有理数的四则混合运算

有理数的四则混合运算板块一有理数的加减法【知识导航】有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；3 + 5 = 8 （-3）+（-5）= -8②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（-5）+ 3 = -（5 - 3）= - 25 +（-3）= +（5 - 3）= + 2③一个数同0相加，仍得这个数。

④绝对值相等的异号两数相加为0。

（既互为相反数两数相加）有理数加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差。

【例1】⑴、计算3(7.5)(3)5+++⑵、3(7.5)(3)5-+-⑵、753() 66 +-（初中阶段一般将带分数化为假分数）有理数减法法则：（将减法当加法计算）减去一个数，等于加这个数的相反数。

7 – 3 = 4 7 - （-3）= 7 + 3 = 10●-7 – 3 = ❍-7 -（-3）有理数减法的运算步骤：（减数为正，直接减，减数为负化为加法）①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算。

【例2】⑴、计算20(15)(28)17-+----⑶、计算2113()() 3838 ---+-⑷、计算1132 223 4343 -+-有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果。

【例3】⑴ 、计算()()434185353.618100555⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑵ 、计算111133334444⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-------⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⑶ 、计算1111111[()()][()][()]261220304256--+-++--+--+【例4】有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下：1.5 -3 2 -0.5 1 -2 -2 -2.5回答下列问题：⑴ 这8筐白菜中，最接近25千克的那筐白菜为 千克； ⑵ 以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？⑶ 若白菜每千克售价2.6元，则出售这8筐白菜可卖多少元？【例5】a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是绝对值等于2的数，则a ＋(-b) ＋ c ＋ d ＝_____。

板块二有理数乘除法【知识导航】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0。

有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数。

(奇负偶正)②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0。

计算步骤：先定符号，在计算。

注：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，运用奇负偶正规则。

【例1】（1）、计算3 (0.25)0.5(70)45-⨯⨯-⨯（2）、计算4113 (3)(1)(1)(5)59211 -⨯-⨯-⨯+⨯【例2】（1）、计算11111 36() 23469⨯+---（2）、计算 ()111148436612⎛⎫--+⨯- ⎪⎝⎭（3）、计算()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数。

有理数运算时，先确定符号再计算绝对值，有括号的先算括号里的数【例3】（1） 计算1111123218⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 计算()25171245138612⎡⎤⎛⎫--+⨯÷-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦（3）计算1458|24|211⎛⎫-⨯-÷-+ ⎪⎝⎭（4）计算()()()()9126448-+÷---⨯-÷-（5）计算()1575633---+--÷---【例4】（1）计算()1571816-⨯- （2）计算()()1110.255 3.52244⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）计算()()51112124815122623⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫---+⨯--÷-÷-⎨⎬⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭板块三 有理数乘方【知识导航】概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

n a“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重符号的化简 （2）有理数乘法 （3）有理数乘方运算符号的等级：一级：加减 二级：乘除 三级：乘方 （从高级到低级）33-2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 33-2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 33-2指数 底数 幂乘方运算公式：()n m a = mn a m a .n a = m n a +()m m m ab a b = m n m n a a a -÷= 1n n aa -=知识点：01a= ()0a ≠ 除0外任何数的0次方等于1。

【例1】 把下式写成乘方运算的形式：（1）、111111444444⨯⨯⨯⨯⨯（2）、()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯- （3）、222227⨯⨯⨯⨯（4）、()()66666-⨯⨯-⨯⨯-（5）、()()()()n a b a b a b a b a b +++++个（1）计算()43- （2）计算43-（3）计算332⎛⎫- ⎪⎝⎭ （4）计算332-【例3】（1）计算3221122|3|0323⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⨯-+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）计算()()221313524042354⎡⎤⎛⎫-⨯--⨯---⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦÷（3）计算()2221153222⎛⎫-⨯-÷-⨯+ ⎪⎝⎭（4）计算()()()232234233⎡⎤-+-⨯-+--÷⎣⎦（5）计算()22221158.53242⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫-----⨯-÷-⎨⎬⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭（6）计算()()23201120.2524113⎡⎤⎛⎫⨯--÷-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1）计算()()2007200822-+-，结果为（ ） A ．20072B ．()20072- C ．20072- D ．-２（2）填空： 12344950-+-++-=________； 123499100101-+-++-+=________；（3）如果a 是有理数，那么下列各式一定为正数的是（ ）A ．2008aB ．2008aC ．20081a +D ．a（4）若23(2)0m n ++-=，则2007()m n +的值等于______。

