单纯性法的矩阵描述.ppt
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1.2.4单纯形法的矩阵表达
这样，标准形式的LP问题便化成：
max z CB X B CN X N s.t. BX B NX N X s b X B 0, X N 0, X s 0
置入单纯形表，得：
B | N | I | 0 | b T CB | CN | 0 | z | 0
2
用B-1左乘上表中第一行各项，并B-用1 行初等变换方式Z0使基变
2.4 单纯形法的矩阵表达
前面讲解单纯形法都是用向量形式和分量形式表达的， 如果用矩阵表达就更加简单，在推导一些结论时也非 常有用。
设LP问题标准型为：
max z =CX AX +Xs= b
X 0
假设我们已经知道了其中一个基，不妨设前m列，则我 们就可以把各矩阵或向量改写成：
1
A (B, N, I ) X ( X B , X N , X s )T C (CB , CN , 0)
规则进行的初等变换，直到σ=CN-CBB-1N≤0得到最优解 为止。
这里需要特别指出的是如何在单纯形表中找到B-1，CBB-1， Z0等，进而可以矩阵运算。 Nhomakorabea3
量检验数为0
I | T CB |
B1N CN
Y=CBB-1单
纯形乘子
| B1 | 0 | B1b
|
0
| Z |
0
I | B1N | B1 | 0 | B1b 这就T是单纯0 形| C法N 的 C矩B阵B表1N达| ，C由BBTa1bIle| 可Z以| 看C出BB，单1b纯
形法的求解过程就是在上面表格的大矩阵中按照一定的
max z CB X B CN X N s.t. BX B NX N X s b X B 0, X N 0, X s 0
置入单纯形表，得：
B | N | I | 0 | b T CB | CN | 0 | z | 0
2
用B-1左乘上表中第一行各项，并B-用1 行初等变换方式Z0使基变
2.4 单纯形法的矩阵表达
前面讲解单纯形法都是用向量形式和分量形式表达的， 如果用矩阵表达就更加简单，在推导一些结论时也非 常有用。
设LP问题标准型为：
max z =CX AX +Xs= b
X 0
假设我们已经知道了其中一个基，不妨设前m列，则我 们就可以把各矩阵或向量改写成：
1
A (B, N, I ) X ( X B , X N , X s )T C (CB , CN , 0)
规则进行的初等变换，直到σ=CN-CBB-1N≤0得到最优解 为止。
这里需要特别指出的是如何在单纯形表中找到B-1，CBB-1， Z0等，进而可以矩阵运算。 Nhomakorabea3
量检验数为0
I | T CB |
B1N CN
Y=CBB-1单
纯形乘子
| B1 | 0 | B1b
|
0
| Z |
0
I | B1N | B1 | 0 | B1b 这就T是单纯0 形| C法N 的 C矩B阵B表1N达| ，C由BBTa1bIle| 可Z以| 看C出BB，单1b纯
形法的求解过程就是在上面表格的大矩阵中按照一定的
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学——单纯形矩阵描述与改进单纯形法
( B 1b)i (B1Pj )i
(B1Pj )i
0
( B 1b)l (B1Pj )l
换入变量的系数向量
10
小结
1）掌握矩阵的运算； 2）理解基矩阵的作用； 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
11
求解线性规划问题的关键是计算B-1 ，以下介绍一 种比较简便的计算B-1的方法。
设mn系数矩阵为A，求其逆矩阵时，可先从第1列开始。
a11
A
a21
a12
a22
a1m a2m
am1
am2
amm
12
以a11为主元素, 进行变换
a11
主元素
P1
a21
1/ a11
1
a21 /
a11
(1)
am1
am1
/
a11
13
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
1/ a11 0 0
E1
a21 /
BXB b NX N ; X B B1b B1NX N ; 目标函数：
z CB B1b (CN CB B1N ) X N
(2 1) (2 2) (3 2)
4
令非基变量=0，由上式得到：
基可行解
X
(1)
B 1b 0
;
目标函数的值 z CBB1b
5
（1）非基变量的系数表示为： (CN CB B1N ) 对应已用的检验数符号 c j z j ( j 1,2,, n) 所有检验数可表示为： C - CBB1(B | N )
6
（2）单纯形表与矩阵表示的关系
X B B1NX N B1b; 目标函数：
- z (CN CB B1N ) X N -CB B1b
单纯形表.ppt
Z c1x1 ... cm xm cm1xm1 ... cn xn 0
单纯形表
- Z x1基x变2量..X.Bxm
0 1
0
1E 单位...阵....
