 消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M (x M ，y M )． 根据题意可知圆心M 在抛物线上． 又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x . 答案 6解析 由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －32， 当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫－32，33， 因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33， 可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫92，33，根据抛物线的定义可知|PF |＝|P A |＝92－⎝⎛⎭⎫－32＝6.答案 23解析 y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形，因此不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p 3，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p 3，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而p 23－p 24＝1，又p >0，所以p ＝2 3. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0. 由题易知，方程必有两个不等实根． 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 由题意知，直线l 的斜率必存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0， 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．A ．2－55B ．25－1C ．1－2121D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PM |取最小值20，此时|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2， 答案 2解析 将P ⎝⎛⎭⎫32，1代入到y 24＋x 2b 2＝1中，可得14＋94b2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.A.33 B ．1 C.233D ．2 答案 A解析 过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |，＝14⎝⎛⎭⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝⎛⎭⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，∴|MN ||AB |的最大值为33.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________． 答案 (2,4)解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条．又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2，故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.。
9.7抛物线
训练 ●巩固
（2019.全国卷Ⅱ文数）
（2017.全国卷Ⅱ文数） 6
总结●测评
知识上:抛物线的定义、标准方程、几何性质 方法上:定义法、待定系数法、消元、数形结合 题型上：选择题、填空题、解答题 注意事项上:数形结合、分类讨论
任务
达标测评
要 求 1、独立完成
2、规范步骤
课前准备：优化方案，练习本，红、蓝笔
上课要求：
（1）回答问题声音洪亮，知道老师提出问题答案 的学生把手高高举起示意老师.
（2）小组讨论时，组长负责组织组员活动，每位 同学都要积极参与讨论.
（3）课代表负责记分：每正确回答一个问题记2分
第九章 平面解析几何
第 7 讲 抛物线
2019年 Ⅱ卷 2018年 Ⅲ卷
自主 ●合作
【独学】（3分钟） 完成优化方案P178【知识梳理】
【独做】（6分钟） 完成优化P179【考点1】例1;【考点2】例2
【组议】（3分钟） 抛物线的标准方程的求法
展示 ●质疑
• 多媒体投影展示
• 我展示！ • 我补充！ • 我纠错！ • 我质疑！
点评 ●提升
抛物线的定义 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点， 若 B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
Ⅰ卷 2017年 Ⅰ卷
Ⅱ卷
导课 ●明标
抛物线方程T8 选择题（5分）
抛物线T20 解答题（12分）
求弦长T8 选择题（5分）
抛物线定义T10 选择题（5分）
抛物线T16 填空题（5分）
复习目标：
导课 ●明标
1.理解并掌握抛物线的定义； 2.会求抛物线的标准方程；(重点) 3.灵活运用抛物线的几何性质解决问题.（难点）
超详细抛物线知识点归纳总结
超详细抛物线知识点归纳总结抛物线是一个经典的二次曲线，它的形状类似于一个向上开口或向下开口的U 形曲线。
在数学和物理学中，抛物线具有许多重要的性质和应用。
下面是超详细的抛物线知识点总结：1. 基本定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）之距离相等的点的轨迹。
准线与抛物线的交点被称为顶点，准线上两个焦点和顶点的中垂线被称为对称轴。
2. 标准方程：一般抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
通过变换可以将一般方程转化为其他形式，如顶点形式、焦点形式和准线形式。
3. 顶点形式：顶点形式的抛物线方程为 y = a(x-h)^2 + k，其中 (h,k) 是顶点的坐标。
通过平移和缩放可以将一般方程转化为顶点形式。
4. 焦点形式：焦点形式的抛物线方程为 (x-h)^2 = 4p(y-k)，其中 (h,k) 是顶点的坐标，p 是焦距的一半。
焦点形式可以直接得到焦点坐标。
5. 准线形式：准线形式的抛物线方程为 y = px^2，其中 p 是焦距的一半。
准线形式的焦点在原点，并且准线是 x 轴。
6. 直径和焦距：抛物线的直径是通过顶点且与曲线相切的直线段。
焦距是焦点到准线的垂直距离。
7. 对称性：抛物线是关于对称轴对称的。
即曲线上任意一点关于对称轴对称的点，其到焦点和准线的距离相等。
8. 切线与法线：抛物线上任意一点处的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
切线的斜率等于该点处的导数。
法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。
9. 焦点与直角焦点：焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点。
直角焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点，并且该点与焦点、准线之间的连线与准线垂直。
10. 焦半径：焦半径是焦点与抛物线上任意一点的连线与准线的夹角的二倍。
11. 焦散性质：抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离可以通过反射性质来得到。
即经过抛物线上某点的光线经过反射后都通过焦点。
课件5：9.7 抛物线
[答案] (1)B (2)见解析
第九章 第7讲
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求抛物线方程的方法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定 p 的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数 p 的值， 这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从统一角度出发，焦点 在 x 轴上，设为 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴上，设为 x2＝by(b≠0)．
第九章 第7讲
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4 个必记结论——直线与抛物线相交的四个结论 已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于 A，B 两 点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论： (1)|AB|＝x1＋x2＋p 或|AB|＝si2np2α(α 为 AB 所在直线的倾斜角)． (2)x1x2＝p42.
