平新乔课后习题详解(第10讲--策略性博弈与纳什均衡)

平新乔《微观经济学十八讲》第10讲策略性博弈与纳什均衡

1 ?假设厂商A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数，MC A=10， MC B =8，对厂

商产出的需求函数是

Q D二500 -20 p

(1)如果厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？

(2)每个厂商的利润分别为多少？

(3)这个均衡是帕累托有效吗？

解：(1)如果厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价格是p B =10 一；，p A =10 , 其中；是一个极小的正数。理由如下：

假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为p A和p B,那么必有p A刃0 , p B K8，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，p A和p B都不会严格大于10。否

则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高

自己的利润。所以均衡价格一定满足p A空10 , p B?「0。但是由于p A的下限也是10,所以均衡时P A

=10。给定P A =10 ,厂商B的最优选择是令 P B =10- ；，这里：是一个介于0到2 之间的正数，这时厂商B可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为P A =10 , P B =10 -；。

(2)由于厂商A的价格严格高于厂商B的价格，所以厂商A的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商B的销售量，此时厂商B是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：

max pq —cq ①其中p =10 _ q =500 -20 107、把这两个式子代入①式中，得到：

max (10 —芯―)500 —20(10 —名卩

解得；=0,由于；必须严格大于零，这就意味着；可以取一个任意小的正数，所以厂商

B 的利润为：||500-20 10 -; 10-;。

(3)这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本，所以

如果厂商B和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10一；之间的价格，那么厂商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A的剩余(因为A的利润

还是零)。

2.(单项选择)在下面的支付矩阵(表10-1 )中，第一个数表示A的支付水平，第二个数表示B的支付水平，a、b、c、d是正的常数。如果A选择“下”而B选择“右”，那么：

(1) b .1 且 d ：：：1

(2)c：：：1 且 b ：::1

(3) b ：：：1 且 c :：: d

(4) b ::: c 且 d ：：：1

(5) a ：：：1 且 b ::: d

【答案】(3)

【分析】由于(下，右)是均衡策略，所以给定B选择“右”，“下”是A的最优选择，这就意味着c ::: d ;同样的，给定A选择“下”，“右”也是B的最优选择，这就意味着 b ：：：1。

3?史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支

付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。

(1)描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。

(2)如果每一个局中人以1的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有

3

一纳什均衡。这个对策的值是什么？

解：(1 )根据题意，构造如下的支付矩阵(表10-2 )(其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付) ：

表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵

首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1,从而使自己得到3的支

付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3,从而使自己得到1,而不是-3。

假设约翰选择2,他期望史密斯选择1或者3,以使得自己得到1 ,而实际上史密斯会选择2, 使得约翰得到-3 ,等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。

(2)假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为为、X2和1 -为-x2，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：

3X1 - X2 - 1 - X1 - X2 = —X1 ' 3冷-1 - X1 - X2 = —X1 - X2 3 _ x-i - X2 i 从而解得

1

人=x2 =1 -为-X2

3

类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。

4.假定世界上氟的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000 克。世界对氟的需求是

Q =1000 T000p

其中p 是每克的价格。

(1) 如果所有拥有者合谋控制氟的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量 是多少？

（2） 为什么（1）中计算的价格是不稳定的？

（3） 通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定 的均衡时，氟的价格是多少？

解：（1 ）所有拥有者合谋控制氟的价格，此时总的利润函数为：

-1 —Q Q

V 1000 丿

利润最大化的一阶条件为：

兰亠丄Q=0

dQ 500

解得总供应量为Q =500 （克）。此时p=1

?Q =0.5 ,每个厂商的供应量为

1000

500/20 =25 （克）。

（2） 对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为

25克，那么他的利润最大化问

题为：

525 T max q

q 1000

根据一阶条件解得：

q =262.5

可见在其他厂商的供应量为 25克的条件下，厂商 1增加供应量会提高自己的利润。类 似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。

