2020年高中数学空间向量与立体几何综合检测试题三(含答案解析)

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2020年高考数学(理)重难点专练03 空间向量与立体几何(解析版)

2020年高考数学（理）重难点03 空间向量与立体几何【高考考试趋势】立体几何在高考数学是一个必考知识点，一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，理科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题.前面的重点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续加强对高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强.本专题包含了高考中几乎所有题型，学完本专题以后，对以后所有的立体几何你将有一个更加清晰的认识.【知识点分析以及满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求.但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．8【答案】B 【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B【点睛】：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 2．（2019·天津高考模拟（理））已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．3πB ．C ．D ．12π【答案】D 【解析】【分析】由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果. 【详解】2BD CD ==Q 且BCD ∆为直角三角形 BD CD ∴⊥又AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD CD AB ∴⊥CD \^平面ABD由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即12R == ∴球O 的表面积：2412S R ππ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.3．（2019·河南高考模拟（理））如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ，所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥，若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．4．（2019·贵州高考模拟（理））设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题：∴若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ∴若//a β，m β⊂，则//m α； ∴若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ∴若//m α，//n β，//m n ，则//αβ其中正确命题的序号是（） A ．∴∴ B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】C 【解析】∴两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于∴，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C.5．（2019·福建高考模拟（理））在三棱锥P ABC -中，3PA PB ==，BC =8AC =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为（）．A B C D ．2【答案】A 【解析】【分析】取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED ，得E 为∴ABC 外接圆的圆心，且OE∴平面PAB ，然后求出∴PAB 的外接圆半径r 和球心O 到平面PAB 的距离等于d ，由勾股定理得R .【详解】解：取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED 因为AB BC ⊥，所以E 为∴ABC 外接圆的圆心因为OE∴PD ，OE 不包含于平面PAB ，所以OE∴平面PAB 因为平面PAB ⊥平面ABC ，3PA PB ==，得PD ⊥AB ，ED ⊥AB 所以PD ⊥平面ABC ，ED ⊥平面PAB且AB ==PD 1=所以球心O 到平面PAB 的距离等于ED d ==在∴PAB 中，3PA PB ==，AB =1sin 3PAB ∠=，所以∴PAB 得外接圆半径2r 9sin PB PAB ∠==，即9r 2=由勾股定理可得球O 的半径R ==故选：A. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，经常用球中勾股定理R =R 是外接球半径，d 是球心到截面距离，r 是截面外接圆半径.二、解答题6．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形,//AB AD AB CD ⊥，224AB AD CD ===，4PC =.（1）证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC ；（2）求锐二而角A PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】【分析】（1）由PC ⊥底面ABCD ，证得AC PC ⊥，又由勾股定理，得AC CB ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理，可得平面EAC ⊥平面PBC ，即可得到结论；（2）分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面PBC 和平面PAB 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】（1）由题意，因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PC ⊥，又因为224AB AD CD ===，所以4AB =，2AD CD ==，所以AC BC ==，所以222AC BC AB +=，从而得到AC CB ⊥．又BC ⊂Q 平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂Q 平面ACE ，所以平面EAC ⊥平面PBC ，所以当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC. （2）由条件知PC ⊥底面ABCD ，且AB AD ⊥， AB C D ∥所以过点C 作CF CD ⊥交AB 于点F ，分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），所以(0,0,0)C ，(2,2,0)A ，(2,2,0)B -，(0,0,4)P .由（1）知CA u u u r为平面PBC 的一个法向量，因为(2,2,0)CA =u u u r，(2,2,4)PA =-u u u r (2,2,4)PB =--u u u r ，设平面P AB 的一个法向量为(,,)n=x y z r，则(,,)(2,2,4)00(,,)(2,2,4)00x y z n PA x y z n PB ⎧⋅-=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅--=⋅=⎩⎩u uu v r u u u v r ，即02x y z=⎧⎨=⎩，令1z =，则2y =，所以(0,2,1)n =r，所以|||cos ,|5||||CA n CA n CA n ⋅〈〉===uu r ruu r r uu r r ，故锐二面角A PB C --的余弦值5．【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.7（2017·广东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒， PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.(1)设点E 为PD 的中点，求证： //CE 平面PAB ；(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线CN 与平面PAC 所成的角θ的正弦值为5？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由. 8．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（23）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且FQ =【解析】【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC V 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥，因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC P 平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C，所以(1,1,,(1,1,0)PB BC ==-u u u r u u u r.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =r，则(,,)(1,1,0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v r u u u v r即0,0,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,,y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC的一个法向量为m =r. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u uv r u u uv r ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则平面ABP的一个法向量为)n =r，cos ,3m n <>==u r r，于是sin ,3m n 〈〉=r r. 故二面角A PB C --（3）设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(01)FQ FE λλ=u u u r u u u r &剟，整理得1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,22BQ λλ⎛+=-- ⎝⎭u u u r . 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62||||BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u ru u u r u r u u ur u r 解得21λ=，由知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q，且FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n u r r 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>u r r互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．9．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆为等边三角形，22PA AB ==，AC CD ⊥，PD 与平面PAC 所成角的正切值为5.(∴)证明：//BC 平面PAD ；(∴)若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值.【答案】（∴）见解析.（∴ 【解析】【分析】(∴)先证明DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角，于是可得CD =60CAD ∠=︒．又由题意得到60BCA ∠=︒，故得//BC AD ，再根据线面平行的性质可得所证结论． (∴) 取BC 的中点N ，连接AN ，可证得AN AD ⊥．建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDM 的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值．【详解】(∴)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥又AC CD ⊥,CA PA A =I , 所以CD ⊥平面PAC ，所以DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角．在Rt PCD V中，PC ==所以CD =所以在Rt PCD V 中，2AD =,60CAD ∠=︒. 又60BCA ∠=︒，所以在底面ABCD 中，//BC AD , 又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD ．(∴)解：取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥,由(∴)知//BC AD ，所以AN AD ⊥，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .则(0,0,2)P，1,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2,0)D，1,14M ⎫-⎪⎪⎝⎭所以3,,022CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，(0,2,2)PD =-u u ur，9,,144DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu u r设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由1100n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vu u u v，即111130220y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得1111x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令11y =，则1,1)n =u r．设平面CDM 的一个法向量为()2222,,n x y z =u ur，由2200n CD n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v，即2222230940y y z ⎧+=⎪-+=，得222232x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令21y =，则232n ⎫=⎪⎭u u r ．所以121212331cos ,||||n n n n n n ++⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 由图形可得二面角P CD M --为锐角，所以二面角P CD M --【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论． 10．（2018·吉林高考模拟（理））如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ， M ， N 分别是棱AB ， AD ， 11A B ， 11A D 的中点，点P ， Q 分别在棱1DD ， 1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）12λ=±.【解析】以D 为原点，射线DA ， DC ， 1DD 分别为x ， y ， z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.由已知得()2,2,0B ， ()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ， ()0,0,P λ， ()1,0,2N ， ()2,1,2M ，则()12,0,2BC =-u u u u r， ()1,0,FP λ=-u u u r ， ()1,1,0FE =u u u r ， ()1,1,0NM =u u u u r ， ()1,0,2NP λ=--u u u r.（1）当1λ=时， ()1,0,1FP =-u u u r ，因为()12,0,2BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ . （2）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,n x y z =r，则由0{0FE n FP n ⋅=⋅=u u u r ru u u r r，得0{0.x y x z λ+=-+=，于是可取(),,1n λλ=-r . 设平面MNPQ 的一个法向量为()',','m x y z =r，由0{0NM m NP m ⋅=⋅=u u u u r ru u u r r，得()''0{'2'0x y x z λ+=-+-=，于是可取()2,2,1m λλ=--r. 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10m n λλλλ⋅=--⋅-=r r，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±，显然满足02λ<<.故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性。

