16.2同类二次根式
16.2.2二次根式的除法(教案)
在今天的课堂中，我们探讨了二次根式的除法，这是一个对学生来说相对新颖且具有一定难度的概念。我注意到，在引入新课时，通过联系日常生活的问题，学生的兴趣被成功激发，他们对接下来的学习内容充满了好奇心。
在理论介绍环节，我发现学生们对于被开方数相除的概念接受得比较快，但当我引入带分数的二次根式除法时，一些学生开始表现出困惑。我及时放慢了讲解速度，通过详细的步骤分解和例题演示，帮助学生逐步理解了这个难点。我认为，在未来的课程中，我需要准备更多的类似例题，让学生有更多的练习机会，以便更好地掌握这个知识点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式除法的基本概念。二次根式除法是指将两个含有二次根式的数相除，其基本法则是两个二次根式相除等于它们的被开方数相除。这个概念在数学运算和实际问题中都有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算√36 / √4，通过二次根式除法的法则，我们可以简化这个计算过程，得到3。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算一个数是另一个数的平方根的几倍的情况？”（例如，计算一个正方形的边长是另一个正方形边长的平方根的两倍）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式除法的奥秘。
同类二根式举例
同类二根式举例
（原创版）
目录
1.引言
2.同类二根式的定义和性质
3.同类二根式的举例
4.同类二根式在数学中的应用
5.结论
正文
【引言】
在数学中，同类二次根式是指具有相同根式因数的二次根式。
在解决一些数学问题时，我们常常会遇到同类二次根式，了解它们的性质和运算规则对我们解决这类问题有很大的帮助。
本文将对同类二次根式进行详细介绍，并通过举例来加深理解。
【同类二根式的定义和性质】
同类二次根式的定义：如果两个二次根式的根式因数相同，则这两个二次根式称为同类二次根式。
同类二次根式的性质：
1.同类二次根式的指数相同；
2.同类二次根式的根式因数相同；
3.同类二次根式可以进行加减运算。
【同类二根式的举例】
举例 1：计算√3 + √6
由于√3 和√6 的根式因数都是√3，所以它们是同类二次根式。
我们可以将它们的被开方数相加，再开平方，得到结果为√(3+6) = √9 = 3。
举例 2：计算√2ab + √6ab
由于√2ab 和√6ab 的根式因数都是√ab，所以它们是同类二次根式。
我们可以将它们的被开方数相加，再开平方，得到结果为√(2ab+6ab) = √8ab = 2√2ab。
【同类二根式在数学中的应用】
在代数运算、几何中计算面积、体积等问题时，我们常常会遇到同类二次根式。
了解同类二次根式的性质和运算规则，可以帮助我们更快地解决问题。
【结论】
同类二次根式在数学中有着广泛的应用，了解它们的性质和运算规则对我们解决数学问题有很大的帮助。
16.2二次根式的乘除(教案)-初中八年级下册数学同步教学(人教版)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式乘除的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
16.2二次根式的乘除（教案）-初中八年级下册数学同步教学（人教版）
一、教学内容
本节课选自初中八年级下册数学人教版第十六章《二次根式》第二节《二次根式的乘除》。教学内容主要包括以下两部分：
1.掌握二次根式的乘法法则：am·bm=(ab)m（a≥0，b≥0），并能够熟练运用该法则进行二次根式的乘法运算。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的乘除》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两个平方根的乘积或商的情况？”（例如：计算一块边长为√2的正方形地毯的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式乘除的奥秘。
3.数学运算：使学生能够熟练运用二次根式的乘除法则，提高数学运算速度和准确性。
4.数学建模：通过实际问题的引入，引导学生运用二次根式乘除法则建立数学模型，增强数学应用意识。
5.跨学科融合：将二次根式的乘除与其他学科知识相结合，培养学生的跨学科思维和综合运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：二次根式乘法法则。即am·bm=(ab)m（a≥0，b≥0）。
-举例：计算√2·√3，学生需理解并运用乘法法则得到结果√6。
人教版八年级下册16.2《二次根式的乘除》教案
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）
b.掌握二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）
五、教学反思
在今天的教学中，我们探讨了二次根式的乘除运算。通过这节课的学习，我发现学生们在理解乘除法则和应用这些法则解决实际问题时，普遍存在一些挑战。首先，学生们在从理论到实际应用的转换上存在一定的难度。他们能够理解乘法法则和除法法则的概念，但在将法则应用到具体题目中时，往往不知道如何下手。
例如，在计算$\sqrt{12} \times \sqrt{18}$时，部分学生未能首先将根式化简，而是直接相乘，导致计算错误。这让我意识到，在讲解乘除法则时，需要更加强调化简的步骤，让学生形成自动化的解题流程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式乘除的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式乘除的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
d.了解二次根式乘除运算在实际问题中的应用。