0
1
1 c1 c20... cm
xm非基1.变..量. XxNn
a1m1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n ......非基阵
15
0 0
x
x4 5
24 5
c z
j
j
2 1 000
xxxx x
1
2
3
4
5
0 5 100 6 2 010 1 1 001
2 1 000
正检验数对应 的列为主列
单纯形表复习小结
• 求解思想－－
•
顶点的逐步转移，
•
条件是
• 使目标函数值不断得到改善。
18
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
进基变量对应的系数列称为主元列。
（2）出基变量的确定——按最小比值原则确定出基 变量，为的是保持解的可行性；
出基变量所在的行称为主元行。 主元行和主元列的交叉元素称为主元素。
练习:
一般主列选择正检验数中最大者对应的 列,也可选择其它正检验数的列.以第2列
为主列,用单纯形法求解。
c j
CX
B
B
b
0
x 3
a' imk
0
bl' a'
lmk
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b '1
cm xm bm'
1 C0
单纯形法的矩阵描述
σj
7 0 0 0 -15
45
0 x3 0 0 1 -1 1 1
B-1b
7 x1 1 0 0 1 -2 2
15 x2 0 1 0 0 1 3
σj
0 0 0 -7 -1
59
最优基矩阵旳逆矩阵B-1
Page 11
基矩阵：
1 1 1
B p3
p1
p2
0 0
1 0
2 1
基矩阵旳逆矩阵：
1 1 1
0 1 -1 00 1 10 0 0 0 -7
1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0
11 -2 2 13 -1
1 2
p3
p1
1
松弛变量旳价值系数为0 x1、x2旳价值系数设为c1、c2
p2
0 − c1 = −7
0 +2c1−c2 = −1
c1 = 7 c2 = 15
1 1 1 1 1 0 0
量旳系数矩阵,则
(
X
,
X
S
)
X X
B N
，(C
,
CS
)
(CB
,
CN
);
§3.1 单纯形法旳矩阵描述 Page 5
目标函数
约束条件 非负条件
max
z
CX
(CB ,CN
)
XB XN
CB XB CN XN
(3 2)
( B,
N
)
XB XN
BX B
NX N
b
(3 3)
X B，X N 0
Page 13
例3：试验证X=(0,2,0,0,2)T是否是下列线性规划问题旳最优解。
第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍-精品文档
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
C B
X Bb B cj zj
1
X B I 0
X X N s 1 BN B 1 1 C C B N C N B BB
当前基解
当前检验数
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
上页 下页 返回
修正单纯形法简介
原因：
单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ , P b , P , , 每次迭代关键求出 B k k j i
1
需要换入的变量对应的列
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
特点：
1. 2.
