数字信号的最佳接收
樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(数字信号的最佳接收)【圣才出品】
第9章数字信号的最佳接收思考题9-1 试问数字信号的最佳接收以什么指标作为准则？答：数字信号的最佳接收以错误概率最小作为最佳的准则。
9-2 试写出二进制信号的最佳接收的判决准则。
答：二进制信号的最佳接收判决准则：若，则判为“0”；若，则判为“1”。
9-3 对于二进制双极性信号，试问最佳接收判决门限值应该等于多少？答：二进制双极性信号中又所以即对于二进制极性信号，最佳接收判决门限值为0。
9-4 试问二进制确知信号的最佳形式是什么？答：二进制确知信号的最佳形式：两种码元的先验概率相等，能量相等。
9-5 试画出二进制确知信号最佳接收机的方框图。
答：如图9-1所示，图9-19-6 对于二进制等概率双极性信号，试写出其最佳接收的总误码率表示式。
答：最佳接收的总误码率表示式为式中：，为误差函数；，为补误差函数；E b为码元能量； 为码元相关系数；n0为噪声功率谱密度。
9-7 试述数字信号传输系统的误码率和信号波形的关系。
答：数字信号传输系统的误码率和信号波形的关系：二进制确知信号的最佳误码率决定于两种码元的相关系数ρ和信噪比E b／n0，而与信号波形无直接关系。
9-8 何谓匹配滤波？试问匹配滤波器的冲激响应和信号波形有何关系？其传输函数和信号频谱又有什么关系？答：（1）用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上线性滤波器的输出信号噪声比最大，此过程称为匹配滤波。
（2）匹配滤波器的冲激响应和信号波形的关系：匹配滤波器的冲激响应h（t）就是信号s（t）的镜像s（－t），但在时间轴上（向右）平移了t0。
（3）传输函数和信号频谱的关系：两者相同。
9-9 试述滤波器的物理可实现性条件。
答：滤波器的物理可实现性条件是：其冲激响应必须符合因果关系，即必须有即要求满足条件或满足条件9-10 试问如何才能使普通接收机的误码率达到最佳接收机的水平？答：使普通接收机的误码率达到最佳接收机的水平的方法：（1）匹配滤波器；（2）相关接收法9-11 何谓相关接收？试画出接收2FSK信号的相关接收方框图。
通信原理第7版第9章
[s0
(t)
s1(t)]2
dt
总误码率Pe = 0
当先验概率 P(0) = 1 及 P(1) = 0 时： 总误码率Pe = 0
a
b -
当先验概率 P(0) = P(1) = 1/2 时： a = b
这时，误码率：
Pe P(1)
1
a
e
x2 22
dx
P(0)
2
W0
n0 2
ln
P(0)
化 简 为
代 入
f1
(r
)
（
1
2
）k
n
exp
1 n0
TB 0
r
(t
)
s1
(t
)
2
dt
f0
(r
)
（
1
2
）k
n
exp
1 n0
TB 0
r
(t
)
s0
(t
)
2
dt
并利用 E0=E1 进行化简：
TB 0
1
2
e dx b
x2 22
可简化为：
Pe
1
2
e dx c
x2 22
c 1 2
TB 0
[s0
(t
)
s1
(t
)]2
dt
可见：
P(0)=P(1)=1/2 时误码率的计算
互相关系数
数字信号的最佳接收
1
2n0
T 0
[s1
(t
)
s2
(t
)]2
dt
b
1 2n0
T 0
[s1
(t)
s2
(t)]2
dt
2
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ln[P(s2 ) / P(s1)]
1
2n0
T 0
[s1
(t
)
s2
(t
)]2
dt
6.2 二进制确知信号的最佳接收
由此可以看出，所求的最佳接收机的极限
性能 与先验概率
、噪声功率谱密
P 度 及两信号之差的能量有关，而与
为随参信号（随相信号、起伏信号）。确知
信号的所有参数（
）都确
知，未知的只是信号是否出现。
A, f ,,到达时间t等
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6.2 二进制确知信号的最佳接收
1. 二进制确知信号最佳接收机的设计 设到达接收机输入端的两个确知信号为
和 ,它的持续时间为 ，且有相等的能 量，噪声 是高斯白噪声，均值为零，且单边
n 噪声空间
图1 数字信号接收的统计模型
