原创§原函数与导函数的关联 ppt课件
几阶函数的导数与原函数有何关系？
几阶函数的导数与原函数有何关系？一、导数与原函数的概念在学习微积分的过程中，我们经常会接触到导数和原函数这两个概念。
导数描述了函数在某一点变化的速度，而原函数则与导数相反，描述了函数变化的趋势。
那么，几阶函数的导数与原函数又有何关系呢？我们来一探究竟。
二、一阶函数的导数与原函数对于一阶函数而言，导数和原函数的关系比较简单直接。
一阶函数的导数即为函数的斜率，而原函数则是导数的积分。
换句话说，如果我们已知一个函数的导数，那么可以通过积分求出原函数。
反之亦然，如果我们已知一个函数的原函数，那么我们可以通过求导得到该函数的导数。
这种一一对应的关系使得我们可以在求解问题时相互转化，简化计算过程。
三、高阶函数的导数与原函数当我们将注意力转向高阶函数时，导数和原函数的关系就变得更加复杂了。
高阶函数的导数可以通过多次求导得到，而原函数则是导数的积分。
这种多次求导和积分的过程需要我们根据具体函数的形式，采取相应的方法来求解。
不同阶数的导数和原函数之间的关系也更加多样化，需要我们深入探究。
四、导数与原函数的对称性在某些情况下，导数和原函数之间存在着一种有趣的对称性。
比如，对于奇函数而言，它的导数是偶函数，而原函数则是具有关于坐标轴对称性的函数。
这种对称性的存在使得我们在处理问题时能够更加简化计算，找到更有效的方法。
五、导数与原函数的应用导数和原函数不仅仅是微积分学的基础概念，它们在实际应用中也有着重要的作用。
例如，在物理学中，速度和加速度之间的关系可以通过导数和原函数来描述；在经济学中，边际效应和总效应之间的关系也可以用导数和原函数来解释。
因此，深入理解导数和原函数之间的关系，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
六、结语综上所述，几阶函数的导数与原函数之间存在着复杂而有趣的关系。
通过求导和积分，我们可以在导数和原函数之间进行转换，并且在实际问题中应用它们。
因此，学习和理解导数和原函数的关系是建立数学基础的重要一步。
2016届原创§37 原函数与导函数的关联
先猜后证二导法 变换主元放缩法
3.放缩法
4.变换主元法
导数的应用--导数不等式
抽象函数不等式
抽象函数具体化 数形结合性质法 辅助函数是关键 增大减小是根本
导数的应用--导数不等式
数列不等式
1.导数法：
近几年高考题的主要特征是：
(1).①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数 ②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形 ③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f (1)) 处的切线的 斜率为_________ 法1：令 f (x) x2 ,则 f / (x) x ,即 k f / (1) 1
(2).“半成品”辅助函数
大多数是 1 1 ln x x 1 的衍变 x
2.定积分法：
导数的应用--导数不等式
极值点偏移
1.含义：已知 f( x1 ) = f( x2 ) ( x1＜x2 ) 求 x1, x2 的和差商积的上下确界
2.方法： 法1：对称法构造辅助函数：
F( x ) = f( x0 ＋ x ) －f( x0 －x ) 法2：换元法构造辅助函数：
①不含参型 单参型 ②含参型 双参型
多参型
3.按知识分类： 数列不等式……
二、辅助函数的构造：
三、常见的技巧：
常见题型解证最 含参不等四成立 引申双参及多参 数列不等积放缩
含参不等式——四成立：
形法 (1)
数法
基本初等函数的导数ppt课件
要点
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
π 3 ＝－
23，
∴切线方程为 y－12＝－ 23x－π3 ，即 y＝－ 23x＋ 36π＋12.
(2)已知点 P 为抛物线 y＝x2 上任意一点，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离 最小时，求点 P 的坐标及点 P 到直线 l 的距离．
【解析】 由图形的直观性可知，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时， 抛物线在点 P 处的切线与直线 l 是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切 线的斜率为－1.