（3） 题目要求完全竞争市场的均衡结果。令 p 二MC ，得到氟的价格为零。市场上的总 供给量为1000克，每个成员的出售量为 50克。

5?在下表所示的策略型博弈（表

10-3 ）中，找出占优均衡。

答：对于行为人2而言，R 优于M ，所以行为人2将会剔除掉M 策略，只在R 、L 这 两个策略中进行选择； 对于行为人1来说，知道了行为人2会在L 、R 策略中选择，则U 占 优于M 和D 策略。当行为人2知道行为人1选择了 U 策略时，他则最终会选择 L 策略。所 以，最终的占优均衡为（U ,

L ）。

6 ?模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、 老虎，鸡

和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人 同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为

1,输者的效用为-1 ;否则，效用均为0。

写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。

答：（1 ）该题的支付矩阵（表 10-4 ）为：

表10-4 划拳博弈的支付矩阵

（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。这是因为：

对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在当且仅当在同一栏中出现两个下划线。由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。

（3）记游戏者1分别选择各个策略的概率为P i, p2, p3, p/?，游戏者2分别选择各个策

当游戏者2分别以概率bqq,? ［选择四个策略时，游戏者1的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：

1 业亠I 1 4 = -1 q 1 q3 = -1 q

2 1 q4 =1 q i 亠［1 q3

又因为q1 *q2 +q3 *q4 二1，可以得到：q =q2 =q3 =q4 =—。

4

同理，当对于游戏者1分别以概率fp1

,P2,P3, P4 ［选择四个策略时，游戏者2的四个策略的收益

应该相等（根据同等支付原则）：

1XP2 +（二尸P4 =（—1 F P1 +仆P3 =（—1〃P2 +仔卩4=1汇P1 +（—1『P3

又因为P1 ■ P2 ■P3 ' P4 "，可以得到：P1 二P2 二P3 二P4 = 1。

4

因此混合策略纳什均衡为：（q，ff2），其中

疔_『 1 1 1 1 ）疔一『1 1 1 1〕

-■ 1 ，，，， 2 *

4 4 4 4 4 4 4 4

7.巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的咼端（咼质量），还是去低端（低质量）。相应的利润由如下收益矩阵（表10-5 ）给出：

（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何?

（3）合作的结果是什么？

（4）哪个厂商从合作的结果中得好处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多

少好处？

解：（1）纳什均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益分别为（100，800）

和（900，600）。

（2）如果1选择低，则有min [20,900? - _20 ;如果1选择高，则有min [100,50“.； =50。

因此如果1想要最大化它的最小支付，其最优决策为：

max [mi n\_20,900?,min [100,50》=max 1-20,50] =50

所以1会选择高。类似的分析表明2也会选择高，因此两个人都采用最大最小策略的均衡结果为（高，高），相应的支付为（50，50）。

（3）如果双方进行合作，那么他们的目标就是总利润最大化，这样最终的结果就是（低，高），相应的支付为（900，600 ）。

（4）厂商1从合作的结果中获得的好处多。为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡（高，低），厂商1应当给厂商2 一笔800—600=200的支付。

&考虑在c，f，g，三个主要汽车生产商之间的博弈。每一个厂商可以生产要么大型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。即，对于每一个厂商i , i=c, f，g，

他的行动集合为Al =[S M,L G >用：?i代表i所选择的行动，「A1,二1「c,J 代表厂商i的利润。假设，每个厂商的利润函数定义如下：

* 三？，如果a j =LG，j =c , f，g ；

，如果:j=SM，j =c , f，g ；

a，如果& =LG，且a j =SM ，j H i ；

:-，如果=SM，且「=LG，j -i ；

1 ,如果=:-j =LG，且：-k =SM，j =k=i ；

3，如果=：■j =SM，且：?k =LG , j =k=i ；

（1）当:> 0时，是否存在纳什均衡？请证明。

（2）当：? ?■ - 0时，是否存在纳什均衡？请证明。

证明：该博弈的支付矩阵如表10-6和10-7所示。

表10-6 G汽车厂生产SM型汽车