一次函数与反比例函数小专题一
专题1--一次函数与反比例函数问题
B．x＞2 D．x＜－2或0＜x＜2
【变式训练3】如图，正比例函数 y1 k1x 的图像与反比例
函数
y2
k2 x
的图象相交于A、B
两点，其中点A
D
的横坐标
x 为2，当 y1＞y2 时， 的取值范围是 （ ）
A．x＜ 2或x＞2
B． x＜ 2或0＜x＜2
C． 2＜x＜0或0＜x＜2
真题回顾
例 （2015•广东）如图-1，反比例函数y=k/x（ k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直 线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数 的图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）在y轴上确定一点M，使点 M到C，D两点的距离之和d=MC+MD， 最小求点M的坐标.
∴m=﹣4，
∴y=﹣
（2）当x＜0时，kx+b﹣ ＞0的解集是x＜﹣4．
m x
【变式训练4】一次函数y=kx+b 与反比例函数 y= 图象相交于A（-1，4），B（2，n）两点， 直线AB交x轴于点D。 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点B 作BC⊥y轴，垂足为C，连接 AC交 x轴于点E，求△AED的面积S。
点
不 ①x的取值范围_x_≠_0____； ①x的取值范围_任__意__实__数；
同 ②图象是_双__曲__线_
②图象是_直__线____；
点 ③k>0时，y随的x增大 ③k>0时，y随的x增大
而_减__小（在每个象限
而_增__大_
内）
k<0时，y随的x增 大而增__大__减__小_
第二、四 象限
小专题-反比例函数与一次函数综合
小专题反比例函数与一次函数综合——教材P162复习题T1的变式与应用教材母题：一次函数y=kx+b的图象与反比例函数2yx-=的图象相交于A（-1，m），B（n，-1）两点.（1）写出这个一次函数的表达式；（2）画出函数图象草图，并据此写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围.方法指导解决反比例函数与一次函数的综合题，常用方法如下：（1）已知反比例函数和一次函数的图象经过某一点，求反比例函数和一次函数的表达式，解这类题的方法常从反比例函数入手，求出反比例函数的表达式，再求出另一个交点坐标，再利用待定系数法求一次函数表达式；（2）求反比例函数与一次函数的交点坐标，解这类题的方法是由两个函数表达式联立得方程组，求得方程组的解即为交点坐标；（3）根据函数图象确定不等式的解集，解这类题需明确谁大，则取谁的图象在上方时自变量的取值范围；谁小，则取谁的图象在下方时自变量的取值范围；（4）求函数图象中有关三角形的面积时，只需通过函数图象上点或交点的坐标确定三角形的底和高，再根据三角形的面积公式进行计算.变式训练1.（驻马店一模）如图，一次函数122y x=-+的图象与反比例函数kyx=的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，已知OE=2（1）直接写出点B的坐标（，），并求反比例函数的表达式；（2）求△OCD的面积；（3）根据图象，直接写出关于x的不等式122kxx-+≥的解集.2.（郑州中原区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数1k y x=的图象与一次函数2y ax b =+的图象交于点A （2，3）和点B （-3，m ）（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点C 是坐标平面内一点，BC ∥x 轴，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，连接AC .若AC CD ，求点C 的坐标.3.（驻马店期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数12y x =的图象与反比例函数ky x=的图象交于A （a ，-2），B 两点. （1）反比例函数的表达式为 ，点B 的坐标为 .（2）观察图象，直接写出102kx x-＜的解集；（3）P 是第一象限内反比例函数的图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标.4.（平顶山三模）如图，一次函数11y k x b =+与反比例函数22(0)k y x x=＞的图象交于A （1，m ），B （5，1）两点.（1）直接写出关于x 的不等式21k k x b x+＞的解集； （2）在x 轴上是否存在点P ，使得△ABP 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.教材母题:解:（1）∵点A ，B 在反比例函数2y x-=的图象上， ∴221m -==-，21=n--. ∴2,2m n ==.将A （-1,2），B （2，-1）代入y =kx +b ,得{2k b -+=21k b +=-，解得{1k =-1b =.∴一次函数的表达式为y =-x +1(2)如图，由图可知，使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围是x ＜-1或0＜x ＜2.变式训练1.解: (1) 4 0 反比例函数的表达式为6y x=-.(2)联立一次函数和反比例函数的表达式，得{122y x =-+6y x=-，可得交点D 的坐标为（6，-1），则=412=2BOD S ⨯÷△，4326BOC S =⨯÷=△.故268OCD S =+=△.(3)由图象得，不等式122kx x-+≥的解集为x ≤-2或0＜x ≤6.2.解:(1)反比例函数的表达式为16y x=，一次函数的表达式为21y x =+.(2)∵BC ∥x 轴，AD ⊥BC ，且A （2，3），B （-3，-2），∴D （2，-2）.设C （x ，-2），则CD =|x -2|，AD =5，在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，AC，∴2|x -2|=5.解得1291,22x x ==-.∴点C 的坐标为（92，-2）或（12-，-2）.3.解: (1)8y x= （4，2）(2)102kx x-＜的解集是4x -＜或04x ＜＜(3)P )7或P (2,4) 4.解: (1)关于x 的不等式21k k x b x+＞的解集为1<x <5. (2)存在A （1，m ），B （5，1）两点在反比例函数22(0)k y x x=＞的图象上， ∴2511k m =⨯=⨯，∴m =5, 25k =,∴A (1,5).作点B 关于x 轴的对称点D (5,-1)，连接AD 交x 轴于点P ,此时，△ABP 的周长最小.设直线AD 的表达式为y =kx +n ，则{5=k n +1=5k n -+，解得{32k =-132n =.∴直线AD 的表达式为31322y x =-+，令y =0,则133x =.∴点P 的坐标为(13,03).。
一次函数与反比例函数综合题型
