三角函数,周期等
三角函数的周期性
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4
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
.
7
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】 (1)
2 sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期与
2 2
sinx的最小正周期相同，都是2π.
.
6
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
三角函数的周期与幅值的关系
三角函数的周期与幅值的关系三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们在许多自然科学和工程学科中都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的周期与幅值之间的关系。
一、正弦函数的周期与幅值的关系正弦函数的周期表示为T，它代表了正弦曲线中从一个峰值到下一个峰值所经过的距离。
正弦函数的标准形式是f(x) = A*sin(Bx + C) + D，其中A表示幅值，B表示周期的倒数。
根据三角函数的定义，正弦函数的周期为2π/B。
从这个公式可以看出，周期的大小与B成反比。
也就是说，周期越小，对应的B值越大。
幅值A表示正弦函数的最大值与最小值之间的差距，通常称之为振幅。
观察正弦函数的图像可以发现，当A取不同的值时，曲线在y轴方向上的振动幅度也会相应变化。
综上所述，正弦函数的周期与幅值之间存在如下关系：周期越小，对应的B值越大；幅值的大小直接影响着曲线在y轴方向上的振动幅度。
二、余弦函数的周期与幅值的关系余弦函数与正弦函数非常相似，它们的区别仅在于相位 C 的不同。
余弦函数的周期表示为T，一般记作2π。
余弦函数的标准形式为f(x) = A*cos(Bx + C) + D。
与正弦函数类似，余弦函数的周期也是2π/B。
这意味着，周期的大小与B成反比，当B值增大时，对应的周期将变小。
幅值A用来表示余弦函数在y轴方向上的振动幅度，也称为振幅。
与正弦函数类似，当A取不同的值时，曲线在y轴方向上的振动幅度也会相应变化。
由此可见，余弦函数的周期与幅值之间的关系与正弦函数类似：周期越小，对应的B值越大；幅值的大小直接影响着曲线在y轴方向上的振动幅度。
三、正切函数的周期与幅值的关系正切函数是另一种重要的三角函数，它的周期与幅值与正弦函数和余弦函数有所不同。
正切函数的标准形式为f(x) = A*tan(Bx + C) + D。
正切函数的周期可以表示为π/B，其中B表示周期的倒数。
从这个公式可以看出，正切函数的周期与B成正比。
三角函数的周期与周期函数
三角函数的周期与周期函数三角函数是数学中重要的函数之一，它具有很多特性和性质，其中之一就是周期性。
在本文中，我将探讨三角函数的周期以及周期函数的相关知识。
一、三角函数的周期1. 正弦函数的周期正弦函数（sin）是最常见的三角函数之一，其周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
这意味着当自变量x增加2π时，正弦函数的值重复出现。
2. 余弦函数的周期余弦函数（cos）和正弦函数非常相似，其周期也是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。
与正弦函数不同的是，余弦函数在自变量增加2π时，其值也会重复出现。
3. 正切函数的周期正切函数（tan）是另一个常见的三角函数，其周期是π，即tan(x + π) = tan(x)。
当自变量x增加π时，正切函数的值会重新开始。
二、周期函数的性质1. 周期函数的定义周期函数是指当自变量增加一个周期时，函数值会重复出现的函数。
三角函数就是典型的周期函数。
2. 周期函数的图像特点周期函数的图像在一个周期内呈现出循环的形式。
对于正弦函数和余弦函数来说，它们的图像在一个周期内上升和下降，并且对称于坐标轴。
而正切函数的图像则在一个周期内交替地趋近于正无穷和负无穷。
3. 周期函数的性质周期函数具有一些特殊的性质。
例如，正弦函数具有奇对称性质，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数则具有偶对称性质，即cos(-x)=cos(x)。
这些性质使得周期函数在数学和物理中应用广泛。
三、常见的周期函数1. 方形波函数方形波函数是一种以方形波形进行周期性重复的函数。
它在每个周期内的一半时间内取常数值，另一半时间内则取相反的常数值。
2. 锯齿波函数锯齿波函数是一种以锯齿形状进行周期性重复的函数。
它在一个周期内不断上升或下降，然后在下一个周期重新从起点开始。
3. 指数函数指数函数也可以是周期函数，例如指数函数f(x) = e^x。
尽管指数函数本身并不是周期函数，但可以通过在指数函数中引入复数来使其变成周期函数。