2019_2020版高中数学第三章空间向量与立体几何测评(含解析)新人教A版选修2_1

第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()①AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;②2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;③AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;④AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .A.①②B.②③C.②④D.①④解析①中,原式=AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,不符合题意;②中,原式=2(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0;③中,原式=AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,不符合题意;④中,原式=(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0.故选C.答案C2.已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为()A.-2B.-143C.145D.2解析∵a⊥(a-λb),∴a·(a-λb)=|a|2-λa·b=0,∴|a|2=λa·b,∴14=λ(2+2+3)=7λ,解得λ=2.故选D.答案D3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是()A.相交B.垂直C.不垂直D.成60°角解析因为AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABCD.答案B4.已知正四面体ABCD 的棱长为a ,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.a 2B.14a 2C.12a 2D.√34a 2解析在正四面体ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因为是正四面体,所以BE ⊥AD ,∠BAD=π3,即AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB|·|AD|cos π3=A 22,所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 24,故选B.答案B5.已知平面α和平面β的法向量分别为m =(3,1,-5),n =(-6,-2,10),则( ) A.α⊥βB.α∥βC.α与β相交但不垂直D.以上都不对解析∵n =(-6,-2,10),m =(3,1,-5),∴n =-2m .∴m ∥n .∴α与β平行.答案B6.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两两的夹角均为60°,且|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( )A.5B.6C.4D.8解析设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b +c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2c ·a =25,因此|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5.答案A7.三棱锥A-BCD 中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.-2B.2C.-2√3D.2√3解析AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos90°-2×2×cos60°=-2. 答案A8.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A 1B 1C 1,CA=CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.√55B.√53C.2√55D.35解析不妨设CB=1,则B (0,0,1),A (2,0,0),C 1(0,2,0),B 1(0,2,1).∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,2,1). ∴cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×3=√55. 故选A . 答案A9.已知A (1,0,0),B (0,-1,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.±√66B.√66C.-√66D.±√6解析因为A (1,0,0),B (0,-1,1),所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)+λ(0,-1,1)=(1,-λ,λ),|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+2A 2, |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λ, 所以cos120°=√2×√2A 2+1=-12,所以λ<0,且4λ=-√4A 2+2, 解得λ=-√66,故选C.答案C10.若正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等,D 是A 1C 1的中点,则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( ) A.45B.35C.34D.√55解析取AC 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设三棱柱的棱长为2,则A (0,-1,0),D (0,0,2),C (0,1,0),B 1(√3,0,2),∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2).设n =(x ,y ,z )为平面B 1CD 的一个法向量, 由{A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-A +2A =0,√3A -A +2A =0,故{A =0,A =2A ,令z=1,得n =(0,2,1).设直线AD 与平面B 1DC 所成角为α, 则sin α=|cos <AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A |=5×√5=45,所以直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为45.故选A. 答案A11.如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体,E ,F 分别是棱AB ,BC 上的动点,且AE=BF.当A 1,E ,F ,C 1四点共面时,平面A 1DE 与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为( )A.√32B.12C.15D.2√65解析以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则A 1(6,0,6),E (6,3,0),F (3,6,0).设平面A 1DE 的法向量为n 1=(a ,b ,c ),依题意得{A 1·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6A +3A =0,A 1·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6A +6A =0,令a=-1,则c=1,b=2,所以n 1=(-1,2,1). 同理得平面C 1DF 的一个法向量为n 2=(2,-1,1),由题图知,平面A 1DE 与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为|A 1·A 2||A 1||A 2|=12.答案B12.在三棱锥P-ABC 中,PC ⊥底面ABC ,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,则点C 到平面PAB 的距离是( ) A.3√427B.4√427C.5√427D.6√427解析∵在三棱锥P-ABC 中,PC ⊥底面ABC ,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,∴以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴,过A 作平面ABC 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,则C (0,4,0),P (0,4,4√6),A (0,0,0),B (4,0,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,4√6), 设平面PAB 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{A ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4A +4√6A =0,A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4A =0, 取z=1,得n =(0,-√6,1),∴点C 到平面PAB 的距离d=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A ||A |=√67=4√427.故选B. 答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,5),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,x ,y ),若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy= . 解析∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴存在实数k 使得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴{2=3A ,4=AA ,5=AA ,则xy=20A 2=20(23) 2=45.故答案为45.答案4514.已知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5,3),则平面ABC 的单位法向量是 . 解析设平面ABC 的法向量n =(x ,y ,z ),则{AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A =0,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A =0,即{2A +2A +A =0,4A +5A +3A =0.令z=1,得{A =12,A =-1,所以n =(12,-1,1),故平面ABC 的单位法向量为±A |A |=±(13,-23,23).答案±(13,-23,23)15.已知正四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中,上底面A 1B 1C 1D 1边长为1,下底面ABCD 边长为2,侧棱与底面所成的角为60°,则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为 .解析设上、下底面中心分别为O 1,O ,则OO 1⊥平面ABCD ,以O 为原点,直线BD ,AC ,OO 1分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,A 1B 1=1,所以AC=BD=2√2,A 1C 1=B 1D 1=√2. 因为平面BDD 1B 1⊥平面ABCD , 所以∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角, 故∠B 1BO=60°.设棱台高为h ,则tan60°=√2-√22,h=√62,所以A (0,-√2,0),D 1(-√22,0,√62),B 1(√22,0,√62),C (0,√2,0), 所以AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,√2,√62),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,√2,-√62), 故cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=14, 故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14. 答案1416.已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=√3,将矩形ABCD 沿对角线AC 折起,使平面ABC 与平面ACD 垂直,则B 与D 之间的距离为 .解析如图,过B ,D 分别向AC 作垂线,垂足分别为M ,N.则可求得AM=12,BM=√32,CN=12,DN=√32,MN=1.由于AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(√32)2+12+(√32)2+2(0+0+0)=52,故|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√102.答案√102三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O ,G 为BD 上一点,BG=2GD ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .解因为BG=2GD ,所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-2b , 所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+23(a+c-2b ) =23a-13b+23c.18.(本小题满分12分)已知向量a =(1,-3,2),b =(-2,1,1),点A (-3,-1,4),B (-2,-2,2). (1)求|2a+b |;(2)在直线AB 上,是否存在一点E ,使得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥b ?(O 为原点) 解(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=√02+(-5)2+52=5√2. (2)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1,4)+t (1,-1,-2)=(-3+t ,-1-t ,4-2t ),若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥b ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·b =0,所以-2(-3+t )+(-1-t )+(4-2t )=0,解得t=95,因此存在点E ,使得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥b ,此时点E 的坐标为E (-65,-145,25).19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=π2,D 是棱AC 的中点,且AB=BC=BB 1=2.(1)求证:AB 1∥平面BC 1D ;(2)求异面直线AB 1与BC 1所成的角.(1)证明如图,连接B 1C 交BC 1于点O ,连接OD.因为O 为B 1C 的中点,D 为AC 的中点,所以OD ∥AB 1. 因为AB 1⊄平面BC 1D ,OD ⊂平面BC 1D ,所以AB 1∥平面BC 1D.(2)解建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz ,则B (0,0,0),A (0,2,0),C 1(2,0,2),B 1(0,0,2), 因此AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2).所以cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |==12,设异面直线AB 1与BC 1所成的角为θ,则cos θ=12,由于θ∈(0,π2),故θ=π3.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点D 在棱A 1B 1上,E ,F 分别是CC 1,BC 的中点,AE ⊥A 1B 1,AA 1=AB=AC=2.(1)证明:DF ⊥AE ;(2)当D 为A 1B 1的中点时,求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值. (1)证明在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,有AA 1⊥A 1B 1,又因为AE ⊥A 1B 1,所以A 1B 1⊥平面AA 1C 1C , 因为A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ,所以A 1B 1⊥A 1C 1. 所以AB ⊥AC ,AB ⊥AA 1,AC ⊥AA 1,如图,分别以AC ,AA 1,AB 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A-xyz , 则C (2,0,0),B (0,0,2),A (0,0,0),A 1(0,2,0),F (1,0,1),E (2,1,0).设D (0,2,t ),则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,t-1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,t-1)·(2,1,0)=0, 所以DF ⊥AE.(2)解当D 为A 1B 1的中点时,D (0,2,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{A +A -A =0,A -2A =0,令y=1得,n =(2,1,3),容易知平面ABC 的法向量为n 0=(0,1,0), 所以cos <n ,n 0>=A ·A 0|A |·|A 0|==√1414, 即平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为√1414. 21.(本小题满分12分)如图1,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,过A ,B 分别作AE ⊥CD ,BF ⊥CD ,垂足分别为E ,F.AB=AE=2,CD=5,已知DE=1,将梯形ABCD 沿AE ,BF 同侧折起,得空间几何体ADE-BCF ,如图2.(1)若AF ⊥BD ,证明:DE ⊥平面ABFE ;(2)若DE ∥CF ,CD=√3,线段AB 上存在一点P ,满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√520,求AP 的长. (1)证明由已知得四边形ABFE 是正方形,且边长为2,在图2中,AF ⊥BE ,由已知得AF ⊥BD ,BE ∩BD=B ,∴AF ⊥平面BDE , 又DE ⊂平面BDE ,∴AF ⊥DE ,又AE ⊥DE ,AE ∩AF=A ,∴DE ⊥平面ABFE.(2)解在图2中,AE ⊥DE ,AE ⊥EF ,DE ∩EF=E ,即AE ⊥平面DEFC ,在梯形DEFC 中,过点D 作DM ∥EF 交CF 于点M ,连接CE ,由题意得DM=2,CM=1,由勾股定理可得DC ⊥CF ,则∠CDM=π6,CE=2,过点E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ,可知GE ,EA ,EF 两两垂直,以E 为坐标原点,以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,1,√3),D 0,-12,√32,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,√3),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,-12,√32.设平面ACD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 由{A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-2A +A +√3A =0,-2A -12A +√32A =0,取x=1得n =(1,-1,√3), 设AP=m ,则P (2,m ,0)(0≤m ≤2),得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m-1,-√3), 设CP 与平面ACD 所成的角为θ, sin θ=|cos <AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√5×√7+(A -1)2=√520⇒m=23. 所以AP=23.22.(本小题满分12分)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,A 1B ⊥AC 1,AC=AA 1=4,BC=2.(1)求证:平面A 1ACC 1⊥平面ABC ;(2)若∠A 1AC=60°,在线段AC 上是否存在一点P ,使二面角B-A 1P-C 的平面角的余弦值为√34?若存在,确定点P 的位置;若不存在,说明理由. (1)证明∵AC=AA 1,∴四边形AA 1C 1C 为菱形,连接A 1C ,则A 1C ⊥AC 1,又A 1B ⊥AC 1,且A 1C ∩A 1B=A 1,∴AC 1⊥平面A 1CB ,则AC 1⊥BC ,又∠ACB=90°,即BC ⊥AC ,∴BC ⊥平面A 1ACC 1,而BC ⊂平面ABC ,∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC.(2)解以C 为坐标原点,分别以CA ,CB 所在直线为x ,y 轴,面A 1ACC 1内过点C 且垂直于AC 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,∵AC=AA 1=4,BC=2,∠A 1AC=60°,∴C (0,0,0),B (0,2,0),A (4,0,0),A 1(2,0,2√3).设在线段AC 上存在一点P ,满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),使得二面角B-A 1P-C 的余弦值为√34. 则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4λ,0,0).AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,0)+(-4λ,0,0)=(4-4λ,-2,0),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-4λ,0,-2√3),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2√3).设平面BA 1P 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1), 由{A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-4A )A 1-2A 1=0,A ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-4A )A 1-2√3A 1=0,取x 1=1,得m =1,2-2λ,√3,平面A 1PC 的一个法向量为n =(0,1,0). 由|cos <m ,n >|=|A ·A ||A ||A |=√1+(2-2A )2+(1-2A )23×1=√34, 解得λ=43或λ=34.因为0≤λ≤1,所以λ=34.故在线段AC 上存在一点P ,满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,使二面角B-A 1P-C 的余弦值为√34.。

