广东省“四校”2016届高三数学上学期第二次联考试题 理
2022-2023学年广东省“深惠湛东”四校高二年级上册学期联考数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省“深惠湛东”四校高二上学期联考数学试题一、单选题1．已知()2,1,3a =-，11,,2b λ⎛⎪=⎫⎝⎭，若//a b ，则实数λ等于（ ）A ．6-B ．32C ．32-D ．6【答案】C【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可 【详解】因为()2,1,3a =-，11,,2b λ⎛⎪=⎫⎝⎭，且//a b ，所以213112λ-==，解得32λ=-，故选：C2．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 是11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，且MB xa yb zc =++，则x y z ++等于（ ）A ．1B ．12-C ．0D ．1-【答案】D【分析】以{},,a b c 为一组基底可表示出MB ，从而求得,,x y z 的值，进而得到结果. 【详解】()1111111111222MB MB B B D B AA DB AA AB AD AA =+=-=-=--111112222AB AD AA a b c =--=--， 12x ∴=，12y =-，1z =-，1x y z ∴++=-.故选：D.3．已知直线12,l l 的斜率是方程220x px --=的两个根，则（ ） A ．12l l ⊥B ．12//l lC ．1l 与2l 相交但不垂直D ．1l 与2l 的位置关系不确定【答案】C【分析】由122k k =-可知两直线不垂直，且12k k ≠知两直线不平行，由此可得结论. 【详解】设直线12,l l 的斜率为12,k k ，则122k k =-， 121k k ≠-，12,l l ∴不垂直，A 错误；若12k k =，则21210k k k =≥，与122k k =-矛盾，12k k ∴≠，12,l l ∴不平行，B 错误；12,l l 不平行，也不垂直，12,l l ∴相交但不垂直，C 正确，D 错误.故选：C.4．已知双曲线()222210y x b a a b-=>>两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 BC D 【答案】A【分析】根据方程形式，结合图象，得到双曲线渐近线的斜率，再代入离心率公式求解.【详解】因为双曲线的焦点在y 轴，且0b a >>，所以双曲线的渐近线的夹角是包含x 轴的角，则渐近线的倾斜角为6π，即tan 6a b π==，即223b a =，离心率2c e a ==.故选：A5．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,,A B C 在抛物线上，F 为ABC 的重心，则AF BF CF ++=（ ） A ．12 B ．1C ．32D ．2【答案】C【分析】由抛物线方程确定焦点F 坐标，根据抛物线焦半径公式和重心的坐标表示可直接求得结果.【详解】由抛物线方程知：1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭；设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，则()12312311134444AF BF CF x x x x x x ++=+++++=+++；F 为ABC 的重心，123134x x x ++∴=，则12334x x x ++=，333442AF BF CF ∴++=+=. 故选：C.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F ，2F 是椭圆C 的左、右焦点，焦距为2c ，M 是椭圆C 上一点，l 是12F MF ∠的外角平分线，过2F 作l 的垂线，垂足为P ，则OP =（ ） A ．2a B ．bC ．cD ．a【答案】D【分析】延长2F P 交1F M 的延长线于点N ，结合图象，可知2MNF 为等腰三角形，2MF MN =，且P 为2F N 的中点，再结合椭圆定义可知12F N a =，结合中位线可得OP . 【详解】解：延长2F P 交1F M 的延长线于点N ，如图所示：PM 平分12F MF ∠，且2MP F N ⊥，2MNF ∴为等腰三角形，2MF MN =，且P 为2F N 的中点，又122MF MF a +=，112MF MN F N a ∴+==，P 为2F N 的中点，P 为12F F 的中点， 112OP F N a ∴==. 故选：D.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2c ．若以线段12F F 为直径的圆与直线20ax by ac -+=有交点，则双曲线C 的离心率取值范围为（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(]1,2D ．[)2,+∞【答案】D【分析】首先求圆的方程，利用圆心到直线的距离d r ≤，列式求解.【详解】以线段12F F 为直径的圆的方程是222x y c +=，与直线20ax by ac -+=有交点，则圆心到直线的距离2d a c ==≤，则双曲线的离心率2c e a=≥.故选：D8．法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>外的一点作的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆()22:1044x y C m m+=<<的蒙日圆为22:7E x y +=，过圆E 上的动点M 作椭圆C 的两条切线，分别与圆E 交于P ，Q 两点，直线P Q 与椭圆C 交于A ，B 两点，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为12B ．M 到C1C ．若动点N 在C 上，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，则1234k k =-D ．MPQ 面积的最大值为72【答案】D【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断； B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；C.根据PQ 为圆的直径，则点,A B 关于原点对称，利用点在椭圆上，证明1234k k =-；D.利用圆的几何性质，确定MPQ 面积的最大值.【详解】A.因为椭圆()22:1044x y C m m+=<<的蒙日圆为22:7E x y +=，根据蒙日圆的定义，47m +=，得3m =，所以椭圆22:143x y C +=，24a =，23b =，则21c =，所以椭圆的离心率12c e a ==，故A 正确；B.点M 是圆22:7E x y +=上的动点，椭圆的右焦点()10F ，，则MF1，故B 正确； C.