【思路分析】 依题意可知，|AB|为定值，只要点 P 到 AB 的距离最大，S△ ABP 就最大，问题转化为在抛物线的弧 AOB 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大， 由导数的几何意义知，P 为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切点，求出点 P 的 坐标即可求得 S△ABP 的最大值．
【解析】 由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP 面积最大，只要点 P 到直
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(5 x2)′＝25x－35；④(cos 2)′＝－sin 2.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若直线 y＝x＋a 和曲线 y＝ln x＋2 相切，则实数 a 的值为( C )
A.12
B．2
C．1
3 D.2
解析 因为 y＝ln x＋2，所以 y′＝1x，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以 y′＝x10 ＝1，∴x0＝1.所以 y＝ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选 C.
最新导函数图像与原函数图像关系(我)
导函数图像类型题类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。
1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是 ( )2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函数y=f (x )的图象可能为( )3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是（ ）4. 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ）类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图，则f x ()的图象可能是( )7. 函数)(x f 的定义域为开区间3(,3)2-，导函数)(x f '在3(,3)2-内的图象如图所示，则函数)(x f 的单调增区间是_____________类型三：利用导数的几何意义判断图像。
8. （2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区O 1 2 xyxyyO1 2 yO1 2 xO 12xC D O1 2 xy)(x f y '=xoy间[,]a b上的图象可能是( )A ． B． C． D．9.若函数)('xfy=在区间),(21xx内是单调递减函数，则函数)(xfy=在区间),(21xx内的图像可以是（）A B C D10.（选做）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）类型四：根据实际问题判断图像。
导数及其应用课件PPT
3
A. 6
B.0
解析 ∵f′(x)＝( x)′＝21 x，
1 C.2 x
∴f′(3)＝2 1 3＝
3 6.
12345
3 D. 2
解析答案
12345
3.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的
倾斜角的范围是( A ) A.[0，π4]∪[34π，π)
B.[0，π)
C.[π4，34π]
即 y＝－12x＋ 23＋1π2.
解析答案
(2)求曲线 y＝sinπ2－x在点 A－π3，12处的切线方程. 解 ∵sinπ2－x＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
∴曲线在点
A－π3，12处的切线的斜率为
k＝－sin－π3＝
3 2.
∴切线方程为 y－12＝ 23x＋π3，
即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1).
所以点
P
到直线
y＝x
|0－1| 的最小距离为 2 ＝
2 2.
解后反思
解析答案
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1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( C )
A.0
B.2x
C.6
D.9
解析 ∵f(x)＝x2，
∴f′(x)＝2x，
∴f′(3)＝6.
12345
解析答案
2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( A )
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 几个常用函数的导数 原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x
f(x(x)＝_1_ f′(x)＝_2_x f′(x)＝－x12 f′(x)＝21 x
原函数与导函数的区别
原函数与导函数的区别在数学中，函数是一种表达式，通过一种规则，将某一个输入值转换成另一个输出值。
函数也可以用来描述某一个物理过程或运动情况，它可以表示某一个物理变量或自变量与时间的关系。
在函数的概念中，提到了原函数及其导函数。
在这里，本文将就原函数与导函数之间的区别做出讨论，以此来帮助读者加深对原函数与导函数的认识。
首先，让我们来看看原函数是什么。
