专题③匀变速直线运动的推论应用-经典资料

专题三匀变速直线运动的推论应用1．平均速度做匀变速直线运动的物体在一段时间t 内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半。

推导：设物体的初速度为v 0，做匀变速运动的加速度为a ，t 秒末的速度为v 。

由x ＝v 0t ＋12at 2得①平均速度v ＝x t ＝v 0＋12at②由速度公式v ＝v 0＋at ，当t ′＝t2时2t v ＝v 0＋a t2③由②③得v ＝2tv ④又v ＝2t v ＋at 2⑤由③④⑤解得2t v ＝v 0＋v 2⑥所以v ＝2t v ＝v 0＋v2。

2．某段位移的中间位置的速度2x v =推导：设物体的初速度为v 0，做匀变速运动的加速度为a ，末的速度为v ，中间位移的速度为2xv 针对前半段位移，由v 2－v 02=2ax 得：220222x xv v a−=①针对后半段位移，由v 2－v 02=2ax 得：22222x x v v a−=②由①②解得：2x v =所以2x v =3．逐差相等在任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移之差是一个常量，即Δx ＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2推导：时间T 内的位移x 1＝v 0T ＋12aT 2①在时间2T 内的位移x 2＝v 02T ＋12a (2T )2②则x Ⅰ＝x 1，x Ⅱ＝x 2－x 1③由①②③得Δx ＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．4．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例（1）1T 末、2T 末、3T 末、……、nT 末瞬时速度之比为v 1∶v 2∶v 3∶……∶v n ＝1∶2∶3∶……∶n（2）1T 内、2T 内、3T 内、……、nT 内的位移之比x 1∶x 2∶x 3……∶x n ＝1∶22∶32∶……∶n 2（3）第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内，……，第n 个T 内位移之比x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶……∶x n ＝1∶3∶5∶……∶(2n －1)（4）通过前x 、前2x 、前3x ……时的速度比v 1∶v 2∶v 3∶……∶v n ＝1∶2∶3∶……∶n（5）通过前x 、前2x 、前3x ……的位移所用时间的比．t 1∶t 2∶t 3∶……∶t n ＝1∶2∶3∶……∶n（6）通过连续相等的位移所用的时间之比t Ⅰ∶t Ⅱ∶t Ⅲ∶……∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶……∶(n －n －1)。

类型一、多个物体问题【例题】一小球自斜面上的O 点由静止开始做匀加速直线运动，如图所示是用频闪照相的方法对正在斜面上滚动的小球拍摄的频闪照片，已知照相的闪光频率为10Hz ，测得AB =20cm ，BC =25cm ，CD =30cm 。

求：（1）小球运动的加速度。

（2）OA 两点的距离。

〖解析〗（1）Δx =x BC -x AB =x CD -x BC =5cm ，T =1f =0.1s ，a =2∆xT=5m/s 2。

（2）小球到达B 点时速度：v B =AC 0.4520.2=x T m/s=2.25m/s 。

小球从O 到B 运动的时间：t B =Bv a=0.45s ，x OB =12a 2B t =50.625cm ，x OA =x OB -x AB =30.625cm 。

〖答案〗（1）5m/s 2(2)30.625cm变式训练1．屋檐定时滴出水滴，当第5滴正欲滴下时，第1滴已刚好到达地面，而第3滴与第2滴正分别位于高1m 的窗户上、下沿，如图所示，取g =10m/s 2，问：（1）此屋檐离地面多少米?（2）滴水的时间间隔是多少?〖解析〗（1）设每滴水离屋檐的位移分别为x 1、x 2、x 3、…，滴水的时间间隔相等，根据初速度为零的匀加速直线运动的时间等分关系，可得x 1∶x 2∶x 3∶x 4=16∶9∶4∶1又∵x 2-x 3=1m 所以屋檐离地面的距离x 3=3.2m 。

（2）第1滴水刚好落到地面所需时间t =0.8s 。

所以滴水的时间间隔t 0=t /4=0.2s 。

〖答案〗（1）3.2m(2)0.2s2．如图所示，有若干相同的小钢球从斜面的某一位置每隔0.1s 释放一颗，在连续释放若干颗钢球后，对斜面上正在滚动的若干小球摄下照片如图，测得AB =15cm ，BC =20cm ，试求：（1）拍照时B 球的速度。

（2）小球的加速度是多少?（3）A 球上面还有几颗正在滚动的小球?（4）能否求A 点的速度?〖解析〗（1）照片中B 点是AC 段的时间中点，根据结论，时间中点的即时速度等于该段的平均速度可知v B =0.150.2020.12AB BC T ++=×m/s=1.75m/s 。

（2）因每两个球间时间差相等，可求出此时B 球经历的时间即可，根据Δx =aT 2，得a =220.200.150.1BC AB T −−=m/s 2=5m/s 2（3）B 球已运动时间t B =Bv a=0.35s 在A 球上面正在滚动的球的个数n =Bt T-1=2(颗)（4）由速度公式v B =v A +aT 得v A =1.25m ／s 。

〖答案〗（1）1.75m/s（2）5m/s 2（3）2（4）1.25m/s 。

类型二、打点计时器的逐差法【例题】如图所示，某同学在做“研究匀变速直线运动”实验中，由打点计时器得到表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时间间隔为T ＝0.10s ，其中x 1＝7.05cm ，x 2＝7.68cm ，x 3＝8.33cm ，x 4＝8.95cm ，x 5＝9.61cm 、x 6＝10.26cm ，则打A 点时小车的瞬时速度的大小是_____m/s ，小车运动的加速度计算表达式为_____，加速度的大小是_____m/s 2（计算结果保留两位有效数字）。