6.1 最佳接收概念及最接收准则
设发送消息为 X，有m 种可能的状态，对应发送信
号s，也有m 种取值 s1，s2，, sm，信道噪声n 为零均值
高斯白噪声，则观察空间状态 y为:
y sn
也服从高斯分布，当出现信号 si时，y的概率密度函数
为
fsi ( y) (
第6章 数字信号的最佳接收
• 6.1 • 6.2 • 6.3 • 6.4
最佳接收概念及最佳接收准则 确知信号的最佳接收 匹配滤波器 基带系统的最佳化
10/23/2020
通信原理第八章数字信号的最佳接收
第八章 数字信号的最佳接收8. 0、概述数字信号接收准则：⎩⎨⎧→→相关接收机最小差错率匹配滤波器最大输出信噪比 8. 1、最佳接收准则最佳接收机：误码率最小的接收机。
一、似然比准则0 ≤ t ≤ T S ，i = 1、2、…、M ，其中：S i (t) 和n (t)分别为接收机的输入信号与噪声，n(t) 的单边谱密度为n 0n(t)的k 维联合概率密度：()似然函数→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰ST kn dt t n n n f 0201exp )2(1)(σπ式中：k = 2f H T S 为T S 内观察次数，f H 为信号带宽出现S 1(t)时,y(t)的联合概率密度为:[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎰ST kn S dt t s t y n y f 02101)()(1exp )2(1)(σπ → 发“1”码 出现S 2(t)时, y(t)的联合概率密度为:[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎰ST kn S dt t s t y n y f 02202)()(1exp )2(1)(σπ→ 发“0”码 误码率：f S2(y) f S1(y)a 1 y T a 2 y()()()()()()(){t n t s t n t s i t n t s t y ++=+=12()()()()⎰⎰∞-∞++=iT iT V V S S e dyy f s p dy y f s p S P S S P S P S S P P )()()()(2211221112要使P e 最小，则：0=∂∂Tey p 即：()()()()02211=+-T S T S y f s p y f s p故：P e 最小时的门限条件为 ：最小满足e T T S T S P y s p s p y f y f →=)()()()(1221 判定准则： 似然比准则判判→⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫→<→>2122111221)()()()()()()()(S s p s p y f y f S s p s p y f y f S S S S二、最大似然比准则最大似然比准则判判如时当→⎭⎬⎫→<→>=22112112)()()()(:,)()(S y f y f S y f y f s p s p S S S S用上述两个准则来构造的接收机即为最佳接收机。
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图 10-2 （1）在图中 A 点及 B 点的带通噪声 nA（t）和 nB（t）是否统计独立，为什么? （2）若发送 s1（t），请问图中 C 点的抽样值 y1 的条件概率密度函数 p（y1／s1）与 D 点的抽样值 y2 的条件概率密度函数 p（y2／s1）是什么分布? （3）若发端发送 s1（t），请写出收端误判为 s2（t）的概率 p（s2／s1）的计算公式。
密度为
的加性高斯白噪声的干扰。若要利用此电话信道传输 2400bit／s 的二进
制数据序列，需接入调制解调器（MODEM）进行无码间串扰的频带传输。请设计并画出
最佳发送及接收系统的原理框图。
解：可用频率范围是 600～3000Hz，设计载波频率为频带的中心，即 fc＝1800Hz。
信道带宽为 3000-600＝2400（Hz），等效的基带带宽是 1200Hz，等效基带的频带率利
解：已知输入端的平均信噪功率比 为 7dB（5 倍）。由于“1”码的平均功率为
