有理数知识总结及经典例题

有理数

一、学习目标：

● 理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；

● 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；

● 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；

● 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。

二、重点难点：

● 有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；

● 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运

算。

三、学习策略：

● 先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达

到内容系统化和应用的灵活性。

四、知识框架：

五、知识梳理

1、知识点一：有理数的概念

（一）有理数：

（1）整数与分数统称__________________

按定义分类： _______________????????????????????

_ _ _ _ _ _ _ _ _有理数　_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类：

__________???????????????

_ _ _ _ _ _ _ _有理数零

_ _ _ _ _ _ _ _

注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________.

（2）认识正数与负数：

①正数：像1，1.1，17

，2008等大于_______________的数，叫做_______________.

5

，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________

②负数：像-1，-1.1，-17

5

都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________.

（3）用正数、负数表示相反意义的量：

如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________ .

（4）有理数“0”的作用：

作用举例

表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数

3个苹果用+3表示，没有苹果用0表

表示没有

示

表示某种状态00C表示冰点

表示正数与负数的

0非正非负，是一个中性数

界点

（二）数轴

（1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线

注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可.

②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.

（2）数轴的画法及常见错误分析

①画一条水平的______________；

②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________：

③确定向右的方向为______________，用______________表示；

④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.

⑤数轴画法的常见错误举例：

错例原因

不统

一

没有

（3）有理数与数轴的关系

一切有理数都可以用数轴上的表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.

注意：数轴上的点不都是有理数，如π.

（三）相反数

（1）相反数：只有的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是；若a与b互为相反数，则___

+= ，反之亦然.

a b

（2）相反数的性质：

①代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0．相反数必须

出现，不能单独存在．例如+5和互为相反数，或者说+5是的相反数，－5是的相反数，而单独的一个数不能说是．另外，定义中的“只有”指除以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然不同，但它们不是相反数．

②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的________相等．这两点是关于_____ 对称的．

③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数a的相反数是；这里以a表示任意一个数，可以为、、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是．

注意：当a＞0时，－a 0(正数的相反数是数)；

当a=0时，－a O(0的相反数是)；

当a＜0时，-a O (负数的相反数是)．

④互为相反数的两个数的和为，即若a与b互为，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为．

⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部 ；一个正数前面有

个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有 个“－”号，则化简后只保

留一个“－”号，即“ 负 正”（其中“奇偶”是指正数前面的“ ”号的个数的 ，“负正”是指化简的最后结果的 .

（四）绝对值

（1）绝对值的代数意义及几何意义

① 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的

绝对值是 .

② 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的 与_______的距离.数a 的绝

对值记作 .

注意：

①取绝对值也是一种 ，这个 符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质

绝对值符号.

②绝对值具有 性，取绝对值的结果总是 .

③任何一个有理数都是由 部分组成： 和它的 ，如：－5，符号是 ，

绝对值是 .

（2）字母a 的绝对值的分类

___,()___,(0)___,(0)a o a a a >??==??

或___,(0)___,(0)a a a ≥?=??=?≤? （3）利用绝对值比较两个负有理数的大小

规则：两个负数，绝对值大的反而 .

步骤：①计算两个负数的 .

②比较这两个 的大小.

③写出正确的判断结果.

④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为 . 例如：若0,____,____,______a b c a b c ++====则

2、知识点二：有理数运算

（一）有理数比较大小

（1）数轴上的数，右边的数总 左边的数．

（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；

（3）两个负数，绝对值大的反而 ；

（4）两数比较大小，可按符号情况分类：

0??????

?????????

同正：__________大的数大两数同号同负：__________大的反而小比较大小两数异号（一正一负）：______大于_______正数与0：_______大于0其中有时负数与0：_______小于0

（二）有理数的加减法

（1）有理数加法法则

①同号两数相加，取相同的 ，并把绝对值 .

②绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用较大的 减去

较小的 .

③一个数同0相加，仍得 .

（2）有理数加法的运算步骤

法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：

①确定和的 ；

②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的 .

（3）有理数加法的运算律

①两个加数相加，交换加数的位置， 不变.即a+b=b+a(加法 律)

②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 不变.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加

法 律）

（4）有理数加法的运算技巧

①分数与小数均有时，应先化为 形式.

②带分数可分为 与 两部分参与运算.

③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合 得

④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合 .

⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

⑥ 相同的数可以先结合在一起.

