江西近5年中考试题 二次函数
人教版江西初三数学二次函数图像专题(含答案)
初三数学二次函数图像专题一、单选题1．（已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b +c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 42．小明从如图所示的二次函数y = ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab > 0 ②a＋b ＋c < 0 ③b＋2c > 0 ④a－2b ＋4c > 0 ⑤a=b 23.你认为其中正确信息的个数有（ ）A ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a +b ＜0；②abc ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；⑤（a ﹣2b +c ）＜0，其中正确的个数是（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 54．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①9a ﹣3b+c=0；②4a ﹣2b+c ＞0；③方程ax 2+bx+c ﹣4=0有两个相等的实数根；④方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0的两根是x 1=﹣2，x 2=2．其中正确结论的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，4），与x 轴的一个交点是B （3，0），下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③方程ax 2+bx+c=4有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x （ax+b ）≤a+b ，其中正确结论的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论：①2a+b<0;②abc>0;③4a−2b+c>0;④a+c>0,其中正确结论的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个7．（题文）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0②b-a＞0③4a+2b+c＞0④3a＞-c⑤a+b＞m(am+b)(m≠1) 的实数其中正确结论的有( )A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤8．如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，与y轴的交点B在和之间包括这两点下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④9．如图，抛物线，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：，，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴的另一个交点是，当时，有其中正确结论的个数是( )A．5B．4C．3D．210．如图，二次函数的图象如图所示，下列结论：，，，其中正确的是（）A．B．C．D．11．抛物线与直线的图象如图所示，下列判断：；；；；当或时，．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．已知二次函数的图象经过点、，，图象与y轴的负半轴相交，且交点在的上方，有下列结论：；；；其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．413．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）如图所示，现有下列四个结论：①abc＞0 ②b2-4ac＜0 ③c ＜4b ④a+b＞0．其中正确的结论有（）A．1个B．3个C．2个D．4个14．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．516．已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．17．二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（）A． B C．D．18．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的大致图象是()A．B．C．D．19．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．20．反比例函数y=(k≠0)与二次函数y=x2+kx-k的大致图象是（）A．A B．B C．C D．D21．二次函数的图象如图，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．22．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的图象可能是（）A．B．C．D．23．已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．24．如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（）A．B．C．D．25．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A B C D26．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥27．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A B C．D．28．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）A. B CD ．参考答案1．D 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D 9．A 10．C 11．B 12．C 13．C 14．A15．B 16．A 17．B 18．C 19．B 20．B 21．C 22．C 23．D 24．D 25．B 26．A 27．B 28．C。
2024年江西九江中考数学试题及答案
2024年江西中考数学试题及答案说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟．2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．1. 实数5-的相反数是（ ）A. 5B. 5-C. 15 D. 15-2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ）A. 60.2510´B. 52.510´ C. 42.510´ D. 32510´3. 如图所示的几何体，其主视图为（）A. B. C. D.4. 将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数()y ℃与时间()min x 的关系用图象可近似表示为（ ）A. B. C. D.5. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）A. 五月份空气质量为优的天数是16天B. 这组数据的众数是15天C. 这组数据的中位数是15天D. 这组数据的平均数是15天6. 如图是43´的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 计算：()21-=____．8. 因式分解：22a a +=_________．9. 在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为______．10. 观察a ，2a ，3a ，4a ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______．11. 将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD ，连接AC ，则tan CAB Ð=______．12. 如图，AB 是O e 的直径，2AB =，点C 在线段AB 上运动，过点C 的弦DE AB ^，将¼DBE沿DE 翻折交直线AB 于点F ，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为______．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算：0π5+-；（2）化简：888x x x ---．14. 如图，AC 为菱形ABCD 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）（1）如图1，过点B 作AC 的垂线；（2）如图2，点E 为线段AB 的中点，过点B 作AC 的平行线．15. 某校一年级开设人数相同的A ，B ，C 三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．（1）“学生甲分到A 班”的概率是______；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．16. 如图，AOB V 是等腰直角三角形，90Ð=°ABO ，双曲线()0,0k y k x x=>>经过点B ，过点()4,0A 作x 轴的垂线交双曲线于点C ，连接BC ．（1）点B 的坐标为______；（2）求BC 所在直线的解析式．17. 如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC Ð=Ð=°．（1）求证：BD 是半圆O 的切线；（2）当3BC =时，求»AC 的长．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 如图，书架宽84cm ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm ，每本语文书厚1.2cm ．（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？19. 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD 和矩形碗底BEFC 组成，已知AD EF ∥，AM ，DN 是太阳光线，AM MN ^，DN MN ^，点M ，E ，F ，N 在同一条直线上，经测量20.0m ME FN ==，40.0m EF =， 2.4m BE =，152ABE Ð=°．（结果精确到0.1m ）（1）求“大碗”的口径AD 的长；（2）求“大碗”的高度AM 的长．（参考数据：sin620.88°»，cos620.47°»，tan62 1.88°»）20. 追本溯源：题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．（1）如图1，在ABC V 中，BD 平分ABC Ð，交AC 于点D ，过点D 作BC 的平行线，交AB 于点E ，请判断BDE V 的形状，并说明理由．方法应用：（2）如图2，在ABCD Y 中，BE 平分ABC Ð，交边AD 于点E ，过点A 作AF BE ⊥交DC 的延长线于点F ，交BC 于点G ．①图中一定是等腰三角形的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个②已知3AB =，5BC =，求CF 的长．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是22)kg (()m BMI =体重单位：身高单位：．中国人的BMI 数值标准为：18.5BMI <为偏瘦；18.524BMI £<为正常；2428BMI £<为偏胖；28BMI ³为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI 数值，再参照BMI 数值标准分成四组：A ．1620BMI £<；B ．2024BMI £<；C ．2428BMI £<；D ．2832BMI £<．将所得数据进行收集、整理、描述．收集数据七年级10名男生数据统计表编号12345678910身高（m ）1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72体重（kg ）52.549.545.640.355.256.148.542.867.290.5BMI 21.6s 16.516.124.519.421.321.226.630.6七年级10名女生数据统计表编号12345678910身高（m ）1.46 1.62 1.551.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62体重（kg ）46.449.061.556.552.975.550.347.652.446.8BMI 21.818.725.620.821.227.120.922.322.417.8整理、描述数据七年级20名学生BMI 频数分布表组别BMI 男生频数女生频数A1620BMI £<32B2024BMI £<46C2428BMI £<t 2D 2832BMI £<10应用数据（1）s =______，t =______a =______；（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．①估计该校七年级男生偏胖的人数；②估计该校七年级学生24BMI ³的人数（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．22. 如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：x 012m 4567…y 07261528152n 72…（1）①m =______，n =______；②小球的落点是A ，求点A 的坐标．