工程测量 第五章(测量误差的基本知识)

2 2 2 2 2 2 2 2 等式平方得：2 1 V1 2V1 2 V2 2V2 n Vn 2Vn
[] [VV ] [V ] 所有式子相加，整理得 ： 2 2 n n n [] [VV ] [l ] [l X ] [ ] 由[V ] 0 2 又 L X X n n n n n 2 2 [ 2 3 ] [] 1 2 2 2 2 1 (2 1 2 n ) 2 1 2 2 1 3 2 2 n n n 1 2 1 2 [2 ] 2 (1 2 1 3 ) 2 [2 ] n n n [] [VV ] [] [] [VV ] 2 n[] n[VV ] [] m n n n n n 1 即用观测值的改正数求 观测值的中误差。
5.3.1 线性函数的中误差
5.3.1.1 倍函数的中误差
设倍函数y kx 则 y y k（x x） 可得 y k x 则 y1 k x1 y 2 k x 2 yn k xn 得2y1 k 2 2x1 2y 2 k 2 2x 2 2yn k 2 2xn n个式子相加得 [ y y ] k [ x x ]


例： 某水平角用经纬仪进行6次等精度丈量，其结果如下表， 试计算该角度观测值中误差。
序号 1 2 观测值l 25°23′20″ 25°23′17″ v -2 +1 vv 4 1
3
4 5 6

