65圆的切线判定与性质习题课
初三数学《圆的切线的性质和判定》课时练习(附答案)
《圆的切线的性质和判定》课时练习(附答案）【回顾与思考】现实情境⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩圆的切线的性质--三角形内切圆应用:d=r圆的切线的判定判定定理圆的切线性质与判定综合应用【经典例题】关于三角形内切圆的问题例1。
如图,点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BＡC=8０°,则∠BOC=( )A.130°B．1００°Ｃ.50°D．65°【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．圆的切线性质的应用例2.已知:如图，ＡB是⊙Ｏ的直径,ＰA是⊙O的切线，过点Ｂ•作BC•∥ＯP交⊙Ｏ于点Ｃ,连结ＡC.(1)求证:△ＡＢC∽△PＯA;（2）若ＡＢ=２，PA=2,求BC的长.(结果保留根号)圆的切线的判定例3。
已知:如图，AB是⊙Ｏ的直径，P是⊙O外一点，PＡ⊥AB，•弦BC∥OP，请判断ＰC是否为⊙O的切线，说明理由.【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目.解决问题的关键是一条常用辅助线，即连结OC．【考点精练】一、基础训练1．已知⊙Ｏ的半径为8cm,如一条直线和圆心O的距离为8cｍ,那么这条直线和这个圆的位置关系是（)Ａ.相离 B.相切 C.相交D．相交或相离2．如图1，AB与⊙Ｏ切于点B,AＯ=6cｍ，AB＝4cm,则⊙O的半径为（)A.45cmB.２5cm C．213ｃm D．13m（1) (2）（３) 3.如图2，已知∠AOB＝30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心，•2cｍ•为半径作⊙M,•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．4．已知：如图3，AB为⊙O直径,BＣ交⊙O于点Ｄ,DＥ⊥AC于E，要使ＤE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______(只需填一个条件）．5.如图4，AB为半圆O的直径,CＢ是半圆O的切线,B是切点,AC•交半圆Ｏ于点D,已知ＣＤ=1，AD=3,那么ｃoｓ∠CＡＢ＝____＿___．(４）（5) ６．如图５，BＣ为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点Ｄ作⊙Ｏ•的切线ＡD，BA⊥DＡ于A，ＢA交半圆于E，已知BC=10,ＡD=4,那么直线ＣE与以点Ｏ为圆心，52为半径的圆的位置关系是___＿____.７.如图，⊙Ｏ的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动.当⊙O移动到与ＡC边相切时,OＡ的长为多少？8.如图，⊙Ｏ是△AＢC的内切圆，Ｄ、Ｅ、F分别是切点，判定△DＥF的形状(按角分类)，并说明理由.二、能力提升:9．如图,直线AB切⊙O于点A,点C、D在⊙O上．试探求：(1)当AＤ为⊙O的直径时,如图①，∠D与∠CＡB的大小关系如何?•并说明理由．(2)当AD不为⊙Ｏ的直径时，如图②，∠D与∠ＣAB的大小关系同②一样吗?•为什么？①②10.如图,⊙O的直径ＡB=6cm,D为⊙O上一点，∠BAD=３0°，过点Ｄ的切线交AB•的延长线于点C.求:(1）∠ADＣ的度数；（2)AＣ的长.11.在图1和图２中，已知OA＝OB,ＡB=24,⊙O的直径为1０.(１)如图１,ＡB与⊙Ｏ相切于点C，试求OA的值；（2）如图２，若ＡB与⊙O相交于D、Ｅ两点,且D、E均为AB的三等分点,试求taｎA 的值.１2.如图,在△ABＣ中，∠C=90°,以BＣ上一点O为圆心,以ＯB为半径的圆交AB•于点Ｍ,交ＢC于点Ｎ．（1）求证:BA·ＢM＝BC·BN;(2）如果ＣＭ是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC＝3时,求ＡＢ的值．１3．已知:如图,△AＢC内接于⊙O,点Ｄ在OC的延长线上,siｎＢ=12，∠ＣＡD=３0°．(1)求证：AD是⊙O的切线;（２)若OＤ⊥AB，BＣ=５，求ＡD的长.三、应用与探究：14.已知在Rｔ△ABC中,∠C=９0°，ＡＤ是∠BAC的角平分线，以AB上一点Ｏ为圆心,A Ｄ为弦作⊙O．