平行与垂直的综合应用
关于平行与垂直的故事
关于平行与垂直的故事摘要：一、引言：平行与垂直的基本概念二、生活中的平行与垂直现象三、数学中的平行与垂直关系四、平行与垂直的应用领域五、总结：学习平行与垂直的意义正文：一、引言：平行与垂直的基本概念在我们的日常生活中，平行与垂直这两个概念无处不在。
平行是指两条直线在平面内不相交且永远保持同一方向，而垂直则表示两条直线在相交成90度的情况下，形成的关系。
它们在几何学、物理学、建筑学等领域有着广泛的应用。
二、生活中的平行与垂直现象在日常生活中，我们可以发现许多平行与垂直的现象。
例如，电车轨道是平行的，保证了电车在行驶过程中不会相撞；楼梯的扶手和地面形成垂直角度，为我们提供了稳定的支撑。
此外，道路的红绿灯也有着垂直和平行的关系，红灯和绿灯的切换，保证了交通的有序进行。
三、数学中的平行与垂直关系在数学领域，平行与垂直关系同样具有重要意义。
平行线间的距离公式、垂直直线间的乘积为0性质等，都是几何学中的基本知识。
同时，数学家们还研究了各种关于平行与垂直的定理，如同位角相等定理、内外角和定理等，这些定理为我们解决实际问题提供了理论依据。
四、平行与垂直的应用领域平行与垂直不仅在日常生活中和数学领域具有重要意义，还在许多其他领域发挥着作用。
例如，在建筑领域，建筑师需要掌握平行与垂直的关系，以确保建筑物的稳定性和美观性；在计算机图形学中，平行与垂直的概念有助于绘制出更加逼真的三维图像；在物理学中，平行与垂直关系有助于研究电磁场、引力场等现象。
五、总结：学习平行与垂直的意义学习平行与垂直对于我们认识世界、解决实际问题具有重要意义。
掌握平行与垂直的概念和应用，不仅有助于提高我们的数学素养，还能让我们更好地应对生活中的各种挑战。
平行与垂直在生活中的应用
平行与垂直在生活中的应用
平行和垂直是几何学中的概念，在日常生活中也有很多应用。
以下是一些例子：
平行应用：
1. 道路和轨道铁路：当我们驾驶汽车或乘坐轨道交通时，需要遵守交通规则，按照标线行驶或沿着轨道行驶，这些都是平行的。
2. 建筑设计：建筑物中的墙壁、地板、天花板等都需要平行设计，以确保建筑结构的稳定性和协调性。
3. 老师批改试卷：老师在批改学生的试卷时，需要根据填空、选择题等将答案平行排列，以便于比较、评分和分析。
4. 茶叶、书籍等的包装：在包装茶叶、书籍等产品时，需要将两个平行的边缘相接，以确保包装的完整性和美观度。
垂直应用：
1. 建筑物的竖直地基：建筑物需要有稳定的地基来支撑，这就需要考虑地基的垂直度，以确保建筑物的稳定性。
2. 摄影和绘画：拍照或绘画时需要考虑图像中的垂直线条，以确保作品不会出现倾斜或变形。
3. 几何图形：几何图形中的垂线、垂心等都是垂直的概念，这些概念是解决几何问题的重要工具。
4. 电视和电脑屏幕：电视和电脑屏幕需要垂直放置，以确保图像清晰度和观看的舒适度。
高一数学(人教B版)-空间中的平行和垂直的综合应用(一)
同类练习1：直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 90, AB BC BB1, M为 A1B1 的中点，N是 A1C 与 AC1 的交点. (2) 求证：MN 平面ABC1
先证：B1C 平面ABC1
证明：
（1) 连接 B1C，因为M，N分别为 A1B1 , A1C 的中点
(1) PA∥平面BDE
先证：OE∥AP
【典型例题】
例2：如图所示，O是正方形ABCD的中 心，PO 底面ABCD， E是PC的中点， 求证：
(2) 平面PAC 平面BDE
先证：BD 平面ACP
证明： （1)连接OE，在正方形ABCD中，点O是AC的中点
又 E是PC的中点, OE是 ACP 的中位线， OE∥AP ,又 OE 平面BDE ，PA 平面BDE PA∥平面BDE
MN 平面PCD
(3) 若
求证：
同类练习2：如图，PA 矩形ABCD所
在的平面，M，N分别是AB，PC的中
点
MN∥平面PAD
(1)面求面证平行： 线面平行
平行四边形 中位线
线线平行 线线平行
线面平行 线面平行
证明： （1）取CD的中点R，连接MR，NR 因为R，N分别是CD，PC的中点 所以 NR∥PD ，又可证 MR∥AD 因为NR与MR相交 可证 平面MNR∥平面PAD
思路三：通过构造面面平行，生成线线平行关系
（1)证法三：取CD的中点Q，连接FQ，AQ， 点F是PD的中点，
QF∥CP.