数学选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何章末检测试卷(三)

章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________．答案 5解析 ∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2， ∴x ＝5.2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案－23a ＋12b ＋12c解析如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________. 答案－15解析 ∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面平行答案平行或重合解析 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 32解析由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1. 由空间向量数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12，从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32.6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 为________三角形．答案直角解析 ∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________．(填序号)①⎝⎛⎭⎫1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)．答案 ①解析由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又⎝⎛⎭⎫1，1，12＝12n ，∴①正确． 8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为________．答案 120°解析如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角，由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉， ∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12，又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]， ∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.答案－112AB →－13AC →＋34AD →解析 GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案 18解析 ∵AC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→，|AC ′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′—→＋AD →·AA ′—→) ＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324， ∴|AC ′—→|＝324＝18.11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________．答案105解析不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系S －xyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，0，12. 因为SM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12，所以|SM →|＝12，|BN →|＝54， SM →·BN →＝－12，cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →| |BN →|＝－105，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105. 12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案3－2cos θ解析因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ，即AD 的长为3－2cos θ.13．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫43，43，83解析设Q (x ，y ，z )，因为Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ，则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 14．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面．其中不正确的命题为________．(填序号) 答案 ①②③④解析 ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1—→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b <0，即cos 〈a ，b 〉<0⇒π2<〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1—→是不共面的．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.16．(14分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0，由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0，由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．17．(14分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1—→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN→＝αAB →＋βAD →＋γAA 1—→，试求α，β，γ的值．解 (1)取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连结EF ，则12AA 1—→＋BC →＋23AB → ＝EA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1F —→＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC 1—→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1—→，所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(16分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明如图所示，以C 1为坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1—→＝(0，－2，－2)，AB 1—→＝(－2,2，－2)， ∴BC 1—→·AB 1—→＝0－4＋4＝0，即BC 1—→⊥AB 1—→，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1—→＝(0，－2，－2)， ∴ED →＝－12BC 1—→，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .19．(16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．(1)求BP 与DM 所成的角的大小； (2)求二面角M －DA －C 的大小．解 (1)以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ. ∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角θ＝90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)， BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0. 又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22.∴所求的二面角M －DA －C 的大小为45°.20．(16分)如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求PQ 的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明取AB 的中点O ，连结OD ，OE ，因为△ABE 是正三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD ，又OE ∩OD ＝O ，所以AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥DE .(2)解因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，OE ⊂平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB . 所以OE ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (－1,0,0)， D (0,0,1)，C (－1,0,1)， E (0，3，0)，所以AD →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，3，－1)．最新中小学教案、试题、试卷设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DE →＝0，n 1·AD →＝0，即⎩⎨⎧3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0，令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33，所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1，同理可求得平面BCE 的一个法向量为 n 2＝(－3，1,0)，设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪33－373×2＝77，所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解假设存在Q (x 2，y 2,0)满足题意，因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12，又CD →＝(1,0,0)，DE →＝(0，3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →＝0，PQ →·DE →＝0，即⎩⎨⎧ x 2＋12＝0，3⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12＝0，解得⎩⎨⎧x 2＝－12，y 2＝33，易知点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0在△ABE 内，所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。

2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册《空间向量与立体几何》章节综合训练及答案解析

2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册《空间向量与立体几何》章节测试卷
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a =(1,,2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是( )
A.-1
B.
C.1
D.-
2.若a,b,c是空间任意三个向量,λ∈R,下列关系中,不成立的是( )
A.a+b=b+a
B.λ(a+b)=λa+λb
C.(a+b)+c=a+(b+c)
D.b=λa
3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则++等于(
)
A. B. C. D.
4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )
A.不等边锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
5.已知平面α的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面β的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面α与平面β( )
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《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷与答案解析(共三套)