而“0”码的平均功率为 0，且“1”，“0”等概出现，则信号平均功率
噪声功率为 而信噪功率比
平均信噪功率比
故
输入噪声功率为
最佳判决门限 最佳归一化门限
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十万门限 νd*（写出推导过程）； （2）在近似认为抽样点无码间干扰条件下，请推导出系统平均误比特率计算公式 （写出详细推导步骤）。 解：（1）2PSK 可以看成基带为双极性信号的 2ASK，且只能用相干解调法解调，所 以抗噪声性能分析方法与 2ASK 相干解调的类似。 发“1”码时，设对应的基带信号幅值为 A，则接收端经相干解调之后低通滤波器的输 出为 x（t）＝A+nc（t）。 设加性高斯白噪声（AWGN）信道中噪声为零均值、方差为 σ2，则
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能取值。
fk(n)=f(n1,n2, ,nk)
t1
t2
《通信原理》
湖北大学信息工程系 4
第8章 数字信号的最佳接收原理
若噪声是高斯白噪声，则它在任意两个时刻上得到的样 值都是互不相关的，同时也是统计独立的。
即 fk ( n 1 ,n 2 , ,n k ) = f( n 1 )f( n 2 ) f( n k )
匹配滤波器的输出信号是输入信号的自相关函数R(t)再延迟T。 通常，自相关函数 R(t) 在 t＝0 时最大， 在这里，s0(t)在 t＝T 时最大，正好满足最大信噪比性能。 系数 k 无本质影响，所以常取 k＝1。
《通信原理》
湖北大学信息工程系 32
第8章 数字信号的最佳接收原理 求：H(w)、h(t)、s0(t)
fs2( y)
a2
y
湖北大学信息工程系 13
第8章 数字信号的最佳接收原理
8.3 确知信号的最佳接收机
一、二进制确知信号最佳接收机原理
《通信原理》
湖北大学信息工程系 14
第8章 数字信号的最佳接收原理
《通信原理》
二进制最佳接收机原理方框图
湖北大学信息工程系 15
第8章 数字信号的最佳接收原理
《通信原理》
湖北大学信息工程系 39
第8章 数字信号的最佳接收原理 二、理想信道下的最佳基带系统
1. 基带系统模型
GT(f)
C(f)
GR(f)
发送 滤波器
信道
接收 滤波器
抽样 判决
hT (t)
s(t)
噪声
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第8章 数字信号的最佳接收原理
2. 最佳分配设计
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第9章 数字信号的最佳接收一、选择题设加性高斯白噪声的单边功率谱密度为n 0，输入信号能量为E ，则匹配滤波器在t ＝T 时刻输出的最大信噪比为（ ）。
A ．02En B ．0E n C ．02E n D ．4E n 【答案】C【解析】匹配滤波器在t ＝T 时刻输出的最大信噪比为()00max 02s T E r N N ==。
二、填空题1．按照最大似然准则设计的接收机能使______达到最小。
【答案】差错概率【解析】按照最大似然准则和最大后验概率准则判决都可以得到理论上最佳的误码率，即使接收机的差错概率达到最小。
2．对二进制确知信号进行最佳接收时，最佳信号形式是______。
【答案】使ρ＝－1的信号形式【解析】对二进制确知信号进行最佳接收时，误码率是互相关系数ρ的函数：12e P erfc =，当ρ＝－1时，误码率最小，即12e P ，且此时有最佳信号形式：s 1（t ）＝－s 2（t ）。
3．2PSK 信号的互相关系数ρ＝______；2ASK 信号ρ＝______。
【答案】ρ＝－1；ρ＝0【解析】当两种码元相反，ρ＝－1时，误码率最小，所以2PSK 的相关系数为－1。
当两码元正交，ρ＝0时，所以2ASK 的相关系数为0。
4．在2ASK 、2FSK 和2DPSK 这三种信号中，______是等能量信号；______是非等能量信号。
【答案】2FSK 和2DPSK ；2ASK【解析】对于数字基带传输系统，双极性信号是等能量信号，单极性信号是非等能量信号。
5．匹配滤波器是基于 ______准则来设计的。
【答案】最大输出信噪比【解析】匹配滤波器的设计初衷是为了使抽样时刻上线性滤波器的输出信号噪声比最大。
6．若输入信号s （t ）的频谱函数为S （ω），则匹配滤波器的传输函数为______，单位冲激响应为______。
【答案】7．设高斯白噪声的单边功率谱密度为n 0，输入信号的能量为E ，则匹配滤波器在t ＝T 时刻输出的最大信噪比为______。
第九章数字信号的最佳接收
2DPSK 2FSK 2ASK
pe
1exp(Eb
2
n0
)
pe
1exp( Eb
2
2n0
)
pe
1exp( Eb
2
4n0
)
第8章
5.MFSK最佳非相干接收机
带通
包络检波
输
ω1
入
带通 ωM
设cosω1t、cosω2t正交， 0 TSs1(t)2d t0 TSs2(t)2d tEb，且φ1、φ2
在（0，2π）内均匀分布，则最佳接收机形式为
第8章
包络检波
输入
相关器 cosω1t
相关器 sinω1t
相关器
cosω2t 相关器
sinω2t
平方器 平方器
相加器
平方器 平方器
相加器
， 判为S1 ， 判为S2
这就是似然比准则
一般p(S1)=p(S2)，此时似然比准则为 fS1(y) > fS2(y) ， 判为S1 ， fS1(y) < fS2(y) ， 判为S2 称上述判据为最大似然比准则。它是似然准则的特例。
第8章
代入似然函数：
即 0 T Sy (t) s1 (t)2 d t0 T Sy (t) s2 (t)2 dt，判为S1 ，否则判为S2
·位同步信号cp (t) 由位同步器提取，位同步器输入信号来自y(t)或乘 法器。
第8章
2、S2(t) = 0
TS
0
s12(t)dtEb
0 T Sy (t) s1 (t)2 d t0 T Sy (t) s2 (t)2 dt
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匹配滤波器的单位冲激响应为
h(t)=s(t =T ，则有H ω
−1(1
h(t)=s(T-t)
匹配滤波器的单位冲激响应如图8 -3(b)因此，匹配滤波器的传输函数为
1
((j j j S ωωω【例2】已知匹配滤波器的单位冲激响应
h(t)如图所示。
试求：1）输入信号波形；
）匹配滤波器的输出波形；）最大输出信噪比时刻
和最大输出信噪比；
)t 0
0.5
-A
最大输出信噪比出现时刻应在信号结束之
； 最大输出信噪比为：
哪一个信号是不确定的；
即使知道发送哪一个信号，但是信号在传输过程中可能发生
）确定匹配滤波器的冲击响应。
）两个匹配滤波器的输出信号。
bs 123/134
21112()()s s t T s t ϖϖ≤⎩且，和。
1、画出相关器构成的最佳接收机结构；
2、设信息代码为110，画出各点可能波形；
3、若接收机输入高斯白噪声功率普密度为n 0/2,试求系统的误码率。
)b
E n =解：1、画出最佳相干接收机结构；
解：2、设信息代码为110，画出各点可能波形；
(t (解：3、若接收机输入高斯白噪声功率普密度为n 试求系统的误码率。
由题可知：信号是等能量的，即
2
20
2()2
Ts
Ts
E t dt s T ==∫∫(
2E A erfc
画出匹配滤波器的最佳接收机结构确定或画出匹配滤波器的冲击响应。
E E p ∴∵）
T s
(41)2cos 0)(20)(0
0200f f j e f f te f dt e s T f f j T f f T
ft j +−−+
−=+−−−−∫πππππT s
][(4)(41)(*)()(202)22000f j e f f j e e f S e f f s s s
s
T f f j fT j T f f fT j ft j +−+
−−=+−−−−ππππππs t T f t −=−),
(2cos )0π0
/f 0cos 2,0f t π≤因此，其匹配滤波器的传输函数为：
t 0(b ) 冲激响应
T s
∫∞
∞
−−=τ
ττd t h s t s o )()()(s s s T t T T t ,2,≤≤<≤匹配滤波器输出波形可以由卷积公式求出：
)和h (t )在区间(0, Ts )外都等于零，
故上式中的积分可以分为如下几段进行计算
(a ) 信号波形
(b ) 冲激响应
(c ) 输出波形
T s
T s
T s
2T s
积分
积分
s 1(t )
s 0(t )
抽样比较判决
抽样
t = T s t = T s
输入
用相关器代替上图中的匹配滤波器得到:
匹配滤波器输出。