教学内容涵盖以下例题与练习：
1.计算下列二次根式的乘积：
$\sqrt{3} \times \sqrt{5}$，$2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}$，$5\sqrt{2} \times \sqrt{18}$
16.2二次根式乘除教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式乘除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在上完这节关于二次根式乘除的课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对二次根式乘除的基本概念和运算法则掌握得还不错，他们能够跟随我的讲解，理解乘法和除法的基本步骤。然而，我也注意到在混合运算和有理化简的部分，有些学生表现得有些吃力，这说明这些知识点是他们的薄弱环节。
我意识到，在讲解混合运算时，我应该更多地利用直观的例子，比如通过具体的图形面积计算，来帮助学生理解抽象的运算过程。此外，对于有理化简，我可能需要设计一些更具启发性的问题，引导学生发现化简的规律，而不是仅仅展示解题步骤。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式乘法法则和除法法则这两个重点。对于难点部分，如混合运算和有理化简，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用二次根式计算不同形状的纸张面积。
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确进行二次根式的除法运算。
-例子：\(\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}\)
-结论：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（其中\(b \neq 0\)）
同类二次根式概念
同类二次根式概念二次根式是数学中的一种特殊形式的根式，其以平方数作为根式的被开方数。
例如，√4、√9等都是二次根式。
在数学学习中，二次根式是一个非常重要的知识点，而同类二次根式则是其中的一个重要概念。
什么是同类二次根式？同类二次根式指的是被开方数相同的二次根式。
例如，√2和√8就是同类二次根式，因为它们的被开方数都是2。
同样地，√5和√20也是同类二次根式，因为它们的被开方数都是5。
同类二次根式的性质同类二次根式有一些特殊的性质，这些性质在数学中的运用非常广泛。
1. 同类二次根式可以相加或相减同类二次根式可以进行加减运算，只需要将它们的系数相加或相减即可。
例如：√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2√5 - √20 = √5 - 2√5 = -√52. 同类二次根式可以进行乘法运算同类二次根式可以进行乘法运算，只需要将它们的系数相乘，被开方数相同的部分不变。
例如：√2 × √8 = 2√2√5 × √20 = 2√53. 同类二次根式可以进行约分同类二次根式可以进行约分，只需要将它们的系数约分即可。
例如：2√2 + 4√2 = 6√24√5 - 2√5 = 2√54. 同类二次根式可以进行比较大小同类二次根式可以进行大小比较，只需要比较它们的系数大小即可。
例如：√2 < √8√5 < √20同类二次根式的应用同类二次根式的应用非常广泛，尤其是在代数式的计算和化简中。
例如，在化简代数式时，我们可以将同类二次根式进行合并，从而简化计算。
例如：4√2 + 2√2 = 6√23√5 - √20 = √5同类二次根式还可以应用在几何中，例如计算三角形的边长和面积等。
在三角形中，如果两条边的长度都为同类二次根式，那么第三条边的长度也可以通过同类二次根式进行计算。
总结同类二次根式是数学中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。
在学习数学时，我们需要掌握同类二次根式的定义、性质和应用，从而更好地应用它们解决实际问题。
_沪教版(上海)八年级数学 知识点梳理(最新最全)
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0)).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a---= , = ； △=24b ac -≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数18.4函数的表示法1．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达------解析法2．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示------图像法3．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示------列表法第十九章 几何证明19.1 命题和证明1．我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2．能界定某个对象含义的句子叫做定义3．判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4．数学命题通常由题设、结论两部分组成5．命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后是结论19.2 证明举例1．平行的判定，全等三角形的判定19.3 逆命题和逆定理1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理19.4线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
16.2最简二次根式和同类二次根式
例3. 下列二次根式中，哪些是同 类二次根式?