一次函数与反比例函数综合题型：专题1 1、．（2010 济宁）如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x =(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.2．(2011 聊城)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42(0)my x x-=>的图象于点A 、B ，交x 轴于点C ．(1)求m 的取值范围；(2)若点A 的坐标是(2，－4)，且BC AB ＝ 13，求m 的值和一次函数的解析式．xA(第1题)3、．(2010年枣庄市)如图，一次函数y ＝a x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ kx的图象交于A 、B 两点，与x轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝10，点B 的坐标为(m ，－2)，t a n ∠AOC ＝ 13．(1)求反比例函数的解析式； (2)求一次函数的解析式；(3)在y 轴上存在一点P ，使△PDC 与△CDO 相似，求P 点的坐标．4、（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b ＞的解集； （3）过点B 作BC⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．5、（2011•泰安）如图，一次函数y=k 1x+b 的图象经过A （0，﹣2），B （1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM⊥MP？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．7． (德州市2010年)●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________； ②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________；(2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A (a ，b ) ，B (c ，d )， 求出图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的 代数式表示），并给出求解过程． ●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A (a ，b )，B (c ，d )， AB 中点为D (x ，y ) 时， x =_________，y =___________．（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数2-=x y 与反比例函数xy 3=的图象交点为A ，B ． y y =x3 B①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．一次函数与反比例函数综合题型：专题1答案：1、（2010 济宁．）解：（1）设A点的坐标为（a，b），则kba=.∴ab k=.∵112ab=,∴112k=.∴2k=.∴反比例函数的解析式为2yx=. ··································································3分(2) 由212yxy x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2,1.xy=⎧⎨=⎩∴A为（2，1）. ·················································4分设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，1-）.令直线BC 的解析式为y mx n =+.∵B 为（1，2）∴2,12.m n m n =+⎧⎨-=+⎩∴3,5.m n =-⎧⎨=⎩∴BC 的解析式为35y x =-+. ········································································ 6分 当0y =时，53x =.∴P 点为（53，0）. ····················································· 7分2、（2011 聊城24.） 解：(1)因为反比例函数42(0)my x x-=>的图象在第四象限， 所以420m -<，解得2m >． (2)因为点A(2，4-)在函数42my x-=图象上， 所以4242m--=，解得6m =． 过点A 、B 分别作AM ⊥OC 于点M ，BN ⊥OC 于点N ， 所以∠BNC=∠AMC=90°． 又因为∠BCN=∠ACM ，所以△BCN ∽△ACM ，所以BN BCAM AC=． 因为14BC AB =，所-以14BC AC =，即14BN AM =． 因为AM=4，所以BN=1所以点B 的纵坐标是1-因为点B 在反比例函数y 1y =-时，8x =． 所以点B 的坐标是(8．1-因为一次函数y kx b =+B(8，1-)．∴2481k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得125k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以一次函数的解析式是152y x =--． 3、（2010年枣庄市）(1)过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E .221tan 3310101 3.AOE OE AE OA OE AE AE OE ∠=∴==+=∴==，.，， ∴点A 的坐标为(3，1)．………………………２分A 点在双曲线上，13k∴=，3k =．∴双曲线的解析式为3y x=． ………………………………………………………３分 (2)点(2)B m -，在双曲线3y x=上，3322m m ∴-==-，．∴点B 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ………………………………………………………４分231332 1.2a b a a b b +=⎧⎧=⎪⎪∴∴⎨⎨-+=-⎪⎪=-⎩⎩，，∴一次函数的解析式为213y x =-． …………………………………………………７分(3)C D ，两点在直线213y x =-上，C D ∴，的坐标分别是30(01)2C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． ∴312OC OD ==，，DC =过点C 作CP AB ⊥，垂足为点C ．PDC CDO △∽△，2PD DC DC PD DC OD OD ∴===，又1314OP DP OD =-=-=P ∴点坐标为904⎛⎫⎪⎝⎭，． 分4、（2011•临沂）考点分析：（1）由一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B 点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以BC 为底，则BC 边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案． 解答：解：（1）∵点A （2，3）在y=的图象上， ∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键5、考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
