黑龙江省牡丹江一中2013-2014学年高一上学期期末数学试题Word版含答案人教A版
2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版第115套)_PDF压缩
册亨县民族中学 2013~2014 学年第一学期期末学业水平考试
高一数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 . ）
题
1
1
1
12
3
4
5
6
7
8
9
号
0
1
2
答 案
BC
C
C
A
B
D
C
C
B
B
A
1、 【 解 析 】： 本 题 考 察 集 合 的 运 算 。 因 为 CU N 3,5,6,8 ， 所 以
,,,,
12 分
所以 f ( ) m(1 sin ) cos 2m 2, 解得 m 1.
,,,,
4分
4
2
2
（ 2）由（ 1）得 f ( x) 1 sin 2x cos2x 1 2 sin(2x ) ,,,,
6分
4
所以，当 sin 2 x
1时， f ( x)的最小值为 1 2 . ,,,,
8分
4
由 sin 2x 4
，
3
6
所以将 y sin 2 x
故【答案】： B
的图象向右平移 长度单位得到 y sin 2 x
6
4
的图象，
3
11.【解析】：若 a 与 b 共线，则有 a ⊙ b qm np 0 ，故 A 正确； a ⊙ b mq np .
而 b ⊙ a np qm ，所以 a ⊙ b≠ b ⊙ a . 故选项 B 错误，
【答案】 : C
4. 【解析】：可用数形结合法确定函数零点所在的区间。 5. 【解析】：考察函数定义域。由 x+1>0 且 1-x>0 解得 -1<x<1 。
黑龙江省牡丹江高一上期末数学试卷
黑龙江省牡丹江高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角2．（5分）点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）3．（5分）点A（cos2018°，sin2018°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线5．（5分）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（）A．3 B．2 C．4 D．56．（5分）等边三角形ABC的边长为1，=，=，=，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．7．（5分）设sin（+θ）=，则si n2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．8．（5分）设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）最小正周期为πC．f（x）图象关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间[，]上是增函数9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．（5分）已知函数的图象过点，若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．1611．（5分）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或12．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则θ唯一确定二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），+λ与垂直，则λ的取值为．14．（5分）=．15．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．16．（5分）已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα=2．（1）求的值；（2）求．18．（12分）（1）已知||=3，||=4，的夹角为，求，；（2）已知||=3，=（1，2），且，求的坐标．19．（12分）已知函数的最大值为3．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值集合．20．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g （x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．21．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：现将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，①求实数m的取值范围．②证明：cos（α﹣β）=﹣1．22．（12分）设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．（Ⅰ）若α=，且⊥，求m的取值范围；（Ⅱ）若=2，求的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【解答】解：∵θ是锐角，∴0°＜θ＜90°∴0°＜2θ＜180°，∴2θ是小于180°的正角．故选C2．（5分）点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【解答】解：点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，所以Q（cos，sin），即Q点的坐标为：（﹣，）．故选：A．3．（5分）点A（cos2018°，sin2018°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：2018°=5×360°+218°，为第三象限角，∴sin2018°=sin218°＜0，cos2018°=cos218°＜0，∴A在第三象限，故选：C．4．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线【解答】解：=（）+3（）=+5，又=，所以，则与共线，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．故选A．5．（5分）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（）A．3 B．2 C．4 D．5【解答】解：∵扇形圆心角1弧度，所以扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=r，故扇形周长C=l+2r=3r=6cm，∴r=2cm扇形面积S=π•r2•=2cm2．故选：B．6．（5分）等边三角形ABC的边长为1，=，=，=，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：由题意可得，=∴==﹣故选D7．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（+θ）=，∴（sinθ+cosθ）=，∴两边平方，可得：（1+sin2θ）=，解得：sin2θ=﹣，故选：B．8．（5分）设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）最小正周期为πC．f（x）图象关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间[，]上是增函数【解答】解：A．由于f（﹣x）=|sin（﹣2x+）|=|sin（2x﹣）|≠f（x），故A错；B．由于f（x+）=|sin[2（x）+]|=|sin（2x++π）|=|sin（2x+）|=f（x），故f（x）最小正周期为，故B错；C．函数f（x）=|sin（2x+）|的图象可看作由函数f（x）=|sin2x|的图象平移可得，而函数f（x）=|sin2x|的图象无对称中心，如图，故C错；D．由于函数f（x）=|sin2x|的增区间是[]，k∈Z，故函数f（x）的增区间为[]，k∈Z，k=1时即为[，]，故D正确．故选D．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A10．（5分）已知函数的图象过点，若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．16【解答】解：函数的图象过点，∴f（0）=sinφ=，∴φ=，∴f（x）=sin（ωx+）；又对x∈R恒成立，∴ω•+=2kπ+，k∈Z，即ω=24k+4，k∈Z，∴ω的最小值为4．故选：C．11．（5分）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α=＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β=，故选：A．12．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则θ唯一确定【解答】解：令f（t）=|t|2=t2+2t•+2，∴△=4（•）2﹣4•≤0恒成立，当且仅当t=﹣=﹣cosθ时，f（t）取得最小值1，∴（﹣cosθ）2•+2（﹣cosθ）••+2=1，化简sin2θ=1．∴θ确定，则||唯一确定故选：C二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），+λ与垂直，则λ的取值为﹣1．【解答】解：∵，∴即∴1+λ=0∴λ=﹣1故答案为﹣114．（5分）=．【解答】解：原式==tan（45°+15°）=tan60°=．故答案为：15．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．【解答】解：∵sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）=sin[2π﹣（x+）]﹣cos2（x+）﹣π]=﹣sin（x+）+cos2（x+）=﹣sin（x+）+1﹣2=﹣+1﹣=，故答案为：．16．（5分）已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是[﹣1，+1] ．【解答】解：∵•=1，∴×cos＜＞=1，∴cos＜＞=．∴的夹角为．设，=（，），设=．则==（，），∴||=，∵|+|=1，∴|+﹣|=1，即|﹣|=||=1．∴C在以D为圆心，以1为半径的圆上，∴||的最小值为，||的最大值是+1．故答案为[﹣1，+1]．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα=2．（1）求的值；（2）求．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴==；（2）===﹣．18．（12分）（1）已知||=3，||=4，的夹角为，求，；（2）已知||=3，=（1，2），且，求的坐标．