根据蒙日圆的定义可知MP MQ ⊥，则PQ 为圆E 的直径,PQ 与椭圆交于两点,A B ，点,A B 关于原点对称，设()11,A x y ，()11,B x y --，()00,N x y ，()2222010101012222010101013344AN BN x x y y y y y yk k x x x x x xx x ---+-⋅=⋅===--+--，故C 正确； D.因为PQ为圆的直径，PQ =，当点M 到直线PQ的距离为r =PQM 的面积最大，此时最大值是172⨯，故D 错误.故选：D二、多选题9．已知空间向量()1,2,2a =-，()0,2,0b =，,a b 构成的平面记为α，则下列说法正确的是（ ） A ．向量()2,0,1c =-与α垂直 B ．向量()1,0,2d =与α平行C ．若a 与b 分别是1l 与2l 的方向向量，则直线1l ，2l 所成的角的余弦值为23-D ．向量b 在向量a 上的投影向量为()0,2,0- 【答案】AB【分析】根据向量垂直的坐标表示可证得a c ⊥，b c ⊥，由此可知A 正确；根据d a b =+可知B 正确；根据两条直线所成角的向量求法可知C 错误；根据投影向量的求法可直接得到D 错误. 【详解】对于A ，2020a c ⋅=-++=，0000b c ⋅=++=，a c ∴⊥，b c ⊥， 又a 与b 不平行，c α∴⊥，A 正确；对于B ，d a b =+，,,a b d ∴共面，则d 与α平行，B 正确；对于C ，42cos ,323a b a b a b⋅<>===⨯⋅，12,l l ∴所成角的余弦值为23，C 错误；对于D ，4cos ,3a b b a b a ⋅<>==-，122,,333a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，b ∴在a 上的投影向量为488cos ,,,999a b a b a ⎛⎫<>⋅=-- ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：AB.10．下列说法中，正确的有（ ）． A ．直线21y x =-在y 轴上的截距为1-B ．过点()1,2P -且在x ，y 轴截距相等的直线方程为10x y +-=C ．若点()0,0在圆22224280x y x y k k ++---+=外，则42k -<<D ．已知点(),P x y 是直线3470x y +-=上一动点，过点P 作圆22:20C x x y 的两条切线，A ，B为切点，则四边形P ACB 【答案】ACD【分析】由直线方程的斜截式可判断A ；由截距相等且等于0时，可判断B ；由点与圆的位置关系判断C ；由点到直线的距离结合勾股定理可判断D【详解】对于A ：直线21y x =-在y 轴上的截距为1-，故A 正确；对于B ：当在x ，y 轴截距相等且等于0时，直线方程为2y x =-，故B 错误； 对于C ：点()0,0在圆22224280x y x y k k ++---+=外，则2280k k --+>，即2280k k +-<，解得42k -<<，故C 正确； 对于D ：圆22:20C x xy 即()22:11C x y ++=，圆心为()1,0C -，半径为1，因为圆心到直线3470x y +-=的距离为2d ==，所以min 2PC =，又PA =所以min PA ==所以四边形P ACB 面积的最小值为min 1122122PA r ⨯⨯=⨯=D 正确； 故选：ACD11．已知等轴双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过双曲线C 上的一点M作两条渐进线的垂线，垂足分别为P ，Q ，则（ ） A ．双曲线C 的离心率为2B ．直线MP 与直线MQ 的斜率之积为定值C ．四边形OPMQ 面积的最大值为2a （O 为坐标原点）D ．12F F =【答案】BD【分析】对于A ，由等轴双曲线定义可得答案.对于B ，因C 为等轴双曲线，则双曲线两条渐近线互相垂直，由题可得答案.对于C ，由B 选项可知四边形OPMQ 为矩形，再设(),M x y ，表示出MP MQ ⋅可得答案.对于D ，分别计算12F F 与.【详解】因()2222:10,0x y C a b a b-=>>为等轴双曲线，则a b =，渐近线为y x =±.对于A ，2222222c a b e e a a +===⇒=A 错误.对于B ，因双曲线C 两条渐近线互相垂直，则直线MP 与直线MQ 互相垂直，故其斜率乘积为1-，为定值.故B 正确.对于C ，由B 选项分析可知，可知四边形OPMQ 为矩形.又设(),M x y ，则222OPMQ x y S MP MQ -=⋅=⋅=.因(),M x y 在双曲线上，故222x y a -=，则22OPMQa S =，故C 错误.对于D 选项，由C 选项分析可知==.又12F F 2c ====.故D 正确. 故选：BD12．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形，1AA P 为直四棱柱内一点，且1AP mAB nAD =+，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．当12m =时，三棱锥1P ACD -的体积为定值 B ．当12n =时，存在点P ，使得PA PC ⊥C ．当1m n +=时，PA PC +D ．当21m n +=时，存在唯一的点P ，使得平面PAD ⊥平面PBC 【答案】ACD【分析】对于A 选项，Q ，R 分别为AB ，11D C 的中点，连结QR ，判断出点P 在线段QR 上运动，由QR ∥平面1ACD ，得到点P 到面1ACD 的距离为定值，而1ACD △的面积为定值，即可判断； 对于B 选项，连结1BC ，设M ，N 分别为1AD ，1BC 的中点，连结MN ，则MN AB ∥.判断出点P 在线段MN 上运动，由2222AP CP AC +>=，判断出不可能存在点P ，使得PA PC ⊥； 对于C 选项，连结1BD ，判断出点P 在线段1BD 上运动.连结1CD ，将1BCD 翻折到平面1ABD 内，得到四边形1ABC D '，解四边形，即可判断.对于D 选项，设M 为1AD 的中点，连结BM ，判断出P 在线段BM 上运动.设S 为1AA 的中点，连结SM ，连结BS ，过P 作PT SM ∥交BS 于点T ，判断出ATB ∠为二面角A PT B --的平面角，当AT BS ⊥时，平面PAD ⊥平面PBC ，即可判断. 【详解】对于A 选项，设Q ，R 分别为AB ，11D C 的中点，连结QR ，则1QR AD ∥.QR ⊄面1ACD ，1AD ⊂面1ACD ，所以QR ∥平面1ACD .因为1AP mAB nAD =+，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，当12m =时，所以点P 在线段QR 上运动，QR ∥平面1ACD ，所以点P 到面1ACD 的距离为定值，而1ACD △的面积为定值，因此三棱锥1P ACD -的体积为定值，故A 正确； 对于B 选项，连结1BC ，设M ，N 分别为1AD ，1BC 的中点，连结MN ，则MN AB ∥. 