2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23題

一．解答题（共23小题）

1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．

（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；

（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．

2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2

的菱形，AC⊥CB，BC=1．

（Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．

3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．

（I）求点P到平面ABCD的距离，

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．

4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．

5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知．

（1）求证：B1C1⊥平面OAH；

（2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小．

6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．

（1）求证：AD⊥BC．

（2）求二面角B﹣AC﹣D的大小．

（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线

PA与CD所成的角为90°．

（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

8．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

9．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D ﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．

（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

10．如图，已知边长为6的菱形ABCD，∠ABC=120°，AC与BD相交于O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3．

（1）若M是BC的中点，求证：在三棱锥D﹣ABC中，直线OM与平面ABD平行；

（2）求二面角A﹣BD﹣O的余弦值；

（3）在三棱锥D﹣ABC中，设点N是BD上的一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4．

11．如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=，F 是CD的中点．

（1）求证：AF∥平面BCE；

（2）求直线CE与平面ABED所成角的余弦值；

（3）求多面体ABCDE的体积．

12．如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE

⊥AB，且AE∥BP．

（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；

（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

13．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．

（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．

（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；

（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．

15．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．

（Ⅰ）求证：CD⊥AM；

（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．

16．如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．

（Ⅰ）求证：PM∥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AC与平面CEF所成角的正弦值．

17．已知菱形ABCD，AB=2，∠BAD=，半圆O所在平面垂直于平面ABCD，点P在半圆弧上．（不同于B，C）．（1）若PA与平面ABCD所成角的正弦值为，求出点P的位置；

（2）是否存在点P，使得PC⊥BD，若存在，求出点P的位置，若不存在，说明理由．

18．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；

（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；

（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，

求出AM的长，若不存在，请说明理由．

20．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，E是AB中点，A1E⊥平面ABC．

（I）证明：BC1∥平面A1EC；

（II）若A1A⊥A1B，且AB=2．

①求点B到平面ACC1A1的距离；

②求直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值．

21．如图，在多面体EF﹣ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=，DCEF为平行四边形，

平面DCEF⊥平面ABCD．

（1）求证：DF⊥平面ABCD；

（2）若△ABD是边长为2的等边三角形，且BF与平面ABCD所成角的正切值为1，求点E到平面BDF的距离．

22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，G为ABC的重心，BE=BC1．

（1）求证：GE∥平面AA1B1B；

（2）若侧面ABB1A1⊥底面ABC，∠A1AB=∠BAC=60°，AA1=AB=AC=2，求直线A1B与平面B1GE所成角θ的正弦值．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；

（Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；

（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．