【解答】解：（1）∵||=3，||=4，的夹角为，∴=||•||•cos=3×4×=6，∴2=||2+||2﹣2•=9+16﹣2×6=13，∴2=，（2）设=（x，y），则x2+y2=9①，由，∴2x=y，②，由①②解得，，或，故的坐标为，19．（12分）已知函数的最大值为3．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值集合．【解答】解：（1）∵=sinxcos﹣cosxsin+sinxcos+cosxsin+cosx+a=2sinxcos+cosx+a==．∴f（x）max=2+a=3，即a=1；（2）由f（x）＞0，得，即．∴，k∈Z．则，k∈Z．∴f（x）＞0成立的x的取值集合为{x|，k∈Z}．20．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g （x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，则：=msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m=，n=1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）21．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：现将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，①求实数m的取值范围．②证明：cos（α﹣β）=﹣1．【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+（k∈Z）．（2）①f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=）依题意，sin（x+φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．②证明：因为α，β是方程sin（x+φ）=m在区间[0，2π）内的两个不同的解，所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=﹣1．22．（12分）设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．（Ⅰ）若α=，且⊥，求m的取值范围；（Ⅱ）若=2，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）α=时，=（λ+2，λ2﹣），=（m，+），由于⊥，则=0，即有（λ+2）m+（）（）=0，即有+mλ+=0对一切λ∈R均有解，当m=﹣时，λ=﹣2成立，当m时，△=m2﹣4××≥0，≤m≤，且m，综上，可得，m的取值范围是[，]；（Ⅱ）=2，则λ+2=2m且=m+2sinαcosα，消去λ，得（2m﹣2）2﹣m=sin2，即有4m2﹣9m+4=2sin（2）∈[﹣2，2]，由﹣2≤4m2﹣9m+4≤2，解得，，则==2﹣∈[﹣6，1]．则有的取值范围是[﹣6，1]．。
牡丹江一中2013--2014高一上学期期末考试(有答案)
•B
• 9.经济学中有“刘易斯拐点”之说，意指劳动力 从无限供给到短缺的临界点。简而言之，在“刘 易斯拐点”之前，是人求工作，不涨工资也会有 源源不绝的劳动力；在“刘易斯拐点”之后，是 工作求人，不涨工资就找不到合适的员工。“刘 易斯拐点”之说对解决目前“用工荒”问题的启 示是( ) • A．处理好效率与公平的关系，缩小工资收入差 距 • B．理顺分配关系，提高劳动报酬在初次分配中 的比重 • C．发挥市场在资源配置中的决定性作用 • D．完善社会保障制度，依法维护劳动者权益
•D
• 19．市场经济是实现资源优化配置的一种有效 形式，这是因为( ) • ①市场能够通过价格涨跌引导企业按照社会需要 组织生产和经营 • ②市场调节比宏观调控更具优越性 • ③市场竞争可以使社会资源向优势企业和产业集 中 • ④市场是无处不在、无时不有的 • A．①② B．③④ C．①③ D．②④
•A
• 31.简答题：（12分） • （1）我国宏观调控的主要目标（4 分） • （2）社会主义市场经济的基本特 征（3分） • （3）科学发展观的基本内涵（4分） • （4）我国实行对外开放必须始终 坚持的原则（1分）
• 31.（12分）答案略
• 32.材料：12月15日至16日，中央经济工作会议在北京 举行。会议指出：要继续实施积极的财政政策和稳健的 货币政策。国家财政要确保保障性住房、社会事业等领 域的投入；要增加教育投入，推进义务教育均衡发展； 要完善社会保障体系，扩大养老等各类社会保险覆盖范 围。要推进营业税改征增值税和房产税改革试点，合理 调整消费税范围和税率结构，全面改革资源税制度，研 究推进环境保护税改革，要调整财政转移支付结构，加 强县级基本财力保障。财政政策要注重加强与产业政策 的协调和配合，加大对“三农”、 科技创新、节能环 保、战略性新兴产业、国家重大基础设施在建和续建项 目、企业技术改造等的资金扶持，稳定经济增长。 • 结合材料分析说明财政对促进经济社会发展所发挥的作 用。（9分）
黑龙江省牡丹江一中2013届高三上学期期末考试数学文Word版含答案
牡一中2012-2013年度高三期末考试文科数学一、 选择题：（单选， 共5 12=60分）1、设全集，集合，集合为函数的定义域，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2、复数（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、设m 、n 是两条不同的直线，、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若m ∥n ，m ∥，则n ∥B ．若⊥β，m ∥，则m ⊥βC ．若⊥β，m ⊥β，则m ∥D ．若m ⊥n ，m ⊥，n ⊥β，则⊥β4、同时具有性质①最小正周期是；②图像关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）AB C D6、在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为 （ ）A ． 24B ． 39C ． 52D ． 104-7、若第一象限内的点，落在经过点且具有方向向量的直线上，则有 （ ）A. 最大值B. 最大值1C. 最小值D. 最小值18、已知等比数列，则 （ ）A ．B ．C ．D ．9、已知不共线向量满足，且关于的函数在实数集R 上是单调递减函数，则向量的夹角的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．10、若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则（ ）A ．B ．C ．D ．11、过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为( )A ．或B ．C ． 或D ．或12、已知R 上的不间断函数满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。
又函数满足：对任意的，都有成立，当时，。
若关于的不等式对恒成立，则的取值范围( )A. B. C. D. a b a b a二、填空题：（每小题5分，共20分）13、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B=,则角B的值为14、方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是____________15、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为。
黑龙江省牡丹江一中2014届高三12月月考数学理试卷Word版含答案
牡一中2013年12月份月考高三学年数学（理）试题一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共12小题60分）1、设，则下列不等式成立的是 ( )A．B．C．D．2、已知数列为等比数列，且,则= （）A． B． C．D．3、设是空间两条直线，,是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是（）A．当时，“”是“”的必要不充分条件B．当时，“”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“∥”成立的充要条件D．当时，“”是“”的充分不必要条件4、下列命题错误的是（）A．若，，则B．若，则，C．若，，且，则D．若，且，则，5、知数列满足:，则（）A.210-1B.211-1C.212-1D.213-16、数列，通项公式为，若此数列为递增数列，则的取值范围是( )A. B. C. D.7、正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是( )A．B．2 C．D．8、已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )A．3 B．4 C．D．9、下列四个命题中，真命题的个数为( )（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若，，，则；（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1 B．2 C．3 D．410、已知x,y满足条件（k为常数），若目标函数的最大值为8，则k=( )A．B．C．D． 611、在半径为的球内有一内接圆柱，设该圆柱底面半径为,则圆柱侧面积最大时，为（）A． B.．C．D．12、如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A．动点在平面上的射影在线段上B．恒有平面⊥平面C．三棱锥的体积有最大值D ．异面直线与不可能垂直二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13、不等式的解集为________14、如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．15、在等比数列中，若，则 。
2013-2014学年高一上学期期末数学试题_Word版含答案