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性是指当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生重复的变化。
在数学中，周期性是函数的一个重要性质。
周期性可以应用于多个不同的数学对象，如三角函数、周期矩阵和周期函数。
其中，最常见的就是三角函数的周期性。
三角函数的周期性
三角函数是一类特殊的周期函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这类函数的周期性非常明显，它们的图像在一个特定的区间内重复出现。
以正弦函数为例，其周期性是指当自变量的值增加或减小2π时，函数的取值会发生重复的变化。
正弦函数的图像在一个周期内呈现出上升和下降的趋势，而在周期的不同区间内则重复这种趋势。
周期矩阵的周期性
周期矩阵也具有周期性。
周期矩阵是一个二维的矩阵，其中的元素具有周期性的变化。
这意味着当一个元素的索引增加或减小一个特定的数值时，元素的值会发生重复的变化。
周期函数的周期性
周期函数是指在某一特定的区间内，函数的值会以一定的规律进行重复。
这种周期性的现象往往与周期矩阵类似，当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生重复的变化。
周期函数可以用数学公式表示，其中包括正弦函数、余弦函数和周期指数函数等。
这些函数在一定的区间内重复出现，具有明显的周期性。
总结
函数的周期性是函数的一个重要性质，可以应用于三角函数、周期矩阵和周期函数等数学对象上。
在这些对象中，函数的值会以一定的规律进行重复，当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生相同的变化。
通过研究函数的周期性，我们可以更好地理解函数的变化规律和特点。
三角函数的奇偶性、周期性、对称性
三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度1 三角函数的周期性函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( B )A.π2B ．π C.3π2D ．2π解析：f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由T ＝2π2＝π，知函数f (x )的最小正周期为π. 角度2 三角函数的奇偶性(2019·武汉调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( A )A ．－π6 B.π6 C ．－π3 D.π3解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|＜π2， ∴k ＝－1时，θ＝－π6.角度3 三角函数的对称性(2019·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|＜π2，得φ＝π3， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0. 三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．提醒：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( C )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( B )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝5π3对称解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )； 函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－13π(k ∈Z ).。
三角函数的周期公式
三角函数的周期公式三角函数的周期公式是数学中极其重要的概念，任何有关任意角度的三角函数问题都不可缺少。
本文将详细介绍三角函数的周期公式，以及如何使用它来解决实际问题。
首先，让我们来简要介绍三角函数的定义：三角函数是基于角度的特定函数，它以一组三角形的角度和边长作为参数。
它们分别是正弦函数（Sin）、余弦函数（Cos）和正切函数（Tan）。
它们的定义如下：正弦函数：Sinθ = y/r，其中y为三角形的高度，r为三角形的斜边的长度。
余弦函数：Cosθ = x/r，其中x为三角形的底边的长度，r为三角形的斜边的长度。
正切函数：Tanθ = y/x，其中y是三角形的高度，x是三角形的底边的长度。
三角函数的周期公式指出，三角函数的值在某一角度时会反复出现。
因此，三角函数的周期L，是指它从某一起始角度开始，到再次出现它的值为止的角度差。
根据三角函数的周期公式，所有的三角函数都是以一定的正弦周期来重复的，正弦周期的长度由π决定：每2π（即6.2832 radians）为一个正弦周期，每π（即3.1416 radians）为一个半周期，其中radians是一个角度的量纲，等于α°×π/180°（α°为角度）。