（1)在图中作出⊙O;（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证:ＢC为⊙O的切线;(3)若AＣ=3，ｔaｎＢ=34,求⊙Ｏ的半径长.15.（2014•德州,第22题１0分）如图,⊙O的直径ＡB为10cm,弦ＢC为5ｃm,Ｄ、Ｅ分别是∠AＣＢ的平分线与⊙Ｏ，AＢ的交点，P为AＢ延长线上一点,且PＣ=PＥ.(1）求AC、AD的长；（２）试判断直线ＰＣ与⊙O的位置关系,并说明理由．16．（２01４•菏泽，第１８题１０分）如图,ＡＢ是⊙O的直径，点C在⊙Ｏ上,连接BC,AC,作ＯD∥BC与过点Ａ的切线交于点D，连接DＣ并延长交ＡB的延长线于点Ｅ.(1）求证：DＥ是⊙Ｏ的切线;（2）若＝，求ｃoｓ∠AＢC的值．参考答案：例题经典例1：Ａ例2：(1)略（２）ＢC=233例3:略考点精练1．B 2．B 3．4 4．∠B＝∠C 36.相离238．△DEF•是锐角三角形.连结OD、ＯＥ、ＯF．综合应用圆的切线性质,四边形内角和定理和圆周角定理．可以证得∠ＤＥF=9０°-12∠A,∠ＤFＥ=９0°-12∠B，∠ＥＤF=90°-12∠C．△DＥF的三个内角都是锐角9.（1）∠D=∠CＡＢ，理由（略) （2)∠Ｄ=∠CＡB 作直径ＡE、连结CE 由(1）可知：•∠Ｅ＝∠ＣAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CＡB1０．（１)∠ADＣ的度数为1２0°（2）９cm１1．(1)解:连结ＯC ，∵ＡＢ与⊙O 相切于C 点，∴∠O ＣA ＝9０°,∵O Ａ=OB,∴ＡC ＝B Ｃ=12 在Rt•△ACO 中,OA ＝2222125AC OC +=+=13(2）作OF ⊥A Ｂ于点Ｆ点，连结ＯD ，∴DF=EF ；AF=AD+DF=8+４=12,在Rt•△OD Ｆ中,O Ｆ=222254OD DF -=-=3，在Rt △ＡＯF 中，tanA=31124OF AF == １2.(1）证明:连接ＭN 则∠BMN=90°＝∠ACB ，•∴△ACB ∽△ＮMB ，∴BC AB BM BN=，∴A Ｂ·BM ＝B Ｃ·BN(2)解：连接ＯM,则∠O ＭＣ=90°，∵Ｎ为OC•中点，•∴M Ｎ=ON ＝OM ，∴∠ＭＯN=６０°,∵OM ＝OB ，∴∠B=12∠M ＯN ＝３0°.∵∠A ＣB=90°,∴AB=２AC=2×3＝6 １3.(１)证明：如图，连结OA,因为ｓｉｎB=12,所以∠Ｂ=3０°，故∠O ＝６0°,又OA=OC ，•所以△ACO 是等边三角形,故∠OAC=60°,因为∠ＣA Ｄ=30°,所以∠OAD=9０°,所以AD•是⊙O 的切线（2)解:因为O Ｄ⊥AB,所以OC 垂直平分AB ，则AC=BC=5,所以OA=５,•在△ＯＡD 中,∠OA Ｄ=９0°,由正切定义，有ｔan ∠A ＯD=AD OA ,所以A Ｄ=５3 １4.15．解：(１）①如图，连接BD,∵AＢ是直径,∴∠ＡCＢ=∠AＤB=９０°,在RＴ△ABC中, AＣ==＝８，②∵CD平分∠ＡＣＢ,∴AＤ=BD,∴Rt△ABD是直角等腰三角形,∴AＤ=AB＝×1０=5cm;（2)直线ＰC与⊙O相切，理由:连接OC,∵ＯC=ＯA,∴∠CＡO=∠OCＡ,∵PＣ＝ＰE,∴∠P ＣE=∠PEC，∵∠PEC=∠ＣＡＥ＋∠ACE，∵CD平分∠ＡCＢ,∴∠ＡCE=∠ECB，∴∠PCB ＝∠ACO,∵∠ACB=90°，∴∠OCＰ=∠OCＢ+∠PCB=∠AＣO+∠ＯCB=∠ＡCB=９０°,OＣ⊥PC,∴直线ＰC与⊙O相切．１6.（1)证明：如图，连接O C.∵ＡＤ是过点Ａ的切线，AＢ是⊙O的直径，∴AD⊥ＡB，∴∠DＡB=90°.∵OD∥BC，∴∠1=∠２，∠3=∠４.∵OC=OB,∴∠２=∠４．∴∠1=∠３．在△COD和△ＡＯD中,,∴△ＣOD≌△ＡOＤ(SAS)∴∠OCＤ=∠ＤAB=9０°,即OC⊥DＥ于点C.∵OC是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;（2）解:由=，可设CＥ=2k(k＞0),则DE=3k，∴ＡD=DC＝ｋ.∴在Rt△DAE中,AＥ=＝2k．∴tanE=＝.∵在Rt△OCE中,ｔaｎE==.∴=，∴OC=OA=.∴在Rt△AOD中，OD=＝k，∴cos∠ＡＢC=cｏs∠AＯＤ= =.。
圆的切线判定和性质(教案)
圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线定义和判定1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念，讲解切线的定义和特点展示圆的切线示意图，让学生理解切线与圆的关系1.2 圆的切线判定条件讲解圆的切线的判定条件通过示例和练习，让学生掌握如何判断一条直线是否为圆的切线第二章：圆的切线性质2.1 圆的切线性质介绍圆的切线的性质，如切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等展示切线性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质2.2 圆的切线定理讲解圆的切线定理，如切线定理、切线长定理等通过示例和练习，让学生掌握切线定理的应用和证明方法第三章：圆的切线方程3.1 圆的切线方程的定义和特点讲解圆的切线方程的定义和特点展示切线方程的示意图，让学生理解切线方程的形式和含义3.2 圆的切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程通过示例和练习，让学生掌握求解切线方程的方法和技巧第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 圆的切线与圆相切讲解圆的切线与圆相切的情况和特点展示切线与圆相切的示意图，让学生理解切线与圆的切点、切线与半径的关系4.2 圆的切线与圆相离讲解圆的切线与圆相离的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与圆的位置关系第五章：圆的切线应用5.1 圆的切线与圆的切点应用讲解如何利用切点性质解决问题，如求解切线长度、切线与半径的关系等通过示例和练习，让学生掌握切点性质的应用方法5.2 圆的切线与圆的方程应用讲解如何利用切线方程解决问题，如求解切线方程、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线方程的应用方法第六章：圆的切线与圆的交点应用6.1 圆的切线与圆的交点性质讲解圆的切线与圆的交点的性质，如切线与圆的交点与圆心连线垂直、交点到圆心的距离等于半径等展示切线与圆的交点性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质6.2 圆的切线与圆的交点应用讲解如何利用切线与圆的交点解决问题，如求解交点坐标、判断交点与圆的关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的交点的应用方法第七章：圆的切线与圆的切线应用7.1 圆的切线与圆的切线相交讲解圆的切线与圆的切线相交的情况和特点展示切线与切线相交的示意图，让学生理解切线与切线的交点、切线与半径的关系7.2 圆的切线与圆的切线平行讲解圆的切线与圆的切线平行的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与切线的位置关系第八章：圆的切线与圆的切线综合应用8.1 圆的切线与圆的切线相切讲解圆的切线与圆的切线相切的情况和特点展示切线与切线相切的示意图，让学生理解切线与切线的切点、切线与半径的关系8.2 圆的切线与圆的切线综合应用讲解如何利用切线与切线综合解决问题，如求解切线与切线的交点、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与切线综合的应用方法第九章：圆的切线与圆的应用实例9.1 圆的切线与圆的切割应用实例讲解圆的切线与圆的切割应用实例，如切割线段、切割角度等展示切割应用实例的示意图，让学生理解切割原理和应用9.2 圆的切线与圆的轨迹应用实例讲解圆的切线与圆的轨迹应用实例，如轨迹方程、轨迹图形等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的轨迹的应用方法第十章：圆的切线综合练习10.1 圆的切线综合练习题提供一系列圆的切线综合练习题，让学生巩固所学知识通过解答练习题，让学生提高解题能力和综合运用能力10.2 圆的切线综合练习解答提供练习题的解答和解析，帮助学生理解和掌握解题方法通过练习解答，让学生巩固知识，提高学习效果重点和难点解析一、圆的切线定义和判定（第一章）重点关注内容：圆的切线的定义和特点，以及如何判断一条直线是否为圆的切线。
圆的切线性质与判定的经典题型