（2）小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =-+．①小球飞行的最大高度为______米；②求v 的值．六、解答题（本大题共12分）23. 综合与实践如图，在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 上的动点（点D 与点A 不重合），连接CD ，以CD 为直角边在CD 的右侧构造Rt CDE △，90DCE Ð=°，连接BE ，CE CB m CD CA==．特例感知（1）如图1，当1m =时，BE 与AD 之间的位置关系是______，数量关系是______；类比迁移（2）如图2，当1m ¹时，猜想BE 与AD 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．拓展应用（3）在（1）的条件下，点F 与点C 关于DE 对称，连接DF ，EF ，BF ，如图3．已知6AC =，设AD x =，四边形CDFE 的面积为y ．①求y 与x 的函数表达式，并求出y 的最小值；②当2BF =时，请直接写出AD 长度．的江西省2024年初中学业水平考试数学试题卷说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟．2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）【7题答案】【答案】1【8题答案】a a+【答案】(2)【9题答案】3,4【答案】()【10题答案】a【答案】100【11题答案】【答案】12##0.5【12题答案】【答案】2或2+或2三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）【13题答案】【答案】（1）6；（2）1【14题答案】【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．【15题答案】【答案】（1）13（2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为13．【16题答案】【答案】（1）()2,2（2）132y x =-+【17题答案】【答案】（1）见解析（2）2p 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）【18题答案】【答案】（1）书架上有数学书60本，语文书30本． （2）数学书最多还可以摆90本【19题答案】【答案】（1）“大碗”的口径AD 的长为80.0m ； （2）“大碗”的高度AM 的长为40.0m ．【20题答案】【答案】（1）BDE V 等腰三角形；理由见解析；（2）①B ；②2CF =．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）【21题答案】是【答案】（1）22；2；72°；（2）①52人；②126人（3）见解析【22题答案】【答案】（1）①3，6；②1515,28æöç÷èø；（2）①8，②v =六、解答题（本大题共12分）【23题答案】【答案】（1）AD BE ^，AD BE =（2）BE 与AD 之间的位置关系是AD BE ^，数量关系是BE m AD =；（3）①y 与x 的函数表达式((2180y x x =-+<£，当x =y 的最小值为18；②当2BF =时，AD 为或.。
专练15(二次函数类压轴题)中考数学考点必杀500题(江西专用)(解析版)
2021中考考点必杀500题专练15（二次函数类压轴题）（30道）1．（2021·江西赣州市·九年级一模）规定：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，与该抛物线关于点M（m，n）（m ＞0，n≥0）成中心对称的抛物线为y′，我们称抛物线y′为抛物线y的发散抛物线，点M称为发散中心．已知抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），顶点为A，抛物线y1与该抛物线关于点（1，0）成中心对称．（1）m＝，点A的坐标是，抛物线y1的解析式是．（2）对于抛物线y0＝mx2＋4x＋3，如图，现分别以y1的顶点A1为发散中心，得抛物线y2；再以抛物线y2的顶点A2为发散中心，得抛物线y3，…，以此类推．①求抛物线y0＝mx2＋4x＋3以A1为发散中心得到的抛物线y2的解析式；②求发散抛物线y4的发散中心A3的坐标；③若发散抛物线y n的顶点A n的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），请直接写出A n A n﹣1的长度（用含n的式子表示）．【答案】（1）1，（﹣2，﹣1），y1＝﹣x＋8x﹣15；（2）①y2＝﹣x2＋20x﹣97；②A3（22，7）；③2n﹣．【分析】（1）把点（﹣1，0）代入y0＝mx2＋4x＋3即可求得m＝1，然后把解析式化成顶点式，即可求得A的坐标，进而根据中心对称的性质得到A1，即可判断抛物线y1的解析式；（2）①先求得A2的坐标，即可根据中心对称的性质求得抛物线y2的解析式；②根据中心对称的性质求得A3的坐标；③根据勾股定理求得AAn，则由直线对称的性质得到AnAn﹣1＝AAn，即可求得结果．【详解】解：（1）∵抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），∴m﹣4＋3＝0，∴m ＝1，∴y 0＝x 2＋4x ＋3，∵y 0＝x 2＋4x ＋3＝（x ＋2）2﹣1，∴顶点A 的坐标是（﹣2，﹣1），∵抛物线y 1与抛物线y 0关于点（1，0）成中心对称，∴抛物线y 1的顶点A 1为（4，1），∴y 1＝﹣（x ﹣4）2＋1，即y 1＝﹣x ＋8x ﹣15，故答案为：1，（﹣2，﹣1），y 1＝﹣x ＋8x ﹣15；（2）①∵A （﹣2，﹣1），A 1（4，1），抛物线y 2与抛物线y 0关于点A 1成中心对称，∴A 2（10，3），∴y 2＝﹣（x ﹣10）2＋3＝﹣x 2＋20x ﹣97；②设A 3（a ，b ），则2102a -+=，12b -+＝3，解得：a ＝22，b ＝7，∴A 3（22，7）；③∵A （﹣2，﹣1），An 的坐标为（3×2n ﹣2，2n ﹣1），∴AAn ＝2，∴AnAn ﹣1＝12AAn ＝2n ﹣．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法、抛物线的性质，新定义的理解，点的对称坐标的求法等知识，综合性较强，理解新定义并熟练掌握抛物线的性质是解题关键．2．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=-+≠L y ax ax c a 与x 轴交于点O ，B ，点(3,3)A 在抛物线L 上．（1）求点B 的坐标与抛物线L 的解析式；（2）将抛物线L 沿直线y x =-作n 次平移（n 为正整数），平移后抛物线分别记作1L ，2L ，…，n L ，顶点分别为1M ，2M ，…，n M ，顶点横坐标分别为2，3，…，1n +，与y 轴的交点分别为1P ，2P ，…，n P ；①在1L ，2L ，…，n L 中，是否存在一条抛物线，使得点A 恰好落在这条抛物线上？若存在，求出所有满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由；②若3n ≥，过点n M 作y 轴的平行线交2-n L 于点Q ，若由1n P -，n P ，n M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求n 的值；（3）如图2，E 是抛物线L 上的一动点，且保持在第四象限，直线AE 关于直线OA 的对称直线交抛物线于点F ，点E ，F 到直线x 1=-的距离分别为1d ，2d ，当点P 在抛物线上运动时，12d d ⋅的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，请说明理由．【答案】（1）()2,0B 抛物线：22y x x=-（2）①n L ：21230y x x =-+②3n =（3）不变化，12=1d d ⋅【分析】(1)把()()3,3,0,0A O 两点带入抛物线即可求出解析式，B 点坐标；(2)①根据平移规律设出n L ：()22y x n x n n =----（）再带入()3,3A 即可算出来②根据平移规律设出1n L -，2-n L ，n L 求出n M 坐标，进而求出Q 点坐标，再根据1n n n M Q P p -=即可求出n ；（3）不变化，12=1d d ⋅，设E(11,x y )，由对称性可知F 11,y x ()，进而可以求出直线L AF 联立L AF 与抛物线解得F ，从而1d 和2d 都用11,x y 带数式子表示出来，即可求出定值【详解】(1)抛物线22y ax ax c =-+过点()()3,3,0,0A O 带入得0396ca a =⎧⎨=-⎩解得1a c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式：22y x x=-当y=0时，220x x -=，解得x 1=0,x 2=2()20B ∴,(2)①∵抛物线L 沿直线y x =-作n 次平移（n 为正整数）∴设n L ：()22y x n x n n =----（）若过()3,3A ,则有()23323n n n =----（），解得n 1=0(舍去),n 2=5∴n L ：21230y x x =-+②根据平移可得()222:2232n L y x n x n n -=--+-+，()22:22n L y x n x n n =-+++∴n M （n+1,-n-1）当1x n =+时，25n y n-=-()1,5Q n n ∴+-()516n M Q n n ∴=----=由平移可得2211:2n n L y x nx n n --=-+-()()2210,,0,n n P n n P n n -∴-+12n n P P n-∴=若由1n P -，n P ，n M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形则126n n n M Q P p n -===解得3n =（3）不变化，12=1d d ⋅设E(11,x y )，则11=1d x +由对称性可知F 11,y x ()，()3,3A 设直线L AF :y kx b=+{1133x y k b k b =+=+解得1111339333x k y x b y -=--=--⎧⎪⎨⎪⎩∴L AF :1111393333x x y x y y --=+---联立111123933332x x y x y y y x x --=+---=-⎧⎪⎨⎪⎩解得F 12111,12x y ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()21112111111111111d x x d d x x ∴=+-=++∴=+⋅=+【点睛】本题是二次函数综合题，考察了二次函数图像平移，平行四边形等知识点，善于用用代数式设抛物线，用代数式表示点是解题关键3．（2021·江西九年级二模）如图，已知抛物线21:()(0,0,0)C y a x m n a m n =-+>>>，与y 轴交于点A ，它的顶点为B ．作抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C ，与y 轴交于点C ，它的顶点为D ．我们把2C 称为1C 的对偶抛物线．若,,,A B C D 中任意三点都不在同一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线1C 的对偶四边形，直线CD 为抛物线1C的对偶直线．（1）求证：对偶四边形ABCD 是平行四边形．（2）已知抛物线21:(1)1C y x =-+，求该抛物线的对偶直线CD 的解析式．（3）若抛物线1C 的对偶直线是25y x =--，且对偶四边形的面积为10，求抛物线1C 的对偶抛物线2C 的解析式．【答案】（1）见解析；（2）直线CD 的解析式为：2y x =--；（3）抛物线1C 的对偶抛物线2C 的解析式为：22(1)3y x =-+-．【分析】（1）根据题意，利用勾股定理分别解出AB CD AD BC 、、、的长，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可解题；（2）由抛物线21:(1)1C y x =-+，分别解出(0,2),(1,1)A B ，(0,2),(1,1)C D ---，利用待定系数法即可求得直线CD 的解析式；（3）过点B 作BE AC ⊥，垂足为点E ，根据中心对称的性质，解得10AC =，求得对偶四边形的面积，进而得到D 点的横坐标为1-，点D 在直线CD 上，再代入二次函数的解析式即可解题．【详解】解：（1）1C 关于原点对称的曲线为2C A ∴点关于原点对称的是点C ，B 点关于原点对称的是点D ，令20,nx y am ==+22(0,),(0,),(,),(,)A am n C am nB m n D m n ∴+----AB ==C D ==AD ==BC ==,AB CD AD BC∴==∴对偶四边形ABCD 是平行四边形；（2） 抛物线21:(1)1C y x =-+，此时(0,2),(1,1)A B设直线CD 的解析式为：2y kx =-，代入点(1,1)D --得，1k =-，∴直线CD 的解析式为：2y x =--；（3）过点B 作BE AC ⊥，垂足为点E ，当0,5x y ==-，(0,5)C ∴-A 点与C 点关于原点对称，(0,5)A ∴10AC ∴=∴对偶四边形的面积为10，152ABC S AC BE ∴=⋅= 1BE ∴=B ∴点的横坐标为1，即D 点的横坐标为1-，点D 在直线CD 上，∴顶点(1,3)D --，顶点()1,3B 抛物线21:(1)3C y a x =-+，将(0,5)A 代入得，2(01)35a -+=2a ∴=抛物线21:2(1)3C y x =-+，∴抛物线1C 的对偶抛物线2C 的解析式为：22(1)3y x =-+-．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及勾股定理、平行四边形的判定是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·江西九年级一模）如图，已知抛物线C 1：y 1＝x 2＋2x ＋a ＋1的顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2：y 2＝（x ﹣a ）2＋2a ＋1，抛物线C 2的顶点为D ，两抛物线交于点C ．