《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（） A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23B ．3C ．3D ．137．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）AB ．2C D 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=___________．14．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是_____.四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）17．如图，2BC =，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ；（2）求二面角11B AC D --的余弦值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．答案解析第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点12PEPA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC 故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（） A ．9 B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B.3．下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-，平面α的法向量为()3,6,9n =--，∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥．故选C ．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--．则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AAAB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A ．23B C．3D ．13【答案】A【解析】设1AB =11BD BCDC ∴===，1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴== 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）AB．2CD【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝||2||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N到该面的故选：D ．8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+，根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ，则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ，则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确；由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量，则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示：A 项：取BD 的中点O ，连结OP 、OC ，因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点，所以,,OP BD OC BD OPOC O ⊥⊥=,BD ⊥平面POC ，BD ⊂平面BCD ，所以POC ⊥平面BCD ，所以POC 平面BCDOC ，所以PC 在平面BCD 的射影为OC ，PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角，PO OC ，三角形POC 是等腰三角形，当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成角为60，故A 错误； B 项：当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得CD PN ⊥，CD BN ⊥，故CD ⊥平面PBN ，PB CD ⊥，故B 正确； C 项：因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点，所以PO BD ⊥，CO BD ⊥，因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线，所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角，因为二面角P BD C --的大小为90，所以90POC ∠=，因为PO OC ==PC =C 正确；D 项：因为BN =B 到平面PDC则BN ⊥平面PCD ，2PB =，BN =1PN =，1DN =，则PD =D 错误，故选：BC.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=________．【答案】3.【解析】因为(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =所以()5,4,5b c += 所以()()2534153a b c +=⨯+-⨯+⨯=故答案为：314．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 0in cos n PA n PAθθ===⋅=⋅， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．【答案】60︒【解析】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD =++.2222222CD CA AB BD CAAB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅(2222648268cos ,CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CABD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是______.【解析】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ，所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===，设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =，则点B 到平面α距离为12||||BA n d n x ⋅===点C 到平面α距离为12||||CA n d n x ⋅===由①②可得||||,|||y x zx==，所以D 到平面α的距离为2|||||AD n n x x ⋅===故答案为四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分） 17．如图，2BC =，原点O 是BC的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．【答案】（1）3(0,2-；（2）.【解析】（1）过D 作DE BC ⊥于E ，则sin302DE CD =⋅︒=，11cos60122OE OB BD =-︒=-=，所以D 的坐标为1(0,2D -，又因为(0,1,0)C ，所以3(0,2CD =-．（2）依题设有A 点坐标为1,0)2A ，所以(2AD =--，(0,2,0)BC =，则AD 与BC 的夹角的余弦值为·cos ,·AD BC AD BC AD BC==-．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【答案】（1）1BC a c b =+-；12BC =（2【解析】（1）1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-，因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以22221()2221111BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=+++-=．（2）因为1AB a b =+，所以2221()2111AB a b a b a b =+=++⋅=++=因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a ca b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,62AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为619．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1=MN ，0，1)-，平面11A ADD 的法向量可设为(0n =，1，0)，∴0=MN n ，MN ⊂/平面11A ADD ，MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-， 11·0MN AB ∴=，1·0MN AM =， 11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ；（2）求二面角11B AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥，且1BB BD B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ， ∴AC ⊥平面1BB D . 又∵AC ⊂平面1ACD ， ∴面1ACD ⊥面1BB D .（2）易知AB 、AD 、1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，设AB t =，则相关各点的坐标为()0,0,0A ，(),0,0B t ，()1,0,4B t ，(),1,0C t ， ()1,1,4C t ，()0,4,0D ，()10,4,4D .从而(),1,0AC t =，(),4,0BD t =-. ∵AC BD ⊥，∴2400AC BD t ⋅=-++= 解之得2t =或2t =-（舍去）.()10,4,4AD =，()2,1,0AC =设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20440x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则()11,2,2n =-.同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.∴12122cos 63||||3n n n n θ⋅-===⋅.又∵二面角11B AC D --是锐二面角， ∴二面角11B AC D --21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ,AB CD =,四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点，//B HE P ,又HE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴ 直线//PB 平面ACE（2）AB ⊥平面PAD ,作Ax AP ⊥,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒ 得(0,0,2)B ,(0,2,0)P,1,0)D -,1,2)C -(0,2,2)PB =-- , (3,3,0)PD =- (0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =·0·0n CD n PD ⎧=⎨=⎩ , 200Z y -=⎧⎪-=，不妨取(1,3,0)n =2cos ,422PB n PBn PB n-∴<>===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为422．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2；（3）3【解析】（1）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)，设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =，(1,2,2)BE =--，(0,2,0)AB =，由·220·20m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎨==⎩，取1z =，得(2,0,1)m =，又(1,2,2)DF =-，∴2020DF m =-++=，则DF m ⊥，又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）解：设平面BEF 的法向量111(,,)n x y z =，(1,2,2)BE =--，(1,2,0)EF =-，由11111·220·20n BE x y z n EF x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取11y =，可得(2,1,2)n =，42cos ,||||35m n m n m n +∴<>===，5sin ,5m n ∴<>=，即平面ABE 与平面BEF ；（3）解：点P 在线段EF 上，设EP EF λ=，[0λ∈，1]，∴(1AP AE EF λ=+=-，0，2)(1λ+-，2，0)(1λ=--，2λ，2)，又平面BEF 的法向量(2,1,2)n =，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ，∴|||2(1sin |cos ,|||||3(AP n AP n AP n θλ-=<>===-，24518110λλ∴+-=，即(31)(1511)0λλ-+=，[0λ∈，1]，∴13λ=．∴4(3AP =-，23，2)，则||(AP =-，AP ∴．《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（二）一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）323向量()()(,1,1,b 1,,1,c 2,4,2a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（）5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=1MN = 6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________.10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定题序号都填上）三、解答题, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（3）求点B 到平面OCD 的距离.为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；答案解析一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+，即112223EF AC AB AD →→→→=--+.故选：B.2.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）A ．BC ．3D ．4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,,a b ⊥()214+20,a b x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，(223a b ∴+=+=,故选C. 3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A B ．