12, a ,
4
24 , 2 ab
3 3
1 27
a 0 ,
ab
a 0
例4.合并下列各式中的同类二次根 式:
1 1 1 2 2 3 2 3 2 3
2
3 xy a xy b xy
作业
• • • • • • • • • 《练习册》习题16.2(1) 《上海作业》16.2最简二次根式 ？ 《练习册》习题16.2(2) 《上海作业》16.2同类二次根式 ？ ？ ？ ？
第十六章 二次根式
§16.2 最简二次根式和同类二次根式
（1） （2）
a
a (a 0) a a a (a 0)
2
2
a (a 0)
（3） ab a b (a 0, b 0)
a a (a 0, b 0) （4） b b
化简下列二次根式:
1 3
5
98 72
a
3
2 4 6
5 42 7 18 1 3 a
最简二次根式
当二次根式中的被开放数同时满足：
1）素因数分解后的因式的指数都是1； 2）不含分母——即为整数或整式.
此时的二次根式称为最简二次根式.
例1.下列根式是否为最简二次根式?
1
3
15
1 3 5
拓展练习
1.把下列二次根式化为最简二次根式：
4
25m 50m
3
2
拓展练习
2.下列结论是否正确？如果不正确，请举反例：
(1)如果 a 和 b 不是同类二次根式， a 那么 . b (2)如果 a b , 那么 a 和 b 不是同 类二次根式.
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\x y\yz
D历与厂
\xy
3、将下列各组根式先化成最简
次根式，再判断它们是否是同
类一次根式：
（1）＜|与747
⑵J与JC(a O,bO)
、cVa
…、区匕rt~,c、
(3)忖与#3s(s 0)
1 ,'m n —'m n
(4)“与2((m n 0)
3\m nYm n
教学内容
教学过程
教后记
4、合并下列各式中的同类二次 根式：
教后记
新课探索一
1.学生观察，所化得的最简二次根
观察思考
式的共同特点
一次根式 圾、32、、2、、：50、J18
2.师：这些二次根式我们称为同类
\2\50\18
一次根式，请说出什么叫同类一次
化成最简次根式，所得结果有
根式？
什么相同之处？
3.生：都是最简一次根式、被开方
数相同
新课探索二
注意隐含条
例题1下列一次根式中，哪些
8第(2)题只要化成最简二次根 式后，就能判断能否加减
1.利用加法交换律，边画线边心算 合并，写答案，
合并同类一次根式的规律就是系数 相加减
请同学笔记本上书写
注意先判断是 否为同类二次 根式，再合并 其系数.
注意系数
不能是带分数
和小数
教学内容
教学过程
教后记
课内练习一
学生思考后
1、下列各组一次根式中，属冋
1.师：被开方数都不同，所以都不
件，加深概念
是同类一次根式？
是同类一次根式，对吗？
的理解.