（1）若a ＝1，求点C 的坐标．（2）随着a 值的变化，试判断点A ，B ，D 是否始终在同一直线上，并说明理由．（3）当2AB ＝BD 时，试求a 的值．【答案】（1）11324⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（2）A ，B ，D 始终在同一直线上，理由见解析；（3）-2或2．【分析】（1）令y1=y2，并把a=1代入，即可得到关于x的方程，解出x后代入C1解析式即可得到y1，进而得到C 点坐标；（2）由题意可以得到A、B坐标，并得到直线AB的解析式，然后把D点坐标代入直线AB的解析式即可得知A，B，D是否始终在同一直线上；（3）分两种情况讨论．【详解】解：（1）若a=1，令y1=y2，即x2＋2x＋a＋1=（x﹣a）2＋2a＋1，∴x2＋2x＋1＋1=（x﹣1）2＋2＋1，∴x2＋2x＋1＋1=x2-2x＋1＋2＋1，即4x=2，∴x=1 2，将12x=代入y1＝x2＋2x＋2中得：1134y=，∴C点坐标为（11324，）；（2）点A，B，D始终在同一直线上，理由如下：由题意可得点A坐标为（-1，a），点B坐标为（0，a+1），∴直线AB的解析式为y=x+a+1，∵D是抛物线y2的顶点，∴D点坐标为（a，2a+1），∵当x=a时，y=x+a+1=2a+1，∴点D在直线AB上，∴A、B、D始终在同一直线上；（3）①如图，当A为BD中点时，满足2A B=BD，此时可得01 2a+=-，即a=-2；②如图，当B在线段AD上，存在2AB=BD，分别过A、D两点作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N，可得AM∥DN，∴12AM ABDN BD==，即112a=，解得a=2，综上所述，a的值为-2或2．【点睛】本题考查抛物线平移的综合应用，熟练掌握抛物线的图象与性质、一次函数的图象与性质、中点坐标公式及平行线分线段成比例定理是解题关键．5．（2021·江西）如图，已知二次函数L ：y ＝22x n﹣4x ﹣2，其中n 为正整数，它与y 轴相交于点C ．（1）求二次函数L 的最小值（用含n 的代数式表示）．（2）将二次函数L 向左平移（3n ﹣4）个单位得到二次函数L 1①若二次函数L 与二次函数L 1关于y 轴对称，求n 的值；②二次函数L 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数y ＝22x n﹣4x ﹣2中，当n 依次取1，2，3，…，n 时，抛物线依次交直线y ＝﹣2于点A 1，A 2，A 3，…，A n ，顶点依次为B 1，B 2，B 3，…，B n ．①连接CB n ﹣1，B n ﹣1A n ﹣1，CB n ，B n A n ，求证：△CA n ﹣1B n ﹣1∽△CA n B n ；②求11CA B S ∆：22CA B S ∆：33CA B S ∆：…：B CAn n S ∆的值．【答案】（1）22n --；（2）①n ＝4；②y ＝x ﹣6；（3）①证明见解析；②22221:2:3,,n ．【分析】(1)用顶点坐标公式即可求最小值；(2)①求出二次函数L 与二次函数L 1的顶点，二次函数L 与二次函数L 1关于y 轴对称，列方程可求n ；②二次函数L 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 与n 有关，消去n 即可得到y 与x 的函数关系；(3)①画出图形，用抛物线对称性可以得到△CA n ﹣1B n ﹣1∽△CA n B n 均为等腰三角形，从而可证；②用n 表示n n CA B S ∆即可得到答案．【详解】解：（1）∵二次函数L ：2242y x x n=--，其中n 为正整数，∴顶点为224(2)(4)4(,)2224n n n⨯⨯---⨯⨯，化简得(,22)n n --，∴二次函数的最小值是22n --；（2）∵二次函数L ：2242y x x n=--的顶点为(,22)n n --，∴二次函数L 向左平移（3n ﹣4）个单位得到二次函数L 1，2222(34)22(24)22y x n n n x n n n n=-+---=+---，∴抛物线L 1的顶点坐标为(42,22)n n ---，①∵二次函数L 与二次函数L 1关于y 轴对称，∴顶点也关于y 轴对称，即(,22)n n --与(42,22)n n ---关于y 轴对称，∴(42)0n n +-=，解得n ＝4，②∵抛物线L 1的顶点坐标为(42,22)n n ---，∴顶点横坐标42x n =-，顶点纵坐标22y n =--，即4222x n y n =-⎧⎨=--⎩，∴顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在的函数关系为：6y x =-，（3）①∵二次函数L ：2242y x x n=--的顶点为(,22)n n --，∴顶点横坐标x n =，顶点纵坐标22y n =--，∴顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在的函数关系是22y n =--，即抛物线L ：2242y x x n =--，其中n 为正整数的顶点都在直线22y n =--上，如图所示：∴系列抛物线中的顶点B 1，B 2，B 3，…，B n 都在同一直线22y x =--上，∴∠A n ﹣1CB n ﹣1＝∠A n CB n ，根据抛物线的对称性可知：B n ﹣1C ＝A n ﹣1B n ﹣1，B n C ＝A n B n ，∴∠A n ﹣1CB n ﹣1＝∠B n ﹣1A n ﹣1C ，∠B n A n C ＝∠A n CB n ，∴∠B n ﹣1A n ﹣1C ＝∠B n A n C ，∴△CA n ﹣1B n ﹣1∽△CA n B n ．②过B n 作B n D n ⊥直线y ＝﹣2于D n ，如图所示：∵二次函数L ：2242y x x n=--的顶点为(,22)n n --，∴B n (,22)n n --，∴B n D n ＝(2)(22)n ----＝2n ，由22422y x x n y ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩可得1102x y =⎧⎨=-⎩或2222x n y =⎧⎨=-⎩，∴A n （2n ，﹣2），∴A n C ＝2n ，∴n n A B C S ∆＝12A n C •B n D n ＝2n 2，112233:::...:n nCA B CA B CA B CA B S S S S ∆∆∆∆2222(21):(22):(23):...:(2)n =⨯⨯⨯⨯22221:2:3:...:n =．【点睛】本题考查二次函数综合知识，解题的关键是画出图形，求出相关点坐标从而表示线段、面积等．6．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，OAC ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到ONB ∆，3OB OC ==，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B ，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①点D 是抛物线的顶点，试判定BND ∆的形状，并加以证明；（3）如图②在第一象限的抛物线上，是否存在点M ，使2MBN AOC S S ∆∆=？若存在，请求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）BND ∆是等腰直角三角形，理由见解析；（3）存在点720,39M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使 2MBN AOC S S ∆∆=【分析】（1）由3OB OC ==，可得出点B 、C 的坐标，然后将点B 、C 的坐标代入二次函数进行求解即可；（2）过点D 作DG y ⊥轴于点G ，根据2223(1)4y x x x =-++=--+与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为D ，即可求出A 、D 的坐标，然后可证明NOB DGN ∆≅∆，从而得出90ONB GND ∠+∠=︒，即可判断；（3）连接OM ，设点M 的坐标为()2,23M m m m -++，根据MBN MON MOB NOB S S S S ∆∆∆∆∴=+-即可求解；【详解】解：（1）3OB OC == ，(30)B ∴，，(03)C ，，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，3093c b c =⎧∴⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）BND ∆是等腰直角三角形，理由如下：过点D 作DG y ⊥轴于点G ，2223(1)4y x x x =-++=--+ 与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为D ，(14)A -∴，，(14)D ，，1ON OA DG ∴===，3OB GN ==，90NOB DGN ∠=∠=︒ ，NOB DGN ∴∆≅∆，90ONB OBN ∠+∠=︒，OBN GND ∴∠=∠，BN ND =，90ONB GND ∴∠+∠=︒，90DNB ∴∠=︒，BND ∴∆是等腰直角三角形，（3）连接OM ，设点M 的坐标为()223M m m m -++，，3OB OC ==，1OA ON ==，()223M m m m -++，，MBN MON MOB NOBS S S S ∆∆∆∆∴=+-()211132313222m m m =+⨯-++-⨯⨯237322m m =-++131322AOC S ∆=⨯⨯= ，237332222m m ∴-++=⨯，解得：173m =，20m =（不合题意舍去）72039M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，即存在点72039M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使2MBN AOC S S ∆∆=（方法有很多的，比如过点M 作//MH y 轴交BN 于H 等等，正确的请按步骤给分）【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数与几何图形的结合、以及求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键；7．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，已知抛物线1C 与x 轴交于(4,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点(0,2)C ．将抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线22C C ，与x 轴交于D ，E 两点（点D 在点E 的左侧），与抛物线1C 在第一象限交于点M ．（1）求抛物线1C 的解析式，并求出其对称轴；（2）①当1m =时，直接写出抛物线2C 的解析式；②直接写出用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）连接DM AM ，．在抛物线1C 平移的过程中，是否存在ADM △是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++，其中对称轴是直线32x =；（2）①21522=-+y x x ；②点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（3）存在，5m =-．【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴；（2）①利用抛物线平移规律即可求得C 2解析式；②利用抛物线平移规律即可求得M 的横坐标，进而代入C 1抛物线解析式即可；（3）过点M 做MN AD ⊥于点N ，分别表示出点D 、M 、N 、A 的坐标，根据两点间的坐标公式可得DN 、MN ，根据等边三角形的性质列方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）设抛物线1C 的解析式为()20y ax bx c a =++≠．则164002a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++，其中对称轴是直线32x =（2）①由（1）知：抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++，即21325228y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，根据抛物线平移规律可得：抛物线2C 解析式为：22132515122822y x x x ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭②根据抛物线平移规律可得，抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线解析式为：213225228m y x +⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其对称轴为：322mx +=∴交点M 横坐标为：3233332222222m m m +⎛⎫- ⎪+⎝⎭+=+=将其代入1C 抛物线解析式可得：2258m y -=∴点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（3）存在m 值使ADM △是等边三角形．理由如下：过点M 做MN AD ⊥于点N∵()()()232531,0,,,,0,4,004282m m m D m M N A m ⎛⎫+-+⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()35122m m DN m +-=--=2258m MN -=若ADM △是等边三角形，则30DMN ∠=︒，∴3MN DN =即2255382m m --=解得4355m m =-=，（不合题意，舍去），∴当435m =-时，ADM △是等边三角形．