〖点拨〗本题考查对测匀变速直线运动加速度原理的理解及某段时间内的平均速度与中点时刻瞬时速度的相等关系。

〖解析〗根据匀变速直线运动规律有，A 点的瞬时速度为v =1.0210)95.833.8(2243××+=+−T x x m/s≈0.86m/s加速度a 1=2143T x x −，a 2=2253T x x −，a 3=2363T x x −取平均值得a =3321a a a ++所以a =23216549)()(Tx x x x x x ++−++代入数值得a =0.64m/s 2.〖答案〗0.86a =2321654)()(x x x x x x ++−++0.64变式训练如图所示，小车放在斜面上，车前端拴有不可伸长的细线，跨过固定在斜面边缘的小滑轮与重物相连，小车后面与打点计时器的纸带相连。

起初小车停在靠近打点计时器的位置，重物到地面的距离小于小车到滑轮的距离。

启动打点计时器，释放重物，小车在重物牵引下，由静止开始沿斜面向上运动，重物落地后，小车会继续向上运动一段距离。

打点计时器使用的交流电频率为50Hz。

下图中a 、b 、c 是小车运动纸带上的三段，纸带运动方向如箭头所示。

（1）根据所提供纸带上的数据，计算打c 段纸带时小车的加速度大小为_____m/s 2。

（结果保留两位有效数字）（2）打a 段纸带时，小车的加速度是2.5m/s 2。

请根据加速度的情况，判断小车运动的最大速度可能出现在b 段纸带中的_____。

〖解析〗（1）由10.02T f==s ，再由2x naT ∆=得212(2.08 1.48)103a T −−×=m/s 2222(1.09 1.32)103a T −−×=m/s 2，232(1.73 1.12)103a T−−×=m/s 2，则加速度1231() 5.03a a a a =++=m/s 2。

（2）由b 段数据可知：342323120.10x x x x −=−=cm ，而45340.00cm 0.10cm x x −=<。

即速度拐点出现在D 4D 5间，也就是最大速度出现在D 4D 5之间。

〖答案〗（1）5.0m/s 2（2）D 4D 5区间内类型三、相等时间的位移之比【例题】质点从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，通过连续三段位移所用的时间分别为1s 、2s 、3s ，这三段位移之比应是()A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．12∶22∶32D ．13∶23：33〖解析〗根据v 0＝0的匀加速运动的一个推论：从开始起第1个T 内，第2个T 内，第3个T 内……的位移之比为x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶……＝1∶3∶5∶……，所以，所求位移之比为1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)∶……＝13∶23：33∶……，D 对。

〖答案〗D变式训练1．汽车刹车后做匀减速直线运动，经3s 后停止运动，那么，在这连续的3个1s 内汽车通过的位移之比为()A．1∶3∶5B．5∶3∶1C．1∶2∶3D．3∶2∶1〖解析〗末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动处理，初速度为零的匀加速直线运动第1秒内、第2秒内、第3秒内……的位移之比为1∶3∶5∶……〖答案〗B2．做匀减速运动的物体经4s后停止，若在第1s内的位移是14m，则最后1s内的位移是多少?〖解析〗将时间反演，则上述的运动可以看成初速度为零的匀加速运动，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5∶7……，故物体这4s内位移之比为14∶10∶6∶2，所以最后1s内位移为2m。

〖答案〗2m类型四、相等位移的时间之比【例题】如右图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。

若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为()A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1B．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1C．t1∶t2∶t3＝1∶2∶3D．t1∶t2∶t3＝(3－2)∶(2－1)∶1〖解析〗子弹运动的逆过程可看成初速度为零、末速度为v的匀加速直线运动，子弹通过连续相等位移的时间之比为1∶(2－1)∶(3－2)．则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t1∶t2∶t3＝(3－2)∶(2－1)∶1，故D正确．由x＝12at2知，子弹运动的逆过程由右向左穿过第1块、前2块、前3块的时间之比t1∶t2∶t3＝1∶2∶3，再根据v＝at知，子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶2∶ 3.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝3∶2∶1，故B 正确．〖答案〗BD变式训练1．一物体以一定的初速度从一光滑斜面底端A点上滑，最高可滑到C点，B是AC的中点，如右图所示，已知物块从A至B需时间为t0，问它从B经C再回到B，需要的时间是多少？〖解析〗据初速度为零的匀加速直线运动通过连续相等位移所用时间之比为t CB∶t0=1∶-1)∴t CB=0+1)t0所需时间为t′=2t CB+1)t0〖答案〗2（+1）t02．站台上有一观察者，在火车开动时站在第1节车厢前端附近，第1节车厢在5s内驶过此人，设火车做匀加速直线运动，求第10节车厢驶过此人需要多少时间？〖解析〗：以列车为参考系，则观察者相对列车做初速度为零的匀加速运动，由初速度为零的匀加速运动的规律得：t1∶t2∶t3∶…=1∶∶)∶…所以t10（-15）s〖答案〗（5-15）s1．骑自行车的人沿着直线从静止开始运动，运动后，在第1s、第2s、第3s、第4s内，通过的路程分别为1m、2m、3m、4m。