圆周运动水平面上的临界问题
23_第4讲 圆周运动中的临界问题
r
绳中张力为零,小球过最高点时绳子对小球的作用力不可能与球所受重 力方向相反,故答案为A、C。
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考点一 水平面圆周运动的临界问题 考点二 竖直面圆周运动的临界问题
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考点一 水平面圆周运动的临界问题
gr 时,FN=0 v2
gr 时,FN+mg=m r ,FN指向圆心并随v
的增大而增大
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2-1 如图所示,质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周 运动。圆环半径为R,小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环,则其通过
最高点时 ( C )
A.小球对圆环的压力大小等于mg B.小球受到的向心力等于0 C.小球的线速度大小等于 gR D.小球的向心加速度大小等于2g
(1)过最高点时,v≥ gr ,FN+mg=m v2 ,绳、轨 r
道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点,v< gr ,在到达最高点前小 球已经脱离了圆轨道
(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆 心
(2)当0<v<
gr
时,-FN+mg=m
v2 r
,FN背向圆心,
随v的增大而减小
(3)当v= (4)当v>
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第4讲 圆周运动中的临界问题
同理,当车速高于vc,且不超出某一最高限度,车辆可能只是有向外侧滑
动的趋势,不一定能够滑动,当超过最大静摩擦力时,才会向外侧滑动,故
选项C正确;当路面结冰时,只是最大静摩擦力变小,vc值不变,D错误。
第六章专题强化水平面内的圆周运动的临界问题
专题强化水平面内的圆周运动的临界问题[学习目标] 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件(重点)。
2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
1．水平面内的圆周运动常见的临界问题：(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
2．解题关键：(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
例1如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。
当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A．A的向心加速度最大B．B和C所受摩擦力大小相等C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动答案C解析A、B、C三物体角速度相同，a n＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，F fB＝mω2R，F fC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，，故滑动的临界角速度与质量无关，选项B错误；物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，ω＝kgrr越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，A、B同时滑动，选项C正确，D错误。
例2如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为g)(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；(2)当角速度为3μg2r时，绳子对物体拉力的大小。
(完整版)圆周运动中的临界问题(最新整理)
圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为的小球，kg m 1.0=上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为m l 2=与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，o 30o45当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？s rad /32、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0=的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体，的中心与圆孔距离为kg m 3.0=M m 2.0并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面M N 2绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件ω可让处于静止状态。
（）m 2/10s m g =3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。
临界条件：假设小球到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）0v C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，rvm mg 20=，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。
gr v =00v （1） （刚好到最高点，轻绳无拉力）0v v =（2） （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）0v v >（3） （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）0v v <例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球，kg m 1=绳的长度， 轻绳能够承受的最大拉力为，m l 4.0=N F 100max =现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为O 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。
圆周运动的临界问题
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r
T=mv2/r-mg≥0
小球经过最高点的速度：v gr
线或绳
讨论：
①、当 v gr 时，细绳对小球没有拉力作用。向心
力只由小球所受重力提供。
②、如果 v＞ gr ，轻绳对小球存在拉力。
③、如果 v＜ gr ，小球无法到达圆周的最高点
练习：如图，在“水流星”表演中，绳长为 1m，水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的 速度为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
变式训练2：如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其
轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端 拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝ gl 6
时，求绳对物体的拉力；
练习：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A 绕O点做圆周运动,在A通过最高点时，试讨论在下列 两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m/s时 ②当A的速率v2＝4m/s时