25°23′18″
25°23′20″ 25°23′16″ 25°23′17″ β= 25°23′18″
5.1.2 测量误差的分类 根据误差对观测值影响的不同，可将误差分为系统误差和 偶然误差两大类。
5.1.2.1 系统误差 在相同的观测条件下，误差保持同一数值、同一符号，或 者遵循一定的变化规律的误差，称为系统误差。 比如： 水准尺端部磨损； 水准尺倾斜； 水准尺弯曲； 水准尺的沉降; 目标倾斜…… 特性：累计！！！！！
mh m黑、红 2 3mm 2.1mm 2
5.3.3.3 水准路线的高差中误差及允许误差 四等水准测量规定了视线的长度，1km设置16站完全可满 足，其1km水准路线的高差中误差为
mkm mh n 2.1 16 8.4 m m
取2倍中误差为允许值：
mkm允 2mkm 8.4 2 mm 16.8 mm
2 2 2 2
m m y sin mD D cos
2 2 2 2
2
B点的点位中误差
mB mx m y cos 2 mD
2 2 2 2
m 2 2 m 2 2 2 m D sin sin m D cos m D D D
2 2 2 2 2 2 2 my mx m m m m m m x x F x x x 1 2 n 1 2 n
5.3.1.3 线性函数的中误差
线性函数：F k1 x1 k2 x2 kn xn
2 2 2 2 2 其函数中误差公式为： mF k12 mx k m k 1 2 x2 n mxn
0
-2 +2 +1 [v]=0
0
4 4 1 [vv]=14
解：部分计算如表中所示，观测值中误差为（白赛尔公 式）：
[vv] 14 m 1.7 n 1 6 1
5.2.2 允许误差
偶然误差的有界性特性说明其绝对值不会超过一定的限值。 偶然误差的分布规律实质为服从数学期望为零的正态分布， 根据正态分布的概率计算可知真误差大于中误差出现的可 能性约为32%，大于两倍中误差的可能性约为5%，大于 三倍中误差的可能性为3‰。实际测量工作中常取2~3倍 中误差作为误差的限值，即：
则真误差关系式为： F
2 则：m y (
F 2 2 F 2 2 F 2 2 ) mx1 ( ) m x2 ( ) m xn x1 x2 xn
F 2 2 F 2 2 F 2 2 得函数y的中误差为：m y ( ) mx1 ( ) m x2 ( ) m xn x1 x2 xn
f允 （2 ~ 3 ）m
在测量规范中，依据控制网等级、采用的测量仪器，对观 测值规定了相应的限差，其依据就是允许误差。当测量值 超限，要进行检查，甚至于重测。
5.2.3 相对误差
k m D 1 (D / m )
相对误差不能用于衡量角度测量的精度。
5.3 误差传播定律
有些未知量是由一些直接观测值通过函数运算而得。 由于观测值存在误差，由其计算的结果自然也就存在误 差。描述这种函数的中误差与观测值的中误差的关系的 定律称为误差传播定律。
60 30 2v v
30 S m2 v
四等水准测量中，τ″=20″，v=25倍，S最大为100m，相应 水准尺上读取一个数的中误差为m读=±2.1mm。
5.3.3.2 一测站高差的中误差 黑、红面测得高差为后视读数减前视读数，则黑红面高差 中误差为：
m黑、红 2m读 3mm 三、四等水准测量要求黑、红面观测，取黑、红面高差平 均值为一站高差，则一测站高差中误差为：
f 测回间允 2 12 24
2
2
2
2
将已知数据代入上式，可得：
m 10 2 2 mB mD D 2 0 . 005 200 . 000 206265 11.0m m
2 2 2
5.3.3 水准测量精度分析
5.3.3.1 一个数的中误差 影响一个读数的因素水准仪整平、瞄准、读数误差。 ①水准仪置平的误差 由于受人视觉限制，气泡偏离中 0.15 S m 点的误差为分划值的0.15倍，其影响读数：
2
[ y y ] n
k2
[ x x ] n
由中误差的定义可得： m
2 y
[ y y ] n
2 ； mx
[ x x ] 2 2 my k 2 mx m y kmx n
5.3.1.2 观测值的和、差函数的中误差
设函数y x1 x2 xn 则 得 y x1 x2 xn 进行了n次观测，则yi x1,i x2,i xn ,i [xi x j ] [yy ] [x1x1 ] [x2 x2 ] n个式子分别平方、求和 、除以n，得： 2 n n n n [ y y ] [xi x j ] [xi xi ] 2 2 由误差的定义及特性知 ：m y ；mx ； lim 0 i n n n n
规范取定为±20mm，则
mh允 20
L mm
5.3.4 角度测量精度分析 5.3.4.1水平角的中误差及允许误差 DJ6观测一个方向的一个测回的中误差为±6″，则照准 一个方向的半测回的中误差为： m 2 6 8.5 一个水平角的半测回中误差：
方
m半 m方 2 2 8.5 12
以表中的数据，绘制误差直方图。使横轴代表误差值， 纵轴代表频率，图中直方图的面积总和为1，此直方图可 以形象描述偶然误差的规律性。当观测条件足够多时，直 方图中各矩形顶部就可以形成一条对称、光滑的曲线。
偶然误差的规律性： 1、有界性对值小的比绝 对值大的出现的可能性大； 3、对称性：误差出现正负的 可能性相同； 4）抵偿性：偶然误差的算术 平均值随观测次数增加而趋 于零；
5.3.2 非线性函数的中误差
设非线性函数 y F ( x1 , x2 , , xn ) 取全微分：dy F F F dx1 dx2 dxn x1 x2 xn F F F x1 x2 xn 为一线性表达式 x1 x2 xn
1
②瞄准误差 人眼把两点的视角小于1′的情况看做为 一点。用放大倍数为v的望远镜照准目标，照准精度为： 照准精度在水准尺上的影响为： ③读数误差 读数误差与水准尺分划有关，对分划1cm 的水准尺，读数误差约为1.5mm，读数影响为： m3 1.5mm 综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为：m读 m12 m22 m32
上下半测回较差中误差： m m半 2 2 12 17
（规范取 36） 取2倍作为允许误差： f 允 2 17 34
一测回水平角为上、下半测回的平均值，则其中误差
m m半 2 12 8.5 2
测回差的中误差：
m测回间 m 2 8.5 2 12
5.1.2.2 偶然误差 相同观测条件下，对某对象作系列观测，单次观测的误差 大小和符号无规律，这种误差称为偶然误差。若只含有偶 然误差，若增加观测次数多，误差呈现出统计学的规律。

某一测区在相同条件下观测了217个三角形的全部内角，将真误差取误差区 间为3″，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差出现的 频率k／217，结果列于下表 ：
例：由A点放样B点，距离为D=200.000±0.005m，方 位角α=45°15′20″±10″，计算放样B点点位中误差。
解：B点坐标为： xB x A x AB x A D cos y B y A y AB y A D sin 由误差传播定律公式得：
m mx cos2 mD D sin
第5章 测量误差的基本知识
真误差=观测值－真值（理论值）
粗差是错误，不是误差。
5.1 测量误差产生的来源及其分类
5.1.1 测量误差的来源 导致观测值产生误差的原因，主要有三方面： ①测量仪器 因测量仪器制造或校正不够完善，给观测 值带来误差。 ②观测者 受制于观测者的视力、操作技能等，给观 测值带来误差。 ③施测环境 受外界环境的影响，观测值带有误差。 测量仪器、观测者、施测环境三方面综合起来称为 观测条件，在相同观测条件下进行的各次观测称为等精 度观测，观测条件不同的各次观测称为不等精度观测。