求数列的通项公式(例题+习题)

三.数列的通项的求法
1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，
2
55a S =．求数列{}n a 的通项公式.
2.公式法：已知n S （即12()n
a a a f n +++= ）
求n a ，用作差法：{
11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21
1
n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若
能合写时一定要合并．
练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ； ②数列{}n a 满足111
5
4,3n n n a S S a ++=+=
，求n a ； 3.作商法：已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(
1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2
321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ；
4.累加法： 若1()n n a a f n +-=
求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+11
，求n a 。

解：由条件知：1
1
1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n
如已知数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n ++=
--11
1(2)n ≥，则n a =________ ； 5.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121
n n n n n a a a
a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n
n a n n
a 11+=
+，求n a 。

解：由条件知1
1+=+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得
)1(-n 个等式累乘之，即
如已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2
=，求n a
数列通项公式课后练习
1已知数列
{}n a 中，满足a 1＝６，a 1+n +1=2(a n +1) （n ∈N +）求数列{}n a 的通项公式。

2已知数列{}n a 中，a n ＞0,且a 1＝３，1+n a ＝n a ＋１ （n ∈N +）
3已知数列
{}n a 中，a 1＝３，a 1+n ＝2
1a n ＋１（n ∈N +）求数列{}n a 的通项公式
4已知数列{}n a 中，a 1＝１，a 1+n ＝3a n ＋２，求数列{}n a 的通项公式
5已知数列
{}n a 中，a n ≠０，a 1＝21，a 1+n ＝
n
n
a a 21+ （n ∈N +） 求a n
6设数列{}n a 满足a 1=4，a 2=2，a 3=1 若数列{}n n a a -+1成等差数列，求a n。