平行线的判定和性质的综合题
(完整版)平行线的判定和性质练习题
平行线的判断定理和性质定理[ 一] 、平行线的判断一、填空1．如图１，若A=3，则∥；若 2=E，则∥；若+= 180 °，则∥．D5ac dAE 1 212a51 2442133b3b B CA B C3图１图２图３图４2．若 a⊥c，b⊥c，则 a b ．3．如图２，写出一个能判断直线l ∥l的条件：124．在四边形 ABCD中，∠ A +∠B = 180 °，则∥5．如图３，若∠ 1 + ∠2 = 180 °，则∥。
6．如图４，∠ 1、∠ 2、∠ 3、∠ 4、∠5 中，同位角有内错角有；同旁内角有7．如图５，填空并在括号中填原因：（ 1）由∠ ABD =∠CDB 得∥（（ 2）由∠ CAD =∠ACB 得∥（（ 3）由∠ CBA +∠BAD = 180°得∥（A D5l112O43B l2C图５图６8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l2的条件：9．如图７，尽可能地写出能判断AB∥CD的条件来：10．如图８，推理填空：（ 1）∵∠ A =∠（已知），∴AC∥ED（）；（ 2）∵∠ 2 = ∠（已知），∴AC∥ED（）；（ 3）∵∠ A +∠= 180 °（已知），∴AB∥FD（）；（ 4）∵∠ 2 + ∠= 180 °（已知），∴AC∥ED（）；二、解答以下各题11．如图９，∠ D =∠A，∠ B =∠FCB，求证：ED∥CF．．（）．；．）；）；）A D21435BC图７．．AEF213B D C图８E DC FA B图９（第 1页，共 3 页）12．如图 10，∠ 1∶∠ 2∶∠ 3 = 2 ∶3∶4， ∠AFE = 60 °，∠ BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明原因．A1FE23BD C图 1013．如图 11，直线 AB 、 CD 被 EF 所截，∠ 1 = ∠2，∠ CNF =∠BME 。
平行线的判定与性质证明题
平行线的判定和性质1.如图，已知：AB∥CD，∠B=∠D，求证：BC∥AD ．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．4．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．5．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．6．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．7．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D 相等吗？试说明理由．8．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．9．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E 在BC上，EF⊥AB，垂足为F ．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，DG∥BC吗？为什么？10．如图，已知∠1=∠A，∠2=∠B，那么MN与EF平行吗？如果平行，请说明理由．11．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥GF．12．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD 于点G．求证：AB∥CD．13．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．14．如图，AD⊥BC于点D，∠1=2，∠CDG=∠B，请你判断EF与BC的位置关系，并加以证明，要求写出每步证明的理由．15、如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请从你所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性。
结论：（1）________________（2）_______________（3）________________（4）_______________选择结论：____________，说明理由。
平行线的判定与性质的综合应用 专题练习
平行线的判定与性质的综合应用专题练习平行线的判定与性质的综合运用专题一、推理填空题1.已知：如图，DE∥BC，∠ADE＝∠XXX，将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整。
解：因为DE∥BC，所以∠ADE=∠XXX。
又因为DE∥BC，所以DB∥EF。
由平行线性质可知，∠1=∠ADE=∠XXX∠2.2.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3.求证：XXX。
证明：因为∠1＝∠2，所以XXX。
又因为∠A＝∠3，所以AC∥BD。
由平行线性质可知，AC∥DE。
3.已知：如图，∠XXX∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC 与∠ADC，且∠1＝∠3.求证：AB∥DC。
证明：因为∠XXX∠ADC，所以∠XXX∠ADC。
又因为BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠1=∠ABC，∠3=∠ADC。
由∠1＝∠3可得，∠2=∠ADC。
由平行线性质可知，AB∥DC。
二、证明题4.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37º，求∠D的度数。
证明：因为AB∥CD，所以∠A+∠D=180º。
又因为DE⊥AE，所以∠ADE=90º。
由∠A=37º可得，∠ADE=53º。
由三角形内角和定理可得，∠D=80º。
5.如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，求∠α的度数。
证明：因为AB∥CD，所以∠1+∠α+∠2=180º。
由∠1=100º，∠2=120º可得，∠α= -40º。
由于∠α是角度，所以∠α=320º。
6.如图，XXX，AE平分∠BAD，求证：XXX与AE相交于F，∠XXX∠EAF。
证明：因为XXX，所以∠BAD=∠ACD。
又因为AE平分∠BAD，所以∠XXX∠DAF。
由相邻角的性质可得，∠EAF+∠DAF=∠BAD=∠ACD。
又因为CD与AE相交于F，所以∠CFE+∠EAF+∠ACD=180º。
人教版七年级下册数学平行线的判定与性质综合题集
人教版七年级下册数学平行线的判定与性质综合题集一．平行线的判定（共1小题）1．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝112°，求∠ACE的度数；（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；（3）若三角板ABC保持不动，绕顶点C转动三角板DCE，在转动过程中，试探究∠BCD等于多少度时，CD ∥AB？请你直接写出答案．二．平行线的性质（共20小题）2．（2021春•阜南县期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．3．（2021春•铁锋区期末）背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行，两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推理的基础．已知：AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．问题解决：（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC＝．4．（2017秋•雨花区期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠ABF＝2∠ABE，求∠EBC的度数．5．（2019春•韶关期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；（2）若∠BCD＝3∠ACE，求∠BCD的度数；（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．