力5刚体的定轴转动

v r
参 dv 考 2 a r a r t n 方 dt 向
定轴
const .
0 t 2 1 ( ) t t 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
§5.2 刚体的定轴转动定律
·
o′
·
Δ
Δ
· o
o
转动 （rotation） :绕 某一轴转动 平动和转动，可 以描述所有质元 （质点）的运动。
z
ω ,α v
r
θ
P
二、定轴转动（rotation about a fixed axis）： 刚体上任意点都绕同 一轴作圆周运动，且 ， 都相同。 ,
刚体
r
O ×
v 2gh mvR cos J o
1 2 2 2 MR mR 2 mR 2 由 (1)(2)(3) 得： o 2 gh cos 2R
(1)
(2)
J
(3)
(4)
对 m + M + 地球系统，只有重力做功， E 守恒， 令 P、 x 重合时 E P =0 。 则： mgR sin 1 2 J
牛顿定律
F ma
转动定律
M J
动量矩守恒定理
动量守恒定理
mivi C
动能定理
J
i
i
C
动能定理
1 2 1 2 Md 2 J 2 J0

1 2 1 2 fdr mv mv 0 2 2
课堂练习3:5.15(5.15)
作业：5.10(5.11), 5.11(5.12), 5.13(5.13), 5.14(5.14)
内非
=（ Ek 2 +Ep 2 ）—（ E k1+ E
p1 ）
刚体重力势能：
Δ mi C× hc hi
E p mi ghi mi hi mg mghc m
Ep=0
若A外+ A内非=0， 则Ek +Ep =常量。
例1 一根质量为m，长为L的均匀细棒AB, 可绕一水平的光滑转轴O在竖直平面内转动， O轴离A端的距离为l/3,今使棒从静止开始由 水平位置绕O轴转动，求： （1）棒起动时的角加速度; o
4m1m2 m1M 2 m2 M 1 T3 g 2m1 m2 M 1 M 2
§5.3 定轴转动中的功能关系
一. 力矩的功 A F cosr F cos ( r ) F r cos F M
r z · 轴 d
m2 g
J1 M 1 R1
1 2
J 2 M 2 R2
2m2 m1 g a 2m1 m2 M 1 M 2
m1 4m2 M 1 M 2 g T1 2m1 m2 M 1 M 2
m2 4m1 M 1 M 2 g T2 2m1 m2 M 1 M 2
一、转动惯量和转动定律
z ω ,α vi ri ri O× Fi θ Δ mi
i
则
dL M外 (对o点) dt dLz M 外z (对z轴) dt
类似于多质点系
（M 外z Fi ri sin i）
i
i
i
i
刚体
Lz Liz mi vi ri ( mi ri 2 )
m
m
r2
r1
例1
h ， 半径：R, θ=60 ° 如图示已知： M =2 m ， 求：碰撞后瞬间盘的 w 0 = ？ P 转到 x 轴时盘的 w =? α = ?
解：
m 下落：
1 mgh mv2 2 v 2gh (1)
碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力，故重力 对O力矩可忽略，角动量守恒：
T1>T2 二根绳子，不同a, 一个滑轮，相同
课堂练习2.求系统 的加速度和拉力
M2R2
T3
T T1 m1 g m1a 2
M1R1
T1
a
m1 g
1 2 2 2
T3 T1 R1 J11 T2 T3 R2 J 2 2
a R11 R2 2
m2 g T2 m2 a
定轴O
t h
解：动力学关系：
N α R · T a T′ = -T m
对轮： TR J
对 m： mg T ma
(1), (2)
G
mg
a 运动学关系： R 1 h at2 2
(3) (4)
gt 2 2 1) mR (1)~(4)联立解得： J ( 2h 9.8 32 ( 1) 1 0.2 2 114 . kg m2 2 15 .
dL z Mz dt

t2
t1
M z dt Lz 2 Lz1 J z 2 J z1
冲量矩
—刚体定轴转动的角动量定理
当 M z=0 时， Jz = const . 角动量守恒定律
大小不变 正、负不变
若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动， 看录像 当 M 0 时， 外z J const. ，这时角动量可在内部传递。 iz i
则：
l
4
sin
1 w Jo 2
2
- mg sin = 0 4
l
(1)
由平行轴定理
l2 2 1 2 Jo Jc md ml m ( ) 12 4

7 ml 48
2
(2)
6 g sin 由(1)、(2)得： 2 7l
§ 5.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
力矩对时间的积累效应：
刚体对 z 轴的 J z m i ri2
i
定轴
转动惯量
M 外z
dL d Jz ＝J z dt dt
转动定律
二、 转动惯量的计算
J m r
dm m
m
2 i i
(分立)
(连续 )
2 J r dm
r
J由质量对轴的分布决定。
一）. 常用的几个J
C R
m
1、均匀圆环： Jc =mR ；
第五章
刚体的定轴转动
§5.1 刚体的运动
§5.2 刚体定轴转动定律 （包括转 动惯量） §5.3 转动中的功和能
§5.4 刚体的角动量和角动量守恒定律
§5.1 刚体的运动
一、刚体（rigid body）定义：特殊的质点系， 形状和体积不变化， 理想化的模型。 平动 （translation） 时，刚体上所有 o′ 点运动都相同。
1 2 前能量 m ' v0 2 后能量 1 m' v 2 1 J 2 棒 2 2 2 1 l 1 2 m' J 棒 2 2 2 2 1 l 2 1 2 m' J 棒 2 2 2
2 2 1 l m' J 棒 2 2
2 o

1 2
J
2
(5)
由 (3)(4)(5) 得：


gh 2R 1 .
2
cos
2
g R
sin
g
2R
2
(h 4 3R)
( 60o)

M J

mgR 2 mR 2

g 2R
例2、一根长l,质量为m的均匀细 棒静止在一光滑的水平面上， m O 一质量为m’的小球以水平 m' V 速度v0垂直冲击其一端 并粘上。求碰撞后球的速度v和棒 的角速度以及由此损失的机械能。
1 2 J x dx m L 9 L / 3 L 力矩 M mg sin 6
2
2L /3
A

B
起动时=900
L M mg 6
角加速度
M 3g J 2L
A
O

C
B
(2)棒在竖直位置的 角速度和角加速度
L mgL W Md mg sin d 6 6 /2
0
重力矩作功与重力作功相同
L 1 mgL 3g 2 mg J 6 2 J L
（3）棒在竖直位置时棒的两端和中点 的速度和加速度 两端速度
相同
竖直位置
M 0 力矩 M 0 J
0
L 3g v A rA 3 L 2 L 3g vB rB 3 L
2
2、均匀圆盘：
C R
r
m
J c mi ri 2 2ri ri ri 2 2 ri3ri
i
i
i
r r
3 i i
i
R 1 1 4 2 r dr R , J c 2 mR 4 4 2 0
R 3
4
3、均匀杆：
A C x dx
J A x dm
角动量定理 Mdt J 2 J1
角动量守恒定律M=0时J=C
1 2 8、转动动能 E K J 2
P158.表5.2
对应关系：(量纲不同)
a M J F M F m m v J x f d r Md v f dt Mdt a 2 2 1 1 mv J mJ 2 2
2 0
L

L
0
1 3 1 2 x dx L mL 3 3
2
0
m
X
l 2
l 2
1 2 1 2 J c ml ，J A ml 12 3
三、转动定律应用举例
例1 已知： R =0.2 m ， m =1 kg ， vo=0 ， R h =1.5 m ，绳轮无相对滑动，绳 · 不可伸长，下落时间t =3 s 。 绳 v0=0 = 求：轮对 O 轴 J ？ m