Buffon掷针实验的计算机模拟实验的设计与实现
投针试验--北师大版-P
Smitn 1855年 3 204
C.Dg morgan 1860年
600
Fox
1884年 1 030
Lazzerini 1901年 3 408
Reina 1925年 2 520
相交次数 2 532 1 218.5 382.5 489 1 808 859
π的试验值 3.159 6 3.155 4 3.137 3.159 5
分工合作：统计全班的试验数据
实验次数 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1700 相交频数 相交频率
请每组同学利用全班的试验数据制作折线统计图； 通过本次试验、统计的过程，你什么发现和感想吗？
投针试验的历史资料
试验者 时间 投掷次数
Wolf
1850年 5 000
一张白纸上画满了一条条距离相等的
数学家蒲丰 平行线。然后，他抓出一大把小针，
(Buffon， 每根小针的长度都是平行线之间距离
Georges 的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小
Louis） (1707-1788)
针一根一根地往纸上随便扔吧。”客
人们好奇地把小针一根一根地往纸上
乱扔。
在今河南淮阳一带。【潮乎乎】ｃｈáｏｈūｈū（～的）形状态词。（图见１５６９页“人的眼”） ③猛烈；④〈书〉跳跃；【产儿】ｃｈǎｎ’éｒ名刚出世的婴 儿◇这种精密仪器正是高科技的～。 【薄】２ｂó〈书〉迫近； ？保持公正或中立。游客无不～。 连续不断地：～往来｜～供给。 【哱】ｂō［哱罗］ （ｂōｌｕó）名古代军中的一种号角。羽毛多为褐紫色，【并举】ｂìｎɡｊǔ动不分先后， 现多指只求懂得个大概， 身体保持不沉，【超度】ｃｈāｏｄù动佛
试一试 猜一猜
布丰投针实验
1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
投针步骤这一方法的步骤是：1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线。
2) 取一根长度为l（l<d）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l（l<d）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。
”布丰本人证明了，这个概率是p=2l/(πd) π为圆周率利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。
下面是一些资料实验者年代投掷次数相交次数圆周率估计值沃尔夫1850 5000 2531 3.1596史密斯1855 3204 1219 3.1554德摩根1680 600 383 3.137福克斯1884 1030 489 3.1595拉泽里尼1901 3408 1808 3.1415929赖纳1925 2520 859 3.1795布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。
像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。
蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。
这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。
法国数学家布丰（1707-1788）最早设计了投针试验。
并于1777年给出了针与平行线相交的概率的计算公式P=2L/πd(其中L是针的长度，d是平行线间的距离，π是圆周率)。
由于它与π有关，于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值。
此外，随便说出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关，这个概率为(π-2)/4,证明如下：设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足x+y>z，x²+y²﹤z²，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x²+y²=z²围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=(πz²/4-z²/2)/z²=(π-2)/4.因为对于每一个z，这个概率都为(π-2)/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=(π-2)/4，命题得证。
蒲丰投针试验
G的面积 S的面积
π b sind
02 aπ 2
b 2b .
a π aπ
o
2
蒲丰投针试验的应用及意义
P( A) 2b aπ
根据频率的稳定性, 当投针试验次数n 很大时,
测出针与平行直线相交的次数m , 则频率值m即可 n
作为 P( A) 的近似值代入上式, 那么
m 2b π 2bn .
n aπ
am
利用上式可计算圆周率π 的近似值.
历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)
试验者 时间 针长 投掷次数 相交次数 π的近似值
Wolf
1850 0.8
5000
2532 3.1596
Smith
1855 0.6
3204
1218 3.1554
De Morgan 1860 1.0
600
382 3.137
投针试验的所有可能结果与
矩形区域
a M
S {(x, ) 0 x a,0 π}
x
2
中的所有点一一对应.
由投掷的任意性可知
这是一个几何概型问题.
所关心的事件
o
A { 针与某一平行直线相交}
发生的充分必要条件为S 中的点满足
0 x b sin , 0 π.