6．（2021春•龙岗区校级期中）如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP，作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF，交直线AB于点G．（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求∠PCG的度数；（2）在（1）的条件下，若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数；（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使＝？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．7．（2021秋•揭东区期末）已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC 的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC 的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．8．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．10．（2021春•临邑县期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．11．（2017春•南安市期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．12．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P 作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．13．（2019春•河东区期末）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．14．（2021春•济南期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求的值．（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB 的度数．15．（2016春•深圳校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．16．（2019秋•道里区校级期中）已知：AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠AEC＝∠C﹣∠A；（2）如图②，在（1）的条件下，直接写出∠E与∠F的关系．∠E＝（用含有∠F的式子表示）；（3）如图③，BD⊥AB，垂足为B，∠BDC＝110°，∠AEC＝40°，求∠AFC的度数．17．（2019春•荔湾区期末）如图，已知AB∥CD，直线FG分别与AB、CD交于点F、点G．（1）如图1，当点E在线段FG上，若∠EAF＝40°，∠EDG＝30°，则∠AED＝°．（2）如图2，当点E在线段FG的延长线上，CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，DM平分∠EDG，交AE于点K，射线AN将∠EAB分成∠EAN：∠NAB＝1：2，且与DM交于点I，若∠DEA＝22°，∠DIA＝20°，求∠DKE的度数．18．（2019春•香洲区期末）如图1．直线AD∥EF，点B，C分别在EF和AD上，∠A＝∠ABC，BD平分∠CBF．（1）求证：AB⊥BD；（2）如图2，BG⊥AD于点G，求证：∠ACB＝2∠ABG；（3）在（2）的条件下，如图3，CH平分∠ACB交BG于点H，设∠ABG＝α，请直接写出∠BHC的度数．（用含α的式子表示）19．（2020春•阳西县期末）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE相交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，①若∠ABC＝50°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；②请直接写出∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，试猜想∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系，并说明理由．20．（2021春•利州区期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．21．（2019春•赣州期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．三．平行线的性质（共1小题）22．（2021春•鼓楼区校级期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE．（1）求证：∠B+∠C﹣∠A＝180°．（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，请求出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．四．平行线的判定与性质（共22小题）23．（2021秋•深圳期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG ＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．25．（2021秋•福田区校级期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG ＝∠BGD，DG平分∠BDE．（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，则∠B的度数为．26．（2021秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB 反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？27．（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．28．（2019•重庆开学）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠MEB与∠DFN互补．（1）若∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（2）如图2，在（1）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．29．（2021秋•南岗区校级期末）已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．30．（2021春•庆云县期末）已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．（1）求证：AB∥CD；（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．31．（2021春•鼓楼区期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若两灯发出的射线AC与BC交于点C，过C作∠ACD 交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系，并说明理由．32．（2021春•福田区校级月考）某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由；（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数；（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数．33．（2021春•罗湖区校级期末）如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．