一次函数与反比例函数专题
一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-b k，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b(k≠0)k>0，b>0一、二、三y随x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k≠0)k<0，b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0，b<0二、三、四3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx （k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．六、一次函数与方程（组）、不等式1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．2．一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．3．一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．七、一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．八、一次函数的实际应用1．主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．4．方法技巧求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第（2）种方法更简单快捷．考向一一次函数和正比例函数的定义1．正比例函数是特殊的一次函数．2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．典例1若y=（m﹣2）x+（m2﹣4）是正比例函数，则m的取值是A．2B．﹣2C．±2D．任意实数【答案】B【解析】由正比例函数的定义可得：m2–4=0，且m–2≠0，解得，m=–2；故选B.典例2下列函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣6x，④y=x2+2中，是一次函数的有A．①②B．①C．②③D．①④【答案】B【解析】①y=﹣2x+1符合一次函数定义，故正确；②y=ax﹣b中当a=0时，它不是一次函数，故错误；③y=﹣6x属于反比例函数，故错误；④y=x2+2属于二次函数，故错误；综上所述，是一次函数的有1个．故选B．1．下列各点中，在函数y=–2x+5的图象上的是A．（0，―5）B．（2，9）C．（–2，–9）D．（4，―3）2．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=_______．考向二一次函数的图象及性质1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．典例3一次函数y=–2x+b，b<0，则其大致图象正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】因为k=–2，b<0，所以图象在第二、三、四象限，故选B．典例4下列四个选项中，不符合直线y=3x–2的性质的选项是A．经过第一、三、四象限B．y随x的增大而增大C．与x轴交于（–2，0）D．与y轴交于（0，–2）【答案】C【解析】根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点．在y=3x–2中，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大；∵b=–2<0，∴函数与y轴相交于负半轴，∴可知函数过第一、三、四象限；∵当x=–2时，y=–8，所以与x轴交于（–2，0）错误，∵当y=–2时，x=0，所以与y轴交于（0，–2）正确，故选C．【名师点睛】牢记一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降．3．已知正比例函数y=mn x的图象如图所示，则一次函数y=mx+n图象大致是A．B．C．D．4．在一次函数y=（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值可以是A．0B．–1C．–1.5D．–2考向三用待定系数法确定一次函数的解析式运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．典例5已知一次函数y=kx+b，当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6.（1）求k与b的值；（2）当y与x相等时，求x的值.【解析】（1）∵当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6，∴3146k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，∴51k b =⎧⎨=-⎩；（2）∵51k b =⎧⎨=-⎩，∴y =5x –1，当y 与x 相等时，则x =5x –1，∴x =14.【名师点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．典例6一次函数y =kx +b ．当x =﹣3时，y =0；当x =0时，y =﹣4，求k 与b 的值．【解析】将x =–3，y =0；x =0，y =–4分别代入一次函数解析式得：304k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得434k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即k =–43，b =–4．【名师点睛】本题考查的是一次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键.5．一个正比例函数的图象经过点（–2，4），它的表达式为A ．y =–2xB ．y =2xC ．y =–12x D ．y =12x 6．一次函数的图象经过点A （2，4）和B （﹣1，﹣5）两点．（1）求出该一次函数的表达式；（2）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上？7．已知y –1与x +2成正比例，且x =–1时，y =3．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）它的图象经过点（m–1，m+1），求m的值.考向四一次函数与一元一次方程1．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.2．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．典例7已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b+3=0的解是x…–2–101…y…531–1…A．x=2B．x=3C．x=–2D．x=–3【答案】A【解析】∵当x=0时，y=1，当x=1，y=–1，∴11bk b=+=-⎧⎨⎩，解得：21kb=-=⎧⎨⎩，∴y=–2x+1，当y=–3时，–2x+1=–3，解得：x=2，故关于x的方程kx+b+3=0的解是x=2，故选A．