点Q是CD的中点，
点E是AB的中点， AE＝12 AB ，
CQ＝
1 2
CD,
在平行四边形ABCD中，
AB∥ CD, AB=CD, CQ∥AE,CQ=AE ,
空间几何的平行与垂直关系
空间几何的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直是两个非常重要的概念。
它们描述了不同几何体之间的关系和性质。
平行表示两条或多条线、直线或平面在空间中永远不会相交，而垂直则表示两条线、直线或平面之间存在90度的角度关系。
本文将探讨空间几何中平行与垂直的关系以及它们在实际应用中的重要性。
一、平行与垂直的定义及性质1. 平行的定义：在几何学中，当两条直线或平面上的所有点在空间中的投影重合时，它们被认为是平行的。
平行线具有以下基本性质：a. 任意一点与直线上一点之间只有一条直线与该直线平行；b. 平行线之间的距离始终保持相等。
2. 垂直的定义：在几何学中，当两条直线或平面之间的夹角为90度时，它们被称为垂直的。
垂直线具有以下基本性质：a. 两条垂直线的斜率乘积为-1；b. 平面中的垂直直线与平面上的垂直线相交时，它们互为垂直；c. 四面体中的两条相交直线，若平行于共面两直线中的一条，则其余两条也互相平行。
二、平行与垂直关系的应用平行与垂直的关系在空间几何中有广泛的应用。
下面将介绍几个重要的应用领域：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行和垂直关系被广泛应用于墙壁、天花板、地板等构造中。
确保这些构造的平行性和垂直性能够有效地提高建筑物的结构稳定性和美观度。
2. 工程测量：在工程测量中，平行和垂直关系被用于确定建筑物的地基、墙壁和建筑物的相对位置。
通过测量平行和垂直线的长度和夹角，工程师能够准确地定位和设置建筑物的各个部分。
3. 交通规划：在交通规划中，平行和垂直关系用于设计道路、轨道和桥梁。
合理的平行和垂直设计能够确保交通流畅、安全和高效。
4. 电子学与通信：在电子学和通信领域中，平行和垂直关系被用于设计电路板、天线和光纤等。
保持电线、导线的平行性和垂直性能够减少信号干扰和能量损耗，提高电子设备和通信系统的性能。
5. 图形绘制：在图形绘制和设计中，平行和垂直关系用于绘制几何图形和建模。
通过掌握平行和垂直关系的几何性质，能够更加准确地绘制出各种图形和几何体。
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中有着重要的作用。
本文将重点讨论向量的平行与垂直关系的判定及其在解题中的运用。
一、向量的平行关系判定两个向量平行的判定方法有多种，我们可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向相同且长度成比例：若向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=k*b（k为非零实数），则向量a与向量b平行。
例如，已知向量a=2i+3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=2*(2i+3j)，因此向量a与向量b平行。
2. 内积为零：若向量a与向量b的内积等于零，即a·b=0，则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的内积为a·b=(3i-2j)·(2i+3j)=6-6=0，因此向量a与向量b垂直。
二、向量的垂直关系判定两个向量垂直的判定方法同样有多种，我们也可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向互为相反且长度成比例：若向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-k*b（k为非零实数），则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=-2i-3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-2*(2i+3j)，因此向量a与向量b垂直。
2. 外积为零：若向量a与向量b的外积等于零，即a×b=0，则向量a与向量b 平行或共线。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的外积为a×b=(3i-2j)×(2i+3j)=13k，由于外积不等于零，因此向量a与向量b不平行也不垂直。
三、运用示例向量的平行与垂直关系在解题中有着广泛的应用。
下面通过几个具体的题目来说明。
题目一：已知向量a=3i-4j，向量b=-2i-6j，判断向量a与向量b的关系。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系空间几何是研究空间中点、线、面及其相关性质和关系的数学学科。
在空间几何中，平行和垂直是两个基本的关系。
本文将介绍平行和垂直的概念、性质以及它们在空间几何中的应用。
一、平行关系平行是指两条直线或两个面永远不会相交的关系。
在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否平行：1. 直线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。
这是因为两条直线的斜率相等，意味着它们的倾斜角度相同，在空间中永远不会相交。
2. 直线的方向向量平行：如果两条直线的方向向量平行，那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否平行。
3. 直线的截距比相等：如果两条直线的截距比相等，那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的截距比，并判断它们是否相等。
平行的性质：1. 平行具有传递性：如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，那么直线l1与直线l3平行。
2. 平行具有对称性：如果直线l1与直线l2平行，那么直线l2与直线l1平行。
