常州市北郊中学学年第一学期期中考试高二数学试卷

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常州市北郊中学学年第一学期期中考试高二数学答案

常州市北郊中学2008～2009学年第一学期期中考试高二数学参考答案一、填空题：1、242、{x |x >2或x <- 23}3、54、405、76、-2<b ≤2或b = -227、26278、{4} 9、2+ 2 10、121411、3 12、x +2y +1=013、（- 833，-3）∪（2，833） 14、2二、解答题：15、解：（1）∵(→a +→b )·(→a -→b )=→a 2-→b 2=1-1=0，∴(→a +→b )⊥(→a -→b )………………6分（2）∵|k →a +→b |=|→a -k →b |，∴k 2+2 k →a ·→b +1= k 2-2 k →a ·→b +1，∴k →a ·→b =0…8分∵k ≠0，∴→a·→b=0，而→a·→b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=0…………10分又∵0<α<β<π，∴α-β∈（-π，0） (12)分∴α-β= - π2。

(14)分16、解：原不等式可化为ax+1-(x+a)x+a>0，即(a-1)(x -1)x+a>0， (4)分它等价于(a-1)(x -1)(x+a) >0。

若a=1，则不等式的解集为Φ；............................................................6分若a>1，则(x -1)(x+a) >0，不等式的解集为（-∞，-a）∪（1，+∞）； (8)分若a<1，则(x -1)(x+a) <0，当-1< a<1时，不等式的解集为（-a，1）；………………………10分当a = -1时，不等式的解集为Φ；…………………………………12分当a < -1时，不等式的解集为（1，-a）。