典例8如图为y=kx+b的图象，则kx+b=0的解为x=A．2B．–2C．0D．–1【答案】D【解析】从图象上可知，一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标为–1，所以关于x的方程kx+b=0的解为x=–1．故选D．【名师点睛】关于x的一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案．8．已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，–2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为A．x=0B．x=1C．x=–2D．x=39．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=–1的解为A．x=0B．x=1C．x=12D．x=–2考向五一次函数与一元一次不等式一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：ax+b>0的解集⇔y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；ax+b<0的解集⇔y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．典例9如图，一次函数y 1=x ＋b 与一次函数y 2=kx ＋4的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式x ＋b >kx ＋4的解集是A ．x >﹣2B ．x >0C ．x >1D ．x <1【答案】C 【解析】当x >1时，x +b >kx +4，即不等式x +b >kx +4的解集为x >1．故选C ．典例10如图，直线y kx b =+与y mx n =+分别交x 轴于点(0.5,0)A -，(2,0)B ，则不等式()()0kx b mx n ++<的解集为A ．2x >B ．02x <<C ．0.52x -<<D ．0.5x <-或2x >【答案】D 【解析】∵()()0kx b mx n ++<，∴00kx b mx n +>⎧⎨+<⎩①或00kx b mx n +<⎧⎨+>⎩②．∵直线y kx b =+与y mx n =+分别交x 轴于点(0.5,0)A -，(2,0)B 观察图象可知①的解集为：0.5x <-，②的解集为：2x >∴不等式()()0kx b mx n ++<的解集为0.5x <-或2x >.故选D.【名师点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，学会根据图形判断函数值的正负是关键.10．如图，正比例函数y =2x 的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A （m ，2），一次函数的图象经过点B （−2，−1）.（1）求一次函数的解析式；（2）请直接写出不等式组−1<kx +b <2x 的解集．11．如图，函数23y x =-+与12y x m =-+的图像交于(),2P n -．（1）求出m 、n 的值；（2）直接写出不等式1232x m x -+-+＞的解集；（3）求出△ABP 的面积．考向六一次函数与二元一次方程（组）1．二元一次方程kx -y +b =0（k ≠0）的解与一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象上的点的坐标是一一对应的．2．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解，体现了数形结合的思想方法．典例11如图，函数y =kx +b 与y =mx +n 的图象交于点P （1，2），那么关于x ，y 的方程组y kx by mx n=+=+⎧⎨⎩的解是A ．12x y ==⎧⎨⎩B ．21x y ==⎧⎨⎩C ．23x y ==⎧⎨⎩D ．13x y ==⎧⎨⎩【答案】A 【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组y kx b y mx n =+=+⎧⎨⎩的解是12x y ==⎧⎨⎩．故选A ．【名师定睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．典例12若方程组2223x y x y ++⎧⎨⎩＝＝没有解，则一次函数y =2–x 与y =32–x 的图象必定A ．重合B ．平行C ．相交D ．无法确定【答案】B【解析】∵方程组2 223 x yx y++⎧⎨⎩＝＝没有解，∴一次函数y=2–x与y=32–x的图象没有交点，∴一次函数y=2–x与y=32–x的图象必定平行．故选B．12．二元一次方程组521x yx y+-⎧⎨⎩＝＝的解为23xy⎧⎨⎩＝＝，则一次函数y=5–x与y=2x–1的交点坐标为A．（2，3）B．（3，2）C．（–2，3）D．（2，–3）13．如图，直线l1的函数解析式为y=2x–2，直线l1与x轴交于点D．直线l2：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），如图所示．直线l1、l2交于点C（m，2）．（1）求点D、点C的坐标；（2）求直线l2的函数解析式；（3）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组22y xy kx b=-=+⎧⎨⎩的解．考向七一次函数的应用一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．典例13一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．（a）说明图①中点A和点B的实际意义；（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．【解析】（1）设A站和B站相距x千米，行驶的时间是y小时，根据题意得：600.2 500.8x yx y-=+=⎧⎨⎩，解之得：0.15.8 xy==⎧⎨⎩，5.8÷0.1=58（千米/小时）；答：A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．（2）（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③；反映公交公司意见的是图②；故答案为：③，②．典例14某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）．设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）．（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；方案一：y1=_________；方案二：y2=__________．（2）若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到__________个文具盒（直接回答即可）．【答案】（1）10x+150；9x+180；（2）详解见解析；（3）40.【解析】（1）由题意，可得y1=40×5+10（x–5）=10x+150，y2=（40×5+10x）×0.9=9x+180．