34．（2021春•饶平县校级期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．35．（2020春•湘桥区期末）（1）如图1，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数．小明想到了以下方法（不完整），请填写以下结论的依据：如图1，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（）∴∠2+∠PFD＝180°．（）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）如图2，AB∥CD，点P在AB，CD外，问∠PEA，∠PFC，∠P之间有何数量关系？请说明理由；（3）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠P＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数是．（直接写出答案，不需要写出过程）36．（2020春•香洲区校级期中）如图，AD交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC 相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．（1）证明AD∥EF；（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，∠F＝∠H，则∠BAD和∠CAD相等吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若FH⊥BC，∠C＝30°，求∠F的度数．37．（2020春•海勃湾区期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ 的度数．38．（2020春•广宁县期末）探索：小明在研究数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠C 的数量关系．发现：在图1中，：∠APC＝∠A+∠C；如图5小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C（1）为小明的证明填上推理的依据；（2）应用：①在图2中，∠P与∠A、∠C的数量关系为；②在图3中，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠P的度数为；（3）拓展：在图4中，探究∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．39．（2019春•茂名期中）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE＝90°．（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E＝90°保持不变时，移动直角顶点E，使∠MCE＝∠ECD，当直角顶点E点移动时，请确定∠BAE与∠MCD的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上的一个定点，点Q为直线CD上的一个动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠BAC与∠CPQ+∠CQP有何数量关系？为什么？40．（2019春•东莞市校级月考）（1）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE．证明：∠A+∠C＝∠E；（2）当点E在如图②的位置时，AB∥CD，证明：∠A+∠E+∠C＝360°；（3）如图③，点E、F、G在直线AB与CD之间，AB∥CD，连接AE、EF、FG、CG，若∠EFG＝28°，则∠A+∠E+∠G+∠C＝°．41．（2017春•广州期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB 反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．（2）图2是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？（3）图3中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后，反射光线n与m平行但方向相反，求∠ABC的度数．42．（2017春•长兴县期末）如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG＝∠FEG，EF 平分∠AEG．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．（2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q＝α，∠EHG ＝β①若∠HEG＝40°，∠QGH＝20°，求∠Q的度数．②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由．43．（2015春•越秀区期末）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC 的平分线，∠ADF与∠AFD互余．（1）试判断直线BE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图2，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为点H，试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由．44．（2013春•福田区期末）把下面的说理过程补充完整．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并说明理由．解：∠AED＝∠C∵∠1+∠ADG＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知）∴∠2＝∠ADG（）∴EF∥AB（）∴∠3＝∠ADE（）∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝（）∴DE∥BC（）∴∠AED＝∠C（）五．平移的性质（共2小题）45．（2017春•硚口区期末）如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的位置关系为，BC与AD的位置关系为；（2）点E、G都在直线CD上，∠AGE＝∠GAE，AF平分∠DAE交直线CD于F，①如图2，若G、E为射线DC上的点，∠FAG＝30°，求∠B的度数；②如图3，若G、E为射线CD上的点，∠FAG＝α，求∠C的度数．46．（2016秋•吉林期末）如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．（1）试说明AD∥BC的理由；（2）试求∠CAN的度数；（3）平移线段BC．①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律；②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．。
平行线的判定定理和性质题
DCBA 21G321FE D CBA一、填空1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ；若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．2．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）；（2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）3、如图，EF ∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.将求∠AGD 的过程填写完整.解: 因为EF ∥AD,所以∠2=____(_________________________) 又因为∠1=∠2所以∠1=∠3(______________)所以AB ∥_____(________________________) 所以∠BAC+______=180°(________________) 因为∠BAC=70° 所以∠AGD=_______.4. 如下图,直线AB,CD 相交于O 点,OM ⊥AB. (1)若∠1=∠2,求∠NOD;(2)若∠1=14∠BOC,求∠AOC 与∠MOD.5、如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B=30 o ，求∠EAD 、∠DAC 、∠C 的度数。