2023-2024学年常州市二中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年常州市二中高二数学上学期期中考试卷（全卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、单选题1．抛物线243y x=的焦点坐标为（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知直线1:310l x ay ++=，()2:20l a x y a +++=.当12//l l 时，a 的值为（）A ．1B ．3-C ．3-或1D ．32-3．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22112x y -=D ．2213y x -=4．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是（）A ．b ≤≤B ．2b =C ．b ≤<2b =D ．b <≤2b =5．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，()1,1A 是一定点，则32PA PF +的最小值为（）A ．72B ．92C ．112D ．1326．直线()1:20l x my m R --=∈与直线2:20l mx y +-=交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，O 为坐标原点，则||AB 的最大值为（）A ．B ．C ．5+D ．3+7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:()(2)1C x a y a -+--=，点(0,3)A ，若圆C 上存在点M ，满足2=MA MO，(O 为坐标原点)，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,0-B ．(][),30,-∞-⋃+∞C ．[]0,3D ．(][)-03+∞∞ ，，8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点12,F F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M在第一象限．1121,3NF MN F F MF =≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．B．2]C．1]-D．1]-二、多选题9．下列结论错误的是（）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30°B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，则23a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB+的最小值是510．设椭圆22:1(0)2x C y a b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A．12PF PF +=B．离心率e =C ．12PF F △D ．以线段12F F为直径的圆与直线0x y +=相切11．圆1O ：2220x y x +-=和圆2O ：22460x y x y ++-=的交点为A ，B ，则（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线的方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为22D ．122AO AO ⋅=-12．已知()()122,0,2,0F F -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，且2F到C的一条渐近线的距离为O为坐标原点，点(,M P为C 右支上的一点，则（）A．a b ==B ．过点M 且斜率为1的直线与C 有两个不同的交点C ．若12PF PF ､斜率存在，则121PF PF k k ⋅=D ．1PM PF +的最小值为2+三、填空题13．若直线+1=0(>0,>0)ax by a b -平分圆22+24=0C x y x y --：的周长，则ab 的最大值为14．已知直线l 是抛物线2:2C y x =的准线，抛物线的顶点为O ，焦点为F ，若A 为C 上一点，l 与C 的对称轴交于点B ，在ABF △中，sin AFB ABF ∠∠=，则AB的值为．15．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且5tan 12CAB ∠=-，AB BD ⊥，则双曲线E 的离心率为．16．如图，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D ,则菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =．四、解答题17．已知直线l 经过点(2,3)P ，倾斜角为α．(1)若cos α=，求直线l 的斜截式方程；(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06A y,在抛物线C 上，且10AF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于,M N 两点，且点()4,2为线段MN 的中点，求直线l 的方程．19．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3π4，l 与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积.20．如图，已知圆O ：221x y +=，点(),4P t 为直线4y =上一点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M ，N.(1)已知1t =，求切线的方程；(2)直线MN 是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.21．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F 、2F ，12F F =，若圆Q 方程(()2211x y -+-=，且圆心Q 满足122QF QF a+=.（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点()0,1P 的直线1l 交椭圆1C 于A B 、两点，过P 与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C D 、两点，M 为线段CD 中点，求MAB △的面积的取值范围.22．已知点A ，B 关于原点O 对称，点A 在直线0x y +=上，2AB =，C过点A ，B 且与直线10x +=相切，设圆心C 的横坐标为a ．(1)求C 的半径；(2)若2a <，已知点()0,1P ，点M ，N 在C 上，直线MN 不经过点P ，且直线PM ，PN 的斜率之和为1-，PD MN ⊥，D 是垂足，问：是否存在一定点Q ，使得DQ 为定值．1．C【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可【详解】由题意，抛物线234x y =的焦点坐标为30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C 2．B【分析】利用两直线平行的充要条件即得.【详解】由直线1:310l x ay ++=，()2:20l a x y a +++=，12//l l ∴2131a aa +=≠，得3a =-.故选：B.3．D【解析】不妨设点A 在第一象限，可求得2c =，以及ba =a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程.【详解】不妨设点A 在第一象限，由题意可知2c =，由于OAF △是等边三角形，则60AOF ∠=o，所以，tan 60ba ==o由题意可得20ba c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩因此，该双曲线的标准方程为2213y x -=.故选：D.4．C【分析】由直线、曲线方程画出图象示意图，应用数形结合法知：判断y x b =+与曲线为何种位置关系时有且仅有一个公共点，即可求b 的取值范围.【详解】根据直线和曲线方程可得如下图象，要使它们有且仅有一个公共点，则y x b =+在第二象限与曲线相切或直线截距在22b -≤<当y x b =+在第二象限与曲线相切时，220b =>⎩，可得2b =.综上，b 的取值范围22b <2b =.故选：C 5．C【解析】由题意知31||||||||2PA PF PA PF e +=+，进而根据椭圆的第二定义可得：过A 作右准线的垂线，交与B 点，可知最小值为||AB .【详解】由椭圆225945x y +=可得：22195x y +=，2954c ∴=-=，23c e a ∴==，31||||||||2PA PF PA PF e ∴+=+，∴根据椭圆的第二定义：过A 作左准线的垂线，交与B 点，如图，则3||||2PA PF +的最小值为||AB ，911||122AB =+= 32PA PF ∴+的最小值为112,故选：C6．C【分析】由题意得直线1l 过定点(2,0)M ，直线2l过定点(0,2)N ，且12l l ⊥，从而得点A 在以MN 为直径的圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，又点B 是圆()()22:232D x y +++=上的动点，从而可得||AB 的最大值为||CD 与两圆半径之和，再计算即可得解．【详解】解：由题意可得直线1l 过定点(2,0)M ，直线2l过定点(0,2)N ，当0m =时，12l l ⊥，当0m ≠时，1l的斜率11k m =，2l 的斜率2k m =-，因为121k k ×=-，得12l l ⊥，∴点A 在以MN 为直径的圆22:(1)(1)2C x y -+-=上（不包含O ），且圆心(1,1)C ，半径1r又点B 是圆()()22:232D x y +++=上的动点，且圆心(2,3)D --，半径2r =||AB ∴的最大值为125CD r r ++==+故选：C.7．A【分析】根据2=MA MO ，求出点M 的轨迹方程，令M 的轨迹圆与圆C 有公共点，列出不等式，即可求解.【详解】设(,)M x y ，则MA MO ==因为2=MA MO ，可得2222(3)4()x y x y +-=+，整理得22(1)4x y ++=，即点M 的轨迹是以(0,1)N -为圆心，以2为半径的圆N ，又因为M 在圆C 上，所以圆C 与圆N 有公共点，则满足13CN ≤≤，即13≤≤，解得30a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]3,0-.故选：A.8．D【分析】由题可知四边形12MF NF 为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得2222||2||20MF a MF b -+=，结合已知条件有)()2221Δ420a MF a a b ⎧>≥⎪⎨=->⎪⎩，进而即得.【详解】因为过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且12MN F F =，所以四边形12MF NF为矩形，由椭圆的对称性知：12NF MF =，而21||||2MF MF a +=，所以22221||||4MF MF c +=，则222222||4||44MF a MF a c -+=且M 在第一象限，整理得2222||2||20MF a MF b -+=，所以()22Δ420a b =->，所以2||MF a =又22121123NF MF MF MF MF a MF ==≥-，即2||1)a MF a >≥，所以)()221Δ420a a aa b ⎧>≥-⎪⎨=->⎪⎩，整理得222142c e a <=≤-所以212e <≤.故选：D.9．ABC【分析】由斜率公式求出直线AB 的斜率即可判断A ，根据两条直线垂直求出a ，进而判断B ，利用平行线间的距离公式即可求出答案，进而判断C ，作B 关于x 轴的对称点C ，进而利用对称性得到答案，进而判断D.【详解】对A ，311tan 30132AB k -==≠︒+，故A 错误；对B ，若两条直线垂直，则2a-3=0，得32a =，故错误；对C ，直线240x y +-=可化为2480x y +-=，则两条直线间的距离10d ==，故C 错误；对D ，如图，设点B 关于x 轴的对称点为C （-1，-1），则||||||||||5PA PB PA PC AC +=+≥=，当且仅当A,P,C 三点共线时取“=”，故D 正确.故选：ABC.10．AD【分析】根据椭圆方程求得,,a b c ，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆22:1(0)2x C y a b +=>>，可得1a b ==，可得1c ，所以焦点为12(1,0),(1,0)F F -,根据椭圆的定义122PF PF a +==，所以A 正确；椭圆的离心率为22c e a ==，所以B 错误；其中12PF F △面积的最大值为1212c b bc ⨯⨯==，所以C 错误；由原点(0,0)到直线0x y +=的距离1d c===，所以以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切，所以D 正确.故选：AD11．ABD【分析】利用两圆的方程相减即可得出公共弦方程，进而判断A ；由两直线位置关系可得线段AB 的垂直平分线的斜率，结合1(1,0)O 和直线的点斜式方程即可判断B ；利用几何法求出弦长即可判断C ；将直线AB 方程联立1O 方程，求出点A 、B 的坐标，利用平面向量的坐标表示计算即可判断D.【详解】A ：由2222(2)(46)0x y x x y x y +--++-=，得0x y -=，即两圆的公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确；B ：由221:20x y x O +-=，知1(1,0)O ，半径11r =，由222:460O x y x y ++-=，知2(2,3)O -，半径2r =由选项A 可知线段AB 的垂直平分线的斜率为1k =-，所以线段AB 的垂直平分线方程为01(1)y x -=--，即10x y +-=，故B 正确；C ：圆心1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为d ，所以公共弦AB的长为=C 错误；D ：22200x y x x y ⎧+-=⎨-=⎩，消去y ，得20x x -=，解得0x =或1，则0y =或1，若(1,1)A ，(0,0)B ，则12(0,1)(3,2)2AO AO ⋅=-⋅-=-，若(1,1)B ，(0,0)A ，则12(1,0)(2,3)2AO AO ⋅=⋅-=-，所以122AO AO ⋅=-，故D 正确.