圆的切线性质与判定的经典题型总结切线的判定辅助线：圆心与切点的半径证明思路：证平行得垂直分两角，转移为求两角和为 90 °已知一条切线证另一条切线用全等换位思考间接证垂直不忘点到直线距离等于半径证平行得垂直例 11 、如图，在△ ABC 中， AB=AC ，以 A B 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 FE⊥A C 于点 E ，交 A B 的延长线于点 F 。
求证： EF 与⊙ O 相切；分两角，转移为求两角和为90°例 1 2 、已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是⊙ O 的弦， M 为 AB 上一点，过点 M 作 DM⊥AB ，交弦 AC 于点 E ，交⊙ O 于点，且 DC ＝ DE ．求证： DC 是⊙ O 的切线；例 13 、如图，△ABC 中，E 是AC 上一点， ∠CAB=2∠EBC ，AE=AB ，以 AB 为直径的⊙ O 交AC 于点 D ，交 EB 于点 F 。
求证： BC 与⊙ O 相切；证明：已知一条切线证另一条切线用全等例1 4 、如图， C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点，过 O 作 OE ⊥AC 于点 E ，过点 A 作⊙ O 的切线交 OE 的延长线于点 F ，连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P 。
求证： PC 是⊙ O 的切线 .换位思考，间接证垂直例1 5 、 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90 ° ，点 D 是 AC 的中点，且 ∠ A+ ∠CDB=90 ° ，过点 A ， D 作 ⊙ O ，使圆心 O 在 AB 上， ⊙ O 与 AB 交于点 E ．（ 1 ）求证：直线 BD 与 ⊙ O 相切；（ 2 ）若 AD ： AE= ， BC=6 ，求切线 BD 的长．A不忘点到直线距离等于半径例16、已知：如图，△ ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点，⊙ O 与腰 AB 相切于点 D 。
圆的切线的性质和判定-练习题-含答案.doc
D.不能确定的切线的性质与判定副标题 题号 * 总分 得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系： 设。
的半径为厂，圆心。
到直线/的距离为丈 ①直线/和0。
相交②直线 /和。
相切od=r ；③直线/和。
0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。
C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离 【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。
，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。
C 与直线AB 的关系是相交； 故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此 题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。
是MBC 的内切圆，切点为。
、E 、 尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半 径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。
圆的切线性质与判定
例2：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F， （1）求证：DF是⊙O的切线；
证明：连结OD， ∵OB=OD，∴∠ODB=∠B 又∵AB=AC，∴∠C=∠B ∴∠ODB=∠C ∴OD∥AC 又∵DF⊥AC ∴∠DFC=90° ∴∠ODF=∠DFC=90° ∴DF⊥OD ∴DF为⊙O的切线
注意：确定唯一公共点，可证明直线和圆相切
例1：直线l和⊙O的公共点的个数为m，且m满足方程 m2+2m- 3=0, 试判断直线l和⊙ O的位置关系，并 说明理由.
