22答案 (NXPowerLite)

《 概率统计A 》
参考数据：(),2622.2999.0)325.2(,8399.0)99.0(,5.0)0(025.0==Φ=Φ=Φt ，
()()()645.1,96.18125.110,2281.210,8331.1905.0025.005.0025.005.0=====u u t t t ，.
一．选择题 (本大题10题，每题2分，共20分)
1．某人射击，每次射击相互独立，但每次中靶的概率均为3/4。

如果射击直到中靶
为止，则射击次数为3的概率为（ C ）。

3
43)
(⎪⎭
⎫
⎝⎛A ⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4143)(2
B ⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4341)(2
C 3
41)(⎪⎭
⎫ ⎝⎛D 2．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y 而
()41-≤=μX P p ，()52+≥=μY P p ，则（ A ）。

)(A 对任何实数μ，都有21p p = )(B 对任何实数μ，都有21p p < )(C 对任何实数μ，都有21p p > )(D 只对μ的个别值，才有21p p =
3．设随机变量X 与Y 满足),()(Y X D Y X D +=-，则必有（ B ）。

)(A X 与Y 相互独立 )(B X 与Y 不相关 )(C 0)(=X D )(D 0)()(=Y D X D
4．设总体)1,0(~N X ，样本n X X X ,,,21Λ)1(>n 为来自该总体的简单随机样本，X 与S 分别为样本均值和样本标准差，则有（ C ）
)(A )1,0(~N X )(B )1,0(~N X n )(C
)(~21
2n X
n
i i
χ∑= )(D
)1(~-n t S
X
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5．一种零件需两道工序加工完成，两道工序相互独立。

第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该零件的成品率为（ C ）。

)(A 1p q -- )(B 1pq - )(C 1p q pq --+ )(D (1)(1)p q -+-
6．设随机变量X 与Y 相互独立且服从相同的分布，若1)1(-=>e X P ，则 =≤)1),(min(Y X P （ C ）。

)(A 21)1(--e )(B )1(21--e )(C 21--e )(D -41e -
7．已知7.0)(,1)(==A P B A P Y ，则下列正确的是（ C ）。

)(A Ω=B A Y )(B φ=B A I )(C ()
0=A B P )(D ()1=B A A P Y
8．袋中有5个球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，无放回地取两次，则第二次取到新球的概率为（ A ）。

)(A 3/5 )(B 3/4 )(C 2/4 )(D 3/10
9．设X 为一随机变量，1.0)(,1)(==X D X E ，
则由切比雪夫不等式一定有（ B ）。

)(A 1.0)11(≥<-X P )(B 9.0)20(≥<<X P )(C 9.0)11(≥≥-X P )(D 1.0)20(<<<X P
10．在下列函数中，能够作为随机变量X 的分布函数的是（ C ）。

)(A ⎩⎨
⎧≥<=0
,20
,)(x x e x F x )(B ⎩⎨⎧≥<=-0,10,)(x x e x F x )(C ⎩⎨⎧≥<=-0,-10,0)(x e x x F x
)(D ⎩⎨⎧≥+<=-0,10
,0)(x e x x F x
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二．填空题 (本大题共10空格，每题2分，共20分。

)
1．设)6,1(~U X ，则方程012=++aX a 有实根的概率为 4/5 。

2．用随机变量X 的分布函数)(x F 表达下列概率：
)(a X P >= 1-F(a) ，=≤<)(b X a P F(b)-F(a) 。

3．设随机变量1~3,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则(1)P X ≥= 19/27 。

4．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤<+=其他,
010,)(x b ax x f ，且21
)(=X E ，则
=a 0 ，=b 1 。

5．设,5.0,
9)(,4)(===XY Y D X D ρ 则=),(Y X COV 3 。

6．设随机变量),(Y X 为某二维区域上的均匀分布，
其联合概率密度函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧<<<=其他,01
0,2),(y x y x f ，
则=>+)1(Y X P 1/2 。

7．设总体X 具有分布律 ：
X
1
2
p
2θ
)1(2θθ- 2)1(θ-
其中)10(<<θθ为未知参数，n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，则θ的矩估计量为
2
2X
- 。

8．设二维随机变量(),X Y 的联合概率分布律为
Y
X 1 2
1 2
21
41
81
8
1
则(2)P XY == 3/8 。

三、综合题（60分）
1、（本题16分）设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他
,
02
0,10,
2
1
),(y x y x f
（1）求关于X 与Y 的边缘概率密度函数； （2）判断X 与Y 是否相互独立； （3）计算)(),(),(XY E Y E X E （4）判断X 与Y 是否相关；
(1) ⎩⎨⎧≤≤=其他,010,1)(x x f X ; ⎩
⎨⎧≤≤=其他,02
0,2/1)(y y f Y ；
(2) 相互独立；(3) ;/21)(,1)(,/21)(===XY E Y E X E (4) 不相关。

2．（本题12分）设总体X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<+=其它
,
01
0,
)1()(x x x f θθ，
n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，n x x x ,,,21Λ为其观测值，
求θ的极大似然估计值。

似然函数为()()θ
θθn n
x x x L Λ211)(+=
取对数 ()()n x x x n L Λ21ln 1ln )(ln θθθ++= 令
()0ln 1
)(ln 21=++=n x x x n d L d Λθθθ 得1)ln(n -ˆ1-=n x x Λθ
3．（本题10分）某学校有20000名住校生,每人以80%的概率去本校某食堂就餐，
每个学生是否去就餐相互独立。

问：食堂应至少设多少个座位，才能以99%的概率保证去就餐的同学都有座位？
设X 为20000万名学生中去食堂就餐的人数，食堂至少设n 个座位， 则)8.0,20000(~B X ，由中心极限定理得)32000,16000(~N X
要使99.0320016000)(=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ=≤n n X P 而99.0)2.325=Φ（
则
325.23200
16000=-n 从而16131=n
4．（本题10分）某百货商场的日销售额X 服从正态分布，去年的日均销售额为53.6（万元）。

今年随机抽查了10个日销售额，其样本均值和样本方差分别为
36,2.572==s x 。

问今年的日均销售额与去年相比有无显著变化？（0.05=α）
（提示：6.53:0=μH ，6.53:1≠μH ）
检验统计量为：)9(~/6.53T t n
S X -=
0H 的拒绝域为()9025.0t T ≥
T 的观测值为
2622.28972.110
6/6.53-57.2<=
未落入拒绝域，故认为今年的日均销售额与去年相比无显著变化。

5．（本题12分）设321,,X X X 是来自总体均值为μ的总体X 的样本．试验证下面两
个估计量：
（1）3211213161ˆX X X ++=μ
（2）32125
2
5152ˆX X X ++=μ
都是总体均值μ的无偏估计，并指出哪一个估计量最有效．
（1）由μμ
=++=)21
3161()ˆ(3211X X X E E μμ
=++=)52
5152()ˆ(3212X X X E E 得均为无偏估计 （2）由)(187
)213161()ˆ(3211X D X X X D D =++=μ
)(25
9
)525152()ˆ(3212X D X X X D D =++=μ
得2ˆμ
比1ˆμ更有效。