6、如图所示,已知DC ∥AB,AC 平分∠DAB, 试说明∠1=∠2.7、如图，已知：EF ∥GH ，∠1+∠3=180°，试说明∠2=∠3.8．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．9．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BM E 。
求证：AB∥CD，MP∥NQ．E BAFD C图９F2A B CDQ E1P MN 图11A DCBO图５ABCE D12 3 图１MN1O A BDC2E231A B CDFGH10．如图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．11如图，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB∥CD； （2）∠2 +∠3 = 90°．12. 在下图中，已知直线AB 和直线CD 被直线GH 所截，交点分别为E 、F ，∠AEF =∠EFD .（1）直线AB 和直线CD 平行吗？为什么？（2）若EM 是∠AEF 的平分线，FN 是∠EFD 的平分线，则EM 与FN 平行吗？为什么？13. 如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.13.如图，EB ∥DC ，∠C=∠E ，请你说出∠A=∠ADE 的理由。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
中考数学总复习训练 平行线的判定与性质(含解析)(2021-2022学年)
平行线的判定与性质1．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠ＣAB互余的角有个．2．如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧＨ相交,图中的同旁内角共有（)Ａ.4对B．8对Ｃ.12对ﻩ D.１6对3．如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°,∠ＣDE=30°,∠Ｅ=１0°求证：AＢ∥EF．4.如图,在△ABC中，CE⊥AＢ于E，DF⊥AB于F，AC∥ＥＤ，CE是∠ACＢ的平分线,试比较∠EDF与∠ＢDF的大小,并说明理由．5．探究：(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠Ｄ=∠E，你能说明为什么吗？（２）反之,若∠Ｂ+∠D＝∠E,直线AB与CD有什么位置关系？请证明;ﻬ(3）若将点E移至图ｂ所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(４）若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中,AB∥ＣD，∠E＋∠G与∠B+∠Ｆ＋∠D又有何关系?(６)在图e中，若ＡB∥CＤ，又得到什么结论?6．如图所示,已知ＡB∥CＤ,EＦ交AB于M交ＣD于Ｆ，MN⊥EF于M,MＮ交ＣD于N,若∠BＭＥ=110°，则∠MND=．7．如图,若直线ａ,b分别与直线ｃ,ｄ相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=90°,∠4=11５°，那么∠3=.8．如图,已知AB∥CD，∠１=10０°，∠2＝1２０°，则∠α=度.9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°,那么另一角是度.ﻬ10．如图，下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是( )Ａ．∠1=∠3ﻩ B.∠2＝∠３ﻩ C.∠4=∠5D．∠2+∠4=180°11.已知线段ＡB＝10cm,点Ａ,B到直线l的距离分别为６ｃm,4ｃm.符合条件的直线l有（ )A．1条ﻩＢ．2条 C.3条D．4条1２．已知:如图所示,直线a，ｂ都与直线c相交,给出下列条件:①∠1＝∠２；②∠3＝∠6;③∠4+∠7＝180°;④∠5+∠8＝18０°.其中能判定a∥b的是()Ａ．①③ﻩB．②④C．①③④ﻩD．①②③④１3.如图所示，AB∥EF∥DC，EG∥DＢ,则图中与∠1相等的角（∠1除外)共有（）A.6个ﻩＢ．5个 C.４个ﻩD．2个14．如图所示，已知∠1+∠2=１80°，∠3=∠B,试判断∠ＡEＤ与∠C的大小关系，并对结论进行说理．１5.如图，已知∠１十∠２=１80°,∠A=∠C,AD平分∠BDF.求证：ＢC平分∠ＤBE.１６．在同一平面内有2０02条直线a１，a2，…,a20０2,如果a1⊥ａ2，a2∥ａ3，ａ3⊥ａ4，ａ4∥a5,…,那么a１与ａ2002的位置关系是．17．若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角对．18．如图,已知l1∥l2，AB⊥l１，∠ABC＝130°,则∠α＝ .19．如图，直线ＡB∥ＣD,∠EFＡ=3０°,∠FGH=90°，∠ＨMN=30°，∠CＮＰ=5０°，则∠GＨM的大小是.２０.如图,D、G是△ABC中ＡB边上的任意两点,DE∥ＢC，GＨ∥ＤC,则图中相等的角共有（ )A．4对ﻩ B.5对ﻩC．6对 D.７对21．如图，若AＢ∥CD,则( )A．∠1＝∠2+∠3B．∠1=∠3﹣∠2C.∠1+∠2+∠３=180°ﻩD．∠l﹣∠２+∠３=180°2２.如图：已知AＢ∥CＤ∥EF,ＥH⊥ＣD于H,则∠ＢAＣ＋∠ACE+∠ＣEH等于()A.18０°Ｂ．27０°ﻩ C.3６0°ﻩ D.4５0°23．如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是（ )Ａ.β＝α+γB．α+β+γ=18０°Ｃ．α+β﹣γ=９0°Ｄ.β+γ﹣α=１80°24.如图，已知AB∥ＣD,P为ＨD上任意一点,过P点的直线交ＨF于O点,试问:∠HＯP、∠AGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明．２5.如图,AB∥ED,α＝∠A+∠Ｅ,β＝∠B+∠Ｃ＋∠D．证明：β=2α２6.平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点.(1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(２)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为６,２１，15?（4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？２７.如图，直线CB∥OA，∠C=∠BAO=120°，Ｅ、Ｆ在ＣB上,且满足∠FＯB=∠ＡOB,ＯE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数;(２）若平行移动AＢ，那么∠ＯBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；(３）在平行移动ＡB的过程中，是否存在某种情况，使∠ＯＥＣ=∠OBＡ？若存在，求出其度数;若不存在，说明理由．平行线的判定与性质参考答案与试题解析1．如图,ＡB∥CD,AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有 3 个.【考点】平行线的性质;余角和补角．【分析】本题考查互余的概念,和为90度的两个角互为余角，结合图形和平行线的性质作答．【解答】解:AＢ∥ＣD，ＡC⊥BC，则图中与∠CＡB互余的角有3个,∠CＢA,∠BCD,和∠CBA的对顶角．【点评】此题属于基础题，较简单,主要记住互为余角的两个角的和为９0度．2.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧH相交，图中的同旁内角共有（ )A．