因为1AP mAB nAD =+，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，当12n =时，所以点P 在线段MN 上运动，且1AP AM >=，1CP CN >=，从而2222AP CP AC +>=，故不可能存在点P ，使得PA PC ⊥，故B 错误； 对于C 选项，连结1BD ，则由1m n +=可知B ，P ，1D 三点共线，故点P 在线段1BD 上运动.连结1CD ，将1BCD 翻折到平面1ABD 内，得到四边形1ABC D '，其中1AB BC '==，112AD C D '==，1AB AD ⊥，1BC C D ''⊥，连结AC '，如图1，所以1AC BD '⊥，455AC '=，所以455PA PC PA PC AC ''+=+≥=，故C 正确； 对于D 选项，设M 为1AD 的中点，连结BM ，则12AP mAB nAD mAB nAM =+=+，由21m n +=知P 在线段BM 上运动.设S 为1AA 的中点，连结SM ，则SM AD BC ∥∥，连结BS ，过P 作PT SM ∥交BS 于点T ，则易知PT 为平面P AD 与平面PBC 的交线，AT PT ⊥，BT PT ⊥，故ATB ∠为二面角A PT B --的平面角，当AT BS ⊥时，平面PAD ⊥平面PBC ，且T 点唯一确定，所以P 点也唯一确定.故D 正确. 故选:ACD.【点睛】空间背景下的动点轨迹的处理方法的两种：（1）要求熟悉一些常见情况，利用面面相交得到动点的轨迹方面； （2）利用数形结合，用解析的方法来研究空间轨迹.三、填空题13．在空间直角坐标系Oxyz 中，()2,1,1A ，(),0,5B b ，()0,,4C c ，若四边形OABC 为平行四边形，则b c +=________. 【答案】1【分析】由四边形OABC 为平行四边形，可得OA CB =，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：(2,1,1)OA =，(,,1)CB b c =-， 因为四边形OABC 为平行四边形， 所以OA CB =， 所以2b =，1c =-， 则1b c +=. 故答案为：1.14．设抛物线24y x =的焦点为F ，1,4A t ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线上一点，则AF =________．【答案】516【分析】将抛物线24y x =化为标准方程，根据抛物线定义即可求出AF .【详解】抛物线24y x =的标准方程为214x y =，准线方程为116y =-， 根据抛物线定义可得11541616AF =+=. 故答案为：516. 15．已知直线1:3l mx ny m n +=+与直线()2:30,l nx my n m m n --+=∈R 相交于点M ，点N 是圆()()22:334C x y +++=上的动点，则MN 的取值范围为________．【答案】22≤≤+MN 【分析】根据题设易知1l 过定点()3,1A ，2l 过定点()1,3B 且12l l ⊥，则M 在以AB 为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆C 的圆心距，根据动点分别在两圆上知MN 的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案.【详解】由题设，()()()1:310,-+-=∈l m x n y m n R 恒过定点()3,1A ，()()()2:130,-+-=∈l n x m y m n R 恒过定点()1,3B ，因为0-=mn nm ，所以12l l ⊥，即垂足为M ，所以M 在以AB 为直径的圆上，圆心为()2,2D ，半径为22AB=， 故M 轨迹方程为()()22:222-+-=D x y ，而()()22:334C x y +++=的圆心为()3,3C --，半径为2，所以两圆圆心的距离为252552+=，而M 、N 分别在两圆上，故MN 的最大值为2252262++=+，最小值为5222422--=-，所以422262-≤≤+MN . 故答案为：422262-≤≤+MN .16．椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个焦点是()1,0F ，O 为坐标原点，过F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．若恒有222OA OB AB +<，则椭圆离心率的取值范围为________． 【答案】510⎛- ⎝⎭， 【分析】首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示12120x x y y +<，利用不等关系，转化求离心率的取值范围.【详解】设过点F 的直线l 的直线方程为1x my =+与椭圆交于A ，B 两点， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()2222221b my a y a b ++=，整理为：()2222222220b m a y mb y b a b +++-=，2122222mb y y b m a +=-+，22212222b a b y y b m a -=+，若恒有222OA OB AB +<，则222cos 02OA OB ABAOB OA OB∠+-=<⨯，所以AOB ∠是钝角，即12120x x y y +<，()()1212110my my y y +++<，()()21212110m y y m y y ++++<，()2222222222222110b a b m b m b m a b m a -+⋅-+<++，整理为222221a b m a b ++>恒成立，所以22221a b a b+<，即()222211a a a a +-<-，整理为42310a a -+>，解得：2a >2a <所以a >10c e a a ⎛==∈ ⎝⎭，故答案为：0⎛ ⎝⎭四、解答题17．已知圆心坐标为()1,2的圆C 与x 轴相切． (1)求圆C 的方程；(2)设直线:0l x y m +-=与圆C 交于A ，B 两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求m 的值．条件①：AB =②：120ACB ∠=︒． 【答案】(1)()()22124x y -+-=(2)3m =【分析】（1）由圆心坐标为()1,2，且圆与x 轴相切，所以圆心到x 轴的距离即半径，写出圆的标准方程.（2）若选①，由弦长，半径，弦心距之间的关系，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m ；若选②，由圆心角为120︒解等腰三角形，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m . 【详解】（1）圆心坐标为()1,2，因为圆与x 轴相切， 所以圆心到x 轴的距离等于半径，即2r =， 圆的方程为：()()22124x y -+-=（2）若选条件①，设圆心到直线l 的距离为d ，因为AB =则1d ==，由点到直线的距离公式，2212111m +-=+，解得32m =±.若选条件②，设圆心到直线l 的距离为d ，由120ACB ∠=︒，cos601d r =︒=，由点到直线的距离公式，2212111m +-=+，解得32m =±.