2013-2014学年度第一学期高一级期末考试一．选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 已知集合M ＝{x|x ＜3}，N ＝{x |122x>}，则M ∩N 等于（ ） A ∅B {x |0＜x ＜3}C {x |－1＜x ＜3}D {x |1＜x ＜3}2. 已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3. 如图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长 为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是( ) A ．4. 函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,25. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 和AD 1所成角的大小是（ ） A. 30° B. 45° C.90° D.60°6. 已知函()()21,1,log ,1.a a x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ． ()1,2B ． ()2,3C ． (]2,3D ． ()2,+∞7. 如图在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ,且BC =1，则正三棱锥A-BCD的体积是 （ ）243D. 123C. 242B. 122.A8. 函数y ＝log 2(1－x )的图象是（ ）俯视图正视图 侧视图9. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）A ．42-x B ．42+x C ．2)4(+x D ． 2)4(-x10. 已知)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(22x f x f y +=的最大值为（ ）A ．6B ．13C ．22D ．33二．填空题（每小题5分，共20分）11. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．12. 已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ．13. 已知直二面角βα--l ，点A ∈α，AC ⊥l ,C 为垂足，B ∈β,BD ⊥l ,D 为垂足, 若AB=2，AC=BD=1则C,D 两点间的距离是_______14. 若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是三．解答题（本大题共6小题，共80分。
黑龙江省牡丹江一中高三数学上学期期末模拟试卷 文(含解析)
2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学模拟试卷（文科）一、选择题（单选，每题5分，共60分）1．若全集U=R，集合A={x|x2+4x+3＞0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则∁U（A∩B）=（）A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|x＜﹣1或x≥2}C．{x|x≤﹣1或x＞2} D．{x|x≤﹣1或x≥2}2．复数z满足，则|z|=（）A．B．2 C．D．3．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣14．下列四个命题①已知命题P：∀x∈R，x2+x＜0，则¬P：∃x∈R，x2+x＜0；②的零点所在的区间是（1，2）；③若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为；④设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊂α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+l=0垂直，则=（）A．B．一C．D．一6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=2x﹣4sinx，x∈[﹣，]的图象大致是（）A．B．C．D．8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．C．D．[1，2]9．如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=D．y=（x2﹣2x）e x10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线 B．圆C．双曲线D．抛物线11．直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．112．若存在正实数M，对于任意x∈（1，+∞），都有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在（1，+∞）上是有界函数．下列函数：①f（x）=；②f（x）=；③f（x）=；④f（x）=xsinx．其中“在（1，+∞）上是有界函数”的序号为（）A．②③ B．①②③C．②③④D．③④二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积．14．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，，AB=2，F为BC边上一点，且=2，若AF与BD交于点E，则= ．15．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则z=|3x﹣4y+5|的最大值是．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=（n∈N﹡），S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n= ．三、解答题（17题---21题每题各12分，选做题10分）17．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若•=，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．18．某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款（单位：元）[0，50）[50，100） [100，150）[150，200） [200，+∞）顾客人数m 20 30 n 10统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（2015•哈尔滨校级三模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．20．已知椭圆的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程．21．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x3﹣ax2+a﹣，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）﹣g（β）|＜a成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD 于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．选作题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρsin（θ+）=，将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．（Ⅰ）求曲线C3的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，求线段|PQ|的最小值，并求此时的P的坐标．选修4-5，不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥2，求实数a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（单选，每题5分，共60分）1．若全集U=R，集合A={x|x2+4x+3＞0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则∁U（A∩B）=（）A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|x＜﹣1或x≥2}C．{x|x≤﹣1或x＞2} D．{x|x≤﹣1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】先化简集合A、B，再求出A∩B与∁U（A∩B）即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x2+4x+3＞0}={x|x＜﹣3或x＞﹣1}，B={x|log3（2﹣x）≤1}={x|0＜2﹣x≤3}={x|﹣1≤x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜2}；∴∁U（A∩B）={x|x≤﹣1或x≥2}．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．2．复数z满足，则|z|=（）A．B．2 C．D．【考点】复数求模．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】先化简z，再求模即可．【解答】解：∵，∴|z|=|1﹣i|=，故选：A．【点评】本题考查复数求模，正确化简复数是关键．3．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函数解析式即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故选：D【点评】本题考查函数的周期性以及分段函数的表示，属于基础题．4．下列四个命题①已知命题P：∀x∈R，x2+x＜0，则¬P：∃x∈R，x2+x＜0；②的零点所在的区间是（1，2）；③若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为；④设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊂α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用命题的否定定义即可判断出正误；②分别画出y=x2与y=的图象，可知：函数的零点有两个，再利用函数零点存在定理即可判断出；③利用基本不等式的性质即可判断出正误；④利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理即可判断出正误．【解答】解：①由命题P：∀x∈R，x2+x＜0，则¬P：∃x∈R，x2+x≥0，因此不正确；②，分别画出y=x2与y=的图象，可知：函数的零点有两个：一个零点在区间（0，1），另一个零点﹣2，因此不正确；③若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2≥=，当且仅当x=y时取等号，其最小值为，正确；④∵a⊂α，b⊥β，α∥β，利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理可得：a⊥b，反之不成立，因此a⊂α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件，正确．