故选：ABD.12．AD 【分析】选项A 利用双曲线的定义及性质判断即可，选项B 利用直线与双曲线方程联立判断即可，选项C 、D 利用双曲线的定义即可解决.【详解】设双曲线的半焦距为2c =，其中一条渐近线为：0by x bx ay a =⇔-=因为2F 到C，即222b bd c ===，所以b =2c =，所以a =A 正确；对于B ，双曲线的一条渐近线的斜率为1，所以过点M 且斜率为1的直线为1y x =，联立2212y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消去y得：1x y ==-，只有一个交点，故B 错误；对于C ，设()00,P x y ，则2200122x y -=，12220000220000212244PF PF y y y x k k x x x x -⋅=⋅==≠-+---，故C 错误；对于D，由双曲线的定义可知122222PM PF PM PF a MF a +=++³+=+，当且仅当2P M F 、、三点共线时取得等号，故D 正确，故选：AD.13．18【分析】因为直线平分圆，则直线过圆心，再利用基本不等式求出ab 的最大值.【详解】由题意得，直线10ax by +-=过圆心()1,2，所以21a b +=，所以211+21=×2×()=2228a b ab ab ≤，（当且仅当2a b =，即11,24a b ==，取“=”），又0,0a b >>，所以ab 的最大值为18.故答案为：18.14【分析】在ABF △中，由sin AFB ABF ∠∠=结合正弦定理可得AB =，在设抛物线上点2,2t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，列式求解即可得2t ，则AB可求.【详解】因为抛物线2:2C y x =的准线，焦点为F ，准线l 与C 的对称轴交于点B ，所以1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为在ABF △中，sin AFB ABF ∠∠=，所以由正弦定理可得，AB =,因为A 为抛物线C 上一点，所以可设为2,2t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=平方化简可得：4221=0t t-+，即()2210t-=，可得21t =,A B =.15．293【分析】设()150BF m m =>，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出23a m =，从而利用勾股定理求出292c m =，从而得到离心率.【详解】如图，由BD ⊥AB ，5tan 12CAB ∠=-，可得15tan 12F AB ∠=，在Rt1ABF 中，由15tan 12F AB ∠=，不妨设()150BF m m =>，则12AB m =，由勾股定理得113AF m=，又由双曲线的定义可得2132AF m a=-，252BF m a=-，根据22AF BF AB+=可得()()1325212m a m a m -+-=，解得23a m =，所以2532BF m m m=-=，122235BF BF a m m m=+=+=，故在12Rt F BF 中，2222121BF BF F F +=，即2222442529c m m m =+=，故2c m =，故双曲线E的离心率为2233ce am ==⨯=．故答案为：293.16．【分析】根据题意得到221122bc a B F =，求得e =，设22B F O θ∠=，可得222F A O AOB θ∠=∠=，进而求得12S bc =和22224a bcS b c =+，即可求得12S S 的值.【详解】因为以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，可得点O 到直线22F B 的距离为a ，又因为虚轴的两端点为12,B B ，所以2OB b =，在12F OB中，由三角形的面积公式值22111222bc a B F ==，即bc =因为222c a b =+，可得422430c a c a -+=，即42310e e -+=，又因为1e >，解得512e +=，设22B F O θ∠=，可得2AOB θ∠=，所以222sin 2S a θ=，在12F OB中，可得sin ,cos θθ=所以2222244sin cos a bcS a b c θθ==+，菱形1122F B F B 的面积12S bc =，所以2222212222222214222S bc b c c a e a bc S a a b c +-====-=+.故答案为：22.17．(1):27l y x =-+(2)50x y +-=或320x y -=【分析】（1）由题意可以先求出直线的斜率，然后写出点斜式方程，将其化成斜截式方程即可.（2）分两种情况来讨论，截距为0或者截距不为0，根据题意分别求出两种情况所对应的直线方程即可.【详解】（1）由题可知：倾斜角为α满足cos α=，又22cos sin 1αα+=，且注意到[)0,πα∈，所以解得25sin 5α=，所以直线l 的斜率为sin tan 2cos k ααα===-，故直线l 的方程为()322y x -=--，化成斜截式得:27l y x =-+．（2）当截距为零时，直线方程为320x y -=；当截距不为零时，设所求直线的方程为1x y a a +=，将()2,3代入得231a a +=，解得5a =，∴直线方程为155x y +=，即50x y +-=．∴所求直线的方程为50x y +-=或320x y -=．18．(1)216y x=(2)4140x y --=【分析】（1）利用抛物线定义可求得8p =，即可求出抛物线C 的方程；（2）由弦中点坐标为()4,2并利用点差法即可求得直线l 的斜率为4，便可得直线方程.【详解】（1）点()06A y ,在抛物线C 上，由抛物线定义可得6102pAF =+=，解得8p =，故抛物线C 的标准方程为216y x =．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，如下图所示：则2112221616y xy x⎧=⎨=⎩，两式相减可得()22121216y y x x-=-，即()()() 12121216y y y y x x-+=-，又线段MN的中点为()4,2，可得124y y+=；则12124y yx x-=-，故直线l的斜率为4，所以直线l的方程为()244y x-=-，即直线l的方程为4140x y--=．19．(1)2 213yx-=(2)【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；（2）根据题意求出直线AB的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去y后由韦达定理得1212,x x x x+，从而由弦长公式求得弦长AB，再求出1F到直线AB距离后即可求得1F AB的面积．【详解】（1）依题意，设所求双曲线C方程为2262y xλ-=，代入点()2,3得223262λ-=，即12λ=-，所以双曲线C方程为221622y x-=-，即2213yx-=．（2）由（1）得2134c=+=，则2c=，()12,0F-，()22,0F，又直线l倾斜角为3π4，则3πtan14==-k，故直线AB的方程为()2y x=--，设()11,A x y，()22,B x y，联立()22213y xyx⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，消去y，得22470x x+-=，则()164270∆=-⨯⨯->，122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12AB x =-=6=，又点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ==，所以111622F AB S AB d =⋅=⨯⨯= ．20．(1)1x =或151788y x =+(2)直线MN 恒过定点，定点坐标为10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）易知当切线斜率不存在时其方程为1x =；当切线斜率存在时设其方程为4(1)y k x -=-，两圆直线与圆位置关系建立方程，解之即可求解；（2）如图，易知,,,M O N P 四点共圆，由题意求出其圆心坐标和半径，进而可得圆的标准方程，连接MN ，则MN 为两圆的公共弦.利用两圆的方程相减即可求解.【详解】（1）由题意知，当切线斜率不存在时，切线方程为1x =，满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程为4(1)y k x -=-，即40kx y k --+=，由圆心到切线的距离等于半径，1=，解得158k =，则切线方程为151788y x =+.综上，切线方程为1x =或151788y x =+.（2）连接OM ON 、，则,OMPM ON PN ⊥⊥，连接OP ，则,,,M O N P 四点共圆，OP 为圆的直径，设为圆1O ，连接MN ，则MN 为两圆的公共弦.又1004(,(,2)222t t O ++=，半径为22221()2424t t r =+=+，所以2221:()(2)424t t O x y -+-=+，又22:1O x y +=，两圆的方程相减，得410tx y +-=，即直线MN 的方程为410tx y +-=，即(0)(41)0t x y -+-=，所以直线MN 恒过定点1(0,)4.21．（1）22142x y +=；（2）(,2]3MAB S ∆∈.【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标以及圆心Q 满足122QF QF a+=求得椭圆的标准方程；（2）若1l 的斜率不存在，则1l 与y 轴重合，则2l过圆心Q ，点M 与点Q 重合，可求出MAB △的面积；1l 的斜率存在时，设1:1l y kx =+，与椭圆方程联立，分别求出弦长AB和点Q 到1l的距离d ，代入面积公式中，利用k 的范围求出MAB △的面积的取值范围．【详解】（1）由题意可知：()1F ，)2F ，)Q1224a QF QF ∴=+=+=，故2a =，从而c =2222b a c =-=，∴椭圆1C 的方程为22142x y +=（2）①若1l 的斜率不存在，则1l 与y 轴重合，则2l过圆心Q ，点M 与点Q 重合，此时122ABM ABQ S S ∆∆==⨯=②1l的斜率存在时，设1:1l y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()2212420k x kx ++-=，()222168213280k k k ∆=++=+>，122412k k x x +=-+，122212k x x =-+，21:1y x l k =-+，直线2l1<，即21k>12AB x x ∴-，M 为线段CD 中点，MQ CD ∴⊥，又12l l ⊥ ，//MQ AB ，MAB QAB S S ∴= ，又点Q 到1l的距离d =，12MABS AB d ∴=⋅=△=令212t k =+，则3t >，MABS ∆===令11(0,3u t =∈，232y u u =-+在1(0,)3单调递减，故25(,2)3MAB S ∆∈综上，2]MAB S ∆∈【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式和面积公式，考查换元法求最值，属于中档题．22．(1)1r =或3r =(2)存在()1,0Q ，使得DQ =．【分析】（1）由题意可设点C 的坐标为(,)a a ，圆C 的半径为|1|a +，||1AO =，利用垂径定理即可列式求得a 值，进一步得到圆C 的半径为1r =或3r =．（2）由2a <，得0a =，则圆C 的方程为221x y +=．设点()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设直线:(1)MN y kx m m =+≠±，联立直线方程与圆的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线PM ，PN 斜率之和为1-，可得21m k =--．代入y kx m =+，可得直线方程，再由直线系方程证明直线MN 恒过定点()2,1T -，然后证明直线MN 的斜率不存在时不合题意，即可证明直线MN 恒过定点()2,1T -，从而得到当Q 为P ，T 的中点时DQ为定值．【详解】（1）圆C 过点A ，B ，∴圆心C 在AB 的垂直平分线上，由已知点A 在直线0x y +=上，且点A ，B 关于原点O 对称，∴点C 在直线y x =上，则点C 的坐标为(,)a a ．圆C 与直线10x +=相切，∴圆C 的半径为|1|a +，连接CA ，由已知得||1AO =，又CO AO ⊥，故可得)2211a +=+，整理得220a a -=，解得0a =或2a =，故圆C 的半径为1r =或3r =．（2）由（1）及2a <可知0a =，则圆C 的方程为221x y +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在，则可设直线MN 的方程为y kx m=+()1m ≠±，代入圆方程可得：()2221210k xmkx m +++-=，则()22014m k +-+∆=>，得2201m k ++->，且12221mk x x k -+=+，212211m x x k -=+，所以121221121211(1)(1)PM PN y y y x y x k k x x x x ---+-+=+=122112121212(1)(1)2(1)()kx m x kx m x kx x m x x x x x x +-++-+-+=12212(1)()(1)2222211m x x m km kmk k k x x m m -+-⋅=+=-=--+．又直线PM ，PN 斜率之和为1-，∴2211kmk m -=-+，得21m k =--．代入y kx m =+，得21(2)1y kx k k x =--=--，∴直线MN 恒过定点()2,1T -．21当直线l 的斜率不存在时，21x x =，21y y =-，11121112PM PN y yk k x x x ----+=+=，直线PM ，PN 斜率之和为1-，∴121x -=-，解得12x =，但111x -<<，且10x ≠，故不合题意，舍去．综上，直线MN 恒过定点()2,1T -．又PD MN ⊥，D 是垂足，所以当Q 为P ，T 的中点时，则()1,0Q ，此时12DQ PT=【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。