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ⊥，1AC BC ==，123AA =．M 为侧棱1BB 的中点，连接1,,AM CM C M ．(1)求1C M 与平面ACM 所成角； (2)求二面角C AM B --的余弦值． 【答案】(1)π3(2)64【分析】（1）以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果； （2）根据二面角的向量求法可直接求得结果.【详解】（1）以C 为坐标原点，1,,CA CB CC 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则(1C，(M ，()1,0,0A ，()0,0,0C ，()0,1,0B ，(10,1,C M ∴=，()1,0,0=CA，(AM =-， 设平面ACM 的法向量(),,n x y z =，则00CA n x AM n x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，解得：0x =，y =()0,3,1n ∴=-；11123cos ,2C M n C M n C M n⋅∴<>===⨯⋅ 设1C M 与平面ACM 所成角为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则1sin cos ,2C M n θ=<>=，π3θ∴=.（2）由（1）知：(AM =-，()1,1,0AB =-， 设平面AMB 的法向量(),,m a b c =，则0AM m a b AB m a b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1a =，解得：1b =，0c ，()1,1,0m ∴=； 3cos ,2m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅ 由图形知：二面角C AM B --为锐二面角，则二面角C AM B --19．已知直线:l y x =与双曲线()222:10y C x b b-=>相交于A ，B 两点，且A，B 两点的横坐标之积为32-．(1)求双曲线C 的离心率e ；(2)设与直线l 平行的直线m 与双曲线C 交于M ，N 两点，若OMN 的面积为O 为坐标原点），求直线m 的方程． 【答案】(1)2(2)20x y -+=或20x y --=【分析】（1）联立直线:l y x =与双曲线222:1y C x b-=，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，结合韦达定理即可求出b ，进而求出a ，c ，即可得到双曲线C 的离心率；（2）由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为y x n =+，联立方程组，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，结合韦达定理即可表示出OMN 的面积，建立方程即可求出n ，进而求得直线m 的方程．【详解】（1）联立方程组2221y x y x b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得()22210b x b --=，由题意，22312b b -=--，即23b =， 即双曲线22:13y C x -=，即21a =，2224c a b =+=， 1a ∴=，2c =，即双曲线C 的离心率e 2==ca. （2）由直线m 与直线l 平行，设直线m 的方程为：y x n =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 设直线与x 轴交点为(),0E n -，联立方程组2213y x n y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得2226330y ny n -+-=，()()222Δ6423312240n n n ∴=--⨯⨯-=+>， 123y y n +=，212332n y y -=， ()()222212121233434362n y y y y y y n n -∴-=+-=-⨯=+，2212111363632222OMNSOE y y n n n n ∴=⋅⋅-=⋅-⋅+=⋅⋅+=，解得2n ，∴直线m 的方程为20x y -+=或20x y --=.20．如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，2BC CD ==，AB AD =．以BD 为折痕把ABD △和CBD △向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置（E ，F 不重合）．(1)求证：EF BD ⊥；(2)若平面EBD ⊥平面FBD ，点G 为ABD △的重心，EG ⊥平面ABD ，且直线EF 与平面FBD 所成角为60︒． ①AB 的长度；②求二面角A BE D --的余弦值． 【答案】(1)详见解析 (2)①2;②13【分析】（1）通过作辅助线，利用线面垂直的判定定理，证得BD ⊥平面EFH ，即可得到EF BD ⊥； （2）以G 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面ABE 和平面BED 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）取BD 中点H ，连接EH ，FH ， 因为AB =AD ，BC =DC ， 所以EB =ED ，FB =FD ， 故EH ⊥BD ，FH ⊥BD ， 因为EHFH H =，,EH FH ⊂平面EFH ，所以BD ⊥平面EFH 。
广东省东莞市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题及答案
2023-2024学年上学期期中考试四校联考高二数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO OB DO OC +=+，则四边形ABCD 是（ ）A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形2.已知向量()4,2,3a =− ，()1,5,b x = ，满足a b ⊥，则x 的值为（ ）A.2B.2−C.143D.143−3.40y −−=的倾斜角是（ ） A.30°B.60°C.120°D.150°4.已知椭圆22127x y k +=+的一个焦点坐标为()0,2，则k 的值为（ ）A.1B.3C.9D.815.已知直线1l ：2210x y +−=，2l ：430x ny ++=，3l ：:610mx y +−=，若12l l ∥且13l l ⊥，则m n +的值为（ ） A.10−B.10C.2−D.26.已知圆1C ：221x y +=和2C ：22650x y x +−+=，则两圆的位置关系是（ ） A.内切B.外切C.相交D.外离7.若圆C 经过点()2,5A ，()4,3B ，且圆心在直线l ：330x y −−=上，则圆C 的方程为（ ） A.()()22234x y −+−= B.()()22238x y −+−= C.()()22362x y −+−=D.()()223610x y −+−=8.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，P ，Q 分别是线段1CC ，BD 上的点，R 是直线AD 上的点，满足PQ ∥平面11ABC D ，PQ RQ ⊥且P 、Q 不是正方体的顶点，则PR 的最小值是（ ）二、多项选择题：每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