2C ．3λ D 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝255EM nn==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距，选D ．4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CBx x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x，因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C ABD --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB，因为311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=，3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++，故B 正确；对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅，0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=，()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+= 0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=，0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=，0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=，()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅=故C 正确；对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-12MN PA PB PC ∴=--，222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅===2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90︒时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC 【解析】如图所示：对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒，故A 错误；对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ，所以PB CD ⊥，故B 正确；对C ，当二面角P BD C --的大小为90时，所以90∠=POC ，所以PO OC ==所以PC =故C 正确；对D ，因为BN =所以如果B 到平面PDC ，则BN ⊥平面PCD ，则2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；故选：BC.二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90； 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0），设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°． ∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D EEC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D ，则CH =，设1AA a =，则AO CO ==AC =得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(A ，()12,0,0B ，()10,2,0D，(D ，(10,2,AD =-，(12,0,AB =-，(1B D =-，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x，得()2,2,1n =.11110cos ,10B D n B D n B D n⋅==1B D 与平面1111D C B A所成的角的余弦值为.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________. 【答案】42【解析】如图，设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球，因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱，所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，所以θ最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ =，1ED =,因为11EC D △为等腰三角形，所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠,则54GE =，从而53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,0F ，3,1,14O ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,2DD ∴=，()2,1,0DF =，设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DD z n DF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩，令1x =，则()1,2,0n =-，因为3,1,14OC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n OC θ===10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①③④【解析】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,,0E y ，则()1,0,1BP =-，()1,2,0CE y =--，cos ,2BP CE BP CE BP CE⋅==≤⋅2y =时等号成立，此时,4BP CE π=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45，①正确；()()1,,01,2,121BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误；将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，1111112323226BCE E BCO OBCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.三、解答题11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，,, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖（3）求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系, (1)设平面OCD 的法向量为,则即取解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ⊥,,x yz (0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=--(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖AB MD θ(1,0,0),(1)2AB MD ==--∵1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴AB MD 3πd d OB (0,4,2)n =由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为12.在三棱锥A —BCD 中，已知,BD=2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO=2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF=14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sinθ的值．【解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==2311200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=-12cos ,n n ∴<>==，因此sin 13θ==.《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（三）一、单选题1．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．无法确定2．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（）111ABCD A B C D -M AC BD 11A B a =11A D b =1A A c =1B MA ．B ．C ．D ． 3．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（） A ．2B ．C ．10D ．4．如图，已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中，E 是CC'的中点，，，，x y z ，则（）A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ，y ＝1，z5．正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（） A ．B ．C ．D ．6．已知，若点D 是AC 中点，则( ) A ．2B ．C ．-3D ．67．平行六面体中，，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ． B ．C ．D ．8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）1122a b c -++1122a b c ++1122a b c -+1122a b c --+()0,1,1a =()1,2,1b =-a b +()2,,4c m =--m2-10-1'2a AA =12b AB =13c AD =AE =a +b +c 12=12=32=(1,2,1)A--(1,0,1)B323π4π(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =BC OD ⋅=32-1111ABCD A B C D -12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++1,32,3232,31,3232,32,3132,31,223111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1AB 1BCABCD ．9．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．10．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（）A ．BCD ．二、多选题11．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（）A ．B ．C ．是平面ABCD 的一个法向量D ．12．在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )6111ABC A B C -1AA ⊥ABC 13AA =2AB AC BC ===1AA 11AB C 3045︒60︒90︒(1,6),(3,8)A B --x 60︒,A B ()2,4,1AB =--()4,2,0AD =()1,2,1AP =--AP AB ⊥⊥AP AD AP //AP BD 1111ABCD A B C D -E F 11A D 11C DA ．平面B ．平面C ．D ．点与点到平面的距离相等 13．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（）A ．=B ．C ．三棱锥的体积为D ．与平面BB′C′C 所成的角为三、填空题14．已知向量2，，x ，，且，则x 的值为______． 15．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.16．如图所示，在正方体中，M 为棱的中点，则异面线与AM 所成角的余弦值为________.17．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．11//A C CEF 1B D ⊥CEF 112DA DD C DC E =+-D 1B CEF ABC A B C '''-BC 'B C 'O AO 111222AB AC AA '++AO B C '⊥A BB O '-24AO π6(3,a =-5)(1,b =1)-8a b ⋅=(2,1,2)a =-(4,2,)b m =-a b m 1111ABCD A B C D -1CC 1BD ABCD ADPQ ,,M E F ,,PQ AB BC ME ABCD EMAF四、解答题18．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线AE 和平面OBC 的所成角.19．如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．20．如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.O ABC -OA OB OC ，，1OA =2OB OC ==EOC BEAC S OABC -SO ⊥OABC OABC 90COA OAB ∠=∠=︒1,4OA OS AB OC ====M SB N OC :1:3ON NC =(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求与平面所成的角的正弦值．21．如图，在正方体中，分别是的中点。

高三数学空间向量与立体几何训练卷及答案

三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10 分）如图，在平行六面体 ABCD − A1B1C1D1 中， AB = 5 ， AD = 3 ， AA1 = 4 ， DAB = 90 ， BAA1 = DAA1 = 60 ， E 是 CC1 的中点，设 AB = a ， AD = b ， AA1 = c ．（1）用 a ， b ， c 表示 AE ；（2）求 AE 的长．
2
2
2
因为正四面体中， BC ⊥ 平面 ADE ，所以 BE ⊥ AD ， BAD = π ， 3
即 BE AD = 0 ， AB AD =| AB | | AD | cos π = a2 ，∴ AE AF = a2 ．
32
4
4．【答案】B
【解析】如下图所示，以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间
21．（12 分）如图，已知 ABCD 是矩形， M ， N 分别为边 AD ， BC 的中点， MN 与 AC 交于点 O ，沿 MN 将矩形 MNCD 折起，设 AB = 2 ， BC = 4 ，二面角 B − MN − C 的大小为．（1）当 = 90 时，求 cos AOC 的值；（2）当 = 60 时，点 P 是线段 MD 上一点，直线 AP 与平面 AOC 所成的角为．若sin = 14 ，求
4 平面 BCC1B1 的一个法向量为 a = (0,1, 0) ，
所以， sin = AP a =
3
=
3
| AP | | a | (m − 3)2 + 9 + n2 (m − 3)2 + 9 + ( 3 m)2