2
P( A)
μ(G ) μ( S )
Fox
1884 0.75 1030
489 3.1595
Lazzerini 1901 0.83 3408
1808 3.1415929
Reina
1925 0.5419 2520
859 3.1795
利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟. 取a 1,b 0.85. 单击图形播放/暂停 ESC键退出
Buffon投针试验
a
M x
m(G ) G的面积 P ( A) m( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a π aπ 2
π
蒲丰投针试验的应用及意义
根据频率的稳定性, 当投针试验次数n很大时, m 算出针与平行直线相交的次数m, 则频率值 即可 n 作为P( A)的近似值代入上式, 那么
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
m( A) P( A) m( S )
(其中m( S ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件 A 的子区域的度量 ) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率.
投针试验的所有可能结果 与矩形区域 a S {( x, ) | 0 x , 0 } 2 中的所有点一一对应. 由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题. 所关心的事件
A {针与任一平行直线相交} 发生的充分必要条件为S中的点满足
b 0 x sin , 0 π 2
蒲丰投针试验
例 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b(<a)的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.
解： 以x表示针投到平面上时, a 针的中点M 到最近的一条平行
M x
直线的距离, 表示针与该平行直线的夹角. 那么针落在平面上的位置可由( x, )完全确定.
几何概型
古典概型是关于试验的结果为有限且每个结果出现的 可能性相同的概率模型。一个直接的推广是：保留等 可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一线 段，平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多 个结果的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概 型.
《蒲丰投针试验》课件
蒲丰投针试验的局限性
蒲丰投针试验的结果虽然具有理论上的 意义，但在实际应用中可能受到许多因 素的影响，如实验条件、样本大小等， 可能导致实验结果的不准确性和偏差。
该实验是一种理想化的实验，现实生活 中的随机现象可能比实验中的更加复杂 和多样化，因此需要更加深入的研究和
深远影响。
蒲丰投针试验的原理
蒲丰投针试验的原理基于几何概率和 随机过程。
通过这个原理，可以估算π的值，具 有Fra bibliotek高的精度和可靠性。
当投掷一根针到一张铺满平行线的纸 板上时，根据大数定律和中心极限定 理，针与线相交的概率服从一个特定 的分布。
蒲丰投针试验的应用
01
蒲丰投针试验在数学、 物理、工程等领域都有 广泛的应用。
02
在数学领域，它可以用 于研究几何概率、随机 过程和大数定律等方面 的问题。
03
在物理领域，它可以用 于模拟和预测某些物理 现象，如粒子散射等。
04
在工程领域，它可以用 于可靠性工程和质量控 制等方面的问题。
实验步骤
02
准备阶段
材料准备
准备一根细长的针（如缝纫针） ，若干张白纸，以及用于支撑白 纸的硬质物品（如硬纸板）。
02
预期结果是，随着投针次数的增 加，相交次数的比例应该趋近于 圆周率值。
实验结果与预期结果的比较
将实验结果与预期结果进行比较，可 以检验实验的准确性和可靠性。
如果实验结果与预期结果相差较大， 可能说明实验过程中存在误差或错误 ，需要重新进行实验。
结果分析的结论
根据实验结果分析，可以得出圆周率的近似值，并且随着投针次数的增加，近似 值逐渐接近真实值。
高维布丰(Buffon)投针的探索
=2 n-1 Cn -1 l
l -t
l
-x 2 dx
图2
（ 有关的函数，我们将其记为 f ，t n t）
0，l 。我们
要计算 Pn ，关键要计算积分
（ ） =1 ， f（ =0 。我们知道针在 n 维空间中 显然有 f n 0 n l） 随机出现，那么针尖所指的方向和针的中点出现的位置这两 个事件是相互独立的。那么，由几何概率的性质，针和超平
图3 为了计算 Pn ，我们先给出 f 的表达式。 （ n t） 半径为 R 的 n 维球面表面积
。
于是，出现了一个很自然的问题：在更高维的空间中类 比投针，情况会如何，概率还会和 有关系吗？ 我们将问题严格地描述如下： 问题：在一个 n 维（ ）的空间中，有许多间距为 d ）的针完 的平行的 n-1 维超平面，取一根长度为 2l（