【点睛】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质、待定系数法求解析式、抛物线平移规律、等边三角形的性质．8．（2021·江西上饶市·九年级期末）已知抛物线2y x 2x 3=-++和抛物线2233n n n y x x n =--（n 为正整数）．（1）抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点______，顶点坐标______；（2）当1n =时，请解答下列问题．①直接写出n y 与x 轴的交点______，顶点坐标______，请写出抛物线y ，n y 的一条相同的图象性质______；②当直线12y x m =+与y ，n y 相交共有4个交点时，求m 的取值范围．（3）若直线y k =（0k <）与抛物线2y x 2x 3=-++，抛物线2233n n n y x x n =--（n 为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A ，点B ，点C ，点D ，当AB BC CD ==时，求出k ，n 之间满足的关系式．【答案】（1）(1,0)-，(3,0)；(1,4)；（2）①(1,0)-，(3,0)；41,3⎛⎫-⎪⎝⎭；对称轴为直线1x =（或与x 轴交点为(1,0)-，(3,0)）；②97574816m -<<，且32m ≠-，12m ≠；（3）32270n k nk ++=．【分析】（1）根据()()()22233114y x x x x x =-++=--+=--+，可以求得该抛物线与x 轴的交点和该抛物线的顶点坐标，本题得以解决；（2）①将n ＝1，代入y n 得()()()22112141113133333y x x x x x =--=--=-+，据此可以求得该抛物线与x 轴的交点和该抛物线的顶点坐标，然后根据（1）中的结果，写出抛物线y ，y n 的一条相同的图象性质即可；②求出直线12y x m =+与y 相交只有1个交点时m 的值，直线12y x m =+与n y 相交只有1个交点时m 的值，12y x m =+过点(1,0)-时m 的值，12y x m =+过点(3,0)时m 的值，根据函数图象，从而可以得到当直线y ＝12x ＋m 与y ，y n 相交共有4个交点时，m 的取值范围；（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出()2221212124164AD x x x x x x k =-=+-=-，()22234343412416k BC x x x x x x n=-=+-=+，根据AB BC CD ==可得229AD BC =，进而可以求出k ，n 之间满足的关系式．【详解】解：（1）∵抛物线()()()22233114y x x x x x =-++=--+=--+，∴当y ＝0时，x 1＝3，x 2＝−1，该抛物线的顶点坐标为（1，4），∴抛物线y ＝−x 2＋2x ＋3与x 轴的交点为（3，0），（−1，0），故答案为：（−1，0），（3，0）；（1，4）；（2）①当n ＝1时，抛物线()()()22112141113133333y x x x x x =--=--=-+，∴当y 1＝0时，x 3＝3，x 4＝−1，该抛物线的顶点坐标为（1，43-），∴该抛物线与x 轴的交点为（3，0），（−1，0），抛物线y ，y n 的一条相同的图象性质是对称轴都是x ＝1（或与x 轴的交点都是（−1，0），（3，0））；②当直线12y x m =+与y 相交只有1个交点时，由21223y x m y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，得23302x x m -+-=，则2234(3)024b a m c ⎛⎫---= ⎪⎭∆⎝=-=，∴5716m =，当直线12y x m =+与n y 相交只有1个交点时，由21212133y x m y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得227(66)0x x m --+=，则()()224742660b ac m ∆=-=--⨯⨯--=，∴9748m =-，∴97574816m -<<.把(1,0)-，代入12y x m =+，得12m =；把(3,0)，代入12y x m =+，得32m =-，∴97574816m -<<，且32m ≠-，12m ≠；（3）由223y k y x x =⎧⎨=-++⎩，得2230x x k -+-=，∴()2221212124164AD x x x x x x k =-=+-=-，由2233y k n n y x x n =⎧⎪⎨=--⎪⎩，得22(33)0nx nx n k --+=，∴()22234343412416k BC x x x x x x n=-=+-=+，∵AB BC CD ==，∴229AD BC =∴12164916k k n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，化简得：32270n k nk ++=．【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，做出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]（1）k=，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．【答案】（1）﹣3，（﹣1，0），（3，0）；（2）9；（3）存在点D（32，154），使四边形ABDC的面积最大为758．（4）在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标；（2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和；（3）设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．【详解】解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3∴y=x2﹣2x﹣3，令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴A（﹣1，0），B（3，0）．（2）∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点为M （1，﹣4），连接OM ．则△AOC 的面积=32，△MOC 的面积=32，△MOB 的面积=6，∴四边形ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9．说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图（2），设D （m ，m 2﹣2m ﹣3），连接OD ．则0＜m ＜3，m 2﹣2m ﹣3＜0且△AOC 的面积=32，△DOC 的面积=32m ，△DOB 的面积=﹣32（m 2﹣2m ﹣3），∴四边形ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=﹣32m 2+92m+6=﹣32（m ﹣32）2+758．∴存在点D （32，154-），使四边形ABDC 的面积最大为758．（4）有两种情况：如图（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴点E 的坐标为（0，3）．∴直线BE 的解析式为y=﹣x+3．由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩解得：1125x y =-⎧⎨=⎩2230x y =⎧⎨=⎩∴点Q 1的坐标为（﹣2，5）．如图（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴点F 的坐标为（﹣3，0）．∴直线CF 的解析式为y=﹣x ﹣3．由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩解得：1103x y =⎧⎨=-⎩2214x y =⎧⎨=-⎩∴点Q 2的坐标为（1，﹣4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（﹣2，5）、Q 2（1，﹣4），使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．说明：如图（4），点Q 2即抛物线顶点M ，直接证明△BCM为直角三角形同样可以．考点：二次函数综合题．10．（2021·江西赣州市·九年级期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F 2都是抛物线F 1的过顶抛物线，设F 1的顶点为A ，F 2的对称轴分别交F 1、F 2于点D 、B ，点C 是点A 关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x 2的过顶抛物线为y=ax 2+bx ，C （2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A 、B 、C 、D 四点，那么四边形ABCD 为（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形（2）如图2，抛物线y=ax 2+c 的过顶抛物线为F 2，B （2，c －1）．求四边形ABCD 的面积．（3）如果抛物线2127333y x x =-+的过顶抛物线是F 2，四边形ABCD的面积为B 的坐标．【答案】（1）①a=1，b=2；②D ；（2）4；（3）（1+1），（11）．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量的值，可得相应的函数值，根据四边形对角线的关系，可得答案；（2）根据对称性，可得AC 的长，根据顶点式解析式，可得F 2根据待定系数法，可得41a c c +-=，根据四边形的面积公式，可得答案；（3）分类讨论：B 在A 的右侧，B 在A 的左侧，AC=BD =2，可得答案．【详解】解：（1）①由A 、C 点关于对称轴对称，得对称轴1x =将C 点坐标代入解析式，及对称轴公式，得12420b a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩故答案为：1,2a b ==-．②当1x =时，2y x =，()11B ，；221y x x =-=-，()11D -，；四边形ABCD 的对角线相等互相平分，且互相垂直，∴四边形ABCD 时正方形故选D ．（2）∵B （2，c －1），∴AC =2×2=4．∵当x =0，y =c ，∴A （0，c ）．∵F 1：y=ax 2+c ，B （2，c －1）．∴设F 2：y=a （x －2）2+c －1．∵点A （0，c ）在F 2上，∴4a +c －1=c ，∴14a =．当2x =时，24y ax c a c =+=+，()24B a c +，∴BD =（4a +c ）－（c －1）=2．∴S 四边形ABCD =4．（3）如图所示：()221271123333y x x x =-+=-+设F 2的解析式()21123y x a b =--++，()()211,2,31,2,1,23B a b C b a D a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭B 点在A 点的右侧时，11132AC a =+-=212223BD a b =+--=解得：3a =1b =-，()113,1B +B 在点A 的左侧时，()11132AC a =-+=212223BD a b =+--=解得：3a =-1b =-，()213,1B -综上所述，()113,1B +，()213,1B ．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，又利用了正方形的判定，分类讨论是解题的关键，以防遗漏．11．（2021·江西九年级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线1y =与抛物线24y x =相交于A ，B 两点（点B 在第一象限），点C 在AB 的延长线上，且BC n AB =⋅（n 为正整数）．过点B ，C 的抛物线L ，其顶点M 在x 轴上．（1）求AB 的长；（2）①当1n =时，抛物线L 的函数表达式为______；②当2n =时，求抛物线L 的函数表达式；（3）如图2，抛物线2:n n n E y a x b x c =++，经过B 、C 两点，顶点为P ，且O 、B 、P 三点在同一直线上，①求n a 与n 的关系式；②当n k =时，设四边形PAMC 的面积k S ，当n t =时，设四边形PAMC 的面积t S （k ，t 为正整数，16k ≤≤，16t ≤≤），若4k t S S =，请直接写出k t a a ⋅值．【答案】(1)1，(2)①()2241484y x x x =-=-+，②2239324y x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，(3)163或85【分析】（1）把y=1代入，求出A 、B 两点坐标即可；（2）①把1n =代入，求出B 、C 、M 坐标即可；②把2n =代入，求出B 、C 、M 坐标即可；（3）①类似于（2）求出求出B 、C 、P 坐标，代入解析式可求；②根据4k t S S =，求出k 和t 的关系，确定它们的值，再根据①中结论求解即可．