2020_2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何能力检测含解析新人教A版选修2_1

第三章能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．设{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底的向量是( )A．a B．bC．c D．a或b【答案】C【解析】向量p，q均与a，b共面，所以只能与c组成基底．2．已知空间直角坐标系中点A(1,0,0)，B(2,0,1)，C(0,1,2)，则平面ABC的一个法向量为( )A．(－1，－3,2) B．(1,3，－1)C．(1,3,1) D．(－1,3,1)【答案】B【解析】AB→＝(1,0,1)，AC→＝(－1,1,2)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝x＋z＝0，n·AC→＝－x＋y＋2z＝0，n＝(1,3，－1)为平面ABC的法向量．故选B．3．设A，B，C，D是空间不共面的四点且满足AB→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，AC→·AD→＝0，则△BCD是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定【答案】C【解析】由AB→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，AC→·AD→＝0，可知AB→⊥AC→，AB→⊥AD→，AC→⊥AD→，即三棱锥ABCD的三侧棱两两垂直，则其底面为锐角三角形．4．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°【答案】C【解析】cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2－25·6＝0，∴a 与b 的夹角为90°.5．(2019年陕西西安期末)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于t ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →等于( )A ．32t 2 B ．34t 2C ．12t 2D ．14t 2【答案】D【解析】设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝t ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.又AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，故AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(t 2cos 60°＋t 2cos60°)＝14t 2.6.已知直线l 过定点A (2,3,1)，且n ＝(0,1,1)为直线l 的一个方向向量，则点P (4,3,2)到直线l 的距离为( )A.2 B.102 C.22 D.322【答案】D【解析】PA ＝(－2,0，－1)，|PA |＝5，PA ·n |n |＝－22，则点P 到直线l 的距离为|PA |2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ·n |n |2＝5－12＝322.7．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12c【答案】B【解析】如图，MN →＝MO →＋OC →＋CN →＝23AO →＋OC →＋12CB →＝－23a ＋c ＋12(b －c )＝－23a ＋12b ＋12c .8．(2019年黑龙江哈尔滨模拟)已知空间向量a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )A ．652B ．65C ．4D ．8【答案】B【解析】|a|＝3，|b|＝3，而a ·b ＝4＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝49，故sin〈a ，b 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝659，于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为S ＝|a||b |sin 〈a ，b 〉＝3×3×659＝65.故选B ．9．已知e 1，e 2，e 3是空间中不共面的三个向量，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1＋e 2，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为( )A ．52，－12，－1B ．52，12，1C ．－52，12，1D ．－52，－12，－1【答案】A【解析】d ＝x a ＋y b ＋z c ＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x －y ＋z )e 2＋(x －y )e 3＝e 1＋2e 2＋3e 2，由空间向量基本定理，空间任一向量都可以用一个空间基底唯一表示，从而得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x －y ＝3.解得x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.故选A ．10．(2019年河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝2，CC 1＝2，则异面直线AB 1和BC 1所成角的正弦值为( )A ．1B ．77C ．12D ．32【答案】A【解析】取线段A 1B 1，AB 的中点分别为O ，D ，则OC 1⊥平面ABB 1A 1，∴可以以OB 1→，OC 1→，OD →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ，如图，则A (－1,0，2)，B 1(1,0,0)，B (1,0，2)，C 1(0，3，0)，∴AB 1→＝(2,0，－2)，BC 1→＝(－1，3，－2)．∵AB 1→·BC 1→＝(2,0，－2)·(－1，3，－2)＝0，∴AB 1→⊥BC 1→，即异面直线AB 1和BC 1所成的角为直角，则其正弦值为1.故选A ．11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，若AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)，则下列结论正确的是( )A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的法向量D.AP∥BD【答案】ABC【解析】∵AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确.又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则C正确.∵BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP ＝(－1,2，－1)，∴BD与AP不平行，故D错误.12.(多选题)已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则( )A.A1D与B1D1是异面直线B.A1D与EF所成角的大小为45°C.A 1F 与平面B 1EB 所成角的余弦值为13D.二面角CD 1B 1B 的余弦值为63【答案】AD【解析】易知A 正确；如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1,0,1).对于B ，∵A 1D ＝(－1,0，－1)，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，∴|A 1D |＝(－1)2＋0＋(－1)2＝2，|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋0＝22，A 1D ·EF ＝12＋0＋0＝12，故cos 〈A 1D ，EF 〉＝A 1D ·EF|A 1D |·|EF |＝12，可知向量A 1D 与EF 的夹角为60°，所以A 1D与EF 所成角的大小为60°，B 错误；对于C ，∵AB ⊥平面B 1C 1CB ，∴AB 是平面B 1EB 的法向量，∵AB ＝(0,1,0)，A 1F ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，∴|AB |＝1，|A 1F |＝32，A 1F ·AB ＝12，故cos 〈A 1F ，AB 〉＝13，∴A 1F 与平面B 1EB 所成角的余弦值为223，C 错误；对于D ，∵AC 1⊥平面B 1D 1C ，∴AC 1是平面B 1D 1C 的法向量，又AC 为平面B 1D 1B 的法向量，故AC 1与AC 所成的角等于二面角C －D 1B 1－B ，∵AC 1＝(－1,1,1)，AC ＝(－1,1,0)，则|AC 1|＝3，|AC |＝2，AC 1·AC ＝2，∴cos 〈AC 1，AC 〉＝63，∴二面角C －D 1B 1－B 的余弦值为63，D 正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．(2017年上海)如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过点D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量DB1→的坐标为(4,3,2)，则向量AC1→的坐标是________．【答案】(－4,3,2)【解析】由DB1→的坐标为(4,3,2)，可得A(4,0,0)，C(0,3,0)，D1(0,0,2)，则C1(0,3,2)，∴AC1→＝(－4,3,2)．14．已知平面α经过点O(0,0,0)且e＝(1,1,1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是__________________．【答案】x＋y＋z＝0【解析】OM→·e＝(x，y，z)·(1,1,1)＝x＋y＋z＝0.15.已知向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，则3a－2b＝，a与b所成角的余弦值为.【答案】(5,13，－28) －7138 230【解析】3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28).a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21，|a|＝32＋52＋(－4)2＝50，|b|＝22＋12＋82＝69，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a||b|＝－2150×69＝－7138230.16．(2019年吉林长春期末)在三棱锥PABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为________．【答案】55【解析】以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0，0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴PA →＝(0,0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·DE→＝0，n ·DF→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.取z ＝1，则n ＝(2,0,1)．设直线PA 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|PA →·n ||PA →||n |＝55.∴直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，得－λ＋2μ＝0.∴当λ，μ满足－λ＋2μ＝0时，可使λa ＋μb 与z 轴垂直．18．(12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，b ＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－1＋0＋02×5＝－1010.∴a 和b 的夹角的余弦值为－1010.(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)．∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8 ＝0. 即2k 2＋k －10＝0.∴k ＝－52或k ＝2. 19．(12分)(2019年福建龙岩期末)如图，在多面体ABCA 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1ABC 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C ．证明：(1)∵二面角A 1ABC 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，∴AA 1⊥平面BAC ．又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ． ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．∴A 1B 1→＝(0,2,0)，A 1A →＝(0,0，－2)，AC →＝(2,0,0)．设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． ∴A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→∥n . ∴A 1B 1⊥平面AA 1C ．(2)易知AB 1→＝(0,2,2)，A 1C 1→＝(1,1,0)，A 1C →＝(2,0，－2)．设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0.令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)． ∴AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0.∴AB 1→⊥m .又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C．20.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD.平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，点E在PC上，DE⊥平面PAC.(1)求证：PA⊥平面PCD；(2)设AD＝2，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°，求DE的长.【解析】(1)证明：由DE⊥平面PAC，得DE⊥PA.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PA.又CD∩DE＝D，所以PA⊥平面PCD.(2)解：取AD的中点O，连接PO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由(1)得PA⊥PD，由AD＝2得PA＝PD＝2，PO＝1.设CD＝a，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，－1,0)，则BC＝(－a,2,0)，PC＝(a,1，－1).设m ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，由⎩⎨⎧m ·BC ＝0，m ·PC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋2y ＝0，ax ＋y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝a ，z ＝3a ，故m ＝(2，a,3a )为平面PBC 的一个法向量. 由(1)知n ＝DC ＝(a,0,0)为平面PAD 的一个法向量.由|cos 〈m ，n 〉|＝m ·n|m ||n |＝|2a |a10a 2＋4＝22，解得a ＝105，即CD ＝105.所以在Rt △PCD 中，PC ＝2155. 由等面积法可得DE ＝CD ·PDPC ＝33.21．(12分)(2019年广东广州期末)如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M分别为CE ，AB 的中点．(1)求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值．解：(1)∵DB ⊥BA ，平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，∴DB ⊥平面ABC ．∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC ．如图，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x 轴，y 轴，以过点C 且与EA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AC ＝BC ＝4，BD ＝12AE ＝2，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，E (4，0,4)． ∴AB →＝(－4,4,0)，CE →＝(4,0,4)． ∴cos 〈AB →，CE →〉＝－1642×42＝－12.∴AB 与CE 所成角的大小为π3.(2)由(1)知O (2,0,2)，D (0,4,2)，M (2,2,0)，∴CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →＝(－2,2,2)．设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·OD→＝0，n ·MD→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝1，则n ＝(2,1,1)．设直线CD 与平面ODM 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CD →〉|＝|CD →·n ||CD →||n |＝3010.∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为3010.22.(12分)(2020年福建泉州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ，P 为BE 的中点，将△ABE 沿BE折起到△A 1BE 的位置，使得A 1C ＝4，如图2.(1)求证：平面A 1CP ⊥平面A 1BE ； (2)求二面角BA 1PD 的余弦值.【解析】(1)证明：如图，连接AP ，PC .∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD上的点，AE ＝13AD ，P 为BE 的中点，∴BE ＝4，∠ABE ＝30°，∠EBC ＝60°，BP ＝2. ∴PC ＝23.∴BP 2＋PC 2＝BC 2.∴BP ⊥PC .∵A 1P ＝AP ＝2，A 1C ＝4，∴A 1P 2＋PC 2＝A 1C 2. ∴PC ⊥A 1P .∵BP ∩A 1P ＝P ，∴PC ⊥平面A 1BE . ∵PC ⊂平面A 1CP ，∴平面A 1CP ⊥平面A 1BE .(2)解：如图，以P 为坐标原点，PB 所在直线为x 轴，PC 所在直线为y 轴，过P 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(－1,0，3)，P (0,0,0)，D (－4，23，0)，∴PA 1＝(－1,0，3)， PD ＝(－4,23，0).设平面A 1PD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·PA 1＝0，m ·PD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3z ＝0，－4x ＋23y ＝0.取x ＝3，得m ＝(3，2,1).易知平面A 1PB 的一个法向量n ＝(0,1,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝22.由图可知二面角BA 1PD 是钝角， ∴二面角BA 1PD 的余弦值为－22.。