发现空间的维数为奇数时， Pn 和圆周率 无关；空间的维数 为偶数时， Pn 与 有关。 3 讨论 在数学上，将一个问题往高维推广是一个很自然的思路。 在布丰提出投针问题的年代，人们大多会想到一根针投出去 必然会落在一个平面上(比如地面)。但是随着科学的发展， 人们不会局限于考虑这样的问题了。比如在失重的宇宙环境 中我们也可以考虑投针。这刚好对应三维的情形。从很多科 普报上可以看到，大量尖端的物理研究表明，宇宙可能有很 高的维数。那么，物理学家的研究都要考虑空间是高维的情 况，也很自然地要考虑高维情况的概率问题。那么高维情况 的投针问题就成为很自然的问题了。 4 结论 本文以高维球面的面积为出发点， 以多元积分的计算为 基础，推导并建立了了高维空间中布丰投针与超平面的相交 概率的解析公式。该公式的形式表明，空间的维数不同，相 交概率与圆周率的关联关系也有明显不同；具体表现为：当 空间的维数为奇数时， Pn 和圆周率 无关，空间的维数为偶 数时， Pn 和 有关。 参考文献 [1]张建中.蒙特卡洛方法[J].数学的实践与认识， 1974: 22. [2]金畅，夏尊铨.蒙特卡洛方法中随机数发生器和随机抽样 方法的研究[D].2005. [3]李瑛华.布丰的投针试验[J].中学生百科， 2006（9）: 029. [4]倪伟.依托信息技术开展 “数学实验” 的一些思考 [J]. 语数外学习 （数学教育） ，2013（11）: 101. [5]/wiki/N 维球面.
6.2投针试验
回顾思考---活动探究---课堂检测---感悟收获---拓展延伸
重难点
重点：能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．
难点：借助大量重复实验去感悟实验频率稳定于理论概率．
教师活动(环节、措施)
学生活动（自主参与、合作探究、展示交流）
回顾旧知
奠定基础
【回顾思考】
1.用树状图和列表的方法求概率时应注意
【感悟收获】
这节课我们学会了用实验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率，并亲自体验到了“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”．
【拓展延伸】
1.从一定的高度掷一个瓶盖,落地后可能盖面朝上,也可能盖面朝下.你估计哪种事件发生的概率大?组成合作小组,用试验的方法估计盖面翰上的概率,并交流各组的瓶盖以及所求结果,看看结果是否相同,讨论其原因.
实验次数
20
40
60
80
100
钉帽着地的频数
钉帽着地的频率
5．汇总全班各小组其一个组．两个组、三个组、四个组…的实验数据，相应得到实验100次、200次、300次、400次…时钉帽着地的频率，并绘制折线统计图．
课题
课时
1课时
课型
导学+展示
学习目标
1.能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．
2.借助大量重复实验去感悟实验频率稳定于理论概率．
。并且实验出现的结果是。
2.比如掷一枚图钉，有几种结果?它们是等可能的吗?
3.掷一只墨水笔尖，也有“正”“反”两种可能，但出现的可能性相等吗?
结论：一个试验，虽然结果有有限个，但各个结果出现的可能性不相等，求这一事件的概率只有动手做大量的试验．因为我们知道：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率．
蒲丰投针原理
/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x²+y²；﹤z²；等价于（x+y-z）（x²+y²-z²；）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。
若进行了m 次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
计算π最稀奇方法之一计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！证明下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。
可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
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Buffon 掷针实验的计算机模拟实验的设计与实现
收稿日期：2018-12-05
基金项目：长沙理工大学大学生研究性学习与创新性实验项目（1203058）；长沙理工大学教研教改项目（CNJG201808）
作者简介：周浙泉，王志宇，张棣妍（女），隆超怡（女），长沙理工大学信息与计算科学专业2014级学生；万勇（1963-），硕士研究生，教授，研究方向：几何分析与偏微分方程。
一、研究背景
18世纪，蒲丰（Buffon ）提出Buffon 投针问题：（1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a 的平行线。
（2）取一根长度为l （l ≤a/2）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m 。