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第九章 平面解析几何
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9.7 抛物线
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抛物线定义及标准方程
抛物线定义及标准方程抛物线是二次函数的图象，它是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
在日常生活中，我们经常可以看到抛物线的形状，比如喷泉中水流的轨迹、抛出的物体的运动轨迹等。
抛物线的研究对于理解物体的运动规律、建立数学模型等都具有重要的意义。
抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线的开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
现在我们来详细了解一下抛物线的定义及标准方程。
首先，我们来看抛物线的定义。
如前所述，抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，定直线叫做准线。
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点通常在y轴上，坐标为(0, p)，准线为y=-p。
根据这个定义，我们可以得出抛物线的数学表达式。
其次，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线上有一点P(x, y)，它到焦点的距离为PF，到准线的距离为PM。
根据抛物线的定义，我们可以得到PF=PM，即√(x^2+(y-p)^2)=|x|。
将这个方程进行整理化简，就可以得到抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c。
最后，我们来看一些抛物线的性质。
首先，抛物线的对称轴是与x轴平行的直线，它通过焦点并且与抛物线的开口方向垂直。
其次，抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
最后，抛物线的焦距为|4a|p。
这些性质可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和特点。
总之，抛物线是二次函数的图象，它具有很多重要的数学性质和物理意义。
通过学习抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地理解它的形式和特点，为后续的数学学习和物理研究打下基础。
希望本文能够帮助大家更好地理解抛物线，欢迎大家批评指正。
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程抛物线是一个经典的二次曲线，其形状类似于一个弧线。
抛物线有许多有用的应用，如天文学中的行星轨道、物理学中的抛体运动以及工程学中的桥梁设计等。
一、抛物线的基本定义和性质：1.定义：抛物线是一个平面曲线，其定义是到一个定点（焦点）和到一条定直线（准线）的距离之比为常数的所有点的集合。
2.构成：抛物线由对称轴、焦点、准线和顶点组成。
对称轴是通过焦点和顶点的直线。
焦点和准线等距离于顶点，且准线位于焦点下方（准线可能为X轴）。
3.性质：(1)抛物线关于对称轴对称；(2)焦点到定点的距离等于焦点到准线的距离，且为该抛物线的常数比率；(3)抛物线没有最大值或最小值，是一条开口向上或向下的曲线；(4)抛物线的顶点即为对称轴与抛物线的交点，是抛物线的最高点（或最低点）；(5)抛物线方程通常由顶点和准线方程确定。
二、抛物线的标准方程：抛物线的标准方程可写为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是实数且 a ≠ 0。
抛物线的准线一般为X轴，顶点坐标为(-b/2a, c - b²/4a)。
为了找到抛物线的标准方程，需要知道抛物线的焦点和准线方程，或者通过其他已知条件进行推导。
以下是两种常见的情况：1.抛物线顶点在原点的情况：当抛物线的顶点在原点(0,0)时，可以通过给定的焦点坐标(x₁,y₁)求得a的值。
根据焦点的定义，焦点到原点的距离等于焦点到准线的距离，可以得到：√(x₁²+y₁²)=y₁/(2a)。
解方程可得：a=1/(4y₁)。
然后将a的值代入抛物线方程，即可得到标准方程。
2.抛物线顶点不在原点的情况：其他情况下，可以通过给定的焦点和抛物线上的一点来确定标准方程。
假设焦点为F(x₁,y₁)、准线为L(y=d)以及抛物线上一点P(x,y)。
根据焦点的定义，我们可以得到：PF=PL，即√((x-x₁)²+(y-y₁)²)=，y-d。
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得 y2＋2y－2t＝0.