故答案为：10x+150，9x+180；（2）当x=20时，y1=10×20+150=350，y2=9×20+180=360，因为350<360，所以可看出方案一省钱；（3）如果10x+150≤540，那么x≤39，如果9x+180≤540，那么x≤40，所以学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到40个文具盒．故答案为：40．【名师点睛】（1）根据方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，即可得出两种优惠方案中y与x之间的关系式；（2）将x=20分别代入（1）中关系式，通过计算比较两种方案中哪种更省钱即可；（3）根据购买时，顾客只能选用其中的一种方案，所以分别求出y≤540时两种方案中x的最大整数值，比较即可得到答案．14．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示．有如下结论：①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米．其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个15．某县组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种扶贫物资共100吨到某乡实施扶贫工作，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表中提供的信息，解答下列问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量（吨）654每吨所需运费（元/吨）120160100（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应如何安排车辆？并求出最少总运费．1．下列函数①y =﹣2x +1，②y =ax ﹣b ，③y =﹣6x ，④y =x 2+2中，是一次函数的有A ．①②B ．①C ．②③D ．①④2．直线y =2x －4与y =－x +2的公共点坐标为A ．（－2，0）B ．（0，－2）C ．（2，0）D ．（0，2）3．已知一次函数y =kx +b （k ≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为A ．y =x +2B ．y =﹣x +2C ．y =x +2或y =﹣x +2D ．y =–x +2或y =x –24．一次函数y =kx +b 的图象如图所示，当y >3时，x 的取值范围是A ．0x <B ．0x >C ．2x <D ．2x >5．如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y =–x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为A ．y =–x +2B ．y =x +2C ．y =x –2D ．y =–x –26．点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是一次函数y =﹣3x +4图象上的两个点，且x 1<x 2，则以下正确的是A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．无法比较y 1和y 2的大小7．如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为A ．B ．C ．D ．8．两个一次函数1y mx n =+，2y nx m =+，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的A ．B ．C ．D ．9．如图，已知一次函数y =kx +b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x 的方程kx +b =0的解为x =2；②关于x 的方程kx +b =3的解为x =0；③当x >2时，y <0；④当x <0时，y <3．其中正确的是A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④10．端午节，在大明湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法，其中正确的有①乙队比甲队提前0.25min到达终点；②0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m；③当乙队划行110m时，此时落后甲队15m；④自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到260m/min．A．1个B．2个C．3个D．4个11．观察图象，可以得出不等式组ax bcx d+>+<⎧⎨⎩的解集是A．x<4B．x<–1C．–1<x<0D．–1<x<412．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+1的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，以A 为圆心，适当长为半径画弧分别交AB 、AO 于点C 、D ，再分别以C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE 并延长交y 轴于点F ，则下列说法正确的个数是①AF 是∠BAO 的平分线；②∠BAO =60°；③点F 在线段AB 的垂直平分线上；④S △AOF ∶S △ABF =1∶2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．若y =(m –2)x +(m 2–4)是正比例函数，则m 的取值为__________．14．已知点A （11,x y ），B （22,x y ）是一次函数25y x =-+图象上的两点，当12x x >时，1y __________2y ．（填“>”“=”或“<”）15．关于x 的一元一次不等式组232x b x b >+<-⎧⎨⎩有解，则直线y x b =-+不经过第__________象限．16．已知一次函数y =4x +3m 与y =7x –9的图象经过y 轴上同一点，则m =__________．17．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A 驶向终点B ，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y （米）与时间x （分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）起点A 与终点B 之间相距多远？（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y 与x 函数关系式；（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？18．如图，直线y =﹣2x +7与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线y =32x 相交于点A ．（1）求A 点坐标；（2）求△OAC 的面积；（3）如果在y 轴上存在一点P ，使△OAP 是以OA 为底边的等腰三角形，求P 点坐标；（4）在直线y =﹣2x +7上是否存在点Q ，使△OAQ 的面积等于6？若存在，请求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．19．