原函数是一种表达式，通过一种可以表达某一个物理变量或自变量之间关系的规则，将某一个输入值转换成另一个输出值。
原函数可以表示物理变量或自变量与时间的关系，也可以描述某一个物理过程或运动情况。
常见的原函数有多项式函数、指数函数、对数函数、正弦函数等。
导函数是求导后获得的函数，即得到原函数的导数，也叫一阶导函数。
在求一阶导函数时，可以使用微分的概念，以及积分的概念来计算其导函数的表达式。
导函数能够描述物理变量或自变量随着时间的变化情况，以及随着物理变量的变化的函数的变化情况。
了解了原函数与导函数的定义后，让我们来看看它们之间的不同之处。
首先，原函数表示某一个物理变量或自变量与时间之间关系，而导函数则是描述物理变量或自变量随着时间的变化情况，以及随着物理变量的变化的函数的变化情况。
其次，求出原函数的导函数，可以使用的是微分的概念，以及积分的概念，因此，导函数的计算就要比原函数复杂得多，尤其是一些复杂的函数，比如三角函数。
最后，原函数表达某一个输入值就可以直接得出其输出值，而导函数表达的就是其函数的变化情况，不能够直接给出其输出值。
总结起来，原函数与导函数之间的区别在于：原函数用来表示某一个物理变量或自变量与时间之间的关系，而导函数则是描述物理变量或自变量随着时间的变化情况，以及随着物理变量的变化的函数的变化情况；其次，求出原函数的导函数，可以使用的是微分的概念，以及积分的概念，因此，导函数的计算就要比原函数复杂得多，尤其是一些复杂的函数，比如三角函数；最后，原函数表达某一个输入值就可以直接得出其输出值，而导函数表达的就是其函数的变化情况，不能够直接给出其输出值。
原函数与导函数的区别
原函数与导函数的区别
函数的最基本定义是一个把一个变量X映射到另一个变量Y的关系式。
函数分为原函数与导函数。
原函数是一个函数表达式，简单地说是把自变量x对应到因变量y上。
而导函数是原函数的变形，是原函数的切线斜率值。
两者都是函数，有着不同的用途，也有着不同的特点。
原函数
原函数是一种函数，只能表示x与y之间的关系，而不能表示代入x变化时y的变化情况。
原函数可以表示如x的平方、平方根、三角函数等，也可以表示经过高次拟合的复杂的函数。
从数学角度来讲，原函数是计算x变化时y的变化情况的基础。
导函数
导函数是原函数的变形，是原函数在每一个点处的斜率。
也就是说，是求解每个点处函数的梯度。
导函数可以描述原函数的变化趋势，比如当x变小时y是减小还是增大。
而且可以用来求解各种数学问题，比如求解函数的极值以及求解微分方程。
原函数与导函数的区别
原函数与导函数有着明显的不同，从功能上来说，它们各自有着不同的作用。
1.能上的区别：原函数是把x与y之间的关系表达出来，而导函
数是把x变化时y的变化情况表达出来。
2.质上的区别：原函数是一个可以描述因变量y随自变量x变化关系的函数，而导函数是原函数的变形，表示每个点的斜率，是原函数的梯度。
3.解上的区别：原函数可以用来求解x与y之间的关系，比如求函数极值、做图等；而导函数可以用来求函数极值以及求解微分方程。
结论
原函数与导函数是数学中不可分割的组成部分。
二者在功能上、性质上和求解上都有着明显的不同，它们各自有着不同的作用，要想在数学中取得更好的效果，就要正确掌握它们的特点和用法。
原函数与导函数的奇偶关系证明
原函数与导函数的奇偶关系证明原函数与导函数的奇偶关系是微积分中一个重要的概念。
在研究函数的性质时，我们常常需要分析函数及其导函数的奇偶性。
通过研究函数的奇偶性，我们可以得到函数在坐标系中的对称关系，从而更好地理解函数的行为。
我们来回顾一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数在原点对称。
例如，函数f(x)=x^3就是一个奇函数。
因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
另一方面，一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数在y轴对称。
例如，函数f(x)=x^2就是一个偶函数。
因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
现在，让我们来研究原函数和导函数之间的奇偶关系。
假设f(x)是一个函数，F(x)是它的原函数，即F'(x)=f(x)。
我们可以推导出以下结论：1. 如果f(x)是奇函数，那么F(x)是偶函数。
这是因为由于f(x)是奇函数，我们有f(-x)=-f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=-f(-x)=-(-f(x))=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在y 轴对称，即F(x)是偶函数。
2. 如果f(x)是偶函数，那么F(x)是奇函数。
这是因为由于f(x)是偶函数，我们有f(-x)=f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=f(-x)=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在原点对称，即F(x)是奇函数。
通过这样的推导，我们可以看到原函数和导函数的奇偶关系。
这个关系告诉我们，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，我们可以推断出它的原函数是什么奇偶性。
这对于研究函数的性质和行为非常有用。
举例来说，我们考虑函数f(x)=sin(x)。
我们知道sin(x)是一个奇函数，因为sin(-x)=-sin(x)。
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法2：因原函数是偶函数，故导函数是奇函数