（5）有理数减法法则

减去一个数，等于 ，即a-b=a+( )

（6）有理数减法的运算步骤

①把减号变为加号（改变运算符号）

②把减数变为它的相反数（改变性质符号）

③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.

（7）有理数加减混合运算的步骤

①把算式中的减法转化为加法；

②省略加号与括号；

③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

注意：

根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：

（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。（三）有理数的乘除法

（1）有理数乘法法则

两数相乘，同号得，异号得，并把相乘.任何数同相乘，都得0.

（2）有理数乘法的运算律

①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab= （乘法结合律）

②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.

即abc= （乘法结合律）

③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 即a(b+c)=

（乘法分配律）

（3）有理数乘法法则的推广

①几个不等于0的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数是偶数时，积为；

的个数是奇数时，积为.

②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.

在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.

（4）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的。即a÷b=a·(b≠0)

两数相除，同号得，异号得，并把绝对值，除以任何一个不等于0的数，都得0.

（5）倒数及有理数除法

①乘积为的两个数互为倒数。

倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定；

没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母即可（正整数可以看作分母为1的分数）。

注意：,a b互为倒数，则___

ab=。反之亦然.

ab=；,a b互为负倒数，则____

②有理数除法的运算步骤：首先确定商的，然后再求出商的绝对值.

（四）有理数的乘方

（1）概念：求n个相同因数的积的运算，叫做，的结果叫做，在n a 中，a叫做，n叫做.

（2）含义：n a中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，n a表示有相乘.例如：53表示3×3×3×3×3，(-3)5表示（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号. 如(-2)7表示相乘，而-27则表示7个2相乘的积的。

当n为奇数时，(-a)n= ；而当n为偶数时，(-a)n= .

注意：负数的奇次幂是，负数的幂是正数。

正数的任何次幂都是，0的任何次幂都是，任何不为0的数的0次幂都是.

（3）“奇负偶正”口诀的应用

口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：

①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]= ，－[+（－3）]= .

②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）= ，而（－3）×（－2）×6= .

③有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如：（－3）2= ，（－3）3= .

（4）有理数混合运算的运算顺序：

①先乘方，再乘除，最后加减；

②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为

二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算

级运算，然后 级，最后 级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先

算___括号里的，再算 括号里的，最后算 括号里的. 以上运算顺序可以简记为：“从左到

右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.

（五）近似数、有效数字和科学记数法

（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式（其中_____a ≤< ，n 是

整数），此种记数法叫做科学记数法.例如：200000=5210?就是科学记数法表示数的形式. 又如：10200000=

也是.

（2）有效数字：从一个数的左边第一个 数字起，到 止，所有数字都是这个数

的 。

如：0.00027有 个有效数字：_____________;1.2027有 个有效数

字： .

注意：万= ，亿=

六、经典例题

1、类型一：正数与负数的意义

例1．一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走6km ，走-4.5km ，走0km

的意义各是什么？

思路点拨： 正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向东运动，则负数表示 运动 .0表

示原地不动，0表示正数与 的分界，在实际问题中也有确定的意义.

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】博然的父母6月份共收入4800元，可以将这笔收入记作+4800元；由于天气炎热，博然家用其

中的1600元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢?

解析：

☆【变式2】某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成

绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？

解析：

2、类型二：有理数的分类

例2．把下列各数填入相应的括号内：+6，0.35，41-，-1，-7.82，0，97，6

52-. 整数集合：｛ …｝；

非负集合：｛ …｝；

分数集合：｛ …｝；

负数集合：｛ …｝.

思路点拨：根据有理数的分类标准，将所给数进行分类．填整数集合时，不能漏掉“ ”；填集合时，最后要加“…”，“非负数”不要仅理解为正数， 既不是正数，也不是负数，属于“非负”范围内的数；

负数包括 和 .