已知一次函数21y kx k =-+(k ≠0)，回答下列问题：（1）若一次函数的图象过原点，求k 的值；（2）无论k 取何值，该函数的图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标．20．为建设秀美家乡，某学校组织师生参加一年一度的植树绿化工作，准备租用7辆客车，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车x 辆，租车总费用为y 元，甲种客车乙种客车载客量/(人/辆)6040租金/(元/辆)360300（1）求出y （单位：元）与x （单位：辆）之间的函数关系式．（2）若该校共有350名师生前往参加劳动，共有多少种租车方案？（3）带队老师从学校预支租车费用2400元，试问预支的租车费用是否能有结余？若有结余，最多可结余多少元？1．（2019•扬州）若点P 在一次函数4y x =-+的图象上，则点P 一定不在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2019•绍兴）若三点(14)，，(27)，，(10)a ，在同一直线上，则a 的值等于A ．-1B ．0C ．3D ．43．（2019•苏州）若一次函数y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠）的图象经过点(01)A -，，(11)B ，，则不等式1kx b +>的解为A ．0x <B ．0x >C ．1x <D ．1x >4．（2019•临沂）下列关于一次函数(00)y kx b k b =+<>，的说法，错误的是A ．图象经过第一、二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．图象与y 轴交于点(0)b ，D ．当b x k>-时，0y >5．（2019•梧州）直线y =3x +1向下平移2个单位，所得直线的解析式是A ．y =3x +3B ．y =3x -2C ．y =3x +2D ．y =3x -16．（2019•杭州）已知一次函数1y ax b =+和2y bx a =+()a b ≠，函数1y 和2y 的图象可能是A ．B ．C ．D ．7．（2019•邵阳）一次函数y 1=k 1x +b 1的图象l 1如图所示，将直线l 1向下平移若干个单位后得直线l 2，l 2的函数表达式为y 2=k 2x +b 2．下列说法中错误的是A ．k 1=k 2B ．b 1<b 2C ．b 1>b 2D ．当x =5时，y 1>y 28．（2019•聊城）某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为A ．9：15B ．9：20C ．9：25D ．9：309．（2019•天津）直线21y x =-与x 轴交点坐标为__________．10．（2019•无锡）已知一次函数y =kx +b 的图象如图所示，则关于x 的不等式3kx -b >0的解集为__________．11．（2019•烟台）如图，直线y =x +2与直线y =ax +c 相交于点P （m ，3），则关于x 的不等式x +2≤ax +c的解为__________．12．（2019•潍坊）当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是__________．13．（2019•郴州）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为__________瓶．14．（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点P （x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离公式为：d =0022Ax By CA B +++，则点P （3，-3）到直线2533y x =-+的距离为__________．15．（2019•杭州）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式__________．16．（2019•南京）已知一次函数12y kx =+（k 为常数，k ≠0）和23y x =-．（1）当k =﹣2时，若1y >2y ，求x 的取值范围；（2）当x <1时，1y >2y ．结合图象，直接写出k 的取值范围．17．（2019•乐山）如图，已知过点B （1，0）的直线l 1与直线l 2：y =2x +4相交于点P （-1，a ）．（1）求直线l 1的解析式；（2）求四边形PAOC的面积．18．（2019•天门）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式；。
一次函数与反比例涵数的专题复习
一次函数与反比例函数专题复习第一部分 知识梳理考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3分） 1、各象限内点的坐标的特征（1） 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x（2）点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x （3）点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x （4）点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点的特征（1）点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数（2）点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数（3）点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征（1）点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等（2）点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征（1）位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
（2）位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征（1）点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数 （2）点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数 （3）点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +考点三、函数及其相关概念 （3~8分） 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
初三数学一次函数与反比例函数综合专题