又因曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f / (1) 1
故曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f /(1)1
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21
三、单调性及凸凹性间的关联：
1.正用： 一导本身即斜率 增大减小○驻点 二导本身是曲率 大凹小凸○拐点
kf /(x0)yx00
y1 x1
y0 k x0 b
P0 (x0, y0) P1 (x1, y1 )
y0 f (x0)
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3
导数的几何意义
2.二导：曲线的曲率：二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
如果f(x)在[a,b]上连,续 在(a,b)内具有 二阶导,若 数在(a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是; 凹的 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是. 凸的
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(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f(1)) 处的切线的 斜率为_________ 法1：令 f ( x) x 2 ,则 f / (x) x ,即 kf/(1)1
【A】
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y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
f(x)递增 y 0
f(x)递增 y 0
o
a f(x)递
减
y
b 0
x
f(x)递减 y 0
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4
定积分的几何意义
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前 常见结论要熟知 化繁为简巧割补
b f (x)dx
b
[f(x)0]dx
三、常见的技巧： ppt课件
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含参不等式——四成立：
形法 (1)
数法
含参不等式恒成立
含参不等式能成立
含参不等式恰成立
含参不等式常成立
最值法
通法 子集法
(2) 分离参量法
特法 变换主元法
先猜后证法Leabharlann 分类讨论注1.描述方式繁多 引申变式多样
注2.常成立是基础 恒成立是重点
注3.解法灵活多样 技ppt课巧件 性极强
x1 x2
t
或x1
x2
tL
法3：将 f( x1 ) = f( x2 ) 结合问题适当变形
然后构造辅助函数…ppt课…件
18
§37 原函数与导函数的关联
一、周期性间的关联：
若原函数具有周期性，则导函数具有与其相同的周期性 反之则不然
二、奇偶性间的关联：
若原函数具有奇偶性，则导函数具有与其相反的奇偶性 反之则不然
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10
导数法求最值
形法数化是关键
必有最值闭且连 最值来源顶端点 一论单调算顶端 三写最值是格式 能代则代罗比达 是则名为筛选法
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11
导数的应用 —— 堪根
一、堪根的内容：
形法
公式法 根的个数 零点存在定理
导数法
隔根区间
求近似解 二分法 牛顿切线法
二、导数法堪根：
辅助函数是关键 形法数化是技巧
交点坐标方程解 书写格式要简明
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导数的应用--导数不等式
一、常见的题型：
1.按问法分类：
①解不等式 ②证不等式 ③求最值
2.按参量分类：
常见题型解证最 含参不等四成立 引申双参及多参 数列不等积放缩
①不含参型 单参型 ②含参型 双参型
多参型
3.按知识分类： 数列不等式……
二、辅助函数的构造：
(3)已知可导函数y=f(x)的图象如图,则
(A)f′(xA) ＜ f′(xB)
(B)f′(xA) = f′(xB)
(C)f′(xA) ＞ f′(xB)
(D)f′(xA) 与 f′(xB)的大小不定 【A】
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22
(4)定义在
( 3 2
, 3 ) 上的可导函数f(x)的图象如图 ,
f /(x)是f (x)的导函数 ,则 f /(x)≤0的解集为________
a
a
b
a[f1(x)f2(x)]dx
b
a[f前(x)f后(x)d] x
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5
导数的应用——单调性
形法数化是关键 二次三次是基础
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6
三次函数 fxa x3b x2cxd的图像
⊿＞0
⊿≤0
x1 a>0
x2
x2
a<0 x1
（其中：⊿是方程 f / (x)ppt课0件 的判别式）
7
四次函数 fx a x 4 b x 3 c x 2 d x e的图像
抽象函数具体化 数形结合性质法 辅助函数是关键 增大减小是根本