2022-2023学年江苏省常州市北郊高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州市北郊高级中学高二上学期期中数学试题一、单选题1﹣y +3＝0的倾斜角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°【答案】C【解析】先求斜率，再求倾斜角即可．的斜截式方程为，30y -+=3y =+∴直线的斜率k ∴倾斜角，60α=︒故选：C ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．2．已知数列为等整数列，，则（）{}n a 288a a +=159a a a ++=A ．8B ．12C ．15D ．24【答案】B【分析】根据等差数列的性质得到，计算得到答案.54a =【详解】，故，.28528a a a +==54a =1595312a a a a ++==故选：B3．设双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的离()222210,0x y a b a b -=>>()3,0±43y x =±心率为（）A ．B ．C ．D 535443【答案】A【分析】根据题意求出，由渐近线方程求出，进而计算出，求出离心率.=3a 4b =5c =【详解】由题意得：，=3a 渐近线方程为，故，b y x a =±43b a =所以，4b =故，5c ==∴离心率，53e =故选：A.4．已知直线，圆，其中.若点在圆C 上，则直线l 与圆C 的2:l ax by r +=222:C x y r +=0r >(),P a b 位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切【答案】B【分析】点在圆C 上，可得，计算圆心到直线l 的距离，即得解(),P a b222a b r +=d r=【详解】由题意，点在圆C 上，则(),P a b222a b r+=圆的圆心半径为222:C x y r +=(0,0),C r圆心到直线l的距离2r d rr ===故直线l 与圆C 的位置关系是相切故选：B 5．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点在C 上，过P 作l 的垂线，垂()2:20C y px p =>()01,P y 足为Q ，若，则F 到l 的距离为（）120FPQ ∠=︒A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.,MF QF 【详解】如图，不妨令在轴上方，准线l 与轴交点为，P x x M 因为点在C 上，根据抛物线定义可得，()01,P y 12pPQ PF ==+MF p=且，则，所以为等腰三角形，且120FPQ ∠=︒30PQF PFQ ︒∠=∠=PFQ△，12PQ p QF QF ⎫=⇒=+⎪⎭在中，，即Rt QMF 60MQF ∠=︒sin MF MQF QF ∠=⇒=解得，即F 到l 的距离为.6p =6故选:C.6．已知,若过定点的动直线:和过定点的动直线:交m R ∈A 1l 20x my m -+-=B 2l ()42y m x -=-+于点(与,不重合),则的最大值为（）P P A B PA PB+A．B ．C ．D ．5【答案】C【分析】首先确定定点和定点的坐标,再判定两条直线是垂直关系,从而得到为定值,A B 22PA PB+利用三角函数求解最值即可.【详解】根据题意:动直线:过定点,1l 20x my m -+-=()2,1A 动直线:过定点,2l ()42y m x -=-+()2,4B -,5=直线:和直线:满足:, 1l 20x my m -+-=2l ()42240y m x mx y m -=-+⇒++-=()110m m ⨯+-⨯=,∴12l l ⊥直线与直线交于点, 1l 2l P ,∴PA PB ⊥,∴22225PA PB AB +==为直角三角形,且,∴PAB △5AB =设,则,,,0,2PAB πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭5cos PA θ=5sin PB θ=,∴5cos 5sin 4PA PB πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ,3,444πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭当即时,的最大值为∴42ππθ+=4πθ=PA PB +故选:C.7．在矩形中，，，把边AB 分成n 等份，在的延长线上，以的n 分ABB A ''8A A '=6AB =B B 'B B '之一为单位长度连续取点.过边AB 上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A 作直A 'B B '线，这两条直线的交点为P ，如图建立平面直角坐标系，则点P 满足的方程可能是（）A ．B ．()2214,0169x y x y +=≥≥()2218,06436x y x y +=≥≥C ．D ．()2214,0169x y x y -=≥≥()2218,06436x y x y -=≥≥【答案】C 【分析】设，结合题意找出与的关系式，即可求解.()00,P x y 0x 0y 【详解】设，则，，根据题意，易得直线，直线()00,P x y 04x ≥00≥y ()00:44A P y l y x x '=++.()00:44AP y l y x x =--由，令，得，因此边AB 上各分点坐标为，()00:44A P y l y x x '=++4x =0084y y x =+0084,4y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭由，令，得，因此延长线上的对应分点坐标为()00:44AP y l y x x =--6y =()00644x x y -=+B B '，()00644,6x y -⎛⎫+⎪⎝⎭结合题意，可知，化简得.()0000648486x y y x -+=22001169x y -=因此点P 满足的方程为：.()2214,0169x y x y -=≥≥故选：C.8．已知点P 是圆C ：的动点，直线l ：上存在两点A ，B ，使得222430x y x y +--+=30x y--=恒成立，则线段长度的最小值是（）π2APB ∠=AB A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】结合点到直线的距离公式以及圆的几何性质求得正确答案.【详解】圆，圆心为，半径为.()()22:122C x y -+-=()1,2C 1r =依题意，是圆上任意一点，直线上存在两点，使得恒成立，P C l ,A Bπ2APB ∠=故以为直径的圆的半径的最小值是到直线距离的最大值，AB D 2rP l ，1==所以的最小值是.AB2⨯=故选：A二、多选题9．Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数，将分母小于等于的不可约的真分数按n n 升序排列，并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，这个序列称为级Farey 0111n 数列，用表示.如的各项为：，，，，，共有5项.则（）{}n F {}3F 0113122311A ．数列都有奇数个项B ．6级Farey 数列中，中间项为{}n F {}6F 12C ．6级Farey 数列共有11项D ．6级Farey 数列各项的和为{}6F {}6F 132【答案】BD【分析】根据题意计算出1级Farey 数列和6级Farey 数列，即可得到结果.{}1F {}6F 【详解】1级Farey 数列各项为：，，A 错误；{}1F 01116级Farey 数列：，，，，，，，，，，，，，{}6F 01161514132512352334455611共有13项，中间项为，各项的和为，故B 正确，C 错误，D 正确.12132故选:BD.10．下列结论错误的是（）A ．过点的直线的倾斜角为()()1,3,2,0A B --45B ．直线与直线220x y --=2410x y -+=C ．与关于y 轴对称210x y -+=210x y +-=D ．己知两点，过点的直线l 与线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范()()3,4,3,2A B -()1,0P AB 围是[]1,1-【答案】ABD 【分析】求出过点的直线的倾斜角可判断A ；求出直线与直线()()1,3,2,0A B --220x y --=之间的距离可判B ；求出直线关于y 轴对称直线方程可判断C ；求出过2410x y -+=210x y -+=点的直线l 与线段有公共点的斜率的取值范围可判断D.P AB 【详解】对于A ，设过点的直线的倾斜角为，则，()()1,3,2,0A B --α)0,180α⎡∈⎣且斜率为，由可得，故A 错误；()0-3tan ==-121-α--)0,180α⎡∈⎣=135α对于B ，可化为，所以直线与直线之间的距2410xy -+=1202x y -+=220x y --=1202x y -+=，故错误；=对于C ，直线与轴的交点为，且直线的斜率为，所以直线210x y -+=y ()0,1210x y -+=2关于轴对称的直线的斜率为，由点斜式方程可得直线关于与轴对210x y -+=y 2-210x y -+=y称的直线方程为，即为，故正确；()()120-=--y x 210x y +-=对于D ，如下图，过点的直线l 与线段有公共点，直线的斜率为，()1,0P AB PA 40131-=---直线的斜率为，则直线l 的斜率的取值范围是，故错误.PB 20131-=-[)(]1,,1+∞⋃-∞-故选：ABD.11．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴的夹角为，现有一π6截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点的距离为4，关于所得截口曲线，下列选项正确的是（）A ．曲线形状为圆B ．曲线形状为椭圆C ．点O 为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点D ．该曲线上任意两点间的最长距离为6【答案】BCD【分析】由题意可得截面与旋转轴成角，可得截面为椭圆，即可判断A 、B ，画出轴截面的图60︒象，解直角三角形计算出的长以及轴的长，由此可判断C 、D ；AO AB 【详解】解：由题意可得截面与旋转轴成角，可得截面为椭圆，故A 错误，B 正确；60︒画出轴截面的图象如下图，，，，30AMO BMO ∠=∠=︒ MA AB ⊥4MO =，，，，122AO MO ∴==30OMB OBM ∠=∠=︒4BO MO ∴==∴12AO BO =曲线上任意两点最长距离为，=6AB 点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断C 、D 正确；∴O 故选：BCD12．已知点，直线，圆，过点分别作圆的3,12D ⎛⎫⎪⎝⎭:l 2220kx y k --+=:C 2221x y x +-=(0,2)P -C 两条切线，（，为切点），在的外接圆上，则（）PA PB A B H ABC A ．直线的方程是AB 210x y +-=B ．被圆l CC ．四边形PACBD ．的取值范围为DH 【答案】BCD【分析】求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程判断A ；求出直线PC C AB 所过定点，得到圆心到直线的最小距离，再由垂径定理求被圆截得的最短弦的长判断B ；直l l l C 接求出四边形的面积判断C ；求解，再分别减去的外接圆半径与加上的外PACB DTABC ABC 接圆半径求得的取值范围判断D ．DH【详解】对于A ，圆：，即，圆心坐标为，半径C 2221x y x +-=()2212x y -+=()1,0C 1r 又，则的中点为，()0,2P -PC 1,12T ⎛⎫- ⎪⎝⎭又为直径的圆的方程为，PC =PC ()2215124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭又圆：，C 2221x y x +-=两式作差可得直线的方程是，故A 错误；AB 210x y ++=对于B ，直线：可化为，l 2220kx y k --+=()21220k x y --+=由，解得，所以直线过定点，210220x y -=⎧⎨-+=⎩121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩l 1,12R ⎛⎫⎪⎝⎭因为，所以定点在圆内，221511224⎛⎫-+=< ⎪⎝⎭R C 当且仅当时，弦长最短，又CR MN ⊥MNCR==所以的最小值为B 正确；MN=对于C ，四边形的对角线、互相垂直，PACB AB PC 则四边形的面积，PACB12S AB PC =圆心到直线的距离，()1,0CABd ==因为，AB ===PC =所以，故C 正确；12PACB S ==对于D ，由题意知，的外接圆恰好是经过、、、四点的圆，ABC P A C B因为的中点为外接圆的圆心，PC 1,12T ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以圆上的点到点距离最小值是HD DT r -==最大值是，DT r +==所以的取值范围为，故D 正确．DH故选：BCD ．三、填空题13．斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第10项为___________．【答案】55【分析】分析数列的特点，从三项起，每一项均为前2项的数字之和，进而求解结论．【详解】解：1，1，2，3，5，8，13，21，，则从三项起，每一项均为前2项的数字之和，⋯，，132134+=213455+=故则该数列的第10项为55.故答案为：55．14．若直线l 被直线：与：截得的线段长为l 的倾斜角θ（1l10x y -+=2l 30x y -+=）的值为_____________．090θ<<︒【答案】15°或75°##75°或15°【分析】先计算两平行直线的距离，再由截得的线段长为与直线之间的夹角，l 1l从而可得答案.【详解】因为直线：与：平行，1l10x y -+=2l 30x y -+=所以与之间的距离．1l 2l d 如图，设直线与，的夹角为（），l 1l 2l α090α︒≤≤︒因为直线被直线与截得的线段长l 1l 2l所以，解得．1sin 2α==30α=︒因为直线，的斜率为1，所以其倾斜角为45°，1l 2l 所以直线的倾斜角的值为15°或75°．l θ故答案为：15°或75°15．已知满足关系的取值范围是__________．,x y x =1yx +【答案】[1,1]-【详解】由，所以点对应的点在半圆上，如下图所示x =()2210,11x y x y +=≥-≤≤(),x y表示动点和定点连线的斜率，由图，，所以()011y y x x -=+--(),x y ()1,0-1ABk=1AC k =-.111yx -≤≤+16．如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、ABCD ||2||AB CD =E AC 811C 、三点，且以、为焦点,双曲线的离心率为______________．D E A B【答案】3【分析】以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立直角坐标系，设出、、的坐AB y AB x xOy A B C 标，利用点分有向线段所成的比为，，求出的坐标，结合双曲线方程，求E AC 811||2||AB CD =E 出关于的表达式，即可得到的值．e e 【详解】解：如图，以的垂直平分线为轴，直线为轴，AB y AB x 建立直角坐标系，则轴．xOy CD y ⊥因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．C D A B C D y 依题意，记，，，，(,0)A c -(2cC )h (,0)B c 其中为双曲线的半焦距，，是梯形的高．c 1||2c AB =h 由定比分点坐标公式，得点的坐标为，．E 87112819111E c c x c -+⨯==-+80811819111Ehy h +⨯==+设双曲线的方程为，则离心率．22221x y a b -=ce a =由点、在双曲线上，C E 得222222221144964 1.361361c h a b c h a b ⎧⋅-=⎪⎪⎨⎪⋅-⋅=⎪⎩解得，化简可得，2222114hc b a =⋅-229c a =所以，离心率.3e ==故答案为：3四、解答题17．已知直线：和：．1l ()410m x y --+=2l ()()4110m x m y +++-=(1)若，求实数m 的值；12l l ∥(2)若，求实数m 的值．12l l ⊥【答案】(1)2【分析】（1）易知两直线的斜率存在，根据，由斜率相等求解.12l l ∥（2）分和，根据，由直线的斜率之积为-1求解.4m =4m ≠12l l ⊥【详解】（1）由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，1l4m -2l 41m m -++因为，12l l ∥所以，441m m m +-=-+解得或2，0m =①当时，由此时直线，重合，0m =111m =+1l 2l ②当时，，此时直线，平行，2m =11113m =≠+1l 2l 综上：若，则实数m 的值为2．12l l ∥（2）①当时，直线的斜率为0，此时若必有，不可能.4m =1l12l l ⊥1m =-②当时，若必有，解得，4m ≠12l l ⊥()4411m m m +⎛⎫-⨯-=- ⎪+⎝⎭m =由上知若，则实数m ．12l l ⊥18．记为数列的前n 项和，已知，．n S {}n a 0n a <2346n n n a a S -=-(1)求，；1a 2a (2)求数列的通项公式．{}n a 【答案】(1)，.14a =-27a =-(2)31n a n =--【分析】(1)根据递推关系可求得，.(2)由可求得通项公式.1a 2a 1n n n a S S -=-【详解】（1）当时，，解得或(舍)1n =2111346a a S -=-14a =-11a =当时，，解得或(舍) 2n =22212346()a a a a -=-+27a =-24a =所以，.14a =-27a =-（2）当时，①，②，2n ≥2346n n n a a S -=-2111346n n n a a S ----=-由①-②得，，因为，所以，11()(3)0n n n n a a a a --+-+=0n a <13n n a a --=-所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，{}n a 4-3-4(1)(3)31n a n n =-+-⋅-=--当时，由(1)可知，满足，故数列的通项公式为1n =14a =-31n a n =--{}n a 31n a n =--19千米.一“直角型”公路A -B -C （即）关于OB 对称且与滴水湖圆O 相切，如图建立平面直角坐标系.AB BC ⊥(1)求直线BC 的方程；(2)现欲在湖边和“直角型”公路A -B -C 围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最大？求出此时圆心到湖中心O 的距离.1O 【答案】(1)2y x =-+(2)设计见解析，此时圆心到湖中心O 的距离km.1O ()4【分析】（1）根据图象设直线方程，根据直线与圆相切求解参数；（2）计算圆与湖相切，与直角公路相切时的长度即可.1O 1OO 【详解】（1）由题可得直线BC 的倾斜角135°，设直线BC 的方程，与圆相切，,0y x b b =-+>，2b =所以直线BC 的方程2y x =-+（2）若要使旅游集散中心面积最大，则应设计为圆与湖相切，且与直角公路相切，1O设此时，则圆半径，12OO a a =<<1O a a--由可得，解得，45CBO ∠=)2a a =-4a =所以此时圆心到湖中心O 的距离为km.1O ()420．设圆C 与两圆，中的一个内切，另一个外切.()221:21C x y ++=()222:21C x y -+=(1)求圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过曲线E 上一点M （2，3）作斜率为的直线l ，与曲线E 交于另外一点N .试求的周长.342C MN △【答案】(1)2213y x -=(2)10【分析】（1）根据几何意义即可求得轨迹方程；（2）求出直线l 的方程，结合双曲线的几何性质即可得解.【详解】（1）圆C 与两圆，中的一个内切，另一个外切，()221:21C x y ++=()222:21C x y -+=则，212124CC CC C C -=<=所以的轨迹是以为焦点，2为实轴长的双曲线，C ()()122,0,2,0C C -22,24,1,2,a c a c b =====其标准方程2213y x -=（2）过曲线E 上一点M （2，3）作斜率为的直线l ，34其方程，恰好经过，()3324y x -=-()12,0C -N 在线段上，，1MC 12212,2NC NC MC MC -=-=，12214NC NC MC MC -+-=23MC =即，224N NC M MC +-=27NC MN +=所以的周长2C MN △2210N NC M MC ++=21．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线（），一光源在点处，由其发出的22y px =0p >41,44M ⎛⎫ ⎪⎝⎭光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l ：上的点N ，再反射后又射回点24170x y --=M ，设P ，Q 两点的坐标分别是，．()11,x y ()22,x y(1)证明：；212y y p =-(2)求抛物线方程．【答案】(1)证明详见解析(2)24y x=【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，从而证得PQ .212y y p =-（2）结合光线的知识求得点的坐标，根据三点共线求得抛物线的方程.Q ,,P F Q 【详解】（1）根据抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，且与轴不平行，PQ ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭x 设直线的方程为，PQ 2px my =+由消去并化简得，222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩x 2220y mpy p --=设，，()()1122,,,P x y Q x y 222440m p p ∆=+>则.212y y p =-（2）依题意，，所以，则.41,44M ⎛⎫ ⎪⎝⎭211184,2y y x p p ===8,4P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭设关于直线的对称点为，M l ()1,M m n 则，解得，即.4241441442417022n m m n -⎧=-⎪-⎪⎪⎨⎪++⎪⋅-⋅-=⎪⎩51,14m n ==-151,14M ⎛⎫- ⎪⎝⎭则，，则，21y =-212122y x p p ==1,12Q p ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点共线，，81,4,,0,,122p P F Q p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭815,4,,522p PF PQ p p ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，解得，()8155422p p p ⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2p =所以抛物线的方程为.24y x =22．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C (1)求椭圆的标准方程；C (2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且F (x )C A B P AB ，是坐标原点，求面积的最大值．()2OP OA OBλλ=+-O PAB △【答案】(1)22143x y +=(2)32【分析】（1）依题意得到方程组，解得，，即可求出椭圆方程；2a 2b （2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 元、列出韦达定理，即可表示出，再表示出点到直线的距离，根据面积公式及基本不等ABP AB 式计算可得.【详解】（1）解：由题意，又，解得，，221=2914+=1c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩222c a b =-24a =23b =的方程为；C ∴22143x y +=（2）解：设直线的方程为，，，，AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 则，消元整理得，22=+1+=143x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=所以，，122634my y m +=-+122934y y m =-+，()2212+13+4m m -由，()2OP OA OBλλ=+-得，()()()()001212,2,2x y x x y y λλλλ=+-+-()()()()()0121212212122x x x my my my my λλλλλλ∴=+-=++-+=+-+，()0122y y y λλ=+-到直线的距离P ∴ABh22112(+1)=×23+4PAB mS m ∴ 设，而在时递增，t =13y t t =+1t ≥当，即时，的最大值为．∴=1t 1=0m =PAB S 32。

