10版 第二章复习和例题综合

第二章
复 习
一、动量定理（原理） 1、概念：动量 p 、冲量 I (矢量) 2、动量定理： 牛顿第二定律的积分形式之一： I =ot Fdt = P - Po = mv - mvo 3、应用 (1) 已知 F(t)，求 v(t) 或 r(t)，即运动方程 (2)已知运动方程 r(t) ，求 力 F 或 冲量 I
2-13 二质点的质量各为 m1 、m2，当它们之 间的距离由 a 缩短到 b 时，万有引力所做的 功为 ________________。
2-13 二质点的质量各为 m1 、m2，当它们之 间的距离由 a 缩短到 b 时，万有引力所做的 功为 ________________。 解：A保 = - ( Ep末 - Ep初 )
v A v B
动量守恒：mB vo = ( mA + mB ) v 机械能守恒： mBvo2/2=( mA+ mB )v2/2+kx2/2 x =[ mA /( mA+ mB )]1/2 xo < xo
v A v B
2-16一质量为m的质点A在倾角为的光滑斜
面上，一端与劲度系数为k的轻弹簧相连，
A B xo
A
B
vo
A
B
v A
v B
动量守恒：mB vo = ( mA + mB ) v
v A
v B
动量守恒：mB vo = ( mA + mB ) v 机械能守恒： mBvo2/2=( mA+ mB )v2/2+kx2/2
v A v B
动量守恒：mB vo = ( mA + mB ) v 机械能守恒： mBvo2/2=( mA+ mB )v2/2+kx2/2 x =[ mA /( mA+ mB )]1/2 xo
(2) p2 =m2v2 =2m1v10 /(1+ m1/m2 ) 当 m1/m2 <<1 时，p2max = 2m1v10。
(3) Ek2 = m2v2 2/2 = 2m2m12 v102/(m1+ m2) dEk2/dm2 = 0 m2 = m1 Ek2max = m1v10 2/2
或 从 m1 v102/2= m1 v12/2 + m2 v22/2 (2) Ek2 最大，要求 m1 v12/2 = 0 v1 = 0 由 (3)式，即 v1 = (m1 - m2)v10 / (m1 + m2) = 0 得 m2 = m1
五、四个守恒定律
1、动量守恒定律
（系统所受到的合外力为0）
2、角动量守恒定律
（外力对某给定点的力矩为0，则物体相对该点的角动量 守恒）
3、机械能守恒定律
一个系统内只有保守力作功，其他内力和一切外力 都不作功，或者它们的总功为零 Ae＋Aid＝ ΔE＝0
4、能量守恒定律
孤立系统，不与其他系统发生能量交换
三、基本概念 1、保守力与非保守力、势能、机械能 保守力： O F· dr = 0 重力势能： EP = mgh
注意零势能位置 弹性势能： EP = kx2/2 引力势能： EP = – (Gm1m2 /r)
成对保守内力的功等于系统势能的减少（增量 的负值） Ac＝－ ΔEp
机械能： E = EK + EP
2-15 物体 A和 B，质量分别为 mA与mB ，用 一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑 水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离 ，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？
挡板 A 挡板 B xo
A
B
2-15 物体 A和 B，质量分别为 mA与mB ，用 一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑 水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩 mB 的速度为 vo。
弹簧的另一端固定在斜面顶端。在平衡位置 处质点的初动能为EK0。以弹簧原长时质点的 位置为坐标原点，沿斜面向下为X轴正方向。 求
（1）A处于平衡位置的坐标。 （2）A在弹簧伸长x时的动能表达式。
4、 mgsin kx0
mg sin x0 k
原长 平衡位置
若以o为重力势能和弹性 势能的零势能
挡板 A 挡板 B xo
A
挡板 A
B
vo B
2-15 物体 A和 B，质量分别为 mA与mB ，用 一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑 水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离 ，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？ 解：弹簧恢复到原长时， mB 的速度为 vo。 机械能守恒： mBvo2/2 = kxo2/2
解： ( T Mg )Δ t = M v 0 ( T mg )Δ t = mv ( mv 0 ) v 0 = 2gh M m v = mv 0 g t Δ M+m M +m
m M T
M
h T
v0
m
v
Mg
mg
v