【详解】解：（1）对于24y x =，当y=1时，有214x =，解得：1=2x 或1-2，∴A (1-2，1)，B (12，1)，∴AB =11-(-)=122，故答案为：1；（2）①当n=1时，BC =AB =1，则C(32，1)，抛物线对称轴为：13()2122+÷=,由M 为抛物线顶点，∴M(1，0)，设抛物线解析式为：()21y a x =-，把B(12，1)代入得，114a =，∴a =4，∴抛物线L 的函数表达式为：()2241484y x x x =-=-+；故答案为:()2241484y x x x =-=-+②当n=2时，BC =2AB =2，则C(52，1)，同理，M(32，0)，设232y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭过点B ，则有1a =，∴抛物线L 的函数表达式为：2239324y x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭；（3）①如图，可知BC nAB n ==，则21,12n C +⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵O 、B 、P 三点共线，直线OB 解析式为：2y x=∴1,12n P n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴122n nbn a +=-，将点B(12，1)，1,12n P n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：211142(1)1142122n n n n n n n na b c n n a b c n b n a ⎧++=⎪⎪++⎪++=+⎨⎪+⎪=-⎪⎩即4n a n =-；②当n=k 时，AC=k+1，21(1)22k k S AC PM +=⨯⨯=，当n=t 时，AC =t+1，21(1)22t t S AC PM +=⨯⨯=，又∵4k t S S =，∴22(1)4(1)22k t ++=，解得，21k t =+，∵k ，t 为正整数，16k ≤≤，16t ≤≤，当t =1时，k =3，4416313k t a a --⋅=⨯=，当t=2时，k =5，448525k t a a --⋅=⨯=，【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练运用二次函数的知识，准确进行计算．12．（2021·江西九年级其他模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y ＝ax 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为D （0，4），AB ＝，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '．（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C '与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点．①抛物线C '的解析式为（用含m 的关系式表示）；②求m 的取值范围；（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C '上的对应点为P '，设M 是C 上的动点，N 是C '上的动点，试探究四边形PMP 'N 能否成为正方形，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣12x 2+4；（2）①y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4；②2＜m ＜；（3）能，m ＝﹣3或6．【分析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （﹣，0），再设抛物线的解析式为y ＝ax 2+4，把A （，0）代入可得a ＝﹣12即可解答；（2）①由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），可得出抛物线C ′的解析式为y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4；②联立两抛物线的解析式，消去y 得到x 2﹣2mx +2m 2﹣8＝0，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则得到关于m 的不等式组，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF ＝FM ，∠PFM ＝90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE ＝FH ＝2，EF ＝HM ＝2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．【详解】解：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （﹣，0），设抛物线的解析式为y ＝ax 2+4，把A （﹣，0）代入可得a ＝﹣12，∴抛物线C 的函数表达式为y ＝﹣12x 2+4．（2）①∵将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '，∴抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），∴抛物线C ′的解析式为y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4，故答案为：y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4．②由221421(2)42y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到x 2﹣2mx +2m 2﹣8＝0，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有222(2)4(28)020280m m m m ⎧-->⎪>⎨⎪->⎩，解得2＜m ＜，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜．（3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∴∠FPE＝∠MFH，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在y＝﹣12x2+4上，∴m﹣2＝﹣12（m+2）2+4，解得m17﹣3或﹣17﹣3（舍弃），∴m17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣12x2+4中，2﹣m＝﹣12（m﹣2）2+4，解得m ＝6或0（舍弃），∴m ＝6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上，四边形PMP ′N 能成为正方形，m ＝﹣3或6．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，灵活运用所学知识和利用参数构建方程解决问题成为解答本题的关键．13．（2021·江西九年级月考）如图，已知二次函数L ：2242y x x n=--，其中n 为正整数，它与y 轴相交于点C ．（1）求二次函数L 的最小值（用含n 的代数式表示）．（2）将二次函数L 向左平移()34n -个单位得到二次函数1L ．①若二次函数L 与二次函数1L 关于y 轴对称，求n 的值；②二次函数1L 顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数2242y x x n=--中，当n 依次取1，2，3，…，n 时，抛物线依次交直线2y =-于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，顶点依次为1B ，2B ，3B ，…，n B ．①连接1n CB -，11n n B A --，n CB ，n n B A ，求证：11n n n n CA B CA B --∆∆∽；②求112233::::n n C B C B C B C B S S S S ∆∆∆∆ 的值．【答案】（1）二次函数的最小值是22n --；（2）①4n =；②6y x =-；（3）①见解析；②22221:2:3::n【分析】（1）把二次函数写成顶点式即可；（2）①根据两个解析式的顶点关于y 轴对称的坐标变化，列方程即可；②抛物线1L 的顶点坐标之间的关系，确定解析式即可；（3）①根据两个等腰三角形的底角对应相等可证相似，或三角函数证角相等也可；②可以求出三角形面积的规律，分别表示三角形面积，再比即可；或利用相似三角形的性质求面积比．【详解】解：（1）二次函数2224n y x x =--化为顶点式为：()2222y x nx n =--()2222][y x n n n =---()2222y x n n n =---，所以，二次函数的最小值是22n --．（2）∵()22422222y n nx x x n n =--=---，∴抛物线L ：242y x x =--的顶点坐标为()22n n --,，∴平移后的抛物线1L ：()()222342224222y n x n n x x n x n=-+---=+---，∴抛物线1L 的顶点坐标为()42,22n n ---．①若二次函数L 与二次函数1L 关于y 轴对称，则420n n -+=，解得4n =．②∵抛物线1L 的顶点坐标为()42,22n n ---，∴42x n =-，∴226y n x =--=-，∴6y x =-．（3）①∵系列抛物线中的顶点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在同一直线22y x =--上，∴11n n n n A CB A CB --∠=∠．方法一：根据抛物线的对称性可知11n n CA B --∆和n n CA B ∆都是等腰三角形，∴1111n n n n A CB B A C ----∠=∠，n n n n B A C A CB ∠=∠，∴11n n n n B A C B A C --∠=∠，∴11n n n n CA B CA B --∆∆∽．方法二：过点n B 作n B F ⊥直线2y =-于点F ，过点1n B -作1n B E -⊥直线2y =-于点E ，∵tan 22n n A C n B n ==∠，()11212n 1ta n n n A C n B --=--==∠，∴11tan tan n n n n B A C B A C --∠=∠，∴11n n n n B A C B A C --∠=∠，∴11n n n n CA B CA B --∆∆∽．②方法一：∵212222n n CA B S n n n ∆=⨯⨯=，∴()()()()11223322222222::::21:22:23::21:2:3::n n CA B CA B CA B CA B S S S n n S ∆∆∆∆=⨯⨯⨯⨯= ．方法二：∵系列抛物线中的n n CA B ∆都相似，∴112233::::n n CA B CA B CA B CA B S S S S ∆∆∆∆ 等于相似比的平方．∵这些三角形的相似比恰好等于123::nCA CA CA CA ::2:4:6::2n= 1:2:3::n = ，∴1122332222::::1:2:3::n n CA B CA B CA B CA B S n S S S ∆∆∆∆= ．【点睛】本题考查了二次函数和相似三角形的综合，解题关键是熟练运用二次函数的性质和相似三角形的判定与性质进行计算．14．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为B （4，0），另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点．（1）求m 的值及C 点坐标；（2）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q ．①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为t （0＜t ＜4），当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大，请说明理由．【答案】（1）m=4；C （0，4）；（2）①P （P （；②当t=2时，S 四边形PBQC 最大=16；理由见解析．【分析】（1）把B （4，0）代入可求解析式，再用解析式C 点坐标；（2）根据菱形对角线互相垂直平分，求直线PQ 解析式，与抛物线解析式联立方程组即可；（3）过点P 作y 轴的平行线l 交BC 于点D ，交x 轴于点E ；过点C 作l 的垂线交l 于点F ，设点P （t ，-t 2+3t+4），表示出S △PCB 的面积，再乘以2，得到S 四边形PBQC 的函数解析式，根据解析式求最大值．【详解】（1）将B （4，0）代入y=-x 2+3x+m ，解得m=4，∴二次函数解析式为y=-x 2+3x+4，令x=0，得y=4，∴C（0，4）（2）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（a，-a2+3a+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，∴a=-a2+3a+4，∴1a=±∴P（）或P（）②如图，设点P（t，-t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E；过点C作l的垂线交l于点F，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y=-x+4，∵点D在直线BC上，∴D（t，-t+4），∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，BE+CF=4，∴S四边形PBQC =2S△PCB=2（S△PCD+S△PBD）=112()22PD CF PD BE⨯⨯+⨯⨯24416PD CF PD BE PD t t =⨯+⨯==-+∵0<t<4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16【点睛】。
江西中考二次函数规律性试题
2018.江西中考
23.小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验 （1）已知抛物线 y x2 bx 3 经过点（-1，0），则 b=________,顶点坐标为________该 抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是_________.
抽象感悟 我们定义：对于抛物线 y ax2 bx c （ a 0 ），以 y 轴上的点 M（0，m）为中心，作 该抛物线关于点 M 对称的抛物线 y ' ，则我们又称抛物线 y ' 为抛物线 y 的“衍生抛物线”， 点 M 为“衍生中心”.