（三个非负数：平方数（偶次幂） 绝对值 算术平方根（偶次根））【例5】已知：a 、b 、c 是有理数，满足215(51)0a b c -+++-=求：()()1271132a b c a b c ⨯⨯÷⨯⨯板块四 科学记数法,有效数字【知识导航】定义：把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中，110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法。

科学计数法：小数点移动的位数即为10的指数数值，向左指数为正向右指数为负。

431800 3.1810=⨯ 5465600 4.65610-=-⨯ 61000000110=⨯ 40.000326 3.2610-=⨯有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

（右边的0可以作为有效数字）431800 3.1810=⨯ 有效数值为3位，单位和幂不算有效数值。

【例6】（1）国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积是260000平方米，将260000用科学记数法表示应为（ ）A ．60.2610⨯B ．42610⨯C ．62.610⨯D ．52.610⨯（2）截止到2008年5月19日，已有21600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最，将21600用科学记数法表示应为（ ）A ．50.21610⨯B ．321.610⨯C ．32.1610⨯D ．42.1610⨯（3）改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。

将300670用科学记数法表示应为（ ）A 、60.3006710⨯B 、53.006710⨯C 、43.006710⨯D 、430.06710⨯【例7】1、指出下列各近似值精确到哪一位：⑴56.3； ⑵ 5.630； ⑶65.6310⨯；⑷ 5.630万；⑸0.017； ⑹38002、指出下列各数有几个有效数字：⑴ 0.319；⑵ 0.0170； ⑶ 0.25037； ⑸ 4.46万；⑸ 5.29×103； ⑹ 38.73、将0.142857保留两位小数： ，精确到千分位： ， 保留三位有效数字： 。

4、将142857精确到千位： ，保留3位有效数值： 。

（先化为科学计数法再求解）有理数的综合运算有理数的加法法则：1、同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

有 数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。

(b)a b a -=+-有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

有理数除法法则除以一个不等于0 的数，等于乘以这个数的倒数。

10a b a b b ÷=⋅≠，()两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

有理数的混合运算：1．先乘除后加减2．同级运算，从左到右（1）[]{}(3)(4)15(7)-+-+-+---（2）下列计算正确的是（ ） A.111(1)(1)1339-⨯-= B.12(8)1217-⨯= C.1(7)()17-⨯+=- D.1(3)()13+⨯-=（3）23155174148⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-÷-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5111211248(1)(5)(60)1226232⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⨯--÷-÷-+-⨯⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭（4）32912(6)(4)(4)(8)624416 6.8 3.225055-+÷---⨯-÷-+++---+ 111231(0.25)5( 3.5)2(4)244324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+-⨯-+÷⨯÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）1115.56 6.442333⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2364612812241242484816⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯（6）32213160.5244227⎛⎫-+-----⨯ ⎪⎝⎭ 220052004431(2)(0.5)(1)(3)12⎛⎫-⨯+-+-⨯ ⎪⎝⎭（7）2101111333++++ （8）已知32412341(2)3(4)a a a a -+-+-+-+20092010200920102009(2010)0a a +-+-=，求122334200920101111a a a a a a a a ++++（9）已知a b ，互为相反数，c d ，互为倒数，()()312x a a b =---，222d y c d d c c ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭，求23236x y x y -+-的值。