2-12 若质量为 m1 以速率 v10 运动的物体A与 质量为 m2 的静止物体 B 发生对心完全弹性 碰撞，如何选择 m2 的大小，使得 m2 在碰撞 后具有 ( 1 ) 最大速率，( 2 ) 最大动量，( 3 ) 最大动能。 解：动量守恒：m1 v10 = m1 v1 + m2 v2 (1) 动能守恒：m1 v102/2= m1 v12/2 + m2 v22/2 (2) (1) v2 =2v10 /(1+ m2/m1) 当 m2/m1 <<1 时，v2max = 2v10 , v1 = (m1 - m2)v10 / (m1 + m2) (3)
o
x0
x
x
1 2 W平衡 kx 0 E k 0 mgx 0 sin 2 1 2 Wx kx Ek mgx sin 2 1 2 Ek Ek 0 k ( x0 x 2 ) mg sin ( x x0 ) 2
2、角动量(动量矩) 3、碰撞：完全弹性（e＝1）、非弹性（0<e<1） 、完全非弹性（e＝0） 四 、对某系统的相关定理 1、动能定理 A.质点的动能定理：合外力对物体作的功等于物 体动能的增量 B.质点系的动能定理（系统的外力和内力作功的总和等
于系统动能的增量 Ae＋Ai＝ΔEk）
2、功能原理 系统机械能的增量等于外力的功与非保守内力的 功的总和 Ae＋Aid＝ΔE
3
求:平均冲力。 N xΔ t = mv sinα mv sin α ( N y mg )Δ t = mv cos α ( mv cosα ) Nx = 0 N y = 2mv cosα + mg Δt =0.2 +0.02 ( N ) =0.22 ( N ) Ny N Nx
mg
v
Y
v X
α α
[ 2-7 ] 已知 M，m，h，绳子拉紧瞬间绳 子与m ,M 之间的相互作用时间为Δ t 。 求：绳子拉紧后，M 与 m 的共同速率
Fx Fy 此时切向方向为 i ,法向方向为 j 所以 t = 1 s 时 质点受到 的法向力 Fn = Fy j = – 24t2 j| t =1 = – 24 j (N)
x
x
[ 2-6 ] 一小球与地面碰撞 m = 2 ×1 0 kg 0 -1 , . α = 60 v = v = 5.0m s 碰撞时间 t = 0.05s
二、动能定理 1、概念：功 A 、动能 Ek 功 A＝ F · dr 2、动能定理 A = Ek2 - Ek1 积分形式： F(r) dr = mvB 2/2 - mvA2/2 微分形式：F(r) dr = mvdv N ＝F • dr/dt ＝ F• v = dE/dt 3、应用 (1) 已知 F(r)，求 v(r) 或 运动方程 (2) 已知运动方程 r(t) ，求 力 F 或 功 A
2-13 二质点的质量各为 m1 、m2，当它们之 间的距离由 a 缩短到 b 时，万有引力所做的 功为 Gm1m2( 1/b - 1/a )。 解：A保 = - ( Ep末 - Ep初 ) = - ( - Gm1m2/b + Gm1m2/a ) = Gm1m2( 1/b - 1/a )
2-14卫星和地球的质量各为 m 、M，若将卫星从 距地面 h 的低轨道调整到距地面 H 的高轨道，万 有引力所做的功为多少？火箭推力作功为多少？ （地球半径为 R）。 解：A万有引力 = – ( Ep2 – Ep1 ) = – [– GmM / (H+R) + GmM / (h+R)] = GmM [ 1 / (H+R) – 1 / (h+R) ]
2-13 二质点的质量各为 m1 、m2，当它们之 间的距离由 a 缩短到 b 时，万有引力所做的 功为 ________________。 解：A保 = - ( Ep末 - Ep初 ) = - ( - Gm1m2/b + Gm1m2/a )
2-13 二质点的质量各为 m1 、m2，当它们之 间的距离由 a 缩短到 b 时，万有引力所做的 功为 ________________。 解：A保 = - ( Ep末 - Ep初 ) = - ( - Gm1m2/b + Gm1m2/a ) = Gm1m2( 1/b - 1/a )
2 /2 = GmM / 2(h+R) E = mv 1 GmM / r2 = mv2 / r k1 Ek2 = mv22 /2 = GmM / 2(H+R) 对卫星，由动能定理：A推力 + A万有引力 = Ek2 – Ek1 对卫星和地球系统，由功能原理：根据以上两个式子均 可算出火箭推力的作 A推力 = （Ek2 + Ep2）– （Ek1 + Ep1） 功
2-5 一质量为 2 kg的质点，在 xy 平面上运动，受 到外力F = 4 i –24t2 j ( SI )的作用，t = 0 时，它的 初速度为 vo = 3 i +4 j (m/s)，求 t = 1s时质点受 到的法向力 Fn 的大小和方向。 解：质点质量 m = 2kg，设 t = 1s时，速度为 v 动量定理：mv – mvo=o1Fdt = o1 (4 i – 24t2 j)dt v = o1 (2 i – 12t 2 j) dt + vo y = 2t |01 i – 4t3 |01 j + 3 i +4 j v vo = 5 i m/s F