其中真命题的个数为2．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的零点、基本不等式的性质、面面平行的性质、线面垂直的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+l=0垂直，则=（）A．B．一C．D．一【考点】三角函数的化简求值；直线的倾斜角．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】直线x﹣3y+l=0的斜率=，因此与此直线垂直的直线的斜率k=﹣3．可得tanθ=﹣3．再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：直线x﹣3y+l=0的斜率=，因此与此直线垂直的直线的斜率k=﹣3．∴tanθ=﹣3．∴====．故选：C．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、同角三角函数基本关系式、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=10，进而可得抛物线的焦点坐标，可得c的值由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得a，b，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点在抛物线的准线上，则p=10，则抛物线的焦点为（5，0）；因为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，所以c=5，因为点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，所以a=4，b=3所以e==故选B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为”这一条件的运用是关键．7．函数f（x）=2x﹣4sinx，x∈[﹣，]的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的极值确定答案．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．C．D．[1，2]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，f（x）max≤3﹣t，解不等式即可得到所求范围【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x∈（2，3）时，f（x）∈[﹣，﹣2），当x∈[3，4]时，f（x）∈[﹣1，0]，即有在（0，4]上f（x）的最大值为1．由f（x）max≤3﹣t，即为3﹣t≥1，解得t≤2，即有实数t的取值范围是[1，2]．故选D．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．9．如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=D．y=（x2﹣2x）e x【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过零点个数，函数定义域，值域进行排除．【解答】解：若f（x）=2x﹣x2﹣1，则当x＜0时，2x＜x2+1，∴f（x）＜0，不符合题意，排除A．若f（x）=，则f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），不符合题意，排除B．若f（x）=，令f（x）=0，得x=kπ，∴f（x）有无数多个零点，不符合题意，排除C．故选：D．【点评】本题考查了函数图象的判断，通常从定义域，值域，零点，极值点等特殊点来判断．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线 B．圆C．双曲线D．抛物线【考点】抛物线的定义；棱柱的结构特征．【分析】由线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决．【解答】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选D．【点评】本题考查抛物线定义及线面垂直的性质．11．直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．1【考点】直线与圆相交的性质．【专题】数形结合法；直线与圆．【分析】画出图形，直线l1∥l2，l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，结合选项讨论m的取值是否满足条件，从而得出结论．【解答】解：∵直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示；又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质问题，应画出图形，结合图形解答该题，是易错题．12．若存在正实数M，对于任意x∈（1，+∞），都有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在（1，+∞）上是有界函数．下列函数：①f（x）=；②f（x）=；③f（x）=；④f（x）=xsinx．其中“在（1，+∞）上是有界函数”的序号为（）A．②③ B．①②③C．②③④D．③④【考点】命题的真假判断与应用；函数的值域．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】①求出函数f（x）的值域为（0，+∞），即可判断；②先将f（x）变形，再应用基本不等式求出最值，从而根据新定义加以判断；③应用导数求出单调区间，求出极值，说明也为最值，再根据新定义判断；④先判断函数有无单调性，再运用三角函数的有界性判断即可．【解答】解：①f（x）=在（1，+∞）上是递减函数，且值域为（0，+∞），故①在（1，+∞）上不是有界函数；②f（x）=（x＞1）即f（x）=，由于＞2（x＞1），0＜f（x）＜，故|f（x）|，故存在M=，即f（x）在（1，+∞）上是有界函数；③f（x）=，导数f′（x）==，当x＞e时，f′（x）＜0，当0＜x＜e 时，f′（x）＞0，故x=e时取极大值，也为最大值且为，故存在M=，在（1，+∞）上有|f（x）|≤，故函数f（x）在（1，+∞）上是有界函数；④f（x）=xsinx导数f′（x）=sinx+xcosx在（1，+∞）上不单调，且|f（x）|≤x，故不存在M，函数f（x）在（1，+∞）上不是有界函数．故选A．【点评】本题主要考查函数的新定义，正确理解定义是解题的关键，同时考查函数的单调性和应用，以及利用基本不等式和导数求最值的方法，是一道中档题．二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，球的半径为圆锥的底面半径均为1，圆锥的高为2，故四分之一球的体积为： =，半圆锥的体积为： =，故组合体的体积V=+=；故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，，AB=2，F为BC边上一点，且=2，若AF与BD交于点E，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，建立直角坐标系，根据相似比可得各点的坐标，再计算即可．【解答】解：根据题意，以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标系如图，显然△EBF∽△EDO，由题意可知O（0，0），B（2，0），C（3，1），D（1，1），∵=2，及相似比的性质∴F（，），，∴E（，），从而==，故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，建立坐标系根据相似比得出各点的坐标是解题的关键，属中档题．15．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则z=|3x﹣4y+5|的最大值是15 ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出双曲线的两条渐近线为，抛物线y2=﹣8x的准线为x=2，结合图象可得在点B （2，﹣1）时，z=|3x﹣4y+5|取得最大值．【解答】解：双曲线y2﹣=1的两条渐近线为y=±x，抛物线y2=﹣8x的准线为x=2．故可行域即图中阴影部分，（含边界）．目标函数z=|3x﹣4y+5|的几何意义就是，可行域的点到直线3x﹣4y+5=0的距离的5倍：由图形可知B到3x﹣4y+5=0的距离最大，故在点B（2，﹣1）时，最大值为： =15．故答案为：15．【点评】本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程，圆锥曲线的综合应用，以及圆锥曲线的简单性质，简单的线性规划问题，属于中档题．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=（n∈N﹡），S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n= n ．【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n﹣4n a n的表达式．【解答】解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•4n=a1+4×++…++4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n．故答案为n．【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．三、解答题（17题---21题每题各12分，选做题10分）17．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若•=，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；转化法；解三角形．【分析】（1）由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，又A+B+C=π，可得B．利用•=，可得accosB=，再利用余弦定理即可得出；（2）由（1）知：2sinA﹣sinC==cosC，再利用C的范围即可得出．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=．∵•=，∴accosB=，化为ac=3．∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=3，即（a+c）2﹣3ac=3，（a+c）2=12，∴a+c=2．