例3．如图，直线y=－ x+4与y轴交于点A，与x轴交于 点B，以点C（ ，0）为圆心，OC的长为半径作⊙C， 证明：AB是⊙C的切线。 M 分析：由于不知AB和⊙C是否有公共点，故考虑过C作CM⊥AB于M，再证CM为⊙C的半径即可
小结一
确定唯一公共点，证切线
无交点，作垂直，证半径
有交点，连半径，证垂直
证明切线的一般方法简单表述为：
小试牛刀
例3：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F，
（2）连结OP ∵AC与⊙O相切于点P，∴OP⊥AC 由（1）可知OD∥AC，且DF⊥AC， 故四边形ODFP为正方形 ∴PF=OD=OB=3 设AC=x，则在Rt△APO中有 AP2+OP2=OA2 即(x－4)2+32=(x－3)2 解得x=8 ∴AC=8
是圆的切线
是圆的切线
是圆的切线
3、圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
专题7圆的切线的判定与性质-重难点题型(举一反三)
专题2.2 圆的切线的判定与性质--重难点题型【知识点1 切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E 且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD ⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB 交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O 的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【题型3 切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是．（填序号）【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，P A和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且P A＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型4 切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD＝CD ＝5，求AC的长．【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上一点，以AD 为直径的⊙O 恰好与BC 相切于点C ，则BD 的长为（ ）A ．1B ．2√33C ．2D ．2√55【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 的切线DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝10，BD ＝8，求DE 的长．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接BC ，F 为BC 的中点，连接FO 并延长交⊙O 于点D ，过点D 的切线与CA 的延长线交于点E ．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若AC ＝OA ＝2，求AE 的长．【题型5 切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．（1）若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；（2）若AC ＝2√3，CE ＝2，求⊙O 半径的长．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，∠ABC ＝15°，切线P A 交OC 延长线于点P ，AP =√3，则⊙O 的半径为（ ）A ．√33B ．√32C ．√3D ．3【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，作OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD ＝8，EF ＝2，求⊙O 的半径．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O 中，AB 为直径，P 为射线AB 上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为点C ，D 为弧AC 上一点，连接BD 、BC 、DC ．（1）如图1，求证：∠D ＝∠PCB ；（2）如图2，若四边形CDBP 为平行四边形，BC ＝5，求⊙O 的半径．【题型6 切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大小．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120°B．60°C．90°或120°D．60°或120°【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．。
圆的切线专题(全)
圆的切线专题训练姓名：例题讲析：如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：BD2=AB•BE．例题2、（2012•温州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E 是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．变式训练：1、如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA.（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）过点A作A D⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积.2、(2012•兰州)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若ta n C＝，DE＝2，求AD的长．（10分）3、如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．（10分）课后作业4 .如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB 的延长线于点E , AD⊥EC 于点D 且交⊙O于点F ，连接BC , CF , AC 。
（1）求证：BC=C F；（2）若AD=6 , DE=8 ，求BE 的长；（3）求证：AF + 2DF = AB。
（10分）5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．（1）求证: ⊙O与BC相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径．第二课时例题讲析：如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当OB=BE=1时，求AD的长．变式练习：1、如图，⊙O的直径AB=13，弦BC=l2．过点A作直线MN，使∠BAM=1∠AOB。
2.1 第2课时圆的切线的判定及性质-2020春浙教版九年级数学下册习题课件(共23张PPT)
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4．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的 切线，你所添加的条件为__∠__A_B__C_＝__9_0_°_(或__A__B_⊥__B_C__)__.