(2)已知抛物线 y x2 2x 5 关于点（0，m）的衍生抛物线为 y ' ,若这两条抛物线有交 点，求 m 的取值范围. 问题解决 （1） 已知抛物线 y ax2 2ax b （ a 0 ）
1 若抛物线 y 的衍生抛物线为 y ' bx2 2bx a2 （ b 0 ），两个抛物线有两个交点， 且恰好是它们的顶点，求 a ,b 的值及衍生中心的坐标；
（（（123）））点线抛若将M物抛抛y称线物物为a线线碟xy2顶的对y，12对应x点应的2a对Mx准碟应2到蝶宽的线形4为碟a段记_x宽_A为_为B_F_53的_n___（距__;对_抛n离__应=物_称1_的线;,为抛2碟,碟3物y宽，高线为…。a6y（ ），，x且4-定2x在）2义2x对F轴对13应上，应的，F的2碟求碟，宽a宽…的为_..值_F___n；__为__;_相_;抛似物准
2 若抛物线 y 关于点（0，k +12 ）的衍生抛物线为 y1 ；其顶点为 A1 ;关于点（0，k 22 ） 的衍生抛物线为 y2 ，其顶点为 A2 ; … ;关于点（0，k n2 ）的衍生抛物线为 yn ; 其顶点为 An …(n 为正整数)求 An An1 的长（用含 n 的式子表示）.
江西省十年中考题中的二次函数题
江西省十年中考题中的二次函数题1.（2003年）抛物线的解析式2y ax bx c =++满足如下四个条件：0=abc ；3=++c b a ；4-=++ca bc ab ；a ＜b ＜c .（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 的左边），与y 轴的交点为C .①在第一象限内，这条抛物线上有一点P ，AP 交y 轴于点D ，当OD ＝1.5时，试比较APC S 与AOC S 的大小； ②在x 轴的上方，这条抛物线上是否存在点P '，使得AP C AOC S S '= ，若存在，请求出点P '的坐标；若不存在，请说明理由. 解:（1）∵0a ≠，abc ＝0，∴bc ＝0.①当b ＝0时，由3,4;a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=-⎩化简得：3,4;a c ac +=⎧⎨=-⎩解得:111,4;a c =-⎧⎨=⎩ ，224,1;a c =⎧⎨=-⎩∵a ＜b ＜c .∴224,1;a c =⎧⎨=-⎩不符题意舍去。
∴a ＝－1，b ＝0，c ＝4.②当c ＝0时，由3,4;a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=-⎩化简得：3,4;a b ab +=⎧⎨=-⎩解得:111,4;a b =-⎧⎨=⎩ ，224,1;a b =⎧⎨=-⎩∵a ＜b ＜c . ∴111,4;a b =-⎧⎨=⎩ ，224,1;a b =⎧⎨=-⎩都不符合题意，舍去.∴所求抛物线的解析式为：24y x =-+.（2）①在24y x =-+中，∵当0y =时，2x =±；当0x =时，4y =. ∴A 、B 、C 三点的坐标分别为（－2，0）、（2，0）、（0，4） 过P 作PG ⊥x 轴于G ，设点P 的坐标为（m ，n ） ∵点P 是这条抛物线上第一象限内的点∴m ＞0，n ＞0，24n m =-+ ∴PG 24m =-+，OA ＝2，AG ＝m +2 ∵OD ∥PG ，OD ＝1.5∴OA OD AG PG =，即22 1.524m m =+-+ 解得:154m =，22m =-（不合题意，舍去）∴54OG =又CD ＝OC －OD ＝4－1.5＝2.5115525222416PDC S CD OG ==⨯⨯=1133242222216AOD S OA OD ==⨯⨯==∴PDC S ∆＞AOD S ∆又∵APC S ∆＝PDC S ∆＋ADC S ∆，AOC S ∆＝AOD S ∆＋ADC S ∆ ∴APC S ∆＞AOC S ∆②分两种情况讨论：在第一象限内，设在抛物线上存在点P′（m ，n ）使得CP A S '∆＝AOCS ∆过P′作P′G 于x 轴于点G ，则m >0，n ＞0，24n m =-+ OG ＝m ，P′G 24m =-+，OA ＝2，AG ＝m +2设AP′交y 轴于点D′，设OD′＝ t∵OD ∥P′G∴OA OD AG P G '='，即2224tm m =+-+ 化简为2282m t mt -=+ D O OC C D '-='＝t -4D AO S '∆＝D O OA '⋅21＝t ⋅⨯221＝tD C P S ''∆＝OG D C ⋅'21＝m t ⋅-⨯)4(21∵C P A S '∆＝AOCS ∆∴D AO S '∆＝D C P S ''∆即 1(4)2t t m =⨯- ，化简得m t mt 42=+ 将m t mt 42=+代入2282m t mt -=+中有m 4＝228m -整理得0422=-+m m解得151-=m ，152--=m∵m ＞0，∴152--=m 不合题意，舍去。
2019-2020年中考数学专题训练二次函数与反比例函数1
2019-2020年中考数学专题训练二次函数与反比例函数1一、选择题1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）D．（1，2）2．对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧4．二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣25．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣16．如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜07．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）8．已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数 C．反比例函数D．二次函数9．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小10．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）211．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜012．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．14．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x 2+1与y=的交点的横坐标x 0的取值范围是（ ）A ．0＜x 0＜1B ．1＜x 0＜2C ．2＜x 0＜3D ．﹣1＜x 0＜015．已知二次函数y=a （x ﹣1）2﹣c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．16．下列三个函数：①y=x+1；②；③y=x 2﹣x+1．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 17．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0二、填空题19．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是．20．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x 时，y随x的增大而减小．21．二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．22．二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．23．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．24．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有（填上所有正确答案的序号）①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2（x＞0）；④y=﹣．25．下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y=（x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y=（x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣x2+2nx （x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有个．26．二次函数y=x2﹣2x+3图象的顶点坐标为．27．二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．三、解答题28．已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．29．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．30．已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．（1）若b=1，c=3，求n的值；（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x ﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．2019-2020年中考数学专题训练二次函数与反比例函数21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△MAB的形状，并说明理由；（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．8．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P 的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．11．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C （0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P 做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？15．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y 轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB 于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．17．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．18．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．19．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P 为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．20．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C 为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AC的解析式及B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E 点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？。
中考数学二次函数综合题(含答案)
热点专题8 二次函数综合题型《课程标准》对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此，二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型,2019年中考中对二次函数的考查角度有所调整，将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来学习，预计仍会以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，在此过程中会以周长、面积、相似、等腰三角形，特殊四边形以及新定义问题为载体进行命题.考向1 二次函数之周长与最值问题1．（2019·常德中考改编）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A （1，4），与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为（－1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值．解（1）设抛物线的解析式为y=()214a x -+，把B （－1，0）代入解析式得：4a ＋4=0，解得a =－1，xx yy备用图图11CADB B H N G DAMCOO∴y=－()214x -+=－223x x ++；（2）∵四边形MNHG 为矩形，∴MN ∥x 轴，设MG=NH=n ，把y=n 代入y=－223x x ++，即n =－223x x ++， ∴223x x n -+-=0，由根与系数关系得M N x x +=2，M N x x •=n －3， ∵()2M N x x -=()2+M N x x －4M N x x •， ∴()2M N x x -=4－4（n －3）=16－4n ，∴设矩形MNHG 周长为C ，则C=2（MN ＋MG ）=2（n ）2n ，令t ，则n =4－2t ，∴C=－22t ＋4t ＋8=－2()2110t -+， ∵－2＜0，∴t=1时，周长有最大值，最大值为10．考向2二次函数之面积问题2．（2019·衡阳）如图，二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A （－1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E .（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ，请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A （－1，0），B （3，0）代入y=x 2＋bx ＋c ，得01,093,b c b c =-+⎧⎨=++⎩解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩∴该抛物线的函数表达式为y=x 2－2 x －3； （2）∵CP ⊥EB ，∴∠OPE ＋∠BCP=90°，∵∠OPE ＋∠OEP=90°，∴∠OEP=∠BPC ， ∴tan ∠OEP=tan ∠BPC ．∴OP OE =BCPB． 设OE=y ，OP=x ，∴y x =43x-． 整理，得y=－14x 2＋x=－14（x －32）2＋916． ∴当OP=32时，OE 有最大值，最大值为916，此时点P 在（32，0）处.（3）过点M 作MF ⊥x 轴交BN 于点F ，∵N （0，－3），B （3，0）， ∴直线的解析式为y=－3 m.