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式】（1）最小的正整数是 ：最大的负整数是 ；最小的整数是 ；

最小的正数是 ；最大的负数是 ；最小的有理数 ；绝对值最小

的有理数是 。

（2）一个数的相反数等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它本身，这个数

是 ；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是 ；一个数的倒数等于它本身，

这个数是 ；一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它的绝对

值，这个数是 ；一个数的平方等于它的相反数，这个数是 ；一个数的立方等于

它本身，这个数是 。

解析：

3、类型三：多重符号的化简

例3、化简下列各数：

)]}2([{)4()]5([)3()514()2()213()1(+-+-----+--

思路点拨：多重符号的化简是由“ ”的个数来定，若“-”个数是 个时，化简结果为正；若 “-”

个数是奇数个时，化简结果为 。

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】4{[()]}_____5

-+--=

【变式2】说出下列各式的意义，然后化简：

(1)-[-(-3)] (2)+{-[-(+5)]}；

(3)-{-{-…-(-6)}}（共n 个负号）．

4、类型四：有理数的大小比较

例4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ <”连接起来；

2,411,0,212,211,4,313---

思路点拨：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上

的位置顺序比较大小，再用“ <”连接起来.

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小 .

（1）-0.6，-60 （2）234,,345

--- 思路点拨：比较负数的大小，先求出各数的 ，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而 ，比较分数大小，一般要化成同 的分数来比较.

解析

5、类型五：绝对值的概念

例5．若3a -+|2b+5|=0,计算2a-b 的值.

思路点拨：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出a,b 值。

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】若a b <，化简：15___________.b a a b -+---=

解析：

【变式2】代数式|2||3|x x ++-的最小值为 。

解析：

【变式3】a ，b 在数轴上的位置如图

（1）化简：||______a b += |1|

_______b -=。 （2）比较大小：1

0a +；a b a b -+。

解析：

5、类型六：相反数，倒数的概念

☆例6．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，0e <且||1e =，那么200920082007()()ab c d e --+-的值

为 。

思路点拨：根据相反数与倒数的意义可得：互为相反数的两数的和为 ，互为倒数的两数之积

为 .

解析：

总结升华：

举一反三：

☆☆【变式】已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，

b a ，b 的形式，且x 的绝对值为2，

求200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+的值

解析：

7、类型七：有理数的混合运算

例7、计算???????-?+-÷+-81)]167(3)41[(52

1465

122 思路点拨：本题有五种运算， ．因为有括号，应先算括号里面的，括号里面显然

又要先算________，接着算_________法，再算_______法．注意除法运算，要把除法转化为__________．

解：

总结升华：

举一反三：

【变式】计算下列各式的值：

（1）22133(3)33

--+-÷?； （2）111111112345??????----?? ?????????

；

（3）225117832[()10.25]199[()2]7148923

-÷?-?-?--； （4）23155115(1)()()(2)()299229

-?---?-+-?； （5）1023(0.25)(2)-?-

解析：

8、类型八：科学计数法，有效数字与近似数

例8．某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%，则2009年这个市的

国民生产总值应是（结果保留3个有效数字） 元。

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】国家AAAA 级旅游区东江湖的蓄水量为81.2亿立方米，81.2亿这个数用科学记数法表示为

立方米。

答案：

【变式2】62.02910?精确到万位为： ,有效数字为： .

答案：

9、类型九：规律探索

例9．观察下列式子：

2221112,2223,3334,......

+=?+=?+=? 请你将猜想到的规律用自然数n 表示出来

思路点拨：发现已给出的几个式子的规律：等号左边是 ，右边

是 . 本题考查的知识点是有理数的乘方运算能力及归纳的思想方法。

解：

总结升华：

举一反三：

【变式1】观察下列等式：9-1=8

16-4=12

25-9=16

36-16=20

……

这些等式反映自然数间的某种规律，设(1)n n ≥表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律

为 ．

解析：

【变式2】（1）在一列数：2，23-，34，45-，5

6…中，第n 个数（n 为正整数）是 。

（2）观察一列有规律的数2，4，8，16，32，…，它的第2009个数是（ ）

A ．20072

B ．200721-

C ．20082

D ．20092

解析： 【变式3】观察下列各式：

3211=

332123+=

33332123410+++=

……

猜想：33312310+++???+=３ 。

答案：

【变式4】小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入

1 2 3 4 5 … 输出 12 25 310 417 526

… 那么，当输入数据是8时，输出的数据是 ；当输入数据是n （n 是正整数）时，输出的数据是 。

解析：

【变式5】观察：111122=-?，1112323=-?，1113434

=-?将以上三个等式两边分别相加得： 1111111113111223342233444++=-+-+-=-=???。 ①猜想并写出：1(1)n n =

+ 。

②直接写出下列各式的计算结果：

111112233420062007+++???+=???? 。

1111122334(1)n n +++???+=???+ 。

③探究计算：111124466820062008

+++???+????。 答案：