【四校联考】2016年广东省“四校”高三理科期末联考数学试卷
【四校联考】2016年广东省“四校”高三理科期末联考数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设全集，集合，，则下列关系中正确的是A. B.C. D.2. 条件，条件，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得图象的一条对称轴方程为A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. B. C. D.5. 如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为A. B. C. D.6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值为A. B. C. D.7. 已知等差数列的通项公式，设，则当取最小值时，的取值为A. B. C. D.8. 设第一象限内的点满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为A. B. C. D.9. 已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于A. B. C. D.10. 如图，在中，为边上的中线，，设，若，则的值为A. B. C. D.11. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是①在黄金椭圆中，，，成等比数列；②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则；③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，．A. B. C. D.12. 规定表示不超过的最大整数，例如：，，．若是函数的导函数，设，则函数的值域是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知复数，是的共轭复数，则14. 设，则二项式的展开式中含有的项是．15. 从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选中的概率为．16. 已知数列为等差数列，首项，公差，若，，，，，成等比数列，且，，，则数列的通项公式．三、解答题（共7小题；共91分）17. 设函数在处取最小值．（1）求的值，并化简；（2）在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求角．18. 年月日时分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成万人受灾，万人紧急转移安置，间房屋倒塌，千公顷农田受灾，直接经济损失亿元．距离陆丰市千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出频率分布直方图（如图）．附：临界值表参考公式：，．（1）小明向班级同学发出为该小区居民捐款的倡议．现从损失超过元的居民中随机抽出户进行捐款援助，求这户在同一分组的概率；（2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于元和自身经济损失是否到元有关?经济损失不超过元经济损失超过元合计捐款超过元捐款不超过元合计19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．20. 在空中，取直线为轴，直线与相交于点，夹角为，围绕旋转得到以为顶点，为母线的圆锥面. 已知直线平面，与的距离为，平面与圆锥面相交得到双曲线 . 在平面内，以双曲线的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．（1）求双曲线的方程；（2）在平面内，以双曲线的中心为圆心，半径为的圆记为曲线，在上任取一点，过点作双曲线的两条切线交曲线于两点、，试证明线段的长为定值，并求出这个定值．21. 设且，是的反函数．（1）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；（2）当（为自然对数的底数）时，证明：；（3）当时，试比较与的大小，并说明理由．22. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点所在直线的极坐标方程．23. 已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. C 【解析】或，又，所以．2. A 【解析】解，得或，即命题或，所以命题．命题，所以命题．因为，所以是的充分不必要条件．3. B 【解析】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的函数图象对应的解析式为，再向右平移个单位，得到的函数图象对应的解析式为，令，得，即函数的图象的对称轴方程为，结合选项可知应选B．4. B 【解析】根据程序框图执行程序，，，第一次执行循环体，“”成立，所以，；第二次执行循环体，“”成立，所以，．此时“”不成立，跳出循环体，输出．5. C【解析】根据题中的三视图可知，该几何体为圆锥的一半，其底面半径为，高为，所以该几何体的体积为．6. A 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，设，则，所以，即．当时，；当时，；当时，．根据反函数的知识，可知令，解得，所以．7. D 【解析】令，解得，且，所以，是等差数列中连续项的和的绝对值，，因此取时，，即最小．8. B 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图．可知目标函数过点时，取得最大值，即，所以．所以当且仅当，时取等号，所以的最小值为．9. B 【解析】根据球的体积为，得，解得球的半径．已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，所以球心是直三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点．因为中，，，所以．设外接圆半径为，由正弦定理，得，解得．所以球心到底面的距离为，即三棱柱的高为，所以三棱柱的体积为．10. C【解析】因为，所以．又，可设，所以因为，所以，．11. D 【解析】对于①，由及，所以，且，，均不为，所以，，成等比数列，所以①为真命题．