此外，三角函数也存在有关它们极坐标图形的特性。
在此，我们研究三角函数的极坐标图形，它将以原点为中心，在其周围建立一个圆形的坐标系，圆的半径为1，此坐标系中的任何点（x，y）都有一个角度θ，其中x = cosθ和y = sinθ。
三角函数的周期公式在解决一些实际问题时也会发挥重要作用。
例如，在消费者理论中，消费者对商品的需求可以用三角函数表示，该公式可用来描述价格和消费水平之间的关系。
此外，三角函数也广泛应用于物理学，如在电磁学中，可以用三角函数来描述电压和电流之间的关系。
综上所述，三角函数的周期公式的定义、极坐标图形的特性以及在解决实际问题时的应用都令人印象深刻。
三角函数的周期公式被广泛应用于数学以及物理学。
三角函数
三角函数王志鹏三角函数在历年的高考试题中所占的分值基本保持恒定,两个选择题 ,一个解答题,分值在22分左右,它所涉及到的问题主要有周期.奇偶性,图像平移,最大值最小值的求法,单调递增递减区间的判断等 <一> 周期 周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。
函数 x ∈R 及 Y=A ()φω+x cos x R ∈其中（ω,A ,φ均为常数，A ≠0,w>0）周期为 T 小=2π/w(1) 几种常见的三角函数的周期 ① f(x)=|sin ϖx| T 小=π/w 。
② f( x)=| ()φω+x cos | T 小=π/w 。
③ f(x)=|tan ϖx| T=π/2w④ f(x)==(1-cos2x)/2=1/2-cos2x/2 T 小=π ⑤ f(x)==(1+cos2x)/2=1/2+cos2x/2 T T 小=π ⑥ f(x)=tan 2x=tan 2(x+π/2) T 小=π/2⑦ f(x)=x x cos sin + =2sin(x+π/4 ) T 小=2π ⑧ f(x)=x x tan cos + T 小=2π ⑨ f(x)=x x tan sin + T 小=2π总结:① 一般的三角函数可以直接代入公式 T=2/w 即可求得最小正周期,加了绝对值的三角函数的周期要比没加绝对值得三角函数的周期少一半②一个加减混合的三角函数的函数中 ,此函数的周期遵循取大原则 ,即这几个三角函数谁的周期最大则该函数的周期就为它⑩ 例 1 求 y=2|sin(4x-π/3)|的最小正周期是多少?⑪ 解: 因为 y=2sin(4x-π/3)的最小正周期可直接代入公式 T 小=2π/w=2π/4=π/2 ⑫ 又因为加了绝对值周期减半 ,所以T 小=π/2⨯1/2=π/4 ⑬例 2 函数Y=sin(x+2)的最小正周期为____2_______ 解:直接代入公式 T=π/2w =2π/π=2(二) 奇偶性的判断① 定义:偶函数需满足 F(-x)=F(x) 且关于Y 轴对称 奇函数需满足 F(-x)=-F(x) 且关于原点对称 ② F(x)= x sin 为奇函数,F(x)= x cos 为偶函数例 1 Y=()1cos sin 2--x x 是( )A 最小正周期为2π的偶函数B 最小正周期为2π的奇函数C 最小正周期为π的偶函数D 最小正周期为π的奇函数解: 首先要进行化简 一般把它们化成同冥函数（正弦函数，余弦函数或正切函数等），切不可让他们混合在一起Y=sin 2x - 2sinxcosx + x 2cos =1-2sinxcosx=1-2sin2x(倍角公式) 可直接代入公式得：T 小=2π/w=2π/2=π②观察法：该函数是正弦函数，即可判断为奇函数例2 函数Y=2sin2xcos2x 是( )A 周期为π/2的奇函数B 周期为π/2的偶函数C 周期为π/4的奇函数D 周期π/4为的偶函数解：首先进行化简，利用倍角公式 Y=2sin4x T=2π/w=2π/4=π/2又因为是正弦函数，所以为奇函数<三>图像平移对x 轴而言 左加右减 对y 轴而言 上加下减例 y =x sin −−→−平移x cos 因为sin(x+π/2 )= x cos 所以要向右平移π/2 Y =x cos −−→−平移x sin 因为 x x sin 2cos =⎪⎭⎫⎝⎛-π 所以要向左平移π/2⑪看平移要求拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点，一般题目会有下面两种常见的叙述。
三角函数与周期性
三角函数与周期性三角函数是数学中一类重要的函数，它们在各个科学领域和实际应用中都具有重要的作用。
一个关于三角函数的重要性质就是它们的周期性。
本文将介绍三角函数的周期性及其应用。
一、正弦函数的周期性正弦函数是最常见的三角函数之一，它的图像呈现出一种周期性的形态。
正弦函数被定义为在单位圆上以角度为自变量的对应的纵坐标。
在单位圆上，我们可以看到当角度增加到360度（或2π弧度）时，对应的纵坐标重新回到了起点。
这表明正弦函数的周期为360度（或2π弧度）。
在实际应用中，我们经常会遇到周期性变化的现象，例如天气和季节变化。
正弦函数能够很好地描述这些周期性变化。
通过对正弦函数进行适当的参数调整，可以拟合各种周期性变化的曲线，从而进行预测和分析。