第2章 直线与圆的位置关系
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5．【浙江温州中考】如图，⊙O 分别切∠BAC 的两边 AB，AC 于点 E，F，点 P
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11．如图，AC是⊙O的直径，AC＝10 cm，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为
切点．过点A作AD⊥BP于点D，连结AB，BC．
(1)求证：△ABC∽△ADB； (2)若切线AP的长为12 cm，求弦AB的长．
第2章 直线与圆的位置关系
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(1)证明：连结 OB．∵PB 是⊙O 的切线，∴OB⊥BP.又∵AD ⊥BP，∴OB∥AD，∴∠OBA＝∠BAD．∵OB＝OA，∴∠OBA ＝∠CAB＝∠BAD．又∵∠CBA＝∠BDA＝90°，∴△ABC∽△ ADB． (2)解：连结 OP.易证△AOP≌△BOP，∴PA＝PB．∵ OA＝OB，OA⊥AP，OB⊥BP，∴OP 垂直平分 AB．又∵OA＝5
解：过点 E 作 EF⊥CD 于点 F.∵DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD， ∠A＝∠B＝90°，∴AE＝EF＝BE＝12AB，∴以 AB 为直径的圆的圆心 为点 E，EF 是圆心 E 到 CD 的距离，∴以 AB 为直径的圆与边 CD 相 切．
第2章 直线与圆的位置关系
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8．如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD
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江夏区第一初级中学九年级数学导学案
主备人：刘泰山
课题：圆的切线判定与性质习题课
目标：巩固直线与圆相切的判定方法；在简单几何证明与计算中运用切线性质定理。
一、自主学习：结合图例，回顾基本原理：
1、直线与圆相切判定方法：
（1）依据定义。
即：
（2）依据圆心到直线的距离。
即：
（3）依据判定定理。
即：
你还有哪些可以借鉴的经验？
2、直线与圆相切性质归纳：
（1）直线与圆的公共点个数为：；（2）切线与圆心的距离为：；
（3）切线性质定理：；
（4）经过圆心垂直于切线的直线与切点的位置关系是；
（5）经过切点垂直于切线的直线与圆心的位置关系是。
你还能举出几条圆的切线性质吗？
二、合作交流：直线与圆相切有关基础知识运用
1、在△ABC中，CA=CB，以AB为直径作⊙D。
研讨下列问题：
（1）CD与AB的位置关系是；（2）CA与⊙D公共点个数是；（3）作DE⊥AC于E，当AD=3，CD=4时，以2.4为半径的⊙D与AC的位置关系是；
（4）作DE⊥AC于E，当以DE为半径的⊙D与AC相切时，BC与这个圆的位置关系是；画出示意图，并证明你的结论。
典型归纳：经历“圆的切线判定与性质”学习，你觉得常见辅助线有什么规律？（不少于两条）
1、
2、
三、答疑解困：
例1、如图，A、B、O三点共线，BC与⊙O相切于B，C为BC上一动点，OC ∥AD，判断直线DC与⊙O的位置关系，并证明你的结论。
分析与解答：
B
例2、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，AD+BC=AB ，以AB 为直径作圆，求证：CD 与圆相切。
分析与解答：
四、自主检测
1、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 切于⊙O 点B ，AC 交⊙O 于点P ，CE=BE ，点E 在BC 上，求证PE 与⊙O 相切。
E
B
2、如图，已知∠ABC=90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD=2，AE=1，求△ABC 的周长。
B
五、课后钻研：《XGC 》第116页选择。
六、 学（教）后反思：。