（2）由（1）知：2sinA﹣sinC==﹣sinC=cosC，∵，∴cosC∈．∴2sinA﹣sinC的取值范围是．【点评】本题考查了余弦定理、等差数列的性质、数量积运算性质、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款（单位：元）[0，50）[50，100） [100，150）[150，200） [200，+∞）顾客人数m 20 30 n 10统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（2015•哈尔滨校级三模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC 成60°的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连结B1E并延长，交BC于点F，连结AB1，由三角形相似可得F为BC中点．再由G为△ABC的重心，得到GE∥AB1，由线面平行的判定得答案；（2）由已知求出三棱柱的高，把三棱锥E﹣ABC的体积转化为三棱锥C1﹣ABC的体积得答案．【解答】（1）证明：如图，连结B1E并延长，交BC于点F，连结AB1，∵△B1EC1∽△FEB，且，∴，则点F为BC中点．∵G为△ABC的重心，∴，∴GE∥AB1，又AB1⊂面AA1B1B，GE⊄面AA1B1B，∴GE∥面AA1B1B；（2）解：∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，过A1作A1H⊥AB于H，则A1H⊥面ABC，则A1H为三棱柱的高，又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴．又底面ABC是边长为2的正三角形，∴．∴．【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）首先，得到点M的坐标，然后，代入，得到，从而确定其斜率关系；（Ⅱ）首先，得到A1（﹣2c，0），然后，可以设外接圆圆心设为P（x0，0），结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为A1（﹣a，0），所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将b2=a2﹣c2代入上式并整理得（或a=2c）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，（或）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以A1（﹣2c，0），外接圆圆心设为P（x0，0）由|PA1|=|PM|，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以△A1MN外接圆在M处切线斜率为，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC方程为，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣与椭圆方程3x2+4y2=12c2联立得7x2﹣18cx+11c2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由弦长公式得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得c=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．21．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x3﹣ax2+a﹣，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）﹣g（β）|＜a成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，当a≤0时，f′（x）＞0，当a＞0时由导函数的零点对定义域分段，判断出导函数在不同区间段内的符号，则函数的单调区间可求；（Ⅱ）由题意可知a＞0，由（Ⅰ）中的单调性求出f（x）在（0，a]上的最小值，利用导数求得g（x）在（0，a]上的函数值小于，求得f（x）的最小值与的差，然后分和讨论求解使得|f（α）﹣g（β）|＜a成立的a的取值范围；（Ⅲ）把x1，x2代入方程f（x）=c，作差后得到，结合（Ⅰ）中函数的单调性把问题转化为证明，设t=换元后构造函数，利用导数加以证明．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，得．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴函数f（x）的增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜．∴函数f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；（Ⅱ）当x∈（0，a]时，，由g（x）=﹣x3﹣ax2+a﹣，得．当a＞0时，g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，g（x）在（0，+∞）上为减函数，当x∈（0，a]时，g（x）＜g（0）=．．①当时，则|f（α）﹣g（β）|min=0＜a显然成立，即a≥2．②当时，则，即．综上可知：a＞；（Ⅲ）∵x1，x2是方程f（x）=c的两个不相等的实数根，不妨设0＜x1＜x2，则．两式相减得．即．又∵，当x＞时f′（x）＞0，当0＜x＜时f′（x）＜0．故只要证明即可，即证．即证明．设t=，令，则．则在（0，+∞）上是增函数，又∵g（1）=0，∴t∈（0，1）时总有g（t）＜0成立．即f′（）＞0．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是高考试卷中的压轴题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD 于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=c os∠CED，所以，所以BC=2．【点评】本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．选作题（共1小题，满分0分）23．（2014•呼伦贝尔二模）已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρsin（θ+）=，将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．（Ⅰ）求曲线C3的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，求线段|PQ|的最小值，并求此时的P的坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）通过变换求出曲线C3的参数方程然后求解它的普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系，直接求解曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，线段|PQ|的最小值，转化为圆的圆心到直线的距离减去半径，利用直线的垂直关系，即可并求此时的P的坐标．【解答】（本题满分10分）解：（Ⅰ）曲线C1：（α为参数），将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．，∴曲线C3：x2+y2=1，曲线C2：ρsin（θ+）=，即ρsinθ+ρcosθ=，∴曲线C2：x+y=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）设P（cosα，sinα），则线段|PQ|的最小值为点P到直线x+y=2的距离．转化为圆的想到直线的距离减去半径，∴，直线x+y=2的斜率为﹣1，所以QP的斜率为1，P在x2+y2=1上，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查直线的参数方程以及极坐标方程的应用点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．选修4-5，不等式选讲24．（2014•扶沟县校级模拟）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥2，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求．（2）令函数F（x）=f（x）+|x﹣1|，先求出函数F（x）的最小值等于a﹣1，根据题意得a ﹣1≥2，求得a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2，即2|x﹣1|≥2，∴|x﹣1|≥1，解得x≤0或x≥2，故原不等式的解集为{x|x≤0或x≥2}．（2）令函数F（x）=f（x）+|x﹣1|=2|x﹣1|+|x﹣a|，则F（x）=，画出它的图象，如图所示，由图可知，故当x=1时，函数F（x）有最小值F（1）等于a﹣1，由题意得a﹣1≥2得a≥3，则实数a的取值范围[3，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，体现了分类讨论与等价转化的数学思想，属于中档题．。
【精品】2014年黑龙江省牡丹江一中高一上学期期末数学试卷