北郊高中期中考试数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x + 1，那么f(-3)的值为（）A. -5B. -7C. -9D. -112. 下列哪个不是二次方程的解法？（）A. 因式分解法B. 配方法C. 公式法D. 分式法3. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点坐标是（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)4. 下列哪个不等式的解集是负数集？（）A. x + 2 > 0B. x - 2 < 0C. 2x + 3 > 0D. 3x - 2 < 05. 已知a、b、c是等差数列的三个连续项，且a + b + c = 12，那么a + c的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 106. 下列哪个函数不是奇函数？（）A. y = x^3B. y = -x^2C. y = |x|D. y = x^47. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，那么∠C的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 已知正方体的对角线长为√3，那么正方体的体积是（）A. 1B. √2C. √3D. 39. 下列哪个不是三角函数的定义域？（）A. y = sinxB. y = cosxC. y = tanxD. y = x^210. 下列哪个不是二次函数的图像？（）A. 抛物线B. 直线C. 双曲线D. 抛物线二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列的首项为2，公差为3，那么第10项的值为______。

______。

3. 下列函数的单调性为递增的是______。

A. y = x^2B. y = -x^3C. y = x^4D. y = x^54. 已知a、b、c是等比数列的三个连续项，且a b c = 27，那么a的值为______。

5. 下列哪个不等式的解集是全体实数？（）A. x + 2 > 0B. x - 2 < 0C. 2x + 3 > 0D. 3x - 2 < 06. 已知函数f(x) = 2x - 1，那么f(-1)的值为______。

江苏省常州市高二上学期期中数学试卷

江苏省常州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）数列的首项为3，为等差数列且.若则，则（）A . 0B . 3C . 8D . 112. （2分）等比数列中，，，函数，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二下·九江期中) 已知a，b，c∈R，满足|a﹣c|＜|b|，则下列不等式成立的是（）A . a＜b+cB . |a|＞|b+c|C . a＜c﹣bD . |a|＜|b|+|c|4. （2分）设是公差不为0的等差数列，成等比数列，则的前n项和（）A .C .D .5. （2分）△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，设向量,.若使则角C的大小为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·三水月考) 等差数列{an};的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为（）A . 130B . 170C . 210D . 1607. （2分）若等比数列{an}对于一切自然数n都有an+1=1﹣ Sn ，其中Sn是此数列的前n项和，又a1=1，则其公比q为（）A . 1B . ﹣C .8. （2分）若，，则下列不等式中恒成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·泉州模拟) 实数满足，则的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·海淀模拟) 已知{an}为无穷等比数列，且公比q＞1，记Sn为{an}的前n项和，则下面结论正确的是（）A . a3＞a2B . a1+a2＞0C . 是递增数列D . Sn存在最小值11. （2分） (2017高三上·郫县期中) 设函数，若关于x的方程f2（x）﹣（a+2）f（x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·平顶山期末) 设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，例如[2.34]=2，[﹣1.5]=﹣2，令{x}=x﹣[x]，则（）A . 是等差数列但不是等比数列B . 既是等差数列也是等比数列C . 是等比数列但不是等差数列D . 既不是等差数列也不是等比数列二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） y=logax ， y=logbx ， y=logcx ， y=logdx（a、b、c、d＞0且均不为1）的图象如图则a、b、c、d大小关系是________．14. （1分） (2017高三下·深圳模拟) 若实数满足不等式组，目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数 ________．15. （1分） (2016高一下·大同期末) 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0， ]成立，则a的最小值是________．16. （1分）已知函数f（x）=ln（x+），若正实数a，b满足f（2a）+f（b一1）=0，则的最小值是________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2019·东北三省模拟) 已知 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.18. （5分） (2018高三上·湖北月考) 在如图四边形中，为的内角的对边，且满足 .(Ⅰ)证明：成等差数列；(Ⅱ)已知求四边形的面积.19. （5分） (2017高二上·新余期末) 等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9 ，（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn ．20. （10分） (2016高一下·无锡期末) 已知函数f（x）= （a∈R）．（1）若不等式f（x）＜1的解集为（﹣1，4），求a的值；（2）设a≤0，解关于x的不等式f（x）＞0．21. （5分） (2020高二上·青铜峡期末) 在中，内角所对的边分别为，已知．（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．22. （15分） (2017高一下·长春期末) 数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=n（n+1）（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：an= + + +…+ ，求数列{bn}的通项公式；（3）令cn= （n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