设M （m, m 2－2 m －3）,则MF=m 2－3m ，∴△MBN 的面积=12OB·MF=32( m 2－3m) =32( m －32) 2 －278.点M 的坐标为（32，－278）时，△MBN 的面积存在最大值.考向3 二次函数之等腰三角形问题3．（2019·兰州）二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点（-1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒.（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）连接BD ，当t=32时，求△DNB 的面积；（3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标； （4）当t=54时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q 的坐标.解：（1）将点A （-1，0），B （4，0）代入y=ax 2+bx+2，∴a=12-，b=32，∴213222y x x =-++；（2）设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，将点B （4，0），C （0，2）代入解析式，得：402k bb+=⎧⎨=⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC的直线解析式为122y x=-+，当t=32时，AM=3，∵AB=5，∴MB=2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴S△DNB =S△DMB -S△MNB =12×MB×DM-12×MB×MN=12×2×2=2；（3）∵BM=5-2t，∴M（2t-1，0），设P（2t-1，m），∵PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，∵PB=PC，∴（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，∴m=4t-5，∴P（2t-1，4t-5），∵PC⊥PB，∴47451 2125t tt t--•=---，∴t=1或t=2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）；（4）当t=54时，M（32，0），∴点Q在抛物线对称性x=32上，如图，过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=32的交点分别为Q1与Q2，∵AB=5，∴AM=52，∵∠AQ1C+∠OAC=90°，∠OAC+∠MAG=90°，∴∠AQ1C=∠MAG，又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG，∴Q1（32，52-），∵Q1与Q2关于x轴对称，∴Q2（32，52），∴Q点坐标分别为（32，52-），（32，52）.考向4 二次函数之相似三角形问题4．（2019·娄底）如图（14），抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D （2，－3）．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标．解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-． 又∵抛物线过点 D （2，－3）， ∴()()21233a +-=-，∴1a =， ∴()()211323y x x x x =⨯+-=--．（2）如图，设PD 与y 轴相交于点F ，OD 与抛物线相交于点G ，设P 坐标为（2,23m m m --）， 则直线PD 的解析式为23y mx m =--，它与y 轴的交点坐标为F （0，－2m －3），则OF=2m+3．∴()()()21112323222ODP S OF D P m m m m ∆=⨯-=+-=-++点的横坐标点的横坐标 由于点P 在直线OD 下方，所以322m -<<． ∴当()1122214b m a =-=-=⨯-时，△POD 面积的最大值2211114933242416ODPS m m ∆⎛⎫=-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭；（3）①由223y x x =--得抛物线与y 轴的交点C （0，－3），结合A （－1，0）得直线AC 的解析式为33y x =--， ∴当OE ∥AC 时，△OBE 与△ABC 相似； 此时直线OE 的解析式为3y x =-．又∵2233y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为111232x y ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，221232x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩；∴Q的坐标为⎝⎭和⎝⎭． ②如图，作EN ⊥y 轴于N ，由A （－1，0），B （3，0），C （0，－3） 得AB=3－(－1)=4，BO=3，=当BE OB BA BC=即4BE=时 ，△OBE 与△ABC 相似； 此时BE=又∵△OBC ∽△ONE ，∴NB=NE=2，此时E 点坐标为（1，－2），直线OE 的方程为2y x =-．又∵2232y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩；∴Q的坐标为-和(．综上所述，Q 的坐标为13,22⎛-+- ⎝⎭，13,22⎛--+ ⎝⎭，-，(．考向5 二次函数之特殊四边形问题5.（2019•广安）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线:l y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)A -，(5,6)D -，P 点为抛物线2y x bx c =-++上一动点（不与A 、D 重合）． （1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作//PE x 轴交直线l 于点E ，作//PF y 轴交直线l 于点F ，求PE PF +的最大值；（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k n =-⎧⎨=-⎩，故直线l 的表达式为：1y x =--，将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：234y x x =-++；（2）直线l 的表达式为：1y x =--，则直线l 与x 轴的夹角为45︒， 即：则PE PE =，设点P 坐标为2(,34)x x x -++、则点(,1)F x x --，2222(341)2(2)18PE PF PF x x x x +==-++++=--+， 20-<，故PE PF +有最大值，当2x =时，其最大值为18；（3）5NC =，①当NC 是平行四边形的一条边时，设点P 坐标为2(,34)x x x -++、则点(,1)M x x --， 由题意得：||5M P y y -=，即：2|341|5x x x -++++=，解得：2x =±0或4（舍去0)，则点P 坐标为(23--或(2-，3-或(4,5)-；②当NC 是平行四边形的对角线时，则NC 的中点坐标为1(2-，2)，设点P 坐标为2(,34)m m m -++、则点(,1)M n n --，N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点，即：122m n+-=，234122m m n -++--=，解得：0m =或4-（舍去0)， 故点(4,3)P -；故点P 的坐标为：(2+3--或(2，3-+或(4,5)-或(4,3)-．考向6 二次函数之角度存在性问题6. (2019·泰安) 若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A(3,0)、B(0,－2),且过点C(2,－2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P 为抛物线上第一象限内的点,且S △PBA =4,求点P 的坐标；(3)在抛物线上(AB 下方)是否存在点M,使∠ABO=∠ABM ？若存在,求出点M 到y 轴的距离;若不存在,请说明理由.解：(1)∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点(0,－2),∴c=－2,又∵抛物线过点(3,0)(2,－2)∴9320 4222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩,解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴抛物线的表达式为224233y x x =--； (2)连接PO,设点P(224,233m m m --)；则S △PAB =S △POA +S △AOB －S △POB =2124113(2)32223322m m m ⨯⋅--+⨯⨯-⨯=23m m -,由题意得:m 2－3m=4,∴m=4,或m=－1(舍去),∴224233m m --=103, ∴点P 的坐标为(4,103).(3)设直线AB 的表达式为y=kx+n,∵直线AB 过点A(3,0),B(0,－2),∴3k+n=0,n=－2,解之,得:k=23,n=－2, ∴直线AB 的表达式为:y=23x －2, 设存在点M 满足题意,点M 的坐标为(t,224233t t --). 过点M 作ME ⊥y 轴,垂足为E,作MD ⊥x 轴交于AB 于点D,则D 的坐标为(t,23t －2), MD=2223t t -+,BE=|224+33t t -|. 又MD ∥y 轴,∴∠ABO=∠MDB,又∵∠ABO=∠ABM,∴∠MDB=∠ABM,∴MD=MB,∴MB=2223t t -+. 在Rt △BEM 中,2224+33t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+t 2=22223t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,解之,得:t=118, ∴点M 到y 轴的距离为118.考向7 二次函数之新定义问题7．（2019江西省）特例感知：(1)如图1，对于抛物线121+--=x x y ，1222+--=x x y ，1323+--=x x y 下列结论正确的序号是 ；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点C(0，1)；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y的对称轴依次向左平移21个单位得到；③抛物线1y ，2y ，3y 与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念：(2)把满足12+--=nx x y n （n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，…，-k -n(k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；③在②中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n A C ，11--n n A C ，判断n n A C ，11--n n A C 是否平行？并说明理由.解：（1）对于抛物线121+--=x x y ，1222+--=x x y ，1323+--=x x y 来说，∵抛物线1y ，2y ，3y 都经过点C(0，1)，∴①正确；∵抛物线1y ，2y ，3y 的对称轴分别为：21)1(211-=-⨯--=x ，1)1(222-=-⨯--=x ，23)1(233-=-⨯--=x ， ∴抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移21个单位得到，∴②正确；∵抛物线1y ，2y ，3y 与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3， ∴抛物线1y ，2y ，3y 与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.∴③正确.答案：①②③；（2）①由12+--=nx x y n 可知，顶点坐标为n P （2n -，442+n ）， ∴该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式为144)2(44222+=+-=+=x x n y ； ②当横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，…，-k -n(k 为正整数)，对应的纵坐标为：12+--k k ，122+--k k ，132+--k k ，…，12+--nk k ，∴1C 2C 2222)]12()1[()]2()1[(+---+--+-----=k k k k k k 2222)121()21(-+++--+++--=k k k k k k 21k +=，2C 3C 2222)]13()12[()]3()2[(+---+--+-----=k k k k k k 2222)1312()32(-+++--+++--=k k k k k k 21k +=，…， 1-n C n C 2222)}1(]1)1({[)}()]1({[+---+---+------=nk k k n k n k n k 2222]11)1([)1(-+++---++++--=nk k k n k n k n k 21k +=， ∴相邻两点的距离相等，且距离为：21k +.③将y=1代入12+--=nx x y n 可得112=+--nx x ，∴x=-n （0舍去）， ∴点1A （-1，1），2A （-2，1），3A （-3，1），…，n A （-n ，1）.∵当横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，…，-k -n(k 为正整数)，对应的纵坐标为：12+--k k ，122+--k k ，132+--k k ，…，12+--nk k ，∴点1C （-k -1，12+--k k ），2C （-k -2，122+--k k ），3C （-k -3，132+--k k ），…，n C （-k -n ，12+--nk k ）.设n n A C ，11--n n A C 的解析式分别为：y=px+q ，y=mx+n ，则⎩⎨⎧+--=+--=+-1)(12nk k q p n k q np ，⎩⎨⎧+---=+---=+--1)1()]1([1)1(2k n k n m n k n m n ， 解得p=k+n ，m=k+n -1，∴p≠m ，∴n n A C ，11--n n A C 不平行.。
江西2019年中考数学复习压轴综合题：二次函数综合题