4对ﻩ B.8对 C.1２对Ｄ．16对【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题．【分析】每一个“三线八角"基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数.【解答】解：直线AB、CＤ被EＦ所截有2对同旁内角；直线ＡB、CD被GH所截有2对同旁内角;直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；直线CD、GＨ被EF所截有2对同旁内角;直线ＧH、EF被CD所截有2对同旁内角；直线ＡＢ、EF被GＨ所截有２对同旁内角;ﻬ直线ＡＢ、ＧH被EF所截有2对同旁内角；直线EＦ、GH被AB所截有2对同旁内角．共有１６对同旁内角.故选D.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角.要结合图形,熟记同旁内角的位置特点.两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角.3．如图，已知∠Ｂ＝25°,∠BＣD=45°,∠CDE=３０°,∠E＝１0°求证:AB∥EF.【考点】平行线的判定与性质.【专题】证明题．【分析】解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件,在图中添置“三线八角"或作出与AB或ＣD平行的直线，利用平行线的性质和判定求证．【解答】解：过C点作ＣG∥AB，过点Ｄ作ＤH∥ＡＢ，则CG∥DＨ，∵∠Ｂ=25°,∴∠BＣG=2５°,∵∠BCD=45°,∴∠ＧCD=２0°,∵CG∥HD,∴∠CＤH=2０°,∵∠CDE=３０°，∴∠ＨDE=１0°∴∠HDＥ=∠E＝10°,∴DH∥EF,∴DH∥ＡB,∴AB∥EF.【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线是常见的作法,证明过程注意选用有用的条件作为证明的依据．4．如图,在△ABC中，ＣE⊥ＡＢ于E，ＤF⊥AB于F,AＣ∥ＥD,CE是∠AＣB的平分线,试比较∠EDＦ与∠BDF的大小,并说明理由.【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行,得出∠BDF=∠BCE，∠ＦDE=∠ＤＥＣ，再根据平行线的性质得出∠DEC＝∠ACE,然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系.【解答】解:∠EDF=∠ＢDF．∵CＥ⊥ＡＢ于Ｅ，DF⊥ＡB于F∴ＤＦ∥CE （垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠ＢDF=∠BCE （两直线平行,同位角相等),∠FDE＝∠DEC（两直线平行,内错角相等)又∵AC∥ED，∴∠DＥＣ=∠AＣE（两直线平行,内错角相等），∵CE是∠ＡCB的角平分线,∴∠ＡＣE＝∠EＣB(角平分线的定义),∴∠EDF=∠ＢDF(等量代换)．【点评】本题主要运用了平行线的性质和垂线的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等.ﻬ5.探究：（1）如图a，若AＢ∥CＤ,则∠Ｂ+∠D=∠E，你能说明为什么吗？(2）反之，若∠B+∠D=∠Ｅ,直线ＡB与ＣＤ有什么位置关系？请证明;(3)若将点Ｅ移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(４)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(５)在图d中,AB∥CＤ，∠E+∠G与∠Ｂ＋∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CＤ,又得到什么结论?【考点】平行线的判定与性质.【分析】已知AB∥ＣD,连接AB、CD的折线内折或外折,或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AＢ（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.【解答】解:(1)过E作EF∥AB,则∠B=∠ＢＥＦ,∵ＡB∥ＣD，∴EF∥CD,∴∠D=∠DＥＦ,∴∠BＥＤ=∠ＢEＦ+∠DEF=∠B+∠D．（２）若∠B＋∠D=∠E,由EF∥AＢ，∴∠B=∠BEF,∵∠E=∠ＢEF+∠DEF=∠B＋∠D，∴∠D＝∠ＤＥF,∴ＥF∥CＤ，∴AB∥CD；（3)若将点Ｅ移至图ｂ所示位置，过E作EF∥AB,∴∠BEF+∠Ｂ=180°，∵EＦ∥CD,∴∠D+∠ＤＥF=1８0°，∠Ｅ+∠B＋∠D＝360°;(４)∵AB∥CD，∴∠Ｂ=∠BFＤ,∵∠D+∠E=∠BFＤ,∴∠D+∠E=∠Ｂ;(5）∵AB∥CD，∴∠E＋∠G=∠B+∠Ｆ+∠D；（6)由以上可知:∠E1＋∠Ｅ２+…＋∠E n=∠B+∠Ｆ1+∠Ｆ2+…＋∠Fｎ﹣1+∠D;【点评】本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过Ｅ点作AB（或ＣD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.6．如图所示,已知AB∥ＣD，EF交AB于M交CD于F，MＮ⊥EＦ于M，MN交CＤ于Ｎ,若∠BＭE=11０°，则∠MND＝2０° .【考点】平行线的性质．【分析】根据对顶角相等求出∠ＡＭＦ,再求出∠ＡＭN，然后根据两直线平行,内错角相等求解即可.【解答】解：∵∠BMＥ=11０°,∴∠AMF=∠BME=11０°,∵MN⊥EＦ于M，∴∠NMF=９０°，∴∠AＭN=∠ＡMF﹣∠ＮMF＝1１０°﹣9０°＝２0°,∵AB∥CD,∴∠MＮD=∠AMＮ=２0°.故答案为:２0°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键．7.如图,若直线a,b分别与直线c,d相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=９0°，∠4=115°,那么∠3= 65°.【考点】平行线的判定与性质.【专题】计算题．【分析】由∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=９０°,可得∠1+∠2=１80°,则可得出a∥b，根据同旁内角互补即可得出答案.【解答】解:∵∠1+∠3=90°,∠２﹣∠3＝9０°,∴∠1+∠2=１80°,∴∠１的对顶角+∠2=180°,∴ａ∥b，∴∠３+∠４的对顶角＝1８0°，∵∠4=１15°,∴∠3=1８0°﹣∠４=65°,故答案为:65°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质,属于基础题，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质.８.如图,已知AＢ∥CD，∠１=100°,∠2=120°,则∠α＝４0度.ﻬ【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点F作ＥF∥ＡB，由平行线的性质可先求出∠3与∠4，再利用平角的定义即可求出∠α.【解答】解：如图，过点F作EＦ∥AB,∴∠１+∠3=1８０°．∵∠1=100°,∴∠３=80°．∵AB∥CD,∴CD∥EF，∴∠4+∠2=1８0°,∵∠２＝120°，∴∠4=60°．∴∠α=18０°﹣∠3﹣∠４=40°．故应填40．【点评】本题的难点在于用辅助线构造平行线；关键点在于利用平行线的性质进行角的转化．9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是 4０或140 度.【考点】平行线的性质.【分析】两个角的两边分别平行，则两个角可能是同位角，也可能是同旁内角,所以应分情况讨论.【解答】解：当两个角是同位角时，则另一个角也等于40°;若两个角是同旁内角时,则另一个角是14０°.故应填:40或140.【点评】会利用平行线性质求解角的大小,能够分析讨论一些简单的问题．ﻬ１0.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l２的是（）A．∠1=∠3B．∠２=∠3ﻩ C.∠4=∠5Ｄ．∠2＋∠4=180°【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定定理:同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行分别进行分析即可．