人教版高中数学必修1《函数》
人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
人教版高中数学必修1《函数y=Asin(ωx+φ)》PPT课件
[方法技巧] 1．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数 y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇 偶性．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z )时为奇函数，当 φ＝kπ±π2(k
[解析] (1)将函数 f(x)＝2sinωx＋π6的图象向右平移23π个单位长度后，可 得 y＝2sinωx－2ω3π＋π6的图象，因为所得图象与原图象重合，
所以－2ω3π＝2kπ，k∈Z ，
所以 ω＝－3k，k∈Z ，故当正数 ω 最小时，ω＝3， 答案：3 (2)由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)，即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， ∴f(x)在 x＝0 时取得最值，即 sin φ＝1 或－1.结合 0≤φ＜π，可得 φ＝π2.
[解析] [答案] f(x)＝－12cos 2x
• [方法技巧]
• 三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略
• (1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的 解析式，关键是明确左右平移的方向，即按“左加右减” 的原则进行．
• (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首 先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方 向和单位．
f(x)பைடு நூலகம்0
2 0 －2 0
描点连线：用平滑的曲线顺次连接各点，所得图象 为函数 f(x)在一个周期内的图象，如图所示． (2)由 2kπ－π2≤x2＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z ，
得
4kπ
－
5π 3
≤x≤4kπ
＋
π 3
，
k
∈
Z
.
所
以
函
数
f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为
人教版高中数学必修一第一章函数的概念课件PPT
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中 都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( C ) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→|1x| B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
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第一章 1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结
(4)若 A B 且 B A ，则 A B
A(B)
BA
或
真子集
集合 相等
AB
（或 B A）
A B ，且 B 中至
少有一元素不属于 A
（1） A （A 为非空子集）
(2)若 A B 且 B C ，则 AC
A 中的任一元素都属 于 B，B 中的任一元素 都属于 A
(1)A B (2)B A
如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x，都有 ．f．(－．x．．)=．f．(．x．)．, 那么函数 f(x)叫做偶．函．数．．
（1）利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称） （2）利用图象（图象 关于原点对称） （1）利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称） （2）利用图象（图象 关于 y 轴对称）
【
（5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都
的定义域应由不等式 a g(x) b 解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个 最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是 提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值．
最新人教版高中数学必修第一册第3章 函数的概念与性质3.1.2 函数的表示法
当x=3时,f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不合题意;
综上,x的值等于2.
？
探究二 函数的图象及其画法
【例 2】 画出下列函数的图象:
(1)y=1-x,x∈Z;
(2)y=,x≥2;
, ≤ ≤ ,
基本水费1.3×5(元),第二部分由基本水费与加价水费组成,即
1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%),
则y2=1.3×5+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13.
当6<x≤7时,
同理y3=1.3×5+1.3×(6-5)×(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)
？
【变式训练2】 画出下列函数的图象,并求出定义域和值域:
,- ≤ ≤ ,
(1)f(x)=
, < -或 > ;
(2)g(x)=|2x+3|-1.
解:(1)画出f(x)的图象,如图所示.
观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1].
？
(2)g(x)=
+ , ≥ - ,
--, ≤ -或 ≥ ,
故 h(x)=
--,- < < .
(2)因为g(-2)=2×(-2)+4=0,
所以h(h(g(-2)))=h(h(0)),
而h(0)=2×02-2×0-2=-2,
所以h(h(g(-2)))=h(-2)=(-2)2-4×(-2)-7=5.
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
高中数学必修一人教版课件：2.1.1函数的解析式 (共11张PPT)
解：设 f (x) = kx + b
则 f [ f (x) ] = f ( kx + b ) = k ( kx + b ) + b
= k 2 x + kb + b = 4x －1
则有k
k2 b
4 b 1
2b
k
2 b
1或
k 2b
2 b
1
bfk(x2)13或2xkb112或f ( x) 2x 1
2.1.1函数的解析式
函数解析式的求法 （1）代入法 （2）换元法 （3）待定系数法 （4）解方程组法 （5）配凑法
(1)代入法
例1：已知f (x) x2,求f (3), f (a), f (x 1), f [ f (3)].
变式习12：：f (x) 3x 1, g(x) 2x 3,求f [g(x)], g[ f (x)].
变式习12：：已知f (x) 2 f (x) 2x，求f (x).
（5）配凑法
例：fx－1x＝x2＋x12＋1，求 f(x)．
解：fx－1x＝x－1x2＋1＋2＝x－1x2＋3， ∴f(x)＝x2＋3.
习：已知f (x 1) (x 1)2,求f (x).
x≠0，a 为常数，且 a≠±1，则 f(x)＝________.
习2：一次函数 f (x), 使f { f [ f (x)]} 27 x 65. 习3、已知 f ( 4x + 1 ) = 4 x 6 ，求 f (x)
16x2 1
习4、已知 f ( x + 1 ) = x + 2 x ， 求 f (x)
（2）换元法
例2：f (x 1) x2,求f (x).
人教版高中数学必修一1.2.1函数的的概念_ppt课件
题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋ ＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋ －1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ， 所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义， 需满足x3＋ －12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项 系数的讨论而出错
【例 4】 已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根 式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；