高中物理竞赛-天体部分习题精选

1.试证明质量均匀、厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零. 证明 设球壳单位面积质量为ρ,壳内P 点处有一质点m,如图4-17所示,球壳上取一小面元△S 1,距P 为r 1,过此面元边界与P 连接并延长,在球壳上又取下对应面元△S 2,距P 为r 2,可得△S 1与△S 2对质点m 的总万有引力F i 为 F i =F 1- F2.图4-17 F i =G ·1m r 12ρ△S - G ·2m r 22ρ△S =G ρm(121r S △ - 222r S △).从图中可得121r S △ - 222r S △.因为△S 1和△S 2很小,所以△S 1=△S '1cos θ,△S 2=△S '2cos θ, 即121r S △ =222r S △. 这样可得 F i =0. 所以 F=i i=1F ∑=0.O P 1S 2S1r2rθO'1S'2S P1S2S2.两个质量为1.0g 的质点相距10m.开始时两质点相对静止，且其中一个质点固定.如果它们之间只有万有引力作用，问：无初速释放一个质点后，经过多长时间它们相碰？解 设想m 1绕m 2做半径为l 的圆周运动，m 2为圆心.由于两质点只有万有引力作用，故可视为m 1做类似于太阳系行星的运动.设m 1在A 点速度减小，开始沿虚线做椭圆运动，m 2为焦点，如图4-18所示.设圆运动和椭圆运动的周长分别为T 和T ’，圆半径和椭圆半长轴分别为l 和l ’，由开普勒第三定律有 23l T =3l T2’’○1当m 1在A 点的速度减为零时，有l ’→12，则m 1从A 运动到m 2的时间t='2T .又因为m 1做圆周运动时，受向心力F n =122m m l G =m 1l 224Tπ作用，故23l T =224m G π. ○2 由○1 、○2两式得T ’=2π（l ’）32，所以t='2T =π(12)32×108s.3.求半径为R 的液态行星中心处压强，假设液态不可压缩且密度为ρ.若R=6.4×106m ，ρ=1.7×103kg/m 3，计算此压强。

图4-18A1mlT ’T2m解 将行星球体分成大量厚△r 的薄球层.不难证明：各层对该层内微粒万有引力之和等于零.为此研究小顶角的圆锥，其中含有质量为m 的微粒.圆锥从球层上分出面积分别为S 1和S 2两部分（图4-19）.若球层单位面积表面摊有物质的质量为μ，则S 1和S 2部分对质量m 的万有引力分别为 1121m S r F G =μ，2222m S r F G =μ， 但是1121cos r S =α2222cos r S =αΩ,式中：Ω为圆锥顶点O 处立体角. 作OM 1=OA 1和OM 2=OA 2，所以 ∠OA 1M 1=∠OA 2M 2.图4-19 此外，∠OA 1B 1=∠OA 2B 2.因为α1=∠OA 1B 1-∠OA 1M 1，α2=∠OA 2B 2-∠OA 2M 2，所以α1=α2，因此，121r S =222r S . 结果F 1 =F 2，这两个力彼此相互平衡.对球层其他部分进行类似研究，我们证明了前面作出的结论.体积△S △r 元层所受指向行星中心的引力为324r r 3=rS F G πρ△△ρ. 式中：r 是从此元层到行星的距离. 由此求出厚△r 部分压强的增加为24p==r r 3F G S π△ρ△△.于是在离行星中心距离r 0处的压强为204p=p +r r 3G π∑ρ△.1α1A1B 1S1MO1rΩ2α2S2A2B 2M 2r由于r r ∑△等于图像y=r 与轴r 所围图形面积，所以2200+r -r -r r r==22R R R ∑（）（）△， 因而222002p=p +r 3G R π-ρ（）. 取行星表面处压强等于零，得到 22202p=r 3G R π-ρ（）. 在行星中心处（r 0=0）压强等于222p=3G R πρ. 代入ρ和R 数值，得到P ≈1.6×1029N/m 2.4.使航天器飞越太阳系的设计方案之一，建议使用面积S=1km 2的太阳帆，当航天器绕太阳沿半径R 地=1.5×108km 的地球轨道运行时，太阳帆展开.在随后运行中指令帆始终垂直太阳光线的方向，在地球轨道上太阳光压强为p=10-5pa.问：（1）当航天器质量多少时它可以飞离太阳系？（2）当航天器质量为多少时，它可以飞到半径R 火=2.3×108km 的火星轨道？不考虑地球以及其他行星的引力影响.太阳质量与万有引力恒量的乘积等于M 太G=1.3×1011km 3/s 2.解 （1）当太阳帆张开时太阳引力和太阳压强作用在航天器上，这两个力的合力为F=G 2M m R 太地 - pS = G 2M m R 太地 - G 22m p m R S G R 地地= G 22[M - pSR /Gm ]m R 太地地（） 可见，太阳光压好像减少了太阳对航天器的引力.这个力结果是使太阳质量不是M 太，而是某个减少后的等效质量，即M 效= M 太- 2p mSR G 地.我们利用引入的等效质量，可以不考虑太阳光压而进一步解题.在质量为M 效的物体的引力场里，航天器总机械能为 E =12mv 2 - G m M R效. 根据能量守恒定律，航天器在轨道任何一点机械能应该等于 E =12mv 2地- G m M R 效地， 式中：v 地为航天器在离太阳距离R 地且当帆张开时具有的速度。