【解答】解：Ａ、根据内错角相等,两直线平行可判断直线l１∥l2,故此选项不合题意；B、∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意;Ｃ、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l２，故此选项不合题意;D、根据同旁内角互补,两直线平行可判断直线l１∥l2，故此选项不合题意;故选：B.【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．1１．已知线段ＡB=10ｃｍ,点Ａ,B到直线l的距离分别为6ｃｍ，４cm.符合条件的直线l有( ）A．１条 B.２条ﻩ C.3条D．4条【考点】点到直线的距离．【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.画出图形进行判断．【解答】解:在线段ＡB的两旁可分别画一条满足条件的直线;作线段AB的垂线，将线段AＢ分成6ｃm，4cm两部分，所以符合条件的直线l有３条,故选C.【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义．12．已知:如图所示,直线a,b都与直线ｃ相交，给出下列条件:①∠1=∠2；②∠3=∠6;③∠4+∠7＝18０°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判定ａ∥b的是（ )Ａ.①③ﻩB．②④ﻩＣ.①③④ D.①②③④【考点】平行线的判定;对顶角、邻补角．【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：①∵∠1=∠2,∴a∥b（同位角相等，两直线平行).②∵∠3=∠6，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．③∵∠4＋∠７＝１80°,∵∠４＝∠６(对顶角相等)，∴∠6+∠7=180°,∴a∥b（同旁内角互补,两直线平行）．④同理得,a∥b(同旁内角互补,两直线平行）．故选D.【点评】正确识别“三线八角＂中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行．１3．如图所示，AB∥ＥF∥DC,ＥＧ∥DB，则图中与∠１相等的角(∠１除外）共有（)A．6个ﻩB．５个C．4个 D.2个【考点】平行线的性质．ﻬ【分析】由AB∥EF得∠FEG＝∠1,由EG∥DB可得∠DBG=∠１;设BＤ与ＥF相交于点Ｐ,由AB∥EF得到∠FPB=∠ＤＢG＝∠１，∠DPＥ＝∠ＤBG=∠1,又AB∥ＤＣ可以得到∠ＣＤＢ＝∠ＤBG=∠1，由此得到共有5个．【解答】解:∵AＢ∥EＦ,∴∠FＥG=∠1，∵EG∥DB，∴∠DBG＝∠1,设BD与EＦ相交于点P,∵AB∥EＦ，∴∠ＦＰＢ=∠DBG=∠１,∠DＰE=∠DBG＝∠１，∵AB∥DC，∴∠CDB=∠DBG=∠1.∴共有5个.故选Ｂ．【点评】本题主要利用了由平行得到的内错角相等以及同位角相等，注意不要漏解．14.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠Ｃ的大小关系,并对结论进行说理.【考点】平行线的性质.【专题】探究型．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC.题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠４=1８0°所以∠2=∠４，那么可得到BD∥EF，题中有∠３=∠B,所以应根据平行得到∠3与∠ＡDE之间的关系为相等.就得到了∠Ｂ与∠ＡDＥ之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明:∵∠１＋∠4=180°（邻补角定义)∠1+∠2=180°(已知）∴∠2=∠4(同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等,两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行,内错角相等）又∵∠Ｂ＝∠3（已知）,∴∠ADE=∠B（等量代换）,∴DE∥ＢC(同位角相等，两直线平行）∴∠AＥD=∠Ｃ（两直线平行,同位角相等)．【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手,得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．15.如图,已知∠１十∠2＝18０°，∠A=∠C,AＤ平分∠BDＦ．求证：ＢC平分∠DBＥ.【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得∠１=∠BDC，则AＥ∥CF,所以∠EBＣ=∠ＢCＤ，又∠ＢAＤ=∠ＢCD,故∠EBＣ=∠ＢAD，可得AD∥BC，再用角平分线的定义和平行线的性质求证即可.【解答】证明:∵∠1十∠２=18０°,∠1+∠EBD=180°，∴∠2=∠ＥＢD,∴AE∥CＦ,∴∠FDＢ=∠DBE,∠BAD=∠ADF,又∵∠BＡD=∠BCD,∴∠BCD＝∠ＡDF,∴AD∥BC,∴∠ＤBC=∠BDA=∠FDB=∠DBＥ,∴ＢC平分∠ＤＢE．ﻬ【点评】此题考查了平行线的判定和性质，综合利用了角平分线的定义,要充分利用已知条件.16．在同一平面内有２002条直线ａ1,a2，…，a2０02，如果a1⊥a2,a2∥a3,a３⊥ａ4，a４∥a5，…,那么a１与a2002的位置关系是垂直．【考点】垂线；平行线.【专题】压轴题；规律型．【分析】a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每４条直线一循环.根据此规律可求a１与a２002的位置关系是垂直．【解答】解:∵ａ１与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.∴(２00２﹣1)÷4=5０0余１，故答案为：垂直.【点评】本题难点在规律的探索,要认真观察即可得出规律.17.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角2４对.【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题.【分析】一条直线与另3条直线相交(不交于一点）,有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有３条线段．4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段.每条线段两侧各有一对同旁内角,可知同旁内角的总对数.【解答】解：∵平面上４条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段.又∵每条线段两侧各有一对同旁内角,∴共有同旁内角12×２＝24对.故答案为:２４.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中,有两对同旁内角．ﻬ1８．如图，已知ｌ1∥ｌ2，AB⊥ｌ1,∠ABC=130°,则∠α＝40°．【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点Ｂ作ＥF∥l１∥l2,再根据平行线的性质不难求得∠α的度数.【解答】解:过点B作ＥF∥ｌ1∥l2∵EF∥l１∥l2，AＢ⊥l1∴∠ABF=9０°∵∠AＢC=130°∴∠ＦＢC=40°∵EF∥l1∥l2∴∠FBC=∠α=４0°故答案为:40°【点评】此题主要考查平行线的性质定理:定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行,同位角相等.定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行,内错角相等.19．如图,直线AB∥ＣＤ，∠EFA=３0°，∠FGH=９0°,∠HMN＝3０°，∠CNP=50°，则∠GＨM的大小是4０°.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质;多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】作辅助线:延长PM、EG交于点K；PＭ延长线交AＢ于点L．