(完整版)空间向量与立体几何测试题及答案

高中数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形答案：Ａ2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（）Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++Ｄ．11111()2AB CD AC ++答案：Ｂ3．若，，a b c 为任意向量,∈R m ，下列等式不一定成立的是（）Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为( ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．12Ｄ．2-答案：Ｂ5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于( ）Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ．649答案：Ｂ6．已知非零向量12e e ，不共线,如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，的中点，则2a 等于（）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FGCA ·Ｄ．2EFCB · 答案：Ｂ8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（）Ａ．51122--，，Ｂ．51122-，，Ｃ．51122--，，Ｄ．51122，，答案:Ａ9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89,则λ=（ ) Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-答案：Ｃ10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ )Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Ｂ．(241)，，Ｃ．(2141)-，，Ｄ．(5133)-，，答案:Ｄ11．在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（）Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos6答案:Ｄ12．给出下列命题:①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ,则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ,向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ．答案：2221055⎛⎫-⎪⎝⎭，，14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ．答案：21515．已知线段AB ⊥面α，BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ,30DCF ∠=°,且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===，则AD 的长为．答案：2216．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为．答案：64三、解答题17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，,使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在,请写出证明．答案：解：假设4123a a a a λμν=++成立．1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-．理由即为解答过程．为2a ,求1AC 与侧面18．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系,则113(000)(00)(002)222⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ．由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023aAC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中,底面是等腰直角三角形,90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，，，．由0GE BD GEBD ⊥⇒=·，得1a =, 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ,并延长交xOy 面于H ,设(0)H x y ，，，则1(22)A H x y =--，，．又(201)AD =-，，，(111)AE =-，，．由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M =，·111426cos 2326A AA A A H ==⨯=，·．20．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =,确定P Q ，的位置,使11QB PD ⊥．解：建立如图所示的空间直角坐标系,设BP t =， 22那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，,从而21(2(2)22)QB t =---，，，1(222)PD t =--，，，由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·, 即222(2)2(2)401t t t -----+=⇒=．故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°,SA ⊥面ABCD ，112SA AB BC AD ====，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2A B C D S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．延长CD 交x 轴于点F ,易得(100)F ，，,作AE SF ⊥于点E ,连结DE ,则DEA ∠即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．又由于SA AF =且SA AF ⊥，得11022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，那么102EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，12，111222ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，从而6cos 3EA ED EA ED EA ED ==，·, 因此2tan 2EAF ED =，．故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22．22．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当1CDCC 的值为多少时,1A C ⊥面1C BD ?请予以证明．解:欲使1A C ⊥面1C BD ,只须11AC C D ⊥，且11AC C B ⊥．欲证11AC C D ⊥，只须证110CA C D =·，即11()()0CA AA CD CC +-=·，也就是11()()0CD CB CC CD CC ++-=·, 22由于1C CB BCD ∠=∠，显然，当1CD CC =时，上式成立；同理可得，当1CD CC =时，11AC C B ⊥．因此，当11CDCC =时，1A C ⊥面1C BD ．一。