对于②，，，由所以，故②为真命题．对于③，直线的方程为，即，则菱形的内切圆的半径，因为，又，所以菱形的内切圆过两焦点，所以③为真命题．12. D 【解析】．不妨设，则．当时，，，则，，．当时，，，．结合选项可知，的值域为．第二部分13.14.【解析】因为，所以的通项公式为，所以含有的项是．15.【解析】从四人中随机选取两人共有种情况，甲、乙两人中有且只有一个被选中的情况有种，所以甲、乙两人中有且只有一个被选中的概率为．16.【解析】由题意，得，即，得，即，所以．又等比数列，，的公比为，所以．根据可得．第三部分17. （1）因为函数在处取最小值，所以，由诱导公式知，因为，所以 .所以．（2）因为，所以，因为角为的内角，所以 .又因为，，所以由正弦定理，得，也就是，因为，所以或 .当时，；当时，．18. （1）由频率分布直方图可得，损失超过元的居民共有户，损失为元的居民共有户，损失超过元的居民共有户，因此，这户在同一分组的概率为．（2）如表：经济损失不超过元经济损失超过元合计捐款超过元捐款不超过元合计，所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于元和自身经济损失是否到元有关．19. （1）证明：在梯形中，因为，，，所以．所以，所以．所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面．（2）方法一：由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，，所以．设为平面的一个法向量，由 \（\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {n_1} \cdot \overrightarrow {AB} = 0}，\\left\{\overrightarrow {n_1} \cdot \overrightarrow {BM} = 0}，\end{array}} \right.\）得 \（\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt 3 x + y = 0}， \\left\{\lambda x - y + z = 0}，\end{array}} \right.\）取，则，因为是平面的一个法向量，所以因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值．所以．方法二：当与重合时，取中点为，连接，，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，，所以（2）当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，因为，又因为，所以平面，所以平面，所以，所以，所以．（3）当与，都不重合时，令，延长交的延长线于，连接，所以在平面与平面的交线上，因为在平面与平面的交线上，所以平面平面，过作交于，连接，由（1）知，，又因为，所以平面，所以，又因为，，所以平面，所以．所以在中，可求得，从而在中，可求得，因为，所以，所以因为，所以．综合得，．20. （1）如图，为双曲线的中心，为轴与平面的距离，为双曲线的顶点，，所以．在轴上取点，使得，过作与轴垂直的平面，交圆锥面得到圆，圆与双曲线相交于、，的中点为，易知，，，可得，从而可知双曲线的实半轴长为，且过点 .设双曲线的标准方程为，将点代入方程得，所以双曲线的标准方程为．（2）在条件（1）下，显然双曲线的两切线、都不垂直轴，设点的坐标为，令过点的切线的斜率为，则切线方程为，由消去得：，由，化简得：令、的斜率分别为、，由韦达定理得，因点在圆上，则有，得：，所以知，线段是圆的直径，21. （1）由题意得故由得则列表如下：极大值所以最小值，最大值，所以的取值范围为．（2）由题意得令则所以在上是增函数．又因为，所以即即（3）设，则当时，；当时，设，时，则所以从而所以综上所述，总有．22. （1）因为曲线的参数方程为（为参数），由消去，得的普通方程为，即．将，代入得的极坐标方程为．（2）由，得的直角坐标方程为，由得，所以，的交点所在直线方程为，其极坐标方程为．23. （1）当时，，所以等价于或或解得或．所以原不等式的解集为．（2）由绝对值三角不等式可知，若存在实数，使得不等式成立，则，解得，所以实数的取值范围是．。
广东省“四校”2024年高三数学试题考试试题
广东省“四校”2024年高三数学试题考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =3．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．23D ．335．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近线的距离为3，则双曲线C 的实轴的长为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8557．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．328．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 9．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．10．已知函数()cos 2321f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 11．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种12．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ）A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2016届广东省东莞市四校高一上学期期中联考数学试题(含答案解析、)
B. y＝ x
1 2
C.y＝2 log 0.3 x ）
D. y＝－x
8、.函数 f ( x ) =
4− x + log 3 ( x + 1) 的定义域为（ x −1
A.（ −1 ， +∞ ） C.（ −1 ，4） 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）
B. [ −1 ，1） U(1, 4] D.（ −1,1 ） U （ 1, 4]
x−3 x+3
x −3 > 0 得 f ( x) 的定义域为 (−∞, −3) U (3, +∞) ，关于原点对称。 x+3 −x − 3 x+3 x − 3 −1 Q f (− x) = log m = log m = log m ( ) = − f ( x) x−3 x+3 −x + 3
解：(1)由
11、已知幂函数 y = f ( x) 的图象过点 3，
3 1 ，则 f ( ) ＝ 3 4
12、已知定义在 R 上的函数 f(x)的图像是连续不断的，且有如下部分对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.135 15.552 －3.92 10.88 － － 52.488 232.064 可以看出函数至少有 个零点.