利用平行线性质进行求解.【解答】解:辅助线延长PＭ、EＧ交于点Ｋ,ＰM延长线交AＢ于点L．如图:∵AB∥CD，∴∠ＡLM=∠LND=５０°;∴∠MKＧ=∠BFG＋∠ＡLM=８0°.∵∠HＭＮ=30°,∴∠ＨMＫ=1５0°;∵∠ＦGＨ=90°,∴∠GＨM=３６0°﹣∠HＭＫ﹣∠MKＧ﹣∠ＭGH=360°﹣150°﹣80°﹣9０°＝４0°．【点评】考查了平行线的性质的应用．本题综合性较强．20．如图，Ｄ、Ｇ是△AＢC中AB边上的任意两点,ＤE∥BC,GＨ∥ＤC，则图中相等的角共有( ）A.4对B．５对 C.6对D.7对【考点】平行线的性质．【分析】可利用平行线内错角相等,同位角相等的性质得出图中相等的角．【解答】解:由DE∥BＣ,可得∠ADE=∠ABC,∠AED＝∠ACＢ,∠EDC=∠ＤCB,由GH∥DC，可得∠ＢDC=∠ＢGH,∠HＧD＝∠ＡDC,∠ＤCB=∠GHB，∵∠EDC=∠ＤCB,∠DCB=∠GHB,∴∠ＥＤC＝∠BHG,∴题中共有7对相等的角.故选Ｄ.【点评】本题主要考查平行线的性质,即同位角相等,内错角相等,所以熟练掌握平行线的性质.21．如图，若ＡB∥ＣD，则( ）A．∠1＝∠2+∠3 B.∠1=∠３﹣∠2C.∠1+∠2＋∠3=1８0°ﻩD.∠l﹣∠2+∠3＝1８０°【考点】平行线的性质.【分析】先根据平行线的性质由ＡB∥CD得到∠3＝∠４,再根据三角形外角性质得∠１=∠2+∠4,等量代换后得到∠1=∠２+∠３．【解答】解:延长BA交EC于F，如图,∵AB∥CＤ,∴∠3=∠4,∵∠1＝∠２+∠4,∴∠1=∠2＋∠3.故选Ａ．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行，内错角相等．也考查了三角形外角性质.２2.如图：已知AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACＥ+∠CEＨ等于（)A.180°ﻩB.270°C．360°D．450°【考点】平行线的性质.【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质可以求得:∠BＡC与∠ＡCD,∠ＤCE与∠CＥF的度数的和,再减去∠HEF的度数即可.【解答】解：∵AB∥CD,∴∠BＡC+∠ACＤ＝180°，同理∠DCＥ+∠CＥF=１80°，∴∠BAC＋∠ＡCE+∠CＥＦ=360°；又∵EH⊥CD于H,∴∠HEF=９0°,∴∠BAC+∠ACＥ+∠CＥＨ=∠BＡC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF＝3６０°﹣90°=27０°．故选B.【点评】本题主要考查了平行线的性质:两直线平行同旁内角互补.23.如图,ＡＢ∥EＦ，∠C=９0°，则α、β和γ的关系是( )Ａ．β=α+γﻩＢ．α+β+γ＝180° C.α+β﹣γ=９０°ﻩ D.β+γ﹣α＝180°【考点】平行线的性质.【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系.【解答】解:延长DC交ＡＢ与G,延长CD交ＥF于H．在直角△BGＣ中,∠1=９0°﹣α；△EHＤ中，∠２=β﹣γ，∵ＡB∥EF，∴∠１=∠２，∴90°﹣α=β﹣γ,即α+β﹣γ=9０°.故选:C．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.２4.如图,已知ＡB∥CD，P为HD上任意一点，过Ｐ点的直线交HF于Ｏ点，试问：∠ＨＯP、∠ＡGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质.【分析】可过点Ｏ作OＭ∥CD，利用内错角相等,再通过转化即可得出结论.【解答】解:∠ＨOP=∠AＧF﹣∠HＰO,过点O作OM∥CＤ,如图,则∠AGF=∠ＨＯM,∠ＨＰO=∠POM,∠ＨＯP=∠ＨOM﹣∠POM，∴∠HOＰ＝∠AGＦ﹣∠HPO.【点评】本题主要考查平行线的性质，能够熟练运用平行线的性质求解角之间的关系问题．25.如图，AB∥ED,α=∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β=2α【考点】平行线的判定与性质;多边形内角与外角．【专题】证明题．【分析】此题的关键是过点C作AＢ的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°,∠Ｂ+∠C+∠D=３60°,即可证明．【解答】证法１：∵AB∥ED,∴α=∠A+∠E＝1８0°(两直线平行，同旁内角互补）过C作CＦ∥AB（如图１）∵AＢ∥EＤ,∴CＦ∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行)∵CF∥AB,∴∠B=∠1,(两直线平行,内错角相等）又∵CF∥ED,∴∠2＝∠Ｄ,(两直线平行,内错角相等）∴β=∠B+∠C＋∠Ｄ=∠1+∠BCD+∠2=3６０°(周角定义)∴β=2α(等量代换)证法２:∵AB∥ED，∴α=∠A+∠E＝18０°（两直线平行，同旁内角互补)过C作ＣＦ∥AＢ（如图2）∵AB∥ＥD，∴CF∥ED(平行于同一条直线的两条直线平行）∵CＦ∥AＢ,∴∠B＋∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥EＤ,∴∠２+∠Ｄ＝１８0°,（两直线平行,同旁内角互补）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D=1８0°+１8０°=36０°,∴β=2α(等量代换）【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线的作法很关键,也是常见作法,需掌握.２6.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点．（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6,２1，15？(４)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?【考点】平行线；相交线.【专题】规律型．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行,再考虑五条、四条,三条,二条直线平行,都不平行作出草图即可看出.ﻬ从画出的图形中归纳规律即可得到答案.【解答】解：（1）如图1所示;交点共有6个,(2）如图2,3．(3）当ｎ=6时,必须有6条直线平行,都与一条直线相交．如图4，当n=21时,必须使7条直线中的每2条直线都相交(即无任何两条直线平行）如图5，当n=15时,如图6,(4)当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：①当7条直线都相互平行时,交点个数是0，这是交点最少,②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21,这是交点最多．ﻬ【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形,再再根据图形归纳规律.2７.如图，直线ＣＢ∥OＡ，∠C＝∠BAO＝1２0°，E、F在ＣB上,且满足∠FOB＝∠AOＢ,OE平分∠COF.（１)求∠EＯB的度数;(２）若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFＣ的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【考点】平行线的性质;三角形内角和定理；角平分线的性质;平移的性质.【专题】几何图形问题.【分析】（1)根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠EOB=∠ＡOC,代入数据即可得解;(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠ＯBC=∠ＢOＡ，从而得到∠OBＣ＝∠FOB,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFＣ=２∠OBC,从而得解；（３）设∠AOB=ｘ,根据两直线平行,内错角相等表示出∠CBO＝∠AＯB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OＥC,然后利用三角形的内角和等于1８0°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可.【解答】解：(1)∵ＣB∥OＡ,∴∠ＡOC＝1８０°﹣∠Ｃ=1８0°﹣1２０°＝60°，∵∠FOB=∠AＯＢ,OE平分∠COＦ,∴∠ＥOＢ＝∠AＯC＝×６０°=３０°;（２）∠ＯBC：∠OFＣ的值不会发生变化，为１:2，ﻬ∵CＢ∥OA，∴∠OＢC=∠BOA,∵∠FＯＢ＝∠AOＢ，∴∠OBC=∠FOＢ,∴∠OFC=∠ＯＢC＋∠ＦOＢ=２∠ＯBC，∴∠ＯＢC：∠OFC=1:2;(3)当平行移动ＡＢ至∠OBA=45°时，∠ＯEC＝∠OBA.设∠ＡOＢ=x，∵CＢ∥ＡO,∴∠CＢO=∠ＡOB=x,∵∠ＯＥC=∠CBO+∠EOＢ＝ｘ+30°，∠OBA=１80°﹣∠A﹣∠AOB=１80°﹣120°﹣ｘ=６0°﹣ｘ,∴x＋30°=60°﹣x,∴x=15°，∴∠OEＣ=∠OBA=６０°﹣15°＝45°．【点评】本题考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义,三角形的内角和定理,图形较为复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．。