反比例函数一、知识要点(1)反比例函数 如果xky =(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的反比例函数． (2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线． (3)反比例函数的性质①当k ＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而减小．②当k ＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而增大．③反比例函数图象关于直线y ＝±x 对称，关于原点对称． (4)k 的两种求法①若点(x 0，y 0)在双曲线xky =上，则k ＝x 0y 0． ②k 的几何意义： 若双曲线x k y =上任一点A (x ，y )，AB ⊥x 轴于B ，则S △AOB ||||2121y x AB OB ⋅=⨯= .||21k =(5)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数y ＝k 1x (k 1≠0)，反比例函数)0(22=/=k x ky ，则当k 1k 2＜0时，两函数图象无交点；当k 1k 2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112k k k kk k k k --由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．(6)对于双曲线上的点A 、B ，有两种三角形的面积(S △AOB )要会求(会表示)，如下图所示．1.请写出一个图象从左向右上升且经过点（－1，2）的函数，所写的函数表达式是_____________．（答案不惟一）2.一次函数的图象经过第一、二、三象限且经过(0,2)点.任写一满足上述条件的一次函数的表达式是_________________.3.点A,B是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点A（2,5），写出一个满足条件的B点的坐标是.4．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是（填“一类、二类、三类”中的一个）．5. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:北京市居民用水阶梯水价表单位: 元/立方米某户居民从年月日至月日,累积用水立方米,则这户居民个月共需缴纳水费元.6．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，若OA=4，OC=6，写出一个函数()0ky kx=≠，使它的图象与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点D，E，这个函数的表达式为．y kx b=+20151143019047．生物学研究表明在8—17岁期间，男女生身高增长速度规律呈现如下图所示，请你观察此图，回答下列问题：男生身高增长速度的巅峰期是岁，在岁时男生女生的身高增长速度是一样的.（1）求反比例函数的解析式； （2）求△的面积．9.如图，矩形OABC , A （0，5），C （4，0）,正比例函数的图象经过点B ．（1）求正比例函数的表达式； （2）反比例函数的图象与正比例函数的图象和边BC 围成的阴影区域BNM 如图所示,请直接写出阴影区域中横纵坐标都是整数的点的坐标（不包括边界）．BOD )0(≠=m mx y 4(0)y x x=>10．如图，一次函数122y x=+的图象与x轴交于点B，与反比例函数kyx=的图象的一个交点为A（2，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，如果点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于6，请直接写出点P的坐标．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数4yx=（x＞0）的图象与一次函数y=kx－k的图象交点为A（m，2）．（1）求一次函数的表达式；（2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，如果P是x轴上一点，且满足△P AB 的面积是4，请直接写出P的坐标．yxAB212．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线my x=与直线22y x =-+交于点A （-1，a ）． （1）求a ，m 的值； （2）点P 是双曲线my x=上一点，且OP 与直线22y x =-+平行，求点P 的坐标．13．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点；一次函数()0y kx b k =+≠图象与反比例函数()0my m x=≠的图象交于(),21A a a -、()3,B a a ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求ABO ∆的面积.14．如图，一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与反比例函数y 2＝6x的图象交于A （m ，3），B （－3，n ）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x 的不等式 6x>kx ＋b 的解集．。
专题：反比例函数与一次函数结合
26.26(4)专题：反比例函数与一次函数结合一．【知识要点】1.反比例函数与一次函数结合二．【经典例题】k S 的取值范围。
3.如图，已知直线l :6-=x y 与x 轴，y 轴交于点A,B 两点，与反比例函数xk y =（x ＞0）的图象交于点C （a,-1）和点D 。
（1）求k 的值及点D 的坐标。
（2）若点P 在反比例函数图象上且位于直线l 上方，过点P 作PM ⊥x 轴于点M 交AB 于E ，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，交AB 于点F ，求BE AF •的值。
4．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y＝（x＞0），图象上位于直线y＝﹣x+4下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F，并且AF•BE＝4（1）求k的值；（2）若反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，求三角形OCD的面积．三．【题库】【A】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．2.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝．在同一坐标系内的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【B 】【C 】 1.（绵阳2018第22题本题满分11分） 如图，一次函数2521+-=x y 的图像与反比例函数)0(＞k xk y =的图像交与A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P ，使P A +PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.2．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A （3，4），过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【D 】1.（2020年绵阳期末第12题）如图，已知点A(m ，m+3)，点B(n ，n-3)是反比例函数()0>=k xk y 在第一象限的图象上的两点，连接AB.将直线AB 向下平移3个单位得到直线l ，在直线l 上任取一点C ， 则△ABC 的面积为（ ） A.29 B.6 C. 215 D.92.在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P （x ，y ），我们把点P ′（，）称为点P 的“倒影点”，直线y ＝﹣x+1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝的图象上．若AB ＝2，则k ＝ ．。