积）. （1）求商品的日销售额 F (t ) 的解析式； （2）求商品的日销售额 F (t ) 的最大值. 解：
F ( x) =
{
(t + 20)(−t + 30) = −t 2 + 10t + 600(0 ≤ t < 10, t ∈ N ) (−t + 40)(−t + 30) = t 2 − 70t + 1200(10 ≤ t ≤ 20, t ∈ N )
高三试卷数学-广东四校联考2024届高三11月联考数学试卷及参考答案
15.7 + 4√3
10.ACD
11.BD
12.ABC
45
2
详解：3.C 解：因为 y =− ax + 4 是减函数，且 f x 是 R 上单调函数，根据题意，f x 为 R 上
的单调减函数；
故可得
4
4
0 < a < 1,
, 解得 0 < a ≤ 5，即 a 的取值范围为 0, ．故选：C．
5
a ≤− 4a + 4
6
4
π
π
π
π
> 0 等价于 g(x + 2 ) > g( − 6 )，则 x + 2 >− 6，解得 x >−
0 的解集为( −
8.C 解：f(x) =
π
2π
3
, + ∞).故选 D．
3sin2
π
ωx
2
= sin(ωx − )，若 < x <
3
2
1
+ sinωx −
2
3π
2
，则
ωπ
2
3
2
π
=
3
2
3
1
又
由
3ωπ
2
kπ⩽
π
− )−(
ωπ
2
3
−
π
3
(k + 1)π⩾
2
3ωπ
2
2
2k + ⩽ k +
2k
3
3
8
3
+ >0
9
ωπ
2
−
8
9
π (k
广东省“四校”高三数学上学期第二次联考试题 理
“四校”2015—2016学年度高三第二次联考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：柱体体积公式：V Sh = （其中S 为底面面积，h 为高）锥体体积公式：13V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高） 球的表面积、体积公式：2344,3S R V R ==ππ （其中R 为球的半径）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数12iz i-+=（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 2．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x 2+2x+3}，则（∁R M ）∩N= （ ）A ． {x|0＜x ＜1}B ． {x|x ＞1}C ． {x|x≥2}D ． {x|1＜x ＜2}3、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2 ...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落人区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ） A. 15 B. 10 C. 9 D. 7 4.设{n a } 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，且12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ． 105C ． 90D ．755.由2y x =和23y x =-所围成图形面积是 （ ）A.B.C.D.6．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+的离心率为 （ ）A ．B ．C ． 或D ． 或7．定义某种运算S a b =⊗，运算原理如图所示，则131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为 （ ）A ．15B ．13C ．8D ．4第7题图 第8题图8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （ ） A ．54 B.27 C.18 D.9 9. .如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足AM MC ＝MP PB ＝2，若|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，则AP →·BC →的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C.23 D ．－113第9题图第10题图 10．如图,在平行四边ABCD 中,=90.,2AB 2 +BD 2 =4,若将其沿BD 折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A —BCD的外接球的表面积为 （ ） A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π11. 抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最大值为 （ ）A ．B ． 1C ．D ． 212.已知定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，对()0,x ∀∈+∞，都有()3log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则函数()()()1'13g x f x f x =----的零点所在区间是 （ ）A . ()4,5B . ()3,4C . ()2,3D .()1,2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.93)1(x x x +的展开式中的常数项为________． 14.若数列{}n a 是正项数列，)(3...221*∈+=+++N n n n a a a n ，则=++++1 (322)1n a a a n _____．15．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为_______．16.在对边分别为、、中，内角C B A ABC ∆a 、b 、c,若其面S==--2,)(22ASin c b a 则_______． 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. (1)求角A 的大小;(2)若1a =,求ABC ∆的周长的取值范围.18、(本小题满分12分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数） 频率[60,70) 9x [70,80) y 0.38 [80,90) 160.32[90,100) z s合 计p1（1）求出上表中的,,,,x y z s p 的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O ，E 为线段PC 上一点，且AC BE ⊥， （1）求证：//PA 平面BED ；（2）若AD BC //，2=BC ，22=AD ，3=PA 且CD AB =求PB 与面PCD 所成角的正弦值。
2023-2024学年广东省四校联考高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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“四校”2015—2016学年度高三第二次联考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：柱体体积公式：V Sh = （其中S 为底面面积，h 为高）锥体体积公式：13V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高） 球的表面积、体积公式：2344,3S R V R ==ππ （其中R 为球的半径）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数12iz i-+=（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 2．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x 2+2x+3}，则（∁R M ）∩N= （ ）A ． {x|0＜x ＜1}B ． {x|x ＞1}C ． {x|x≥2}D ． {x|1＜x ＜2}3、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2 ...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落人区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ） A. 15 B. 10 C. 9 D. 7 4.设{n a } 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，且12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ． 105C ． 90D ．755.由2y x =和23y x =-所围成图形面积是 （ ）A.B.C.D.6．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+的离心率为 （ ）A ．B ．C ． 或D ． 或7．定义某种运算S a b =⊗，运算原理如图所示，则131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为 （ ）A ．