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 Δ＝4＋8t≥0，解 1 得 t≥－ . 2 5 |t| 1 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d＝ ，可得 ＝ ， 5 5 5 解得 t＝± 1.
1 1 因为－1∉－2，＋∞，1∈－2，＋∞，
该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点到 y 轴的 距离为( 3 A.4 5 C.4 ) B．1 7 D.4
解析：设抛物线的准线为 l，作 AA1⊥l 于 A1，BB1⊥l 于 B1，由抛物线的定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则 AB 的 1 1 5 中点到 y 轴的距离为 (|AA1|＋|BB1|)－ ＝ . 2 4 4
答案：C
方法点睛
涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，
可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线 (焦点)的距离 问题求解．
变式训练 1 (2013· 济南调研)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为( 17 A. 2 B．3 C. 5 9 D.2 )
解析：(1)直线 AB 的方程是 y＝2
2 2
p 2x－2，与 y2＝2px
联
5p 立，从而有 4x －5px＋p ＝0，所以 x1＋x2＝ 4 ， 由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以 p＝4，从而 抛物线方程是 y2＝8x.
(2)由 p＝4,4x2－5px＋p2＝0 可简化为 x2－5x＋4＝0， 从而 x1＝1，x2＝4，y1＝－2 2，y2＝4 2，从而 A(1，－ 2 2)，B(4,4 2)； → 设OC＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2)＝(4λ＋1,4 2λ－
2 2 2 2)， 又 y2 ＝ 8 x ， 即 [2 2(2 λ － 1)] ＝ 8(4 λ ＋ 1) ， 即 (2 λ － 1) ＝4λ 3 3
＋1，解得 λ＝0，或 λ＝2.
方法点睛
本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、
抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结 合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是 联立方程，设而不求，借助方程的判别式及根与系数的关系 进行转化．
17 2 .
答案：A
考点二
抛物线的标准方程及几何性质
[例 2]
(1)(2013· 南京调研)以原点为顶点，坐标轴为对称
轴，并且经过 P(－2，－4)的抛物线方程为__________． (2)(2010· 浙江 ) 设抛物线 y2 ＝ 2px(p ＞ 0) 的焦点为 F ，点 A(0,2)．若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线 的距离为__________．
基 础 自 测 1.抛物线 y＝－2x2 的准线方程是( 1 A．x＝ 2 1 C．y＝ 2 1 B．x＝ 8 1 D．y＝ 8 )
1 1 解析：抛物线方程为 x ＝－2y，∴p＝4，准线方程为 y
2
1 ＝8.
答案：D
2．抛物线 y2＝24ax(a＞0)上有一点 M，它的横坐标是 3， 它到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为( A．y2＝8x C．y2＝16x B．y2＝12x D．y2＝20x )
解析：(1)由于点 P 在第三象限． ①当焦点在 x 轴负半轴上，设方程为 y2＝－2px(p＞0)， 把点 P(－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p×(－2)， 解得 p＝4，∴抛物线方程为 y2＝－8x. ②当焦点在 y 轴负半轴上时， 设方程为 x2＝－2py(p＞0)， 把点 P(－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p×(－4)． 1 解得 p＝ .∴抛物线方程为 x2＝－y. 2 综上可知，抛物线方程为 y2＝－8x 或 x2＝－y.
解析：依题意，得
p F0，2，准线为
p y＝－2，过点 M 作
MN 垂直于准线于 N，过 F 作 FQ 垂直于 MN 于 Q，则|MN| ＝|MF|＝2p，|MQ|＝p，故∠MFQ＝30° ，即直线 MF 的倾斜 3 3 角为 150° 或 30° ，斜率为－ 或 . 3 3
答案：B
答案：D
4．已知直线 x－y－1＝0 与抛物线 y＝ax2 相切，则 a＝ __________.