亦24話
2.生：判断之前我们必须先化简
晶4b,2Ja3b(a0),^'ab3(a0)
3.聪明。
请学生化简后再判断。
教学内容
教学过程
教后记
新课探索三
试一试 计算：
(1)2血3屉;
⑵屁V27
新课探索四
例题2合并下列各式中的同类
单一次根式：
式？
\2
(1)-(2宀
\32
(3)^05;(4K.；abr(b0);
⑸Ja2b2
课前练习二
口答前五个一次根式的化
2、把下列各二次根式化为最简而
简，后三个请同学在笔记本上完
次根式：
成
厉極；匸巨L、‘\'2；\'50；牯
2荷b(a0);a2、：b(a0)
Lj9ab3(b0)
3
教学内容
教学过程
5
教学内容
教学过程
教后记
拓展练习
题目条件看清
i、如果最简一次根式m nJ2n与
注意冋类一次根式除了被开方数相
U3m n是冋类一次根式，那么
m,n的值为（）
A13
A m—n—
2, 2
同之外，根指数也要相同
Bm 0,n2
会将根号内化成完全平方，注
c13亠
意性质的运用
Cm一n—或m0,n 2
2, 2
Dm2,n0
2、若-1x 7，化简
Vx214x 49y'x22x 1
请说出你选择的理由
类一次根式的是（）
A2^3与活考后
dv'4a与花a
你的化简结果及答案
2、在胡6至、岳中，与V2
2
是同类二次根式的是。
课内练习二
3、判断下列各组中的二次根式
学生动笔尝试后，回答，并提醒
注意格式
是不是同类一次根式：
⑴癒丽,2｛右
(2)44XX3,2^2XJ8XX2；
过程与方法
情感态度 与价值观
教材
分析
教学重点
同类一次根式的概念，合并同类一次根式的方法.
教学难点
合并同类一次根式的方法.
相关链接
化简一次根式、最简一次根式、合并同类项、一次根式 的运算.
教学内容
教学过程
教后记
课前练习一
1、找出下列一次根式中的非最简
学生尝试并化简后，
一次根式，并把它们化简成最简
请学生回忆什么叫最简二次根
(1)—v'5--J5[j5?J5
45210
(2)(3Jm2£n) (5Vm丄亦)
366
5、一次根式<8化简后为2<2, 即弱2盪；一次根式器化简后 为2渥，即J82<2。
3\93
(1)请举出一些二次根式，经 过化简后可表示成a迈(其中a是有理整数)的形式。
(2)设计两个二次根式，经过 化间后口」表示为a引2(其中a是 有理数)的形式，且它们合并后 的结果为3J2。
二次根式：
(1)2后比U2爲;
23
(2)3^Xy ajxybjxy
1.请同学尝试第(1)小题，再让 学生说说是怎么想得。
2.师：你觉得同类一次根式的加法 和我们所学过的哪个知识很相像
3.生答：合并同类项；
4.师：法则？
5.生答：字母和指数不变，系数相 加减。
6.师：那么同类一次根式的加法 呢？
7.生答：被开方数和根指数不变， 系数相加减。
初中数学电子教案
年级
课题
日期
八年级(上)
16.2(2)同类二次根式
2008.9
教学
目标
知识与技能
理解同类一次根式的概念和意义，能判断同类一次根式，并 能合并同类二次根式.
经历观察、推理、类比、交流等数学活动过程，学会用二次 根式的性质解决问题，总结合并同类一次根式的方法.
通过对合并同类一次根式方法的探讨，培养学生类比、 知识迁移的能力.
(3)煤,J3a2x3(a0),托(y0)
教学内容
教学过程
教后记
课内练习三
4、合并下列各式中的同类二次 根式：
(1)3^5—4J5;
2
1
(2)24jb 6ja—Jb
2
本课小结
1、同类一次根式：
几个二次根式化成最简二次根 式后，如果被开方数相同，那么 这几个二次根式叫做同类二次 根式。
2、合并同类一次根式：
合并同类一次根式，类似于合并 同类项。
学生动笔尝试，三项及以上合并，
可以按提取公因式法书写
计算仔细
本节课我们学习了哪些知识点？
教学内容
教学过程
教后记
布置作业
1、n取4,6,8,12,16,18
中的数时，命和拒是同类
一次根式。
2、下列各组一次根式中，不是
同类一次根式的组是（）
A与Jxy2
[Xf
B护45x3y2