二、余弦函数的周期性余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，它的图像也具有周期性。
余弦函数定义为在单位圆上以角度为自变量的对应的横坐标。
与正弦函数类似，当角度增加到360度（或2π弧度）时，余弦函数的横坐标重新回到了起点。
因此，余弦函数的周期也为360度（或2π弧度）。
与正弦函数一样，余弦函数也广泛应用于周期性变化的描述和分析中。
例如，电流的正弦波是一种典型的周期性变化，可以用余弦函数进行建模。
此外，在信号处理、图像处理等领域中，余弦函数也是常用的工具之一。
三、其他三角函数的周期性除了正弦函数和余弦函数之外，还存在其他几种常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等。
这些函数在定义上与正弦函数和余弦函数有所区别，但它们的周期性性质与正弦函数和余弦函数类似。
例如，正切函数的图像在每180度（或π弧度）时呈现出一种周期性的形态。
余切函数、正割函数和余割函数的周期也是180度（或π弧度）。
这些函数的周期性性质使得它们在解决实际问题时非常有用。
例如，正切函数在几何学和物理学中经常出现，用于描述角的比例关系。
正割函数在天文学和工程学中也有广泛应用。
总结：三角函数是数学中重要的函数家族之一，它们具有周期性的特点。
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三角函数的诱导公式
1. 已知1-3cos()2,cos(3)_______cos()9
πθπθθ+=-=-则 2. sin(2)cos(2)__________2
ππ---= 3. tan1tan 2tan 3tan89_______︒︒︒⋅⋅⋅⋅︒=
4.
5已知2cos()3sin()tan 3,4cos()sin(2)παπαααπα--+=-+-求
的值
6．设sin()cos(2)2,sin cos _______cos()sin()22πθπθθθθθ-+-==-++则 7已知1sin(),cos __________2
παα+=-=则 8.已知sin(+=1tan(2)tan αβαββ++）
，求的值
9.已知1cos(25),cos(155)sin(105)3
αααα︒+=︒-+-︒是第三象限角，求的值
10.已知3-0sin ,cos()_______25
πααπα∈=--=（，），则 11.已知1cos(75),-18090,cos(15)3
ααα︒+=︒<<-︒︒-且求的值
函数的周期性与性质
1. 周期的求法：正弦：)62cos(2π
+
=x y 的周期为____________ 余弦：)43sin(3π
+=x y 的周期为____________
正切：)cos(θ+=tx k y 的周期为______________
2. 函数x x f sin )(=的周期为_____________
2. 函数x x f 2sin )(=的周期为____________
3. 函数)tan()(b kx x f +=的最小正周期为_____________
4. 函数)53sin(7)(π
-=x x f 的周期为_______________
正弦，余弦，正切的三角函数图象（重点掌握）
5. 函数sin cos y x x =函数可由函数y=图象向____平移____个单位得到。
6. 函数x y 2sin =的对称轴是______________
7. 函数cos x y=的图像的对称中心是____________
8. 五点作图法，)3
22sin(3π+
=x y 9. 单调区间的求法：
10. 对称轴和对称中心的求法：
三角函数图象问题
1. 函数)4tan(π
+=x y 的图象的称中心为________________
2. 判定正误：① 函数x y sin =不是周期函数
② x y tan =函数在定义域内是增函数
③ 2
12cos +=x y 函数的周期是2π ④ )2
5sin(x y +=π函数是偶函数 3. 请写出一个函数，使其符合下面特征，
① 在[0, 2
π]上单调递增 ② 以2π为周期
③ 是奇函数
_________________________________________
4. 求函数）3
22tan(log 21π+
=x y 的单调区间
5. 把函数的图象向____平移____个单位，再向____平移____个单位，即可得到
)32sin(π
+=x y 的图象。
6. 设函数)3
2sin(3)(π-=x x f 的图象为C ，则下列哪些正确： ① 图象C 关于直线12
11π=x 对称 ② 图象C 关于点)0,3
2(π对称 ③ 函数），在区间（12
512-)(ππx f 内是增函数 ④ 由32sin 3π
的想向右平移x y =个单位长度得到图象C
7. 先将函数y=f(x)的图象向右平移3
π个单位长度，然后再把图象上每一点的横坐标扩大为
原来的2倍，所得得图象恰好与函数)6sin(3π+
=x y 的图象相同，求f （x ）的解析式。
8. 写出此图象对应的函数表达式：。