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导数的应用--导数不等式
数列不等式
1.导数法：
近几年高考题的主要特征是：
(1).①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数
②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形 ③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
(2).“半成品”辅助函数
【C】
y
O 12
x
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26
(7)(2012年重庆)设函数f(x) 在R上可导,其导函数为f /(x) 且函数y=(1-x)f /(x)的图像
如图所示，则下列结论中
一定成立的是 【D】
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
§37 原函数与导函数的关联
一、周期性间的关联：
若原函数具有周期性，则导函数具有与其相同的周期性 反之则不然
二、奇偶性间的关联：
若原函数具有奇偶性，则导函数具有与其相反的奇偶性 反之则不然
三、单调性及凸凹性间的关联：
1.正用： 一导本身即斜率 增大减小○驻点 二导本身是曲率 大凹小凸○拐点
2.反用： 上增下减○驻点 增凹减凸平为直
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9
1.一导法求极值：形法数化是关键
一求驻点二单调 三写极值靠图象 书写格式要简明 含参反用须验根
2.二导法求极值
适当结合二导法 大小小大○为非
一般地，若 f /(x0) 0 则
① f //(x0) 0
f(x0)是极小值
② f //(x0)0
f(x0)是极大值
③ f //(x0) 0
f(x0)是非极值
几个交点几极值ppt课件上升极小切为非
1
导数概述
概求应 念导用
导 数
数 学
其 他 学
积 分
科
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①求切线斜率 ②判定单调性 ③求极值 ④求最值
⑤堪根 ⑥解证不等式 ⑦证等式……
⑧曲边梯形面积 ⑨数列求和
2
导数的几何意义
1.一导：切线的斜率
割线极限是切线 必须切点横坐标 知一有二基本功
一导本身是斜率 切点坐标及斜率 在即切点过待定
大多数是 11lnxx1的衍变 x
2.定积分法：
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导数的应用--导数不等式
极值点偏移
1.含义：已知 f( x1 ) = f( x2 ) ( x1＜x2 )
求 x1, x2 的和差商积的上下确界 2.方法：
法1：对称法构造辅助函数：
F( x ) = f( x0 ＋ x ) －f( x0 －x ) 法2：换元法构造辅助函数：
方程 f / (x) 0有 三个互异的实根时
方程 f / (x) 0有 一个实根或三个 实根且有二个为 重根时
a>0
a<0
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8
导数的应用——单调性
形法数化是关键 二次三次是基础
以直代曲是本质 增大减小○驻点 正 能解则解不能证 讨论放缩二导法 用
含参反用必须等 等号验证常值舍 反 最值子集灵活选 变换主元分离参 用
1
x[ , 1]U[2 , 3)
3
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(5)(2012年重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数f /(x) 且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf /(x)的图象 可能是 【C】
-2
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三、单调性及凸凹性间的关联：
1.正用： 一导本身即斜率 增大减小○驻点 二导本身是曲率 大凹小凸○拐点
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导数的应用--导数不等式
一、常见的题型：
二、辅助函数的构造： 辅助函数要巧设
1.直接法 作差法
有利求导定单调
切线法 2.间接法 换元法
参量分类法
……法
三、常见的技巧：
1.先猜后证 2.二导法
先猜后证二导法 变换主元放缩法
3.放缩法
4.变换主元法
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导数的应用--导数不等式
抽象函数不等式
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(8)(2008年福建)已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图象 如左图，那么y=f(x)，y=g(x)的图象可能是 【D】
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(9)(2010年江西)如图,一个正五角星薄片 (其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面， 记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t) (S(0) =0),则其导函数为S /(t)的图象 大致为