15B ．13C ．8D ．4第7题图 第8题图8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （ ） A ．54 B.27 C.18 D.9 9. .如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足AM MC ＝MP PB ＝2，若|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，则AP →·BC →的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C.23 D ．－113第9题图第10题图 10．如图,在平行四边ABCD 中,=90.,2AB 2+BD 2=4,若将其沿BD 折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A —BCD的外接球的表面积为 （ ） A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π11. 抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最大值为 （ ）A ．B ． 1C ．D ． 212.已知定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，对()0,x ∀∈+∞，都有()3log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则函数()()()1'13g x f x f x =----的零点所在区间是 （ ）A . ()4,5B . ()3,4C . ()2,3D .()1,2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13.93)1(x x x +的展开式中的常数项为________．14.若数列{}n a 是正项数列，)(3...221*∈+=+++N n n n a a a n ，则=++++1.3221n a a a n _____． 15．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为_______．16.在对边分别为、、中，内角C B A ABC ∆a 、b 、c,若其面S==--2,)(22ASin c b a 则_______． 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. (1)求角A 的大小;(2)若1a =,求ABC ∆的周长的取值范围.18、(本小题满分12分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（1）求出上表中的,,,,x y z s p 的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O ，E 为线段PC 上一点，且AC BE ⊥， （1）求证：//PA 平面BED ；（2）若AD BC //，2=BC ，22=AD ，3=PA 且CD AB =求PB 与面PCD 所成角的正弦值。
20. （本小题12分）已知抛物线C ：212x y =，直线2y kx =+交C 于M 、N 两点，Q 是线段MN 的中点，过Q 作x 轴的垂线交C 于点T 。
（1）证明：抛物线C 在点T 处的切线与MN 平行；（2）是否存在实数k 使0=⋅→-→-TN TM ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．21.（本小题12分）设函数()1e xf x -=-．（1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围． 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，AE⊥CD 于点E ，DA 平分∠BDE． （1）证明：AE 是⊙O 的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD ．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知圆M 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=，现以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系。
（1）求圆M 的标准方程；（2）过圆心M 且倾斜角为4π的直线l 与椭圆1222=+y x 交于A ，B 两点，求||||MB MA ⋅的值。
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x ﹣1|．（1）解不等式：f （x ）+f （x ﹣1）≤2；（2）当a ＞0时，不等式2a ﹣3≥f（ax ）﹣af （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．“四校”2015—2016学年度高三第二次联考理科数学评分标准一. 选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）二.填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13. 84 . 14. 226n n +. 15. 23. 16. 17 .三、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17、（本小题满分12分） 解(1)由1cos 2a C c b -=得1sin cos sin sin 2A C CB -= …………2分 又sin sin()sin cos cos sin B AC A C A C =+=+11sin cos sin ,sin 0,cos 22C A C C A ∴=-≠∴=- …………4分 0A π<<23A π∴= …………6分 (2)由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==,C c sin 32= …………8分)())1sin sin 1sin sin l a b c B C B A B =++=++=++11sin )1)23B B B π=++=+ …………10分22,(0,),(,)33333A B B πππππ=∴∈∴+∈, sin()3B π∴+∈故ABC ∆的周长的取值范围为1]+. …………12分18．（本小题满分12分）解：（1）由题意知，0.18,19,6,0.12,50x y z s p ===== …………3分 （2）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人， …………4分①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ，则11154426+C 7()10C C P A A == 所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为710. …………-6分 ②随机变量X 的可能取值为0,1,2 …………7分34361(0)5C P X C ===，2142363(1)5C C P X C ===,1242361(2)5C C P X C ===， …………10分 随机变量X 的分布列为：…………11分因为 131012=1555EX =⨯+⨯+⨯， 所以随机变量X 的数学期望为1. …………12分19. （本小题满分12分）（1）,,AC BD AC BE BD BE B ⊥⊥⋂= ，AC BDE ∴⊥平面,连接OE ， …………1分所以AC OE ⊥，又PA ABCD ⊥平面，AC PA ∴⊥，又,OE PA 都是平面PAC 中的直线，∴OE ∥PA ， …………3分且OE BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面，PA ∴∥平面BDE …………4分（2） AD BC //，2=BC ，22=AD 且CD AB =∴在等腰梯形中1,2OB OC OA OD ==== …………5分由（1）知OE ABCD ⊥平面，分别以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -， 则(1,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(0,2,3)B C D P -- …………6分设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z = 则0n CD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以20330x y y z --=⎧⎨-=⎩ 取1x =，则2y z ==-，(1,2,2)n =--， …………9分又(1,2,3)PB =-，cos ,PB n PB n PB n⋅==…………11分 所以PB 与平面PCD所成角的正弦值为14…………12分20、（本小题满分12分）解：（1）设112200(,),(,),(,)M x y N x y Q x y ， …………1分联立222y x y kx ⎧=⎨=+⎩得2220x kx --= …………2分所以1212,12kx x x x +=⋅=-， …………3分 12024x x kx +∴==， …………4分22y x = ，所以0'x x y k ==所以抛物线22y x =在T 点处的切线与MN 平行。