根据航天器在太阳引力作用下沿地球轨道运动方程来求这个速度.m 2v 地地R = G 2m M R 太地，即v 地由此可见， E = Gm R 地(- M 2M 太效) = G m R 地(2p -m2M SR G 太地).如果E ≥0,即在下面条件下2p -m 2M SR G 太地≥0， 航天器可以飞离太阳系。

由此求出，当航天器质量为多少时这才可能实行。

（2）设M 为某一质量m 1时，航天器与火星轨道相切，[航天器能够飞到火星轨道（穿过轨道）所具有的一切可能质量m 中，m 1是最大的].在这种情况下，航天器轨道是椭圆，其长半轴等于（R 地+R 火）（图4-20），在切点航天器速度垂直于航天半径矢量。

根据机械能守恒定律，有211m v - 2地G 1m M R 效地 = 211m v 2火 - G 1m M R 效火， V 2地 - V 2火 = 2GM 效（1R 地 - 1R 火）. 根据开普勒第二定律V 地R 地= V 火R 火，即 V 火= V 地R R 地火. 综合上两式并考虑到v 地2 M 效 R 火= M 太（R 火+ R 地），即2（M 太- 2p m SR 地1G ）R 火 = M 太( R 火+ R 地）.由此求出航天器可以飞到火星轨道所具有的最大质量m 1：m 1 = 22p m SR 地太G -R R R 火火地≈104kg.5. 质量为400kg 的宇宙飞船绕地球沿离地面高h 1=200km 的圆周轨道运行.启动火箭，发动机在短时间△t 内工作，使宇宙飞船速度增加了△v=10m/s ，而运行轨道变为椭圆形，离地面最近距离h 1=200km ，离地面最远距离h 2=234km.球在离地面最远距离处宇宙飞船的速度v 2为多少，火箭发动机牵引力F 多大，工作时间△t 多长，消耗燃料质量△m 多少以及火箭发动机的工作效率η多大. 飞船质量的变化不计.地球的半径R ≈6370km ，地球的质量M=6×1024kg ，万图4-20有引力恒量G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2，每秒消耗燃料m 0=mt△△ = 1kg/s ，喷气流速度u=4000m/s.燃料和氧化剂的燃烧值为q=1.2×107J/kg. 解 离地面最近点宇宙飞船速度v 1等于 v 1= v 0 + △v .沿圆周轨道运行速度v 0可以由下面方程求得201mv 2 = 1m 2M G R . 式中：R 1 = R + h 1 = 6.57×106m . 由此 v 0代入数值，得到v 0=7.805×103m/s ,v 1=7.805×103+10=7.815×103m/s. 根据动量守恒定律，有 mv 1R 1= mv 2R 2所以在远点速度v 2为v 2=112v R R ， 式中：R 2 = R + h 2 = 6.604×106m . 代入数值，可得v 2= 3667.81510 6.570106.60410⨯⨯⨯⨯=7.775×103m/s.根据动量守恒定律求得火箭发动机的牵引力FF △t = △mu ，式中：△m 为在时间△t 内火箭发动机喷出的气体质量，u 为喷气流速度.改写这方程F = mu t=c m u . 代入数值，得到F=1×4000=4×310N.发动机工作时间可以根据宇宙飞船动量的变化得到：F △t = m △v ，得：m v 40010t===1s 4000F ⨯. 消耗燃料和氧化剂的质量△m 可以根据对于“飞船——燃料物”系统动量守恒定律得到：m v=m u ，即m v 40010m===1kg u 4000⨯. 火箭发动机工作效率由下式确定：=PQη，式中P 为发动机功率，Q 为燃料燃烧时释放的功率。

由于20m u =2P ，Q=m 0q ，所以火箭发动机工作效率等于：2327u 410===0.67.2q 2 1.210η⨯⨯⨯（） 6.木星彗星族的形成粗略描述为下 面.彗星从遥远处无初速“落”向太阳， 并从木星不远处飞过（图4-21）当木星引 力场对彗星的显著影响消失后，它又在太 阳引力场中运行，并且它的速度方向与木 星速度方向相反.彗星新轨道的远日点位于图4-21木星轨道附近，即在离太阳为R=5.2天文单位 处.试求此处彗星轨道的近日点将位于离太阳 多远处.解 注意：太阳为巨重木星103倍，结果同太阳影响相比，木星引力范围大小为其轨道半径的10-6.并且彗星与木星实质性相互作用时间，与木星运转周期以及彗星绕太阳运行周期相比是不可比拟的短.因而，在这段时间内彗星的摄动就算不了什么.所以我们把彗星的运动分为三个独立阶段：（1）彗星从遥远处沿着指向太阳系方向，在太阳引力作用下运行；（2）在木星引力场里“瞬间”掉转头来；（3）沿椭圆轨道绕太阳运行（且可不必考虑木星的影响）.木星受到太阳（质量为M ）的引力作用而沿着圆周轨道运行，其条件为22v =R GM R .由此得到木星的速度当彗星飞近木星第一阶段结束时，速度k v 由能量守恒定律得出2k v -=02GM R ，即k v . 木星和彗星两星速度方向互相垂直，则彗星相对木星速度等于1v =v ’）.从飞出木星引力场后（第三阶段开始），彗星相对与行星速度只改变了方向，而相对太阳速度大小为1v =v ）现在彗星重新仅与太阳相互作用，在远日点和近日点速度均垂直于从太阳引出的半径矢量，于是根据开普勒第二定律有12v v xR .根据能量守恒定律有2212v v - = - 22xGM GM R . 解上述两个方程，有1x = = 5.2R 天文单位，这是轨道远日点与太阳距离；2x =0.37=1.9R R （天文单位，这就是所求轨道的近日点到太阳的距离.。