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2020年高中数学空间向量与立体几何综合检测试题三一、选择题1、下列说法中不正确的是( )A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量2、若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )A．a=(1，0，1)，n=(-2，0，0)B．a=(1，3，5)，n=(1，0，1)C．a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1)D．a=(1，-1，3)，n=(0，3，1)3、若向量a=(1，λ，2)，b=(2，-1，2)，a，b夹角的余弦值为，则λ=( )A．2 B．-2 C．-2或 D．2或-4、已知A(1，2，1)，B(-1，3，4)，C(1，1，1)，，则为( )A． B．C． D．5、两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是( )A．1.5 B．C． D．36、在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE垂直的直线是( )A．AC B．BD C．A1D D．A1A7、已知a，b是两条异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB=2，CD=1，则直线a，b所成的角为( )A．30° B．60° C．90° D．45°8、将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直9、对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则( )A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面10、如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则的值为( )A． B．3 C． D．11、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF与BC1所成的角是( )A．45° B．60° C．90° D．120°12、已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SBC所成的角的余弦值为( )A． B．C． D．二、填空题：13、若a=(2，-3，5)，b=(-3，1，-4)，则|a-2b|=________．14、已知a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(7，5，λ)，若a，b，c共面，则λ=__________．15、在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-A′B′C′D′中，AB=1，AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC′的长为________．16、如图，已知二面角αlβ的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD 在平面α内，若AB=BC=CD=1，则AD的长为________．三、解答题：17、设a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5)．(1)当(a＋b)∥(a-3b)时，求的值；(2)当(a-3b)⊥(a＋b)时，求的值．18、如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD 的夹角都是60°，N是CM的中点，设a=，b=，c=，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．19、如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，CP=m，试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.20、如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．21、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=.(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角BD′AC的正弦值．22、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD=，求二面角AECD的平面角的余弦值．参考答案1、D解析：只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．2、D解析：若l∥α，则a·n=0，只有选项D中a·n=0.3、C解析：．cos〈a，b〉===，所以λ=-2或.4、A解析：设P(x，y，z)，由得：(x-1，y-2，z-1)=2(-1-x，3-y，4-z)，所以x=-，y=，z=3，即P，所以，所以=.故选A．5、B解析：两平面的一个单位法向量，故两平面间的距离d==.6、B解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E，所以，=(1，1，0)，=(-1，1，0)，=(0，1，-1)，=(0，0，-1)．显然=-＋0=0，所以，即CE⊥BD.7、B解析：因为，所以=1.cos=⇒=60°，故选B．8、C解析：在题图①中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图②，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.9、B解析：由已知得，而＋＋=1，所以四点P，A，B，C共面．10、D解析：由题可知=1，=1，=.=45°，=45°，=60°.所以==＋＋2-×1×1×＋1××-1××=.11、B解析：以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2)，B(0，0，0)则=(0，-1，1)，=(2，0，2)，所以cos=，所以=60°，所以直线EF与BC1所成的角为60°.12、B解析：设AE与平面SBC所成的角为θ，以底面中心O为原点，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，0，0)，S(0，0，1)，E，所以=(-1，-1，0)，=(0，1，-1)，=，设平面SBC的法向量为n=(x，y，z)，则即令x=1，所以n=(1，-1，-1)，因为cos=，所以cos θ=.故选B．13、解析：因为a-2b=(8，-5，13)，所以|a-2b|= =.14、解析：易知a与b不共线，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使得c=xa＋yb，即解得15、解析：因为，所以=1＋4＋9＋2×1×2cos 90°＋2×1×3cos 60°＋2×2×3cos 60°=23，即||=.故AC′的长为.16、解析：，所以=1＋1＋1＋2cos(π-θ)=3-2cos θ.所以，即AD的长为.17、解析：(1)因为a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5)，所以a-3b=(1，5，-1)-3(-2，3，5)=(1，5，-1)-(-6，9，15)=(7，-4，-16)．a＋b=(1，5，-1)＋(-2，3，5)=(，5，-)＋(-2，3，5)=(-2，5＋3，-＋5)．因为(a＋b)∥(a-3b)，所以，解得=-.(2)由(a-3b)⊥(a＋b)⇔(7，-4，-16)·(-2，5＋3，-＋5)=0⇔7(-2)-4(5＋3)-16(-＋5)=0，解得=.18、解析：===所以=-a＋b＋c，||2=2==(a2＋b2＋c2-2a·b-2a·c＋2b·c)=，所以||=，即BN的长为.19、解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)．则=(-1，-1，0)，=(0，0，1)，=(-1，1，m)，=(-1，1，0)．又由=0，=0知，⊥，⊥，则为平面BB 1D1D的一个法向量．设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，则sin θ=|cos|=.依题意得=sin 60°=，解得m=.故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.20、解析：(1)证明：连接OC，因为BO=DO，AB=AD，所以AO⊥BD.因为BO=DO，BC=CD，所以CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=.而AC=2，所以AO2＋CO2=AC2，所以∠AOC=90°，即AO⊥OC.因为BD∩OC=O，所以AO⊥平面BCD.(2)以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)，=(-1，0，1)，=(-1，-，0)，所以cos==，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.21、解析：(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD=CD.又由AE=CF得=，故AC∥EF.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB=5，AC=6得DO=BO==4.由EF∥AC得==.所以OH=1，D′H=DH=3.于是D′H2＋OH2=32＋12=10=D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF=H，所以D′H⊥平面ABCD.(2)如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz.则H(0，0，0)，A(-3，-1，0)，B(0，-5，0)，C(3，-1，0)，D′(0，0，3)，=(3，-4，0)，=(6，0，0)，=(3，1，3)．设m=(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则即所以可取m=(4，3，-5)．设n=(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，则即所以可取n=(0，-3，1)．于是cos〈m，n〉==，sin〈m，n〉=.因此二面角BD′AC的正弦值是.22、解析：(1)如图，以A为坐标原点，射线AB、AD，AP分别为x轴、y轴，z轴正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.设D(0，a，0)，则B(，0，0)，C(，a，0)，P(0，0，)，E.因此，=，=(0，a，0)，=(，a，-)．则·=0，·=0，所以AE⊥平面PBC.又由AD∥BC知AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为||=.(2)设平面AEC的法向量为n1=(x1，y1，z1)，因为=，=(，，0)，所以令x 1=-1，得y1=，z1=1，所以n1=(-1，，1)．设平面EDC的法向量为n2=(x2，y2，z2)，因为=，=(-，0，0)，所以令z2=，得y2=1.所以n2=(0，1，)．故cos〈n1，n2〉==.所以二面角AECD的平面角的余弦值为.。