平行线的判定与性质练习题
平行线的判定与性质练习题平行线的判定与性质练习题平行线是几何学中的基本概念之一，它在我们的日常生活中无处不在。
从道路上的交叉口到建筑物的设计，平行线都扮演着重要的角色。
在几何学中，我们需要学会判定平行线，并掌握它们的性质。
下面，我将给大家提供一些平行线的判定与性质练习题，希望能帮助大家更好地理解和应用平行线的知识。
练习题一：判定平行线1. 在下图中，判断线段AB和线段CD是否平行。
A-----B| |C-----D2. 在下图中，判断线段AB和线段EF是否平行。
A-----B| || |E-----F3. 在下图中，判断线段AB和线段CD是否平行。
A-----B\ /\ /C-----D练习题二：平行线的性质1. 若两条平行线被一条横线所截，那么对应的内角互补。
2. 若两条平行线被一条横线所截，那么对应的外角相等。
3. 若两条直线分别与一条平行线相交，那么对应的内角相等。
4. 若两条直线分别与一条平行线相交，那么同旁内角互补。
练习题三：平行线的应用1. 若两条平行线被一条横线所截，且已知其中一个内角的度数为60°，求对应的内角和外角的度数。
2. 若两条平行线被一条横线所截，且已知其中一个外角的度数为120°，求对应的内角和另一个外角的度数。
3. 若两条直线分别与一条平行线相交，且已知其中一个内角的度数为70°，求对应的内角和同旁内角的度数。
4. 若两条直线分别与一条平行线相交，且已知其中一个同旁内角的度数为45°，求对应的内角和另一个同旁内角的度数。
通过以上练习题，我们可以加深对平行线的判定与性质的理解。
判定平行线需要观察线段的走向，若两条线段的走向相同，即不相交且不重合，则可以判定它们为平行线。
而平行线的性质则是通过观察线段之间的关系得出的。
掌握这些性质可以帮助我们解决更复杂的几何问题。
在应用平行线的过程中，我们可以根据已知条件利用平行线的性质进行推导。
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平行线的判定和性质的综合应用
一、选择题
1.互为余角的两个角之差为35°，则较大角的补角是（）
D ．北偏西60°
4.如图，已知∠1=∠2，∠BAD=∠BCD ，则下列结论
(1)AB 如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交
AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．AD 平分∠BAC 吗说说你的理由．
3. 如图，若AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E =∠F ，为什么
4、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，
求 ∠A 的度数．
A
B C
D F G
E
5、如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、
②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）
（1）当动点P落在第①部分时，试说明：∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立
（3）当动点P落在第③部分时，请全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，
选择其中一种结论加以说明．
一、能力提升
1.
如图，已知∠ABC +∠ACB =110°，BO 、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过O 与BC
2.
如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′的度数为 ．
3.
如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则
3∠= ．
4.如图,已知∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD 平分∠BDF.求证:BC 平分∠DBE.
B
1
2
F
D
E
C
A
5、如图，已知∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．
求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°．
6、如图，已知AB ∥CD ，∠BAE =30°，∠DCE =60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． （1）求∠AEF 的度数； （2）求证：EF ∥AB ．
E G D
C
F
A B
7.如图，已知AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∠E = 140º，求∠BFD 的度数．
8.如图所示，A 1B ∥A n C ,求∠A 1+∠A 2
+……∠A n -1+∠A n 度数．
（1）在图1中，当A 1B ∥A 2C 时，∠A 1+∠A 2= ．
（2）在图2中，当A 1B ∥A 3C 时，∠A 1+∠A 2+∠A 3= ． （3）在图3中，当A 1B ∥A 4C 时，∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4= ．
（4）由上述结果，可以总结得到:当A 1B ∥A n C 时，∠A 1+∠A 2+……∠A n -1+∠A n = ．
9.如图,已知射线CB ∥OA,∠C=∠OAB=100°,E 、F 在CB 上,且满足∠FOB=∠AOB,OE 平分∠COF.
A
A
A
(1)求∠EOB 的度数.
(2)若平行移动AB,那么∠OBC:∠OFC 的值是否随之发生变化若变化,•找出变化规律;若不变,求出这个比值.
(3)在平行移动AB 的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA 若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.
B
O
F
E C A
10.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
（1）AB //CD ．如图a ，点P 在AB 、CD 外部时，由AB ∥CD ，有∠B =∠BOD ，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD =∠BPD +∠D ，得∠BPD =∠B -∠D ．如图b ，将点P 移到AB 、CD 内部，以上结论是否成立，若不成立，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系请证明你的结论；
（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图c ，则
∠BPD ﹑∠B ﹑∠D ﹑∠BQD 之间有何数量关系
（3）根据（2）的结论求图d 中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数．
图O
图
c 图d。