2013-2014学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题5份，共60分）1．（5.00分）已知sinα=，则cos（﹣α）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5.00分）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数3．（5.00分）已知tanα=3，则=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣24．（5.00分）△ABC中，=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设=，=，用，表达=（）A．（）B．（）C．（）D．（）5．（5.00分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则（）•（）=（）A．﹣3 B．5 C．﹣5 D．156．（5.00分）不是函数y=tan（2x﹣）的对称中心的是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）7．（5.00分）已知函数f（x）=msinx+cosx（m为常数，且m＜0）的最大值为2，则函数f（x）的单调递减区间为（）（其中k∈Z）A．[2kπ+，2kπ]B．[2kπ，2kπ+]C．[2k，2k]D．[2kπ，2k]8．（5.00分）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②的图象C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）10．（5.00分）已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（）A．B．C． D．π11．（5.00分）若均α，β为锐角，=（）A．B．C． D．12．（5.00分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC 的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）A．B．C．D．二、（每题5份，共20分）13．（5.00分）函数y=lg（1﹣tanx）的定义域是．14．（5.00分）设a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，b=，c=，则a，b，c的大小关系（由小到大排列）为．15．（5.00分）已知P为△ABC所在平面内一点，且满足，则△APB 的面积与△PAC的面积之比为．16．（5.00分）下列命题中，正确的是（1）若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；（2）已知=（sinθ，，=（1，），其中），则；（3）函数f（x）=tan与函数f（x）=是同一函数；（4）tan70°•cos10•（1﹣tan20°）=1．三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）17．（10.00分）已知单位向量和的夹角为60°，（1）试判断2与的关系并证明；（2）求在方向上的投影．18．（12.00分）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则的值是多少？19．（12.00分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a的最大值是1，（1）求常数a的值；（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．20．（12.00分）已知向量=（sin2x+，sinx），=（cos2x﹣sin2x，2sinx），设函数f（x）=，x∈R．（1）写出f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[0，），求f（x）的值域；（3）已知cos（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，0＜，求f（β）．21．（12.00分）已知函数，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及的值；（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α﹣2β）的值．22．（12.00分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，3）．若函数f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx的图象关于直线x=对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（1）求f（x）的表达式及其最小正周期；（2）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，设函数g（x）对任意x∈R，有g （x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣h（x），求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．（3）设（2）中所求得函数g（x），可使不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈[﹣，0]恒成立，求实数a的取值范围．2013-2014学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5份，共60分）1．（5.00分）已知sinα=，则cos（﹣α）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos（﹣α）=sinα=，故选：A．2．（5.00分）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【解答】解：∵f（x）=，∴y=f（x）最小周期为π的偶函数，故选：D．3．（5.00分）已知tanα=3，则=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵tanα=3，∴原式===2．故选：B．4．（5.00分）△ABC中，=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设=，=，用，表达=（）A．（）B．（）C．（）D．（）【解答】解：如图，△ABC中，∵==，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，∴=，==，∵=，=，∴=，∴=（）．故选：D．5．（5.00分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则（）•（）=（）A．﹣3 B．5 C．﹣5 D．15【解答】解：∵⊥，∥，∴=2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2．∴=（2，1）+（1，﹣2）=（3，﹣1）．=（2，1）﹣（2，﹣4）=（0，5）．∴（）•（）=0﹣5=﹣5．故选：C．6．（5.00分）不是函数y=tan（2x﹣）的对称中心的是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【解答】解：由2x﹣=（k∈Z）得：x=+（k∈Z），∴函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（+，0）（k∈Z），当k=1时，其对称中心为（，0），排除B；当k=0时，其对称中心为（，0），排除C；当k=4时，其对称中心为（，0），排除A；故选：D．7．（5.00分）已知函数f（x）=msinx+cosx（m为常数，且m＜0）的最大值为2，则函数f（x）的单调递减区间为（）（其中k∈Z）A．[2kπ+，2kπ]B．[2kπ，2kπ+]C．[2k，2k]D．[2kπ，2k]【解答】解：根据辅助角公式可知函数f（x）的最大值为，即m2+2=4，∴m2=2，∵m＜0，∴m=﹣，即f（x）=msinx+cosx=sinx+cosx=2cos（x+），由，得，即函数的单调递减区间为[2kπ，2kπ+]，故选：B．8．（5.00分）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②的图象C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同【解答】解：①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，A、①中的函数令x+=kπ（k∈Z），解得：x=kπ﹣（k∈Z），故（﹣，0）为函数对称中心；②中的函数令2x=kπ（k∈Z），解得：x=（k∈Z），故（﹣，0）不是函数对称中心，本选项错误；B、①向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍，即得②，本选项错误；C、①令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+2kπ≤x≤+2kπ，故函数在区间（﹣，）上是单调递增函数；②令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，故函数在区间（﹣，）上是单调递增函数，本选项正确；D、①∵ω=1，∴T=2π；②∵ω=2，∴T=π，本选项错误，故选：C．9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【解答】解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x ﹣），故选：D．10．（5.00分）已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（）A．B．C． D．π【解答】解：由3sinα=2sinβ，得sinβ=sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=﹣cosα，将3sinα﹣2sinβ=0，两边平方得：（3sinα﹣2sinβ）2=0，整理得：9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β=0①，同理，将3cosα+2cosβ=3，两边平方得：（3cosα+2cosβ）2=9，整理得：9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9②，两式相加得9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β+9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9整理得：13+12（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=9，即cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣，即cos（α+β）=﹣，将si nβ=sinα，cosβ=﹣cosα代入得：cosα（﹣cosα）﹣sin2α=﹣，整理得：cosα﹣cos2α﹣（1﹣cos2α）=﹣，解得：cosα=，cosβ=﹣cosα=，即cos（α+β）=﹣cosβ，∵α、β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴cos（α+β）=cos（π﹣β），即α+β=π﹣β，则α+2β=π．故选：D．11．（5.00分）若均α，β为锐角，=（）A．B．C． D．【解答】解：α，β为锐角，则cosα===；＜sinα，∴，则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．故选：B．12．（5.00分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC 的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，S1=AB•AC=a2sinθcosθ．