A
L
O
小结：
一．水平面内的圆周运动的临界问题
处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从 而结合其他力分析出指向圆心的合外力的变化，以 确定圆周运动的其他物理量的变化范围。
mgt0 am n ω 1 2L 3s0 i3n00
B
30 0
45 0
C
将已知代入解得ω1＝2.4 rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC
增大。设角速度达到ω2时，TAC=0，则③ω＝3 rad／s，此时两绳拉
新高考备战2024年高考物理抢分秘籍05圆周运动水平面内转盘模型绳球模型杆球模型等中的临界问题教师届
秘籍05圆周运动（水平面内、转盘模型、绳球模型、杆球模型等）中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题1.物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m v2R，静摩擦力的方向一定指向圆心；汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力F fm＝m v2 R2.水平转盘上运动物体模型（1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力F m＝mv2r，方向指向圆心。
（2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
二、竖直面内圆周运动的临界问题1.轻绳模型（轨道模型）：轻绳（或内轨道）——小球组成无支撑的物理模型（称为“轻绳模型”）（注：“轻绳”只能对小球产生拉力，不能产生支持力。
（内轨道约束类似））（1）实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等。
（2）临界条件：小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的条件是：小球的重力恰好提供向心力（绳子的拉力或轨道的弹力都恰好为零），即，这时的速度是做圆周运动的最小速度（3）推导过程rv mG N F 2合Grv m N 2N=0时临界情况水恰好不掉出，grv min 临界速度（4）弹力随速度大小的变化不能过最高点的条件：，能过最高点的条件：，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力2.轻杆模型（管道模型）：轻杆（或管道）——小球组成有支撑的物理模型（称为“轻杆模型”）（注：“轻杆”既能对小球产生拉力，也能产生支持力。
（管道约束类似））（1）临界条件：当V=0时，F N =mg（F N 为硬杆或管壁对小球的支持力）（2）推导过程：球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN方向向上，由牛顿第二定律得：（3）弹力随速度大小的变化当，弹力F N 表现为支持力，方向竖直向上当，没有弹力F N =0作用当，弹力F N 表现为拉力，方向竖直向下3．两类模型对比轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)实例球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示受力示意图F 弹向下或等于零F 弹向下、等于零或向上力学方程mg ＋F 弹＝mv 2Rmg ±F 弹＝mv 2R临界特征F 弹＝0mg ＝mv min2R即v min ＝gRv ＝0即F 向＝0F 弹＝mg讨论分析(1)最高点，若v ≥gR ，F 弹＋mg ＝m v 2R ，绳或轨道对球产生弹力F 弹(1)当v ＝0时，F 弹＝mg ，F 弹背离圆心(2)当0<v <gR 时，mg －F 弹＝m v 2R ，F 弹背离圆心并(2)若v<gR ，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道随v 的增大而减小(3)当v ＝gR 时，F 弹＝0(4)当v >gR 时，mg ＋F 弹＝m v 2R，F 弹指向圆心并随v的增大而增大三、生活中的圆周运动1．拱形桥和凹形桥模型特点概述如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F 向＝F N －mg＝mv 2r规律桥对车的支持力F N ＝mg ＋m v 2r＞mg ，汽车处于超重状态概述如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F 向＝mg －F N＝mv 2r规律桥对车的支持力F N ＝mg －m v 2r＜mg ，汽车处于失重状态．若v ＝gr ，则F N ＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动2．水平路面车辆转弯模型水平路面车辆转弯模型3．火车转弯模型火车转弯模型则L gRh v0;若火车经过弯道时的速度LgRhv ＞,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度LgRhv ＜,内轨将受到挤压。
23圆周运动临界问题
水平面内匀速圆周运动的临界问题考点规律分析水平面内圆周运动的临界问题，其实就是要分析物体所处的状态的受力特点，然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界角速度等。
通常有下面两种情况：(1)与绳的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出绳恰好无弹力或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。
(2)与支持面弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)。
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。
典型例题例如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是()A．B对A的摩擦力一定为3μmgB．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力C．转台的角速度一定满足：ω≤2μg 3rD．转台的角速度一定满足：ω≤μg 3r[规范解答]对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，只有当A要相对于B滑动时B对A的摩擦力才为3μmg，故A错误。
A与C转动的角速度相同，都是由静摩擦力提供向心力，对A有F f A＝3mω2r，对C有F f C＝mω2·1.5r，由此可知C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B错误。
当C刚要滑动时：μmg＝mω2C·1.5r，解得ωC＝2μg3r；对A、B整体刚要滑动时：μ(2m＋3m)g＝(2m＋3m)ω2AB r，解得ωAB＝μgr；当A刚要相对于B滑动时：3μmg＝3mω2A r，解得：ωA＝μgr；由以上可知要想三个物体均不滑动，角速度应满足：ω≤2μg3r，故C正确，D错误。
[完美答案]C举一反三1.如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看做质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
圆周运动中的临界问题
(1)不滑动
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所
示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速
度也达到最大，即Ffm＝m
vm2 r
，解得vm＝m
Ffm r m
。
• 这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。
圆周运动中的临界问题
创新微课
(2)绳子被拉断
创新微课 现在开始
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