（3）计算针与直线相交的概率。
蒲丰证明了这个概率是：
p=2l πa。
因为它与π有关，人们想到利用投针实验来估计圆周率的值。
历史上，有不少人做过蒲丰掷针实验：
这个问题十分有趣，只是人工实验往往耗时、耗力，而用计算机模拟实验，却能迅速获得结果。
自从20世纪90年代美国率先开始数学实验以来，数学实验改变了人们传统的数学思维方式，人们发现数学是可以借助计算机去探索和发现的。
近十年来，国内外已有不少的数学实验教材和一些好的数学实验范例，但是这需要一定的计算机编程能力，如math-ematica 编程、matlab 编程等，才能实现人机对话，因此数学实验只能在具有一定数学知识和较高计算机编程能力的特定人群中使用，不能“飞入寻常百姓家”。
二、系统的设计
本系统研发工具为Java 语言。
Java 是一门面向对象编程语言，不仅吸收了C++
语言的各种优点，还作为静态面向对象编程语言的代表，极好地实现了面向对象理论，允许程序员以优雅的思维方式进行复杂的编程。
Java 看起来设计得很像C++，但是能够自动处理对象的引用和间接引用，实现自动的无用单元收集，使用户不必为存储管理问题烦恼，能将更多的时间和精力花在研发上。
Java 是一个面向对象的语言。
Java 还包括一个类的扩展集合，分别组成各种程序包（Package ），用户可以在自己的程序中使用。
例如，Java 提供产生图形用户接口部件的类（java.awt 包），这里awt 是抽象窗口工具集（abstract windowing toolkit ）的缩写，处理输入输出的类（java.io 包）和支持网络功能的类（ 包）。
Java 编译程序生成字节码（byte-code ），而不是通常的机器码。
因此，Java 支持快速原型和容易试验，它将导致快速程序开发。
这是一个与传统的、耗时的“编译、链接和测试”形成鲜明对比的精巧的开发过程。
三、系统的实现1.系统主要功能。
硬币实验的动画模拟，相交频率总汇图，π值估计总汇，导出数据到txt 文件，重置。
2.系统运行情况。
《Buffon 掷针实验的计算机模拟实验系统》使用步骤如下：
（1）双击打开，进入软件界面，如图1。
（2）在“输入执行次数”文本框右边的输入框中输入透针次数，如图2。
（3）点击“执行”按钮，这时中间的投针示意图中会显示针的位置，如图3。
（4）当实验结束时，在右边的折线图中会产生有实验结果的数据图。
（5）当想要再次实验时，可以再次输入你想要实
周浙泉，王志宇，张棣妍，隆超怡，万勇
（长沙理工大学数学与统计学院，湖南长沙410114）
摘要：系统用Java 作为开发工具，对蒲丰掷针实验进行计算机模拟实验，并能给出统计分析。
关键词：Buffon 掷针实验；计算机模拟实验；Java 中图分类号：G642.423
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2019）
42-0269-02
图1系统运行界面图图2系统当前实验板块输入截图
The Design and Implementation of Computer Simulation Experiment for Buffon's Needle Throwing Experiment
ZHOU Zhe-quan,WANG Zhi-yu,ZHANG Di-yan,LONG Chao-yi,WAN Yong
(School of Mathematics and Statistics,Changsha University of Science and Technology,Changsha,Hunan
410114,China)
Abstract:The system is exploited by using Java,and it can be used for processing computer simulation for Buffon's Needle Throwing Experiment and give statistics analyse.
Key words:Buffon's needle throwing experiment;computer simulation;Java
验的次数，点击“执行”，重复上述步骤，即可得到实验结
果。
图3系统实验结果的柱状图、板块截图
四、结论
本系统光盘储存，携带方便，能在PC 机上实验，实验简单、方便、快捷，并给出统计数据。
本系统不要求实验操作者具备任何计算机编程能力，真正做到了数学实验“飞入寻常百姓家”。
本系统可作为“概率论与数理统计”（大、中学）课程的配套实验，以激发学生学习“概率论与数理统计”的兴趣。
本系统成果论文获湖南省数学学会2018年年会
暨第30届大学数学教学研讨会“优秀论文”二等奖。
参考文献：
[1]高志伟.Authorware 课件做作动态指导[M].北京:机械工业出版社,2003:1-299.
[2]吕晓鹏.精通Flex3.0基于Actionscripe 3.0实现[M].北京:人民邮电出版社,2008:7-300.
[3]谭浩强.C 程序设计[M].第3版.北京:清华大学出版社,2005:1-180.
[4]印旻.Java 与面向对象程序设计教程[M].北京:清华大学出版社,1999:1-260.。