江西数学二次函数综合题1.定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（3，1）的“坐标差”为；②抛物线y=-x2+5x的“特征值”为；（2）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x 轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= ；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，点D（4，0），以OD为直径作⊙M，直线y=x+b与⊙M相交于点E、F．①比较点E、F的“坐标差”Z E、Z F的大小．②请直接写出⊙M的“特征值”为．解：（1）①1-3=-2．故答案为：-2．②y-x=-x2+5x-x=-（x-2）2+4，∵-1＜0，∴当x=2时，y-x取得最大值，最大值为4．故答案为：4．（2）①当x=0时，y=-x2+bx+c=c，∴点C的坐标为（0，c）．∵点B与点C的“坐标差”相等，∴0-m=c-0，∴m=-c．故答案为：-c．②由①可知：点B的坐标为（-c，0）．将点B（-c，0）代入y=-x2+bx+c，得：0=-c2-bc+c，∴c1=1-b，c2=0（舍去）．∵二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，∴y-x=-x 2+（b-1）x+1-b 的最大值为-1，∴=-1，解得：b=3，∴c=1-b=-2，∴二次函数的解析式为y=-x 2+3x-2．（3）①∵点E ，F 在直线y=x+b 上，∴设点E 的坐标为（x E ，x E +b ），点F 的坐标为（x F ，x F +b ），∴Z E =x E +b-x E =b ，Z F =x F +b-x F =b ，∴Z E =Z F ．②作直线y=x+n （n ＞0）与⊙M 相切，设切点为N ，该直线与x 轴交于点Q ，如图所示．∵y-x=x+n-x=n ，∴当直线y=x+n （n ＞0）与⊙M 相切时，y-x 的值为⊙M 的“特征值”．∵∠NQM=45°，MN ⊥NQ ，MN=2，∴△MNQ 为等腰直角三角形，∴MQ=2√2，∴点Q 的坐标为（2-2√2，0）．将Q （2-2√2，0）代入y=x+n ，得：0=2-2√2+n ，解得：n=2√2-2，∴⊙M 的“特征值”为2√2-2．故答案为：2√2-2．2.已知抛物线y=x 2+bx ﹣3（b 是常数）经过点A （﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P （m ，t ）为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m 的值；②当点P'落在第二象限内，P'A 2取得最小值时，求m 的值．解：（1）∵抛物线y=x 2+bx ﹣3（b 是常数）经过点A （﹣1，0）∴0=1-b -3，解得b =-2，∴抛物线的解析式为y=x 2-2x ﹣3∵y=x 2-2x ﹣3=(x -1)2-4，∴顶点的坐标为（1，-4）.（2）①由点P(m ，t)在抛物线y=x 2-2x ﹣3上，有223t m m =--∵P 关于原点的对称点为P'，有P'（-m ，-t ）∴2()2()3t m m -=----，即223t m m =--+∴222323m m m m --=--+[，解得12m m ==②由题意知，P'（-m ，-t ）在第二象限，∴-m<0，-t>0，即m>0，t<0,又抛物线y=x 2-2x ﹣3的顶点的坐标为（1，-4），得-4≤t ＜0过点P'作P'H ⊥x 轴，H 为垂足，有H （-m ，0）又A （﹣1，0），223t m m =--,则22222',(1)214P H t AH m m m t ==-+=-+=+当点A 和H 不重合时，在R t △P'AH 中，222''P A P H AH =+ 当点A 和H 重合时，AH=0，22''P A P H =，符合上式∴222''P A P H AH =+，即22'4(40)P A t t t =++-≤≤ 记2'4(40)y t t t =++-≤≤，则2115'()24y t =++， ∴当t=-12时，y'取得最小值把t=-12代入223t m m =--，得21232m m -=--,解得122222m m -==由m>0，可知22m =不符合题意，∴22m =.3.已知二次函数y =-2x 2+bx+c 的图象经过点A （3，-4）与B （0，2）．（1）求二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；（2）若x >m 时，y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（3）将抛物线在A 、B 之间（含A 、B ）的部分沿直线x =3翻折，翻折前后的图象记为图象F ．若直线y=mx+n 过点C （9，4），且与图象F 恰有两个交点，求n 的取值范围．解：（1）由题意，得18342b cc⎧-++=-⎨=⎩，解得42bc⎧=⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4.∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4）.（2）由于抛物线开口向下，故在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而减小.而x>m时，y随x的增大而减小，故直线x=m必在对称轴x=1的右侧，即m≥1.（3）点B(0，2)关于直线x=3的对称点为B’的坐标为（6，2）.若直线y=mx+n经过点C（9，4）和B′（6，2），得n=-2；若直线y=mx+n经过点C（9，4）和A（3，-4），得n=-8.当直线y=mx+n与x轴平行，即经过图象F的最高点时，n=4.综上，-8<n<-2或n=4.4.如图，抛物线L：y=﹣（x﹣1）（x+3）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x 轴，交双曲线y=（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP=8．（1）求k的值；（2）求AB长；（3）求抛物线L的对称轴与顶点坐标，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（4）当抛物线向右平移3个单位后，其顶点是否落在双曲线上，说明理由．解：（1）设P（x，y）.∵M是线段OA的中点，∴OM=OA，∵OA•MP=8，∴OM•MP=4，∴xy=4，∵点P在双曲线上，∴k=xy=4；（2）令y=0，则0=﹣（x﹣1）（x+3），∴x=1或x=﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），∴AB=4；（3）由（2）知，B（﹣3，0），A（1，0），∴抛物线的对称轴为x=﹣1，当x=﹣1时，y=2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），∵M是OA的中点，A（1，0），∴M（，0），抛物线的对称轴为x=﹣1，∴直线MP与L对称轴之间的距离为；（4）在双曲线上，理由：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），当抛物线向右平移3个单位后，其顶点坐标为（2，2），把（2，2）代入双曲线的解析式为y=中，得出，左边=右边，∴（2，2）在双曲线上．即：平移后抛物线的顶点落在双曲线上．5.已知：抛物线Ｌ：ｙ＝ｘ２－２ｂｘ－３（ｂ为常数）.（１）抛物线的顶点坐标（，）（用含ｂ的代数式表示）；（2）若抛物线L经过点M（﹣2，﹣1）且与y=图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线L的简图，并求y=的函数表达式；（3）如图2，矩形ABCD的四条边分别平行于坐标轴，AD=1，若抛物线L经过A，C两点，且矩形ABCD在其对称轴的左侧，则对角线AC的最小值是．解：（1）（b，﹣b2﹣3）．（2）将M（﹣2，﹣1）代入抛物线的解析式得：4+4b﹣3=﹣1，解得：b=﹣．∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3．抛物线L的大致图象如图1所示：将y=3代入y=x2+x﹣3得：x2+x﹣3=3，解得：x=2或x=﹣3．∴抛物线与反比例函数图象的交点坐标为（2，3）或（﹣3，3）．将（2，3）代入y=得：k=6，∴y=．将（﹣3，3）代入y=得：k=﹣9，∴y=﹣．（3）设点A的坐标为（x，x2﹣2bx﹣3），则点D的坐标为（x+1，x2﹣2bx﹣3），C的坐标为（x+1，x2+（2﹣2b）x﹣2b﹣2）．∴DC=（x2﹣2bx﹣3）﹣[x2+（2﹣2b）x﹣2b﹣2]=﹣2x+2b﹣1．∴DC的长随x的增大而减小．∵矩形ABCD在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为x=b，∴x≤b﹣1．∴当x=b﹣1时，DC的长有最小值，DC的最小值=﹣2（b﹣1）+2b﹣1=1．∵AD的长度不变，∴当DC最小时，AC有最小值．∴AC的最小值==．故答案为．x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P 的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．解：（1）在y=−12x+2中，令y=0，则x=4，∴A （4，0）； 故答案为：（4，0）.（2）∵在y=−12x +2中，令x=0，则y=2，∴B （0，2），把A （4，0），B （0，2）代入y=-x 2+bx+c ，得b=72， ∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=-x 2+72x+2. （3）∵P （m ，0），E （m ，-m 2+72m+2），F （m ，-12m+2），∵△BEF 和△APF 相似，且∠BFE=∠AEP ，∴∠BEP=∠APF=90°或∠EBF=∠APF=90°，当∠BEF=90°时，则有BE ⊥PE ，∴E 点的纵坐标为2，∴-m 2+72m+2=2，解得m=0（舍去）或m=72，如图1，当∠EBF=90°时，过点E 作EC ⊥y 轴于点C ，则∠EBC+∠BEC=90°，EC=m ，BC=-m 2+72m+2-2=-m 2+72m ，∵∠EBF=90°，∴∠EBC+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BEC ，∴Rt △ECB ∽Rt △BOA ，7.九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践--应用--探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．（2）应用：规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为0.5m，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了一下两个问题，请予解答：Ⅰ如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上设矩形ABCD 的周长为l，求l的最大值．Ⅱ如图④，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，代入顶点式得：y=a（x-5）2+6.25，∴0=a（10-5）2+6.25，解得：a=-0.25，∴y=-0.25（x-5）2+6.25.（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，∴10-3×2=4，4÷2=2，∴x=2代入解析式得：y=-0.25（2-5）2+6.25=4，4-3.5=0.5，∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶.（3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x，∴AD=-0.25（x-5）2+6.25；∴矩形ABCD的周长为l为：l=2[-0.25（x-5）2+6.25]+2（10-2x）=-0.5x2+x+20，∴l 的最大值为：=20.5．II•如图④，当以P 、N 、Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形，∵P 在y=x 的图象上，过P 点作x 轴的垂线交抛物线于点Q ．∴∠POA =∠OPA =45°，∴Q 点的纵坐标为5，∴解得m=5±√5.如图⑤，当∠P 3NQ 3=90°时，过点Q 3作Q 3K 1⊥对称轴，当△NQ 3K 1为等腰直角三角形时，△NP 3Q 3为等腰直角三角形，Q 点在OM 的上方时，P 3Q 3=2Q 3K 1，P 3Q 3=-14x 2+52-x ，Q 3K 1=5-x ，Q 点在OM 的下方时，P 4Q 4=2Q 4K 2，P 4Q 4=x -（-14x 2+52），Q 4K 2=x -5， ∴14x 2-72x +10=0，解得：x 1=4，x 2=10，P 3（4，4），P 4（10，10） ∴使以P 、N 、Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形，P 点的坐标为：（5-√5，5-√5）或（5+√5，5+√5）或（4，4）或（10，10）．8.如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，) 397∴y=a(x-4)2+k ， .又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ,∴A(1，0)，B(7，0)∴0=9a+k .由①②解得a=，k=∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－. ⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD ≥DB ∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x 轴交于点M ∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO∴△BPM ∽△BDO ∴ ∴∴点P 的坐标为(4，) ⑶由⑴知点C(4，)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=，∴∠ACM=60o ，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o. ① 点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N 如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有BQ=6，∠ABQ=120o ，则∠QBN=60o∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)， 如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，)②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ，此时点Q 的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABCk a +=16397933－933BO BM DO PM =3373397=⨯=PM 333-33333333-3333点Q 的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．9.已知抛物线l 1与l 2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l 1：y