平行的应用：1. 平行线在平面图形中的应用：平行线在平面图形中有着重要的应用，如矩形、平行四边形等。
在这些图形中，平行线的存在使得我们可以推导出图形的性质和定理。
2. 平行线在建筑设计中的应用：建筑设计中常常需要使用平行线来确定建筑物的边界、墙壁等。
二、垂直关系垂直是指两条直线或两个面之间存在直角的关系。
在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否垂直：1. 直线斜率之积为-1：如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之积为-1，意味着它们相互垂直。
2. 直线的方向向量垂直：如果两条直线的方向向量垂直，那么它们是垂直的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否垂直。
3. 直线的斜率之和为0：如果两条直线的斜率之和为0，那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之和为0，意味着它们相互垂直。
垂直和平行线的作用及应用
垂直和平行线的作用及应用垂直和平行线是初中及以下数学必须要学习的知识点，但是在小学阶段，我们也可以采取一些简单易懂的教学案例，帮助学生们更好的理解垂直和平行线的作用及应用。
一、横平竖直的认识儿童刚开始接触横平竖直的概念时，通常会有一些困难，其中一个原因是他们不太能理解“横”、“平”、“竖”这些词。
因此，我们可以引导学生先进行简单的认知，先让学生认识横、竖两个方向，再通过实践探索，学习平行和垂直的概念。
1.让学生用手指或者追寻视线的方式观察周围的物体，同时引导学生分别说出这个物体的位置是横着的还是竖着的，例如：墙是竖着的，地板是横着的。
2.引入一些日常生活中的场景，例如：书本、电视、门等，让学生感受物体的位置和方向，通过这些场景的学习，帮助学生理解横平竖直更加具体。
3.给学生讲解横平竖直的概念，用简单的语言表述东西南北四个方向的划分，指出地图上标注的指南针，使学生能更好的感受到不同方向的区别。
二、认知垂直和平行线1.让学生手持直尺将其放在桌面上或者地面上，调整一定的角度，让学生观察直尺与地面的角度，再将直尺转动到垂直于地面的方向，让学生理解垂直与平行的概念。
2.通过画图练习，让学生在将两条线段画成垂直或者平行的过程中感受到体会，同时学生也能够通过画图将直观的知觉转化为抽象的概念和符号。
三、软件工具的运用对于垂直和平行线的教学，我们可以使用一些数学软件来辅助教学。
一个典型的例子是通过线性方程式软件来帮助学生练习垂直和平行线概念的掌握和应用。
在软件中，我们可以用一些基本的图形，例如直角三角形，并利用该图形上的线段的坐标和斜率来帮助学生练习如何确定垂直和平行于两个给定的线性链的直线。
通过实践演练，同学们在软件中模拟出来的图形让他们有机会发现直线之间的关系，深入理解垂直和平行线相互的关系，同时练习如何在坐标系上确定图形之间的相对位置。
四、日常问题的体会我们可以引入一些有趣的实例让学生研究垂直和平行之间的关系，例如：公园里的树是垂直的，而笔桶展示柜上的笔是平行的。
向量的平行与垂直及其应用
向量的平行与垂直及其应用一、引言向量是数学中重要的概念之一，它在物理、几何等多个领域中都有广泛的应用。
其中，平行和垂直是向量之间关系的两种基本形式。
本文将介绍向量的平行与垂直的概念、性质以及其在几何和物理中的应用。
二、向量的平行向量的平行是指两个向量的方向相同或相反。
具体来说，如果两个向量的点表示相同或相反，那么这两个向量就是平行的。
向量的平行具有以下性质：1. 平行向量的数量乘积：如果向量a平行于向量b，则对于任意实数k，ka也与b平行。
2. 平行向量的加法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a+c与b+d也平行。
3. 平行向量的减法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a-c与b-d也平行。
在几何中，向量的平行可以用于判断线段的平行性、角的平行性等。
例如，在判断一个四边形的对角线是否平行时，可以通过向量方法将对角线表示为向量，并比较其平行性。
三、向量的垂直向量的垂直是指两个向量相互垂直，即它们的内积为零。
对于向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，如果a * b = 0，则a与b垂直。
向量的垂直具有以下性质：1. 垂直向量的数量乘积：如果向量a垂直于向量b，则对于任意实数k，ka也与b垂直。
2. 垂直向量的加法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a+c与b+d也垂直。
3. 垂直向量的减法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a-c与b-d也垂直。
在几何中，向量的垂直可用于判断直线的垂直性、直角三角形等。
例如，在证明两条直线垂直时，可以通过向量方法将斜率为k1和k2的两直线转化为向量形式，然后判断它们的垂直性。
四、向量的应用向量的平行与垂直在几何和物理中有广泛的应用。
以下是一些具体应用实例：1. 二维平面上的向量运算在二维平面上，向量的平行与垂直可用于解决平面几何问题。
例如，通过判断两线段的向量是否平行或垂直，可以判断它们是否相交、是否平行四边形等。
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平行与垂直的综合应用
[基础要点]
指出每个箭头方向表示的定理： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿
题型一、平行关系的综合应用
例1、如图示，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点E 、F 分别是棱上11,CC BB 的点，点M 是线段AC 上的动点，EC=2FB=2
（1）当点M 在何位置时，MB ∥平面AFE
（2）若MB ∥平面AFE ，判断MB 与EF 的位置关系，说明理由，并求MB 与EF 所成角的余弦值。