2022-2023学年江苏省常州高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．不论为何实数，直线恒过定点（）m ()():1230l m x m y m -+-+=A ．B ．()3,1--()2,1--C ．D ．()–31，()–21，【答案】C【分析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标.()2130x y m x y ++--=【详解】根据题意,将直线方程变形为()2130x y m x y ++--=因为位任意实数,则,解得m 21030x y x y ++=⎧⎨--=⎩31x y =-⎧⎨=⎩所以直线过的定点坐标为()3,1-故选:C【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.2．抛物线的焦点到准线的距离是（）.28y x =A ．B ．C ．2D ．4132116【答案】B【分析】将抛物线的方程化为标准方程，根据焦准距的意义，可得答案.【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，28y x =218x y =则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，116=p 116故选：B 3．若直线与平行，则实数（）1:10l x y -+=2:10l x ay +-==a A ．1B ．2C ．3D ．1-【答案】D【分析】由两直线平行的条件求解．【详解】由题意，．11111a -=≠-1a =-故选：D ．4．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（）22(1)(1)1x y -+-=(2,3)PA B ．2C D 【答案】B【分析】利用勾股定理可求切线长.【详解】设切点为，圆心为，连接，则，Q C ,,PQ PC CQ CQ PQ ⊥，2==故选：B .5．关于有唯一解，则实数的范围是（）x 20kx -=kA ． k =B ． (2,2)k ∈-C ．(,2)(2,)k ∈-∞-+∞D ．(,2)(2,)k ∈-∞-+∞ 【答案】D【分析】将问题转化为函数只有一个交点，然后利用数形结合处理．()f x =()2g x kx =+有唯一解，20kx -=有唯一解，2kx =+即的图象有唯一交点，()f x ()2g x kx =+又y =221,(0)x y y +=≥表示圆心为，半径为1的上半圆（包括和，(0,0)(1,0)A -(1,0)B 而是过定点的直线，()2g x kx =+(0,2)C 如图：，解得1=k =又，20202,20101AC BC k k --====-+-由图象可知，当或或的图象有唯一交点．2k <-2k >k =()f x =()2g x kx =+故选：D6．双曲线C ：的渐近线与圆相切，则双曲线C 的离心率为()222210,0x y a b a b -=>>()2244x y +-=（）A B ．2C ．D ．443【答案】B【分析】根据圆心到渐近线的距离变形可得离心率,即可求解.【详解】双曲线C ：的一条渐近线与圆相切，()222210,0x y a b a b -=>>()2244x y +-=则圆心到渐近线的距离，()0,40bx ay -=42ad c ===所以曲线C 的离心率，2ce a ==故选：B7．椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，C ()222210y x a b a b +=>>A P Q C x AP 的斜率之积为，则的离心率为（）AQ 43CA B C ．D ．1213【答案】C【分析】设P 点坐标，Q 点与P 点关于x 轴对称，坐标可用P 点坐标表示，代入斜率之积的关系式，再结合椭圆方程，化简可得a 与b 的关系，即可求出离心率.【详解】，设，则，()0,A a ()11,P x y ()11,Q x y -则，，11AP y a k x -=11AQ y ak x --=，22111211143AP AQy a y a a y k k x x x ----⋅=⋅==又，则，2211221y x a b +=()2221212b a y x a -=所以，即，()222122221243a y a b b a y a -==-2234b a =所以椭圆的离心率，C 12c e a ===故选：C.8．已知中心在坐标原点的椭圆C 1与双曲线C 2有公共焦点，且左，右焦点分别为F 1，F 2，C 1与C 2在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则的取值范围是（）122e e +A ．B ．⎫+∞⎪⎪⎭5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．()1,+∞5,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，，由条件可得()m n >m ＝10，n ＝2c ，再由椭圆和双曲线的定义可得，运用三角形的三边关系求()125,55a c a c c =+=-<得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，，()m n >由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，则有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得，12m n a +=由双曲线的定义可得，22m n a -=即有，()125,55a c a c c =+=-<再由三角形的两边之和大于第三边，可得，2210c c +>可得，即有，52c >552c <<由离心率公式可得()12122510225525555c c c c cc e e a a c c c c +--++=+=+=-+-+-，105211155555c c c c ⎛⎫=--=-+ ⎪+-+-⎝⎭因为，所以，，则，，552c <<155102c <+<5502c -<-<11210515c <<+1255c <--故，，则，即，2125515c c +<-+-2125553c c ⎛⎫-+> ⎪+-⎝⎭21515553c c ⎛⎫-+> ⎪+-⎝⎭12325e e +>故的取值范围是.122e e +5,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭故选：B ．9．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为（）22(3)1x y +-=A ．B ．22(4)(6)6x y -+-=22(4)(6)6x y ±+-=C ．D ．22(4)(6)36x y -+-=22(4)(6)36x y ±+-=【答案】D【分析】设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，根据与x 轴相切，可得b 值，根据两圆内切，圆心距等于半径差，列出方程，可得a 值，即可得答案.【详解】设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，因为圆与x 轴相切，所以b ＝6=r ，因为两圆内切，，解得，61=-4a =±故所求圆的方程为.22(4)(6)36x y ±+-=故选：D二、多选题10．下列说法中，正确的有（）A ．点斜式可以表示任何直线()11y y k x x -=-B ．直线在y 轴上的截距为42y x =-2-C ．直线关于对称的直线方程是230x y -+=0x y -=230x y -+=D ．直线与1:10l x y ++=2:10l x y +-=【答案】BD【分析】根据直线的点斜式、斜截式、平行线间距离及轴对称可得结果.【详解】点斜式，不表示直线，所以不正确；11()y y k x x -=-1x x =A 直线在轴上的截距为；满足直线的截距式方程的含义，所以正确；42y x =-y 2-B 直线关于对称的直线方程是，所以不正确；230x y -+=0x y -=230x y --=C 直线与之间的距离为，所以正确；1:10l x y ++=2:10l x y +-=d D 故选：．BD 11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，则下列结论正确的是221916y x -=1F 2F P （）A ．该双曲线的离心率为B ．该双曲线的渐近线方程为5434y x =±C ．若，则的面积为D ．点到两渐近线的距离乘积为12PF PF ⊥12PF F △9P 14425【答案】BD【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A 选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B 选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C 选项；利用点到直线的距离公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，，，，该双曲线的离心率为，A 错；3a =4b =5c =53c e a ==对于B 选项，该双曲线的渐近线方程为，B 对；34a y x xb =±=±对于C 选项，若，则，12PF PF ⊥()1222212262100PF PF a PF PF c ⎧-==⎪⎨+==⎪⎩所以，，可得，()()222121212264PF PF PF PF PF PF ⋅=+--=1232PF PF⋅=故，C 错；12121162PF F S PF PF =⋅=△对于D 选项，设点，则，()00,P x y 2200169144y x -=双曲线的两渐近线方程分别为、，340x y +=340x y -=所以，点到两渐近线的距离乘积为，D 对.P 22000000229163434144342525x y x y x y --⋅+==+故选：BD.12．已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，F 22:1168x y C +=O l C ,A B AD x ⊥垂足为(异于原点)，与椭圆的另一个交点为，则（）D BD C EA ．AB AE⊥B ．面积的最大值为ABD △C ．周长的最小值为12ABF △D ．的最小值为116AF BF+258【答案】ABD【分析】对于A,设，则，设,利用点差法推出，判断(,)A m n (,),(,0)B m n D m --11(,)E x y 1AB AE k k ⋅=-A;利用基本不等式结合三角形面积公式，判断B;利用椭圆的定义以及几何性质判断C;利用基本不等式中“1”的巧用，结合基本不等式可判断D.【详解】对于A,设，则，设 ,(,)A m n (,),(,0)B m n D m --11(,)E x y 由题意可知，110,,0m m x m x ≠≠+≠则，两式相减得，2222111,1168168x n y m +=+=2222110168m n x y -+=-即，即 ,1111()(()))12(y y x n n m m x +-+=--12BE AE k k ⋅=-由,21,,222AB BD BE BD AB n n n k k k k k m m m ===∴==则，即，故A 正确；11,122AB AE AB AE k k k k ⋅=-∴⋅=-AB AE ⊥对于B ，由A 的分析可知，不妨设点在第一象限，则，221168m n +=A 0,0m n >>所以时取等号，221168mm n n =+≥∴≤2m n ==故，故B 正确；122ABD S m n mn =⨯=≤△对于C ，由题意知左焦点为,设右焦点为，22:1168x y C +=(F -(F '-4,a b ==则根据椭圆的对称性可知,故周长为 ,||||BF AF '=ABF △2||8||a AB AB +=+而的最小值为椭圆的短轴长，由题意可知不能与椭圆短轴重合，||AB 2b =AB 故周长大于C 错误；ABF △8+对于D ，由C 的分析可知，，||||||||28AF BF AF AF a '+=+==故||1611611161()()(88|17|)A BFAF AF BF AF BF BFF F AF B ++=+=++,当且仅当时取等号，D 正确，125(1788≥+832||,||55AF BF ==故选：ABD【点睛】本题综合考查了椭圆的定义的应用以及几何性质的应用，涉及到线段的垂直和三角形面积以及周长的最值得求法，解答时要注意综合利用椭圆的相关知识以及基本不等式的知识解决问题，属于较难题，计算量较大.三、填空题13．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为 _____．【答案】（8,±8）【分析】先求出抛物线的准线，再由P 到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P 的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案．【详解】设P （x P,yP ），∵点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝﹣2的距离，抛物线y 2＝8x ，xp +2＝10，∴xP ＝8，yP ＝±8，故答案为：（8,±8）．14．已知P 为椭圆上的一点，M ，N 分别为圆（x ＋3）2＋y 2＝1和圆（x －3）2＋y 2＝4上2212516x y +=的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【答案】7【解析】首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F 1，F 2，,,a b c 进而根据椭圆的定义即可求解.【详解】由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，c ＝3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F 1，F 2，设两圆半径分别为r 1，r 2，则r 1＝1，r 2＝2.所以|PM |min ＝|PF 1|－r 1＝|PF 1|－1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2＝|PF 2|－2，故|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－3＝2a －3＝7.故答案为：7【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题.15．已知点，若圆上存在点满足3，则实数(1,0),(1,0)A B -22(21)(22)1x a y a -++++=M MA MB =⋅ 的取值范围是 _____．a 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由已知求出的轨迹为圆，再由圆与圆的位置关系列不等式求解实数的范围．M a 【详解】设，则(,)M x y (1,),MA x y =--- (1,),MB x y =--若3，则即MA MB =⋅ 2213,x y -+=224,x y +=∴的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，M 若圆上存在点满足3，22(21)(22)1x a y a -++++=M MA MB =⋅ 则圆和圆有公共点，224x y +=22(21)(22)1x a y a -++++=解得：13,∴≤≤11,2a -≤≤∴实数的取值范围是．a 11,2⎡⎤-⎢⎣⎦故答案为：．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条()2222:10,0x y C a b a b -=>>1F 2F 2F C 渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则双曲线的离心率为______.M O C 【答案】2【分析】根据已知条件求出的长度，进而在和，分别求出和2MF 2Rt MOF 12MF F △2cos MF O ∠，从而建立等量关系求得，进而可以求出离心率.21cos MF F ∠224a c =【详解】解：因为，一条渐近线方程为，()2,0F c 0bx ay -=b=，a=在中，，2RtMOF 2cos bMF O c ∠=中，12MF F△，222222121221212+47cos 24MF F F MF ca MF F MF F F bcb +--∠===⋅所以，即，因此，即，222+474c a b bbc c -=222473a c b -=()2222473a c a c -=-224a c =所以.2e ==故答案为：2.【点睛】关键点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键在于根据渐近线和余弦定理得出关于a ，b ，c 的齐次式．