一次函数与反比例函数专项训练
一次函数与反比例函数专题训练1．（2009重庆綦江）如图，一次函数y kx b =+(0)k ≠的图象与反比例函数(0)my m x=≠的图象相交于A 、B 两点．（1）根据图象，分别写出点A 、B 的坐标； （2）求出这两个函数的解析式．图12．（2009年重庆江津）如图，反比例函数xy 2=的图像与一次函数b kx y +=的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y 轴的交点为C 。
（1）求一次函数解析式； （2）求C 点的坐标； （3）求△AOC 的面积。
3．（2009年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE x ⊥轴于点E ，1tan 422ABO OB OE ∠===，． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线AB 的解析式．4．(2009成都)已知一次函数2y x =+与反比例函数ky x=，其中一次函数2y x =+的图象经过点P(k ，5)．(1)试确定反比例函数的表达式；图2(2)若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标．5．(2009安顺)已知一次函数(0)y kx b k =+≠和反比例函数2ky x=的图象交于点A(1，1) （1）求两个函数的解析式；（2）若点B 是x 轴上一点，且△AOB 是直角三角形，求B 点的坐标。
6．（2009肇庆）如图，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数 2ky x=（k 为常数， 0k ≠）的图象相交于点 A （1，3）．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标；（2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．7．（2009年兰州）如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程0=-+xmb kx 的解（请直接写出答案）； (4)求不等式0<-+xmb kx 的解集（请直接写出答案）.。
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一次函数与反比例小专题一
（5）如图,在平面直角坐标系中，一次函数b kx y +=(k ≠0)的图象与反比例函数
x m y =()0≠m 的图象相交于A 、B 两点，且点B 的纵坐标为2
1-．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，AC =1，OC =2．
（1）则反比例函数的解析式 ．
（2）则一次函数的解析式 ．
(6) P 1（x 1，y 1)，P 2（x 2，
y 2)是正比例函数y =-x 图象上的两点，则下列判断正确的是 （ ） （A ）y 1>y 2． （B ）y 1<y 2．
（C ）当x 1<x 2时，y 1>y 2 ． （D ）当x 1<x 2时，y 1<y 2．
（7）已知函数y kx b =+的图象如图所示,则2y kx b =+的图象可能是 （ ）
（A ） （B ） （C ） （D ） （第1（7）题）
（8）在同一直角坐标系中，函数y ax a =-（a ≠0）与a y x
=（a ≠0）的图象可能是（ ）
（10）一次函数
b kx y +=的图象如图所示，当y ＜0时
,x 的取值范围是 （ ）
（A ）x ＜0． （B ）x ＞0． （C ）x ＜2． （D ）x ＞2．
（11）如图，函数()20y x x =>、()60y x x
=>的图象将第一象限分成了A 、B 、C 三个部分． 下列各点中，在B 部分的是 （ ）
（A ）（1，1）． （B ）（2，4）． （C ）（3，1）． （D ）（4，3）．
（13）如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀
速运动，那么△ABP 的面积y 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是 （ ）
（6）函数y ＝k （x －1)的图象向左平移一个单位后与反比例函数y ＝
2x 的图象的交点为A 、B ，若点A 坐标为（1，2)，则点B 的坐标为 ．
（7）如图，直线1y x =+与直线y mx n =+相交于点P （a ，2），
则关于x 的不等式1x +≥mx n +的解集为 ．
（8）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…
和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1（1，1)，B 2（3，2)，则B 3的坐标是 ．
（10）如图，双曲线y 1＝ k 1 x
与直线y 2＝k 2x ＋b 的一个交点的横坐标为2． 当x ＝3时，y 1 y 2（填“＞”、“＝”或“＜”)．
3．点(1)P a ，在反比例函数k y x =的图象上，它关于y 轴的对称点在一次函数42+=x y 的图象上，求此反比例函数的解析式．
4．一辆汽车在行驶过程中，路程 y （千米）与时间 x （小时）之间的函数图象如图所示．当0≤x ≤1时，y 关于x 的函数关系式为 y = 60 x ，求1≤x ≤2时，y 关于x 的函数关系式．
(第1（13）题)
（第4题） （第5题） （第6题）
5．A 、B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象如图所示．
（1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．
（2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车速度．
6．如图,正比例函数x k y 1=的图象与反比例函数x
k y 2=（x >0)的图象交于点M （a ,1），MN ⊥x 轴于点N .当△OMN 的面积等于2时，求这两个函数的解析式.
8．两个完全相同的矩形ABCD 和矩形AOEF 按如图所示的方式摆放，使点A 、D 均在y 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点E 在x 轴的正半轴上，点F 在函数)0(>=x x
k y 的图象上．AB ＝1，AD ＝4．
（1）求k 的值．
（2）将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°得到矩形A BC D '''，边A D ''交函数
)0(>=
x x k y 的图象于点M ，求M D '的长．。