解析：将直线 x－y－1＝0 与抛物线 y＝ax2 联立， 消去 y 得 ax2－x＋1＝0， ∵直线与抛物线相切， 1 ∴a≠0 且 Δ＝1－4a＝0，解得 a＝4.
1 答案：4
5．在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A(2,1)，若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点， 则该抛物线 的准线方程是__________．
解析：可求得线段 OA 的中垂线方程为 4x＋2y－5＝0，
5 5 5 令 y＝0 得 x＝ ，∴焦点 F 4，0 ，准线方程为 x＝－ . 4 4
5 答案：x＝－ 4
02考点分类
案例剖析
研习考点,触类旁通
考点一
抛物线的定义及其应用
[例 1]
(2011· 辽宁)已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点， A， B是
所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x＋y－1＝0.
点评：由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公 共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有 时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何 情况下都没有考虑判别式，导致解题致误．
word部分：
请做：双 基 限 时 练
点此进入该word板块
解析：由抛物线的定义知，点 P 到该抛物线准线的距离 等于点 P 到其焦点的距离，因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点的距离之和，显然，当 P、F、(0,2)三点共线时，距离 之和取得最小值，最小值等于
12 0－ ＋2－02＝ 2
(2)抛物线的焦点 F
p 的坐标为2，0，则线段
FA 的中点 B
p 的坐标为4，1，代入抛物线方程得
p 1＝2p×4，解得 p＝ 2，
故点 B
的坐标为
2 2 ， 故点 B 到该抛物线准线的距离为 4 4 ，1
2 3 2 ＋2＝ 4 .
01教材回扣
自主学习
必考必记,学教相长
知识梳理
1.抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线
相等 的点的轨迹叫做抛物 l(F ∉ l) 的距离 ____
焦点 线．点 F 叫做抛物线的________ ，直线 l
准线 叫做抛物线的______.
2．抛物线的标准方程与几何性质
图 形
y＝ 0
x＝0
考点三
直线与抛物线的位置关系
[例 3]
(2011· 江西)已知过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点， 斜
率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点， 且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； → → → (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB， 求 λ 的值．
答案： p 6 □2，0
p 7 － □ 2
p 9 0 ，－ □ 2
10 x＝－p □ 11 x＝p □ 12 y＝－p □ 13 y＝p □ 14 x0＋p □ 2 2 2 2 2 15 －x0＋p □ 16 y0＋p □ 17 －y0＋p □ 2 2 2
变式训练 3
设抛物线 C：y2＝4x，F 为 C 的焦点，过 F
的直线 L 与 C 相交于 A、B 两点． (1)设 L 的斜率为 1，求|AB|的大小； → → (2)求证：OA· OB是一个定值．
解析：(1)∵F(1,0)， ∴直线 L 的方程为 y＝x－1， 设
y＝x－1， A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 2 y ＝4x，
(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直 5 线 l 与抛物线 C 有公共点， 且直线 OA 与 l 的距离等于 ？若 5 存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由． 错解：(1)将点 A(1，－2)代入 y2＝2px，得 p＝2，故所求 抛物线 C 的方程为 y2＝4x， 其准线方程为 x＝－1.
解析：准线方程为 l：x＝－6a，M 到准线的距离等于它 1 到焦点的距离，则 3＋6a＝5，a＝ ，抛物线方程为 y2＝8x. 3
答案：A
3． 若点 P 到直线 x＝－1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1， 则点 P 的轨迹为( A．圆 ) B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析：由题意知，点 P 到点(2,0)的距离与 P 到直线 x＝ －2 的距离相等，由抛物线定义得点 P 的轨迹是以(2,0)为焦 点，以直线 x＝－2 为准线的抛物线，故选 D.
→ → ∵OA· OB＝x1x2＋y1y2 ＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4 ＝－3. → → ∴OA· OB是一个定值．
03课堂内外
学海拾贝
名师在线,特色奉献
易错矫正(二十七) [试题]
忽视“判别式”致误
已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)过点 A(1，－2)．
3 2 答案：(1)y ＝－8x 或 x ＝－y (2) 4
2 2
方法点睛
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数
法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经 确定的前提下， 由于标准方程只有一个参数 p， 只需一个条件 就可以确定抛物线的标准方程．