设正方形的边长为x则BP=，AP=xcosθ，由BP+AP=AB，得+xcosθ=acosθ，故x=∴S 2=x2=（）2=•==+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为0＜θ＜，∴0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]．∴=+t+1=g（t），g′（t）=﹣+＜0，∴函数g（t）在（0，1]上递减，因此当t=1时g（t）有最小值g（t）min=g（1）=，此时sin2θ=1，θ=∴当θ=时，最小，最小值为．故选：B．二、（每题5份，共20分）13．（5.00分）函数y=lg（1﹣tanx）的定义域是{x|，k ∈Z} ．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣tanx＞0，即tanx ＜1， ∴，k ∈Z ，∴函数的定义域为：{x |，k ∈Z }，故答案为：{x |，k ∈Z }14．（5.00分）设a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，b=，c=，则a ，b ，c 的大小关系（由小到大排列）为 a ＜c ＜b ．【解答】解：cos61°•cos127°+cos29°•cos37°=﹣sin29°•sin37°+cos29°•cos37°=cos （37°+29°）=cos66°，即a=cos66°=sin24°，==．∵sin24°＜sin25°＜sin26°， ∴a ＜c ＜b ，故答案为：a ＜c ＜b ．15．（5.00分）已知P 为△ABC 所在平面内一点，且满足，则△APB的面积与△PAC 的面积之比为 ． 【解答】解：令，，则∴四边形ADPE 是平行四边形，S △PAD =S △PAE ∵，∴S △PAE =S △PAC ∵，∴S △PAD =S △PAB∴S △PAB ：S △PAC = 故答案为：．16．（5.00分）下列命题中，正确的是（2）、（4）（1）若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；（2）已知=（sinθ，，=（1，），其中），则；（3）函数f（x）=tan与函数f（x）=是同一函数；（4）tan70°•cos10•（1﹣tan20°）=1．【解答】解：（1）当=时，则与不一定是共线向量；（2）∵），∴sinθ＜0．==sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，∴，因此正确；（3）函数f（x）===，其中x≠kπ，k∈Z．对于函数f（x）=tan，其中（k∈Z），即x≠2kπ+π．其定义域不同，因此不是同一函数；（4）∵===．tan70°•cos10•（1﹣tan20°）===1，故正确．综上可知：只有（2）（4）正确．故答案为：（2）（4）．三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）17．（10.00分）已知单位向量和的夹角为60°，（1）试判断2与的关系并证明；（2）求在方向上的投影．【解答】解：（1）2﹣与垂直，证明如下：∵和是单位向量，且夹角为60°，∴（2﹣）•=2•﹣=2×1×1×cos60°﹣12=0，∴2﹣与垂直．（2）设与所成的角为θ，则在方向上的投影为||cosθ=||×====．18．（12.00分）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则的值是多少？【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，且AM=AB，∴=∴•=（+）•（+）=+•+•+•=12+1×2cos120°+1××2cos120°+×2×2cos0°=1﹣1﹣+=119．（12.00分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a的最大值是1，（1）求常数a的值；（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a===2sin（2x+）+a，∵函数f（x）的最大值为1，∴2+a=1，∴a=﹣1；（2）∵f（x）=2sin（2x+）﹣1，∴由f（x）≥0得2sin（2x+）﹣1≥0，即sin（2x+），∴，即，即x的取值集合{x|kπ≤x≤+kπ，k∈Z，}20．（12.00分）已知向量=（sin2x+，sinx），=（cos2x﹣sin2x，2sinx），设函数f（x）=，x∈R．（1）写出f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[0，），求f（x）的值域；（3）已知cos（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，0＜，求f（β）．【解答】解：（1）∵向量=（sin2x+，sinx）=（sin2x+cos2x，sinx）=（1，sinx），=（cos2x﹣sin2x，2sinx），∴f（x）==cos2x﹣sin2x+2sin2x=1﹣cos2x﹣sin2x=1﹣sin（2x+），由正弦函数性质可知，f（x）的单调递增区间为．（2）由（1）知，f（x）=1﹣sin（2x+），在x∈[0，）时，f（x）为减函数，∵当x=0时，x=，当x=时，x=0．∴f（x）的值域为．（3）∵0＜，∴，0＜α+β＜π∴sin（α﹣β）＜0，sin（α+β）＞0．∵cos（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，sin（α﹣β）=﹣，sin（α+β）=．∴cos2β=cos[（α+β）﹣（α﹣β）]=cos（α+β）cos（α+β）+sin（α+β）sin（α﹣β）=﹣1，∴．∴=．21．（12.00分）已知函数，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及的值；（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α﹣2β）的值．【解答】解：（1）∵0≤x≤5，∴，…（1分）∴．…（2分）当，即x=1时，，f（x）取得最大值2；当，即x=5时，，f（x）取得最小值﹣1．因此，点A、B的坐标分别是A（1，2）、B（5，﹣1）．…（4分）∴．…（6分）（2）∵点A（1，2）、B（5，﹣1）分别在角α、β的终边上，∴tanα=2，，…（8分）∵，…（10分）∴．…（12分）22．（12.00分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，3）．若函数f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx的图象关于直线x=对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（1）求f（x）的表达式及其最小正周期；（2）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，设函数g（x）对任意x∈R，有g （x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣h（x），求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．（3）设（2）中所求得函数g（x），可使不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈[﹣，0]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）依题意知，sinα==，cosα=，∴f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx=cos2ωx+sin2ωx=2（cos2ωx+sin2ωx）=2sin（2ωx+），又y=f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（0）=f（π），即2×=2sin（2πω+），∴sin（2πω+）=，∵ω∈（0，1），∴＜2πω+＜，∴2πω+=，解得：ω=，∴f（x）=2sin（x+），T=6π；（2）将f（x）=2sin（x+）图象上各点的横坐标变为原来的，得到y=2sin （2x+）的图象，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣），∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），∴g（x）是以为周期的函数，又当x∈[0，]时，g（x）=﹣h（x）=﹣2sin（2x﹣），∴当x∈[﹣，0]时，x+∈[0，]，g（x）=g（x+）=﹣2sin[2（x+）﹣]=﹣2sin（2x+）；当x∈∈[﹣π，﹣]时，x+π∈[0，]，g（x）=g（x+π）=﹣2sin[2（x+π）﹣]=﹣2sin（2x﹣），∴g（x）=；（3）令h（x）=2x，则h（x）=2x为增函数，∴当x∈[﹣，0]时，h（x）max=h（0）=1，∴不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈[﹣，0]恒成立⇔g2（x）+4g（x）﹣a≥h（x）max=h（0）=1恒成立，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1．∵当x∈[﹣，0]时，g（x）=﹣2sin（2x +），由2x +∈[，]知，≤2sin（2x +）≤2，﹣≤﹣2sin（2x +）≤﹣，即x∈[﹣，0]时，g（x）=﹣2sin（2x +）∈[﹣，﹣]，令t=g（x）=﹣2sin（2x +），则t∈[﹣，﹣]，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1转化为：a≤t2+4t﹣1=（t+2）2﹣5（t∈[﹣，﹣]）恒成立；令k（t）=（t+2）2﹣5（t∈[﹣，﹣]），则k（t）=（t+2）2﹣5在区间[﹣，﹣]上单调递增，∴k（t）min=k （﹣）=﹣．∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣]．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
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高一学年数学试题
一、选择题（每题 5 份，共 60 分）
1、已知 sin
2 , 则 cos(
3
2
) 等于（
2
） A．
B． 2
C． 5 D．
5
3
3
3
3
2、若函数 f (x)
sin 2 x
1 (x
R) ，则 f ( x) 是（
）
2
A. 最小正周期为 的奇函数
(3) 已知 cos
3 ,cos
3 ,0
5
5
,求f . 2
21、已知函数 f ( x) 2sin( x
) , 0 x 5 , 点 A、B 分别是函数 y f ( x) 图像上的最
63
高点和最低点 .