四、解答题17．（1）已知直线l 过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线l 的()2,3330x +=方程；（2）已知入射光线经过点，且被直线l ：反射，反射光线经过点，求()3,4M -30x y -+=()2,6N 反射光线所在直线的方程.【答案】（1（2）30y +--=660x y --=【分析】（1）结合直线的倾斜角与斜率关系可求直线的斜率，进而可求直线方程；（2）根据对称性先求出反射光线所在直线的斜率，进而可求直线方程.【详解】因为直线3x y +3＝0，π3故所求直线的倾斜角为，直线斜率为2π3k =∴所求直线的方程为；)32y x -=-30y +--=（2）设关于直线l ：对称的点为，()3,4M -30x y -+=(),M a b '则，解得，413343022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩10a b =⎧⎨=⎩因为反射光线经过点，()2,6N 所以所在直线的斜率为，反射光线所在直线方程为，即.NM '60621k -==-()61y x =-660x y --=18．已知圆，点A 是圆C 1上一动点，点，点C 是线段AB 的中点．()221416C x y ++=:()4,0B (1)求点C 的轨迹方程；(2)直线l 过点且与点C 的轨迹交于 M ，N 两点，若，求直线l 的方程．()1,1MN=【答案】(1)224x y +=(2)或1x =1y =【分析】（1）利用中点坐标公式得到，再由点在圆得到，00242x x y y =-⎧⎨=⎩()00,A x y 1C ()2200416x y ++=代入即可得到点C 的轨迹方程；（2）分类讨论直线l 的斜率存在与否，利用弦长公式检验或求得斜率，从而可MN =k 得直线l 的方程．【详解】（1）设点，()()00,,,C x y A x y 因为点C 是线段AB 的中点，所以，即，00242x x y y =+⎧⎨=⎩00242x x y y =-⎧⎨=⎩因为点在圆C 1上运动，所以，()00,A x y ()2200416x y ++=所以，即，()22244416x y -++=224x y +=故点C 的轨迹方程为．224x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线l 的距离为，1x =C 1则2MN ===当直线l 的斜率存在时，设其方程为，即，()11y k x -=-10kx y k --+=则圆心到直线l 的距离()0,0C d所以，解得，MN ===0k =所以直线l 的方程为，1y =综上：直线l 的方程为或．1x =1y =19．已知O 为坐标原点，过点的圆M 与直线相切，设圆心M 的轨迹为曲线C ．()1,0F :1l x =-(1)求曲线C 的方程；(2)过点的直线交曲线C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点，求线段()1,0F ()4,0P AB 的长．【答案】(1)曲线的方程为；C 24y x =(2)线段AB 的长为6.【分析】（1，化简得到答案.|1|x =+（2）设直线方程为，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，根据垂直关系结AB (1)y k x =-合中点坐标公式得到，再计算弦长得到答案.22k =【详解】（1）设点为曲线C 上任意一点，因为圆M 过点且与直线相切，(,)M x y ()1,0F :1l x =-所以与点M 到直线，MFl |1|x =+整理得，所以曲线的方程为；24y x =C 24y x =（2）过点的斜率为0的直线与抛物线只有1个交点，不满足要求，()1,0F 过点的斜率不存在的直线为，直线与抛物线的交点为，，此时()1,0F 1x =1x =24y x =()1,2()12-，线段AB 的垂直平分线为，不满足要求，0y =所以直线斜率存在且不为，设直线方程为，，0AB (1)y k x =-0k ≠由得，，2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩2440ky y k --=方程的判别式，2440ky y k --=216160k ∆=+>设，，则，11(,)A x y 22(,)B x y 124y y k +=124y y =-设线段中点，，，AB 00(,)N x y 12022y y y k +==0021211x y k k =+=+因为线段AB 的垂直平分线交x 轴于点，所以直线与直线垂直，()4,0P AB NP 故，.002222122433NP y kk k k k x k k ⋅=⋅===----22k =，12|||AB y y-=6==所以线段AB 的长为6.20．已知，，，且．()1,0M ()3,0N (),C x y CM CN CM CN-=+ (1)求动点C 的轨迹E ；(2)若点为直线l ：上一动点，过点P 引轨迹E 的两条切线，切点分别为A 、B ，两条()1,P t -=1x -切线PA ，PB 与y 轴分别交于S 、T 两点，求面积的最小值．PST【答案】(1)动点C 的轨迹E 是以（2，0）为圆心，1为半径的圆【分析】(1)根据已知条件求出动点C 的轨迹方程即可判断其轨迹；(2)设切线方程，根据已知条件求出k 与t 的关系，再求出|ST |的长度，表示出()1y t k x -=+的面积即可求其最小值.PST 【详解】（1）∵，CM CN CM CN-=+ ∴，0CM CN ⋅=∴，()()1,3,0x y x y --⋅--=∴，()()2130x x y --+=∴，()2221x y -+=∴动点C 的轨迹E 是以(2，0)为圆心，1为半径的圆；（2）设切线方程为，即，PA ，PB 的斜率为，，()1y t k x -=+0kx y k t -++=1k 2k故圆心C 到切线的距离，得，1d 228610k kt t ++-=∴，，1234k k t +=-21218t k k -=在切线方程中令可得，0x =y k t =+故()()1212ST k t k t k k =+-+=-==∴时，等号成立．112PSTS ST =⨯=≥△0=t故．PST21．已知双曲线C ：（，，双曲线C 的22221x y a b -=0a >0b >20y -=右焦点为，双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ．()3,0F (1)求双曲线C 的方程；(2)过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴的上方），直线AP 的斜率为，直线BQ 的斜率为，证明：为定值．1k2k 12k k 【答案】(1)；22145x y -=(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得，，即求；3c=b a=（2）由题可设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即证.【详解】（1）由题意可知在双曲线C 中，，，，3c=b a=222c a b =+解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线C 的方程为；22145x y -=（2）证法一：由题可知，()()2,0,2,0A B -设直线，，，():3l y k x =-()11,P x y ()22,Q x y 由，得，()2235420y k x x y ⎧=-⎨-=⎩()2222542436200k x k x k -+--=则，，212224045k x x k +=>-21223620045k x x k +=>-∴，，1112y k x =+2222y k x =-()()()()()()121211212221211212232236232326y x x x k x x x x k y x x x x x x x -----+===+-+-+-()()121211212236356x x x x x x x x x x -+++=-++-22222222222222343620246454545343620564545x k k k x k k k x k k x k k +-+-+---=+-+---；22222222222221210121014545506051210554545k k x x k k k k x x k k ------===--⎛⎫-+-- ⎪--⎝⎭当直线的斜率不存在时，，此时.l :3l x =1215k k =-综上，为定值．12k k 证法二：设直线PQ 方程为，，，3x my =+()11,P x y ()22,Q x y 联立得整理得，223,5420,x my x y =+⎧⎨-=⎩()225430250m y my -++=由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则解得，()()22222540,300,54250,54Δ30425540,m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪=-⨯⨯->⎪⎩0m <<，，，1223054m y y m -+-=1222554y y m =-1212306255y y m m y y +-==-()121256my y y y =-+由双曲线方程可得，，，，()2,0A -()2,0B 1112y k x =+2222y k x =-∵，∴，，3x my =+2221x my -=+1125x my +=+．()()()()121211212212112221255y x y my k my y y k y x y my my y y -++===+++()()12112122125151666552555666y y y y y y y y y y -++-===--++-+证法三：设直线PQ 方程为，，，3x my =+()11,P x y ()22,P x y 联立得整理得，223,5420,x my x y =+⎧⎨-=⎩()225430250m y my -++=由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则解得，()()22222540,300,54250,54Δ30425540,m m m m m m⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪=-⨯⨯->⎪⎩0m <<∴，，由双曲线方程可得，，1223054my y m -+-=1222554y y m =-()2,0A -()2,0B则，()2211111221111545422444PB x y y y k k x x x x -⋅=⨯===+---所以，，15BP k k =12254PB k k k k =⋅()()()212122212121212255422111BP y y y y m k k x x my my m y y m y y -⋅=⋅==--+++++，2222222252525542530253054415454m mm m m m m m m -===---+-⋅+⋅+--∴为定值．125414255k k ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭22．椭圆：，若椭圆：，则称椭圆与椭1E 22221(0)x y a b a b +=>>2E 22221(0,1)x y a b m ma mb +=>>>2E 圆“相似”.1E (1)求经过点，且与椭圆： “相似”的椭圆的方程；1E 2212x y+=2E (2)若，椭圆，在椭圆上，过的直线交椭圆于两点，且4m =1E P 2E P l 1E ,A B .AP AB λ=①若的坐标为，且，求直线的方程；B (0,2)2λ=l ②若直线，的斜率之积为，求实数的值.OP OA12-λ【答案】(1)22142x y +=(2)①；②2y =+52λ=【分析】（1）设出椭圆的方程，结合点求得椭圆的方程.2E 2E（2）①先求得的方程，利用在椭圆上求得直线的斜率，从而求得直线的方程. ②结12,E E P 2E l l 合直线，的斜率之积、，由在椭圆上列方程，化简求得的值.OP OA AP AB λ=P 2E λ【详解】（1）设椭圆的方程为，代入点得，2E 2212x y m m +=)2112m m +=所以，2m =所以椭圆的方程为.2E 22142x y +=（2）因为椭圆1E c a ====整理得，所以椭圆，222a b =2221:22E x y b +=又椭圆与椭圆“相似”，且，所以椭圆，2E 1E 4m =2222:28E x y b +=设，()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ①方法一：由题意得，所以椭圆，将直线，2b =221:28E x y +=:2l y kx =+代入椭圆得，221:28E x y +=()221280k x kx ++=解得，故，1228,012kx x k -==+212224,212k y y k -==+所以，222824,1212k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭又，即为中点，所以，2= AP AB B AP 2228212,1212k k P k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭代入椭圆得，222:232E x y +=2222282122321212k k k k ⎛⎫+⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即，即，所以4220430k k +-=()()22103210k k -+=k =所以直线的方程为.l 2y =+方法二：由题意得，所以椭圆，，2b =221:28E x y +=222:232E x y +=设，，()(),,0,2A x y B 2= AP AB ，()()()2,2,2,4OP OA AP OA AB x y x y x x y =+=+=+--=--则，(),4P x y --代入椭圆得，解得，故()2222282432xy x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩12y =x =所以k =所以直线的方程为.l 2y =+②方法一：由题意得，22222222200112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，即，010112y y x x ⋅=-010120x x y y +=，则，解得，AP AB λ= ()()01012121,,x x y y x x y y λ--=--()()01201211x x x y y y λλλλ⎧+-=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩所以，()()22010121122x x y y bλλλλ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，()()()()2222222200110011211241212x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=，()()()()()2222222000101112212122xy x x y y x y b λλλ++-++-+=所以，即，所以.()222228122b b bλλ+-⋅=()2241λλ+-=52λ=方法二：不妨设点在第一象限，设直线，P :(0)OP y kx k =>代入椭圆，2222:28E x y b +=解得0x =0y =直线的斜率之积为，则直线，代入椭圆，,OP OA 12-1:2OAy x k =-2221:22E x y b +=解得，则1x =1y =，则，解得，AP AB λ= ()()01012121,,x x y y x x y y λ--=--()()01201211x x x y y y λλλλ⎧+-=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩所以，()()22010121122x x y y bλλλλ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，()()()()2222222200110011211241212x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=，()()()()()2222222000101112212122xy x x y y x y b λλλ++-++-+=所以，()()22222821122b b b λλλ⎛+-++-⋅= ⎝即，即，所以.()222228122b b bλλ+-⋅=()2241λλ+-=52λ=【点睛】在圆锥曲线有关的问题中，“点在曲线上”是一个很重要的已知条件，根据这个条件可以列方程，再结合题目另外的已知条件来对问题进行求解.向量共线的坐标表示，是建立点的坐标间关系的简捷途径.。