变式:如图示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？
题型二、垂直关系的综合应用
例2、如图示，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠ （1）求证：1C C BD ⊥
A
B
C
1
A 1
B 1
C E
F N M
B
H
C A
D
G
F
E
D
（2）当
1
CD
CC 的值为多少时，能使1
AC ⊥平面1C BD ?请给出证明
变式：平面α内有一个半圆，直径为AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影 （1）求证：NH ⊥SB
（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？ （3）这个图形中有多少个直角三角形？ （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？
题型三、空间角的问题
例3、如图示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中
，
11,1A B B B =+，E 为1BB 上使11B E =的点，平面1
AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （1）异面直线AD 与1C G 所成的角的大小 （2）二面角11A C G A --的正弦值
变式：如图示，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SB
⊥面ABCD ，SB=AB ,设Q 为SD 的中点，M 为AB 的中点，
（1）求证：MQ ∥平面SBC
（2）求证：平面SDM ⊥平面SCD （3）求锐二面角S －M －C 的大小
题型四、探索性、开放型问题
例4、已知正方体中1111ABCD A BC D -，E 为棱1CC 上的动点， （1）求证：1A E ⊥BD
(2) 当E 恰为棱1CC 的中点时，求证：平面1A BD ⊥平面
EBD （3）在棱1CC 上是否存在一个点E ，可以使二面角1A BD E --的大小为45
？如果存在，
C1
A1D
B
C
B1
G
F
A
E
D1
A C
D
S
Q
A
试确定E 在棱1CC 上的位置；如果不存在，请说明理由。
变式:已知△ABC 中，90,1BCD BC CD ∠=== ,AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=
,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且
(01)AE AF
AC AD
λλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC （2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ?
[自测训练]
1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ ） A 、//αβ
B 、α不一定平行于β
C 、α不平行于β
D 、以上结论都不正确
2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=
,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直，基中真命题的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所
成的角分别为4π和6
π
，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为
,A B ''，则:AB A B ''=（ ）
A 、2:1
B 、3:1
C 、3:2
D 、4:3
5、已知平面,αβ和直线,l m ，使//αβ的一个充分条件是（ ） A 、//,//,//l m l m αβ B 、,//,//l m l m αβ⊥ C 、//,,l m l m αβ⊥⊥
D 、,//,l m l m αβ⊥⊥
6、正三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ） A 、１：３
B
、1:(3
C
、1):3
D
、1):3
B`
A`
B
A
α
β
7、如图示，正四面体ABCD 的棱长为１，平面α过棱AB ，且CD ∥α，
则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积为
8、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==
,
12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是
9、在正棱锥S －ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，AM ⊥MN ，若SA =，则此正三棱锥的外接球表面积为
10、P A 垂直于矩形ABCD 所在平面，M 、E 、N 分别是AB 、CD 和PC 的中点，
（１）求证：MN ∥平面P AD （２）若二面角P －DC －A 为
4
π
，求证: 平面MND ⊥平面PDC
11、如图示，ABCD 为长方形，SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ，求证：AE ⊥SB ,AG ⊥SD
12、四棱锥P －ABCD 底面为一直角梯形，AB ⊥AD ,CD ⊥AD ，CD=2AB ,P A ⊥面ABCD ，E 为PC 中点， （１）求证：平面PDC ⊥平面P AD （２）求证：BE ∥平面P AD
（３）假定P A=AD=CD ,求二面角E －BC －C 的平面角的正切值
B C
D 1
B 1
C A
B
C S
M
N D
C
B
A
P
E
D
C
B
A
S
G
E
F
C
B
A
D
P
E
M N。