(1) 求点 A、 B 的坐标以及 OA · OB 的值 ;
(2) 设点 A、 B 分别在角 、 的终边上 , 求 tan(
ABC 的地方种草， ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池，
其余地方种花， BC a （ a 为定值）， ABC ， ABC
的面积为 S1 ，正方形 PQRS 的面积为 S2 ，当 S1 取得最小值 S2
B
时，角 的值为（ ）
A.
B.
6
C.
4
二、（每题 5 份，共 20 分）
D.
3
13、函数 y lg 1 tan x 的定义域是
2 ) 的值 .
22、已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P( 3,3) .
若函数 f ( x) 2sin cos 2 x 4cos
其中 为常数 , 且 (0,1) . （ 1） 求 f (x) 的表达式及其最小正周期；
sin x cos x 的图象关于直线 x
对称 ,
2
（ 2）
10. 已知 , 均为锐角， 且 3sin 2sin ，3cos 2cos
3 ，则
2 的值为（ ）
A．
B.
3
C.
2
2
D.
3
11、 若 , 均为锐角， sin
25 , sin(
5
) 3 ，则 cos 5
（）
A.
25
B.
5
25
C.
25
25 25 ,
D.
5 25
12 、如图，某园林单位准备绿化一块直径为
BC 的半圆形空地，
5
5
APC 的面积之比为
。
16、下列命题中 , 正确的是 ____________________
（ 1）若 a 与 b 是共线向量， b 与 c 是共线向量，则 a 与 c 是共线向量
(2) 已知 a sin , 1 cos , b 1, 1 cos , 其中
,3 ,则 a b 2
x
1 cos x
A. a b 4
a, AC
B.
b ，用 a, b 表达 DN =( )
1 ba
4
1ห้องสมุดไป่ตู้
C.
ab
8
1
D.
ba
8
5 、设 x, y R, 向量 a ( x,1), b (1, y), c (2, 4) 且 a c,b // c , 则 a b a c
（） A． -3
B． 5
C． -5
D． 15
6、 不是函数 y tan(2 x ) 的对称中心的是（ ） 4
A. ( 9 ， 0） B. 8
（ 3 ， 0） C. （ ， 0） D.
8
8
（ ， 0）
4
7、已知函数 f x msin x 2 cosx（ m 为常数， 且 m 0 ）的最大值为 2 ，则 函数 f x
的单调递减区间为（
）（其中 k Z ）
5
A. 2k
,2 k
B.
4
4
3
2k
,2 k
4
4
C. 2k 3 ,2 k
第 18 题
cos2x a的最大值是 1，
20、已知向量 m
(sin 2 x
1
cos 2x ,sin x), n
1 ( cos 2x
3 sin 2 x,2sin x) ,
2
2
2
设函数 f ( x) m n, x R.
(1) 写出 f x 的单调递增区间 ;
（ 2）若 x 0, ，求 f x 的值域 ; 6
D.
4
4
2k 5 ,2 k
4
4
8、已知函数① y sin x cosx, ② y 2 2 sin x cos x , 则下列结论正确的是（
）
A．两个函数的图象均关于点 ( ,0) , 成中心对称 4
B．①的纵坐标不变 , 横坐标扩大为原来的 2 倍 , 再向右平移 个单位即得②
4
C．两个函数在区间 (- , ) 上都是单调递增函数
（ 3）函数 f (x) tan 2 与函数 f ( x)
sin x 是同一函数；
（ 4） tan 70 cos10 1 3 tan 20 1
三、解答题（ 10 分 +12 分 +12 分 +12 分+12 分 +12 分）
17、已知单位向量 m 和 n 的夹角为 60 ，
（ 1）试判断 2 n m 与 m 的关系并证明；
2
C. 最小正周期为 2 的偶函数
B. 最小正周期为 D. 最小正周期为
3、已知 tan
A． 1
3 ，则 sin cos sin cos
B.2
C.-1
（） D.-2
4、 ABC 中 , AD
1 AB ,DE//BC ，且与边 AC相交于点 E，
4
的奇函数 的偶函数
ABC 的中线 AM与 DE相交
于点 N，设 AB 1
若将 y f ( x) 图象上各点的横坐标变为原来的 位 , 纵 坐 标 不 变 , 得 到 y h( x) 的 图 象 ,
1 , 再将所得图象向右平移 6
设 函 数 g( x) 对 任 意 x
个单
3
R，有
g( x ) 2
44
D．两个函数的最小正周期相同
9、函数 f (x) A sin( x )( A 0,
0, | | ) 的部分图象如图示 , 则将 y f ( x) 的图 2
象向右平移 个单位后 , 得到的图象解析式为（
）
6
A． y sin 2x
B． y cos 2x
C． y sin(2x ) 6
D． y sin(2x 2 ) 3
（ 2）求 n 在 n m 方向上的投影。
18、如图 , 平行四边形 ABCD中 , AB 2, AD 1, A 60 ,
点 M在 AB边上 , 且 AM
1 AB，则 DM DB 的值是多少？
3
19、已知函数 f x sin( 2x ) sin 2x
6
6
（ 1）求常数 a 的值；
（ 2）求使 f x 0 成立的 x 的取值集合。
．
25 25
A P
S
Q
RC
5 12
2 tan13 14、设 a cos61 cos127 cos29 cos37 ， b 1 tan213 , c
1 cos50
，
2
则 a，b， c 的大小关系（由小到大排列）为
15、已知 P 为 ABC 所在平面内一点，且满足
AP
1 AC
2 AB ，则
APB 的面积与