江苏省常州市高二上学期数学期中考试试卷

江苏省常州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）设集合，则满足条件的集合P的个数是（）A . 1B . 3C . 4D . 82. （1分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB . 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC . 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD . 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n3. （1分） (2020高二上·青铜峡期末) 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（）A .B . 84C . 3D . 214. （1分）已知直线平面，直线平面，给出下列命题,其中正确的是（）①②③④A . ①③B . ②③④C . ②④D . ①②③5. （1分）(2020·山西模拟) 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .6. （1分）(2020·南昌模拟) 2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论（素数即质数，）.根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入的值为，则输出的值应属于区间（）A .B .C .D .7. （1分）“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （1分） (2015高二下·福州期中) 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A .B .C .D .9. （1分） (2017高一上·福州期末) 体积为4 π的球的内接正方体的棱长为（）．A .B . 2C .D .10. （1分） (2019高二上·南宁月考) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A . 1B .C .D .11. （1分） (2018高一下·瓦房店期末) 函数的零点个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 012. （1分） (2019高三上·静海月考) 设直线，圆，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是（）．A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·海南模拟) 已知向量， .若，则的值为________.14. （1分） (2020高一下·天津期末) 正方体中，与底面所成角的大小是________.15. （1分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2 ，则此圆锥的体积为________ cm3 ．16. （1分）已知函数f（x）=e|x|+|x|，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________三、解答题 (共5题；共9分)17. （1分）(2020·大连模拟) 如图，在中，，的角平分线与交于点， .（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积.18. （2分）(2017·延边模拟) 如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O，AC=BC=AA1 ，∠ACB=90°．（1）求证：AB⊥平面OCC1；（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．19. （1分） (2019高二上·泉港月考) 设数列的前项和为，且，数列为等差数列，且， .（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）若对任意正整数，不等式均成立，求的最大值.20. （3分） (2016高三上·兰州期中) 已知抛物线C：y=2x2 ，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．21. （2分） (2019高一上·武汉月考) 设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③ .（1）求，的值；（2）证明在上是减函数；（3）如果不等式成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共9分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。

江苏省常州市2021-2022高二数学上学期期中试题(含解析)

2021度第一学期期中质量调研高二数学试题注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分，本试卷满分160分，考试时间120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔镇写在答题卡指定位置.3.答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效.4.如有作图需要，可用2B 铅笔作等，并加黑加粗，描写清楚.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______. 【答案】4π或54π.【解析】【分析】由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案. 【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π，故答案为：4π或54π【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题.2.若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．【答案】9 【解析】【详解】由题意，求导函数f′（x ）=12x 2-2ax-2b∵在x=1处有极值 ∴a+b=6 ∵a＞0，b ＞0 ∴ab≤（2a b +）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab 的最大值等于9 故答案为：9 3.232007i i i i ++++=______.【答案】1-. 【解析】【分析】先根据等比数列前n 项和求和，再由虚数单位i 的运算性质及复数的代数运算化简求值. 【详解】232007i i i i ++++()()2007450131111i i i iii⨯+--==--2(1)1(1)(1)i i i i +==--+ 故答案为：1-【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的运算性质，复数的除法运算，属于中档题. 4.5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为______. 【答案】240. 【解析】【分析】先把5本书取出两本看做一个元素，这一元素和其他的三个元素分给四个同学，相当于在四个位置全排列，根据分步乘法计数原理即可得出结果.【详解】从5本书中取出两本看做一个元素共有2510C =种不同的取法，这一元素与其他三个元素分给四个同学共有4424A =种不同的分法，根据分步乘法计数原理，共有2454240C A ⋅=种不同的分法.故答案为：240【点睛】本题主要考查了排列组合的综合应用，分步乘法计数原理，属于中档题.5.已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______. 【答案】43. 【解析】【分析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】32()26f x x x m =-++，2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，当20x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,上的最小值，即(0)3f m ==，函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=，∴函数在[]22-,上的最大值为43.故答案为：43【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.6.来自高一、高二、高三的铅球裁判员各两名，执行一号、二号和三号场地的铅球裁判工作，每个场地由两名来自不同年级的裁判组成，则不同的安排方案共有______种. 【答案】48. 【解析】【分析】分两步完成，第一步先将6个裁判分为三组，第二步将分好的三组裁判安排到三个比赛场地，由分步乘法计数原理可得答案.【详解】第一步，将6个裁判分为3组，由于每个场地的裁判来自不同的年级，只能分为高一，高二；高一，高三；高二，高三这样三组，共有2222228A A A =种分组方法；第二步，将分好的三组裁判安排到不同的三块场地，共有336A =种不同的安排方法，由分步乘法计数原理知，不同的安排方法共4868=⨯种. 故答案为：48【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，涉及分步乘法计数原理，属于中档题. 7.若关于x 的方程330x x m -+=在[]0,2上有根，则实数m 的取值范围______.【答案】[]22-,. 【解析】【分析】分离参数可得33,[0,2]m x x x =-∈，利用导数可知33y x x =-在[0,2]x ∈上的值域，即可求出m 的取值范围. 【详解】由230x x m -+=[]0,2上有根得33m x x =-在[]0,2上有根，令33y x x =-，[0,2]x ∈，则2333(1)(1)y x x x '=-+=--+，当01x ≤<时，0y '>，当12x <≤时，0y '<，所以33y x x =-在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函数. 当1x =时，max 2y =，又因为当0x =时，0y =，当2x =时，2y =-，所以min 2y =-，故[2,2]y ∈-，由33m x x =-在[]0,2上有根，可知[2,2]m ∈-. 故答案为：[2,2]m ∈-【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题. 8.已知函数1()sin 2sin 33f x a x x =-（a 为常数）在3x π=处取得极值，则a 值为______.【答案】1. 【解析】【分析】先对函数求导，根据函数在3x π=处取得极值应有 03f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】因为()2cos 2cos3f x a x x '=-，所以根据函数在3x π=处取得极值应有 03f π⎛⎫'=⎪⎝⎭，即22coscos 31033a a ππ⎛⎫-⨯=-+= ⎪⎝⎭，解得1a =，故答案为：1【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，属于中档题. 9.若函数24()1xf x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是．【答案】【解析】2222224(1)84(1)(1)()(1)(1)x x x x f x x x +--+==+'+，令'()0f x >，得11x -<<，即函数()f x 的单调递增区间为(1,1)-，又因为函数()241xf x x =+在区间(),21m m +上单调递增，所以121121m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩，解得10m -<≤；故填(1,0]-. 点睛：已知函数()f x 在所给区间上单调递增，求有关参数取值范围，往往采用以下两种方法：①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；②将问题转化为'()0f x ≥在所给区间上恒成立进行求解. 10.质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______. 【答案】108m. 【解析】【分析】令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】由21830t t -=，得0t =或6t =，当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()662233201839696108S t t dt t t=-=-=-+⨯=⎰，故答案为：108m【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.11.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有______种. 【答案】350. 【解析】【分析】根据题意分两类，一类是2台组装机3台原装机，另一类是3台组装机2台原装机，再根据加法计数原理即可求解. 【详解】由题意，可分两类：第一类，2台组装机3台原装机共有不同取法3265200C C =种，第二类，3台组装机2台原装机共有不同取法2365150C C =种，根据加法计数原理，共有200150350+=种不同的取法. 故答案为：350【点睛】本题主要考查了加法计数原理，组合的应用，属于中档题.12.210(1)(1)x x x ++-的展开式中4x 的系数是_____________．(用数字作答) 【答案】135【解析】原式可变形为39(1)(1)x x --，只需考虑9(1)x -展开式中4,x x 的系数444115929()126,()9T C x x T C x x =-==-=-，所以4x 系数为9+126=135，填135.【点睛】二项式展开，如果式子比较复杂，可以考虑先化简再展开。

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常州市北郊中学学年第一学期期中考试高二数
学试卷
Revised by Petrel at 2021
常州市北郊中学2008～2009学年第一学期
期中考试高二数学试卷
（时间：120分钟满分160分）
命题人：王桂春审卷人：汪尊国 08年11月7日
一、填空题：（每小题5分，共70分）
1、已知2x + 3y
=1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是 ▲ 。

2、不等式|3x -2|>4的解集是 ▲ 。

3、已知一组数1，2，3，4，a 的方差为2，则a = ▲ 。

4、当x =3时,右面的程序段结果是 ▲ 。

5、若向量→a 、→b 的夹角为120o ，且|→a |=1、|→b |=3，
则|5→a -→b |= ▲ ；
6、直线y =x +b 与曲线x = 4-y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是 ▲ 。

7、将一个体积为27cm 3、表面涂有红漆的正方体木块锯成27个体积为1cm 3的小正方体，从中任取一块至少有一面涂有红漆的概率是 ▲ 。

8、不等式(x -3)x -4x 2-x +1
≤0的解集是 ▲ 。

9、点P （1，1）到直线xcos θ+ysin θ=2的最大距离是 ▲ 。

组x -y +5≥0
x +y ≥0 x ≤3 所表示的平面区域的面积为 ▲ 。

10、不等式
11、过ΔABC 的重心任作直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，如果→AD=
x →AB ，→AE= y →AC
，那么1x + 1y
的值为 ▲ 。

12、已知两条直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0都过点A （1，2），则过两点P 1（a 1，
b 1）、P 2（a 2，b 2）的直线的方程为 ▲ 。

13、过点（1，2）总可以向圆x 2+y 2+kx +2y +k 2-15=0作两条切线，则k 的取值范围是 ▲ 。

14、函数y =x -3 + 12-3x 的最大值是 ▲ 。

二、解答题：（本大题6小题，共90分. 请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15、设平面内两个向量：→a =（cos α，sin α），→b =（cos β，sin β），0<α<β<π。

（1）证明：(→a +→b )⊥(→a -→b )；
（2）若两个向量k →a +→b 与→a -k →b （k ≠0，k ∈R ）的模相等，求α-β的值。

16、解关于x的不等式ax+1
x+a＞1。

17、已知圆C: (x-1)2+(y-2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)。

（1）证明直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时直线l的方程。

18、已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1。

（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点（2，3-1）的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角。

19、已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0，直线l:y=kx，且直线l与圆C相交于P、Q两个不同点。

有一点M（0，b），满足MP⊥MQ。

（1）当b=1时，求k的值；
（2）当b∈（1，3
2）时，求k的取值范围。

20、已知函数f(x)=
0，x<a
(
x-a
a-b
)2，a≤x≤b
1，x>b
)
（1）证明：对任意x≥a+b
2，都有f(x)≥
1
4；
（2）是否存在实数c，使之满足f(c)≥a+b
2若存在，请求出它的取值范围；若不存
在，请说明理由。