当物体从某种特性变化为另一 种特性时，发生质的飞跃的转折状 态，通常叫做临界状态，出现临界 状态时，即可理解为“恰好出 现”，也可理解为“恰好不出现”
创新微课
圆周运动中的临界问题
创新微课
1．水平面内圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题
• 解析：设物体M和水平面保持相对静止，当ω具有最 小值时，M有向圆心运动的趋势。所以M受到的静摩 擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离 M分析受力有
• T－fm＝Mω2r，又T＝mg • 0．3×10－2＝0.6ω×0.2，ω1＝2.9rad/s • 当ω具有最大值，M有离开圆心趋势。M受的最大静
的来源。
圆周运动中的临界问题
用长L＝0.6m的绳系着装有m＝0.5kg水的小桶，在竖直平面内做 圆周运动，成为“水流星”。g＝10m/s2。求：
(1)最高点水不流出的最小速度为多少？ (2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？
创新微课
圆周运动中的临界问题
小
结
处理临界问题的解题步骤
摩擦力2N、指向圆心，隔离M受力分析有
• T＋fm＝Mω2r • 又T＝mg,0.3×10＋2＝0.6ω×0.2，ω2＝6.5rad/s • 所以ω的范围是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。
水平面内圆周运动的模型和临界问题
水平面内圆周运动的模型和临界问题一、水平面内圆周运动的模型和临界问题1、模型：有水平转盘模型、圆锥筒、圆锥摆模型和火车转弯问题等。
2、临界问题：（1）静摩擦力产生的临界情况：在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当$F_f$达到最大值$F_{f\rm max}$时，对应有临界角速度。
解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”这一特点。
（2）与弹簧或绳连接的物体的临界情况：处理该类问题时关键是分析弹力的大小和方向的改变。
特别是有摩擦力参与的问题更需要和静摩擦力的特点相结合。
对于与弹簧连接的物体的圆周运动，当运动状态发生改变时，往往伴随着半径的改变，从而导致弹簧弹力发生变化。
分析时需明确半径是否改变，什么情况下改变，弹簧是伸长还是缩短等。
3、解决圆周运动中临界问题的一般方法：（1）对物体进行受力分析。
（2）找到其中可以变化的力以及它的临界值。
（3）求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值。
（4）用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值。
4、水平转盘模型的规律：物体离中心越远，越容易被“甩出去”。
5、圆锥筒模型的规律：稳定状态下小球所处的位置越高，半径越大，角速度就越小，线速度就越大，而小球受到的支持力和向心力并不随位置的变化而变化。
二、水平面内圆周运动的相关例题（多选）全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利。
火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是____A．适当减小内外轨的高度差B．适当增加内外轨的高度差C．适当减小弯道半径D．适当增大弯道半径答案：BD解析：设火车轨道平面的倾角为*α*时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有$mg\tanα=m\frac{v^2}{r}$，解得$v＝\sqrt{gr\tanα}$，所以，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增大倾角$α$(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径$r$。
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二、圆锥面上的临界问题 例2：
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二、圆锥面上的临界问题
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三、弹簧和绳连接的物体的临界问题
例4：如图所示，在水平转台的光滑水平横杆上穿有 两个质量分别为2m和m的小球A和B，A、B间用劲度系 数为k的轻质弹簧连接，弹簧的自然长度为L，当转 台以角速度ω绕坚直轴匀速转动时，如果A、B仍能 相对横杆静止而不碰左右两壁，求： （1）A、B两球分别离开中心转轴的距离； （2）若转台的直径为2L，求角速度ω的取值范围．
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水平面内圆周运 动的临界问题
本节内容
静摩擦力产生的临界情况 圆锥面上的临界问题 弹簧和绳连接的物体的临界问题
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1、静摩擦力产生的临界情况
例1：如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C都能随 转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为 3m、2m、m，A与B、B与转台间的动摩擦因数为μ，C与 转台间的动摩擦因数为2μ，A和B、C离转台中心的距 离分别为r、1.5r 。设本题中的最大静摩擦力等于滑 动摩擦力，下列说法正确的是
心，也可能背离圆心
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本节内容
静摩擦力产生的临界情况 圆锥面上的临界问题 弹簧和绳连接的物体的临界问题
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小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一 ( 1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度
端，绳的另一端系有质量为 m的小球，甩动手 大小 v 2. 腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次 (2)问绳能承受的最大拉力多大？ 运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距 (3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球 离d后落地．已知握绳的手离地面高度为d，手 运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离 与球之间的绳长为3/4d，重力加速度为g.忽略 最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少 ？ 手的运动半径、绳重和e 7
三、弹簧和绳连接的物体的临界问题
例5
《教材解读与拓展》P54—例3
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三、弹簧和绳连接的物体的临界问题
例6
《教材解读与拓展》P59—10
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三、弹簧和绳连接的物体的临界问题 如图所示，水平圆盘可绕通过圆心的竖直 A、当 ω取不同值时，P和Q所受静摩擦力均指向圆心 轴转动，盘上放两个小物体P和Q，它们的 B、当ω取不同值时，Q所受静摩擦力始终指向圆心， 质量相同，与圆盘的最大静摩擦力都是fm 而，两物体中间用一根细线连接，细线通过 P所受的静摩擦力可能指向圆心，也可能背离圆心 圆心 O取不同值时， ，P离圆心距离为 r1，Q离圆心距离为 C、当 ω P所受静摩擦力始终指向圆心， r2，且r1<r2，两个物体随圆盘以角速度ω 而Q所受的静摩擦力可能指向圆心，也可能背离圆心 匀速转动，且两个物体始终与圆盘保持相 对静止，则（ ） D、当 ω取不同值时， P和Q所受静摩擦力可能指向圆