具有一定的输入和输出 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策 目标。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
上页 下页 返回
重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“ 输出”数据，根据输入和输出数据来评价决 策单元的优劣。 决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣 ）被称为DEA有效，它用数学规划模型计 算比较决策单元之间的相对效率，为评价对 象作出评价。
第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
继续
改进单纯形法介绍
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
上页 下页 返回
单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
单纯形法的矩阵描述及应用举例课案课件
或确定无界解。
03
单纯形法的应用举例
线性规划问题的实际应用
01
02
03
生产计划问题
在给定资源限制和市场需 求下，如何安排生产计划 以最大化利润。
运输问题
如何优化运输路线和车辆 配置，以最小化运输成本 。
投资组合优化
在给定风险和收益目标下 ，如何配置资产以最大化 收益。
求解线性方程组
线性方程组
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为 未知数向量，b为常数向量。
THANKS
感谢观看
线性方程组的解法
通过单纯形法迭代求解线性方程 组，得到x的解。
最短路问题
最短路问题描述
给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。
最短路问题的解法
将最短路问题转化为线性规划问题，然后利用单纯形法求解。
04
单纯形法的优缺点
优点
高效性
单纯形法是一种求解线性 规划问题的有效方法，特 别是对于大规模问题，其 计算效率相对较高。
在某些情况下，单纯形法需要进行多次迭代才能 找到最优解，这会增加计算的复杂度和时间成本 。
对约束条件的处理可能较为复杂
对于具有非线性或非凸约束的问题，单纯形法可 能无法找到全局最优解，或者需要采用其他方法 进行优化。
05
单纯形法的改进与扩展
对偶问题与对偶单纯形法
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题是等价的，即它们的解是 相同的。对偶问题通常更容易求解，特别是在处理约束条件 较多或目标函数较复杂的问题时。
单纯形法与分解算法结合
单纯形法可以作为分解算法中的一个子步骤，用于解决每个小规模的子问题。通 过迭代的方式逐步求解子问题，最终得到原问题的最优解。
非线性规划问题的近似算法
03
单纯形法的应用举例
线性规划问题的实际应用
01
02
03
生产计划问题
在给定资源限制和市场需 求下，如何安排生产计划 以最大化利润。
运输问题
如何优化运输路线和车辆 配置，以最小化运输成本 。
投资组合优化
在给定风险和收益目标下 ，如何配置资产以最大化 收益。
求解线性方程组
线性方程组
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为 未知数向量，b为常数向量。
THANKS
感谢观看
线性方程组的解法
通过单纯形法迭代求解线性方程 组，得到x的解。
最短路问题
最短路问题描述
给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。
最短路问题的解法
将最短路问题转化为线性规划问题，然后利用单纯形法求解。
04
单纯形法的优缺点
优点
高效性
单纯形法是一种求解线性 规划问题的有效方法，特 别是对于大规模问题，其 计算效率相对较高。
在某些情况下，单纯形法需要进行多次迭代才能 找到最优解，这会增加计算的复杂度和时间成本 。
对约束条件的处理可能较为复杂
对于具有非线性或非凸约束的问题，单纯形法可 能无法找到全局最优解，或者需要采用其他方法 进行优化。
05
单纯形法的改进与扩展
对偶问题与对偶单纯形法
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题是等价的，即它们的解是 相同的。对偶问题通常更容易求解，特别是在处理约束条件 较多或目标函数较复杂的问题时。
单纯形法与分解算法结合
单纯形法可以作为分解算法中的一个子步骤，用于解决每个小规模的子问题。通 过迭代的方式逐步求解子问题，最终得到原问题的最优解。
非线性规划问题的近似算法
运筹学单纯形法ppt课件
• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0， 则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
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记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
则下面得到的是迭代后的各结论的矩阵表达式.
将XB=B-1b - B-1NXN代入目标函数的表达式中,可以得到
用非基变量表示目标函数的N)(XB,XN)T
下面考虑初始基变量是松弛变量的特殊情形：
max z CX
max z CX
加入松驰变量
AX b s.t.X 0
化为标准形
s.t
.
AX
XS
b
X 0
设松弛变量对应的系数列向量占据A 的后m列，可行基B占
据A的前m列，其余子块仍用N来表示。则有：
A=(A' , I) = (B ,N ,I) , C=(CB ,CN ,0)
第二章 对偶理论和灵敏度分析
第1节 单纯形法的矩阵描述 第2节 改进单纯形法 第3节 对偶问题的提出 第4节 线性规划的对偶理论 第5节 对偶问题的经济解释——影子价格 第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
单纯形的矩阵描述
本节讨论单纯形法的矩阵形式 一方面加深对单纯形法的理解； 另一方面为学习对偶理论和灵敏度分析打下基础。
到迭代后的表格：
系数 CB Cj-Zj
cj
CB
基变量 解向量 XB
XB
B-1b
I
-CBB-1b 0
CN XN B-1N CN -CBB-1N
0
XS B-1 -CBB-1
【例】线性规划
max Z x1 2x2 x3
2x1 3x2 2x3 x4 15
1 3 x1 xj
x2 5x3 0, j 1,,5
π=CBB-1 成为单纯形乘子 ；
N → B-1N ; B→ B-1 B=I
-z
X
-z
C
0
A
-z XB -z 1 CB
0B
-z XB -z 1 CB
XB 0 I
RHS 0
b
XN
RHS
CN
0
N
b
XN CN
B-1N
RHS 0
B-1b
-z XB -z 1 CB
XB 0 I
XN CN
B-1N
RHS 0
B-1b
则变量X 可表示成 分块矩阵
X
XB
X
N
XB , XN T
价值系数C 可表示成分块矩阵C=（CB，CN）
CB=(C1,C2,…,Cm), CN=(Cm+1Cm+2，…，cn)
线性规划的标准型：
max z = C X AX = b X≥0
C=(CB,CN),X=(XB,XN)T,
A=(B,N)
由约束条件 AX=(B,N)(XB,XN)T
XB
max
z
=
[CB,CN]
X
N
XB
s.t.
[B
,
N]
X
N
=
b
XB, XN ≥0
=BXB+NXN=b, 则BXB= b - NXN
因为r（B）=m（或|B|≠0） 所以B —1存在，则两边左乘B-1
得到基变量的表达式:
XB=B-1b - B-1NXN (1)
4. 目标函数 Z CBB1b
5. CBB1 称为单纯形算子
θ法则的矩阵表示：
RHS值
表示选用>0的分量
min
(B1b)i (B1Pj )i
(B1Pj )i
0
(B1b)i (B1Pj )i
换入变量的系数向量
单纯形表的 矩阵描述
max z = C X AX = b X≥0
XB=B-1b-B-1NXN
2.
N B1N, I = B-1 B, 某列Pj = B-1 Pj
B -1A= B -1(N,B )= (B -1N, B -1B)=(B -1N,I) ,
3. N CN CB B1N ,σB=CB-CBB-1B=0, A C CBB1A
单个变量的检验数：σj = Cj - CBB-1 Pj
AX=(B,N)(XB,XN)T=BXB+NXNB=-1bBXB+ B-1NXN= B-
c
CB 1b C
b xX
NX
θ
CB X B-
B
1b
B
B-1B
N
B-
( B 1b) l
1N
( B 1 P ) jl
σA=
-z=
0
CA-CBB- -CBB-1b
1A
CN-CBB-
1N
X(1) =（ B-1b ，0）
z=CBB-1b
将以上公式运用于初始单纯形表和迭代后以B为基的单纯
形表中得到如下表格：
cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量
XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
Cj-Zj
CB
CN
0
初始矩阵单纯形表
cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量 XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
Cj-Zj
CB
CN
0
将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,求基 本可行解和检验数。用B－1左乘表中第二行,得
max z = C X
首先考虑标准型的线性规划问题：
AX = b
X≥0
其中Am*n＝（P1，P2，…，Pn）, 设A中前m个列向量构成一个可行基B，记为B=(P1，P2，…，Pm) 则A中后n－m个列向量构成A的子矩阵N,记为N＝（Pm+1,…Pn）, 则A可以写成分块矩阵A=（B，N）。 对应基B，基变量为XB=（x1,x2，…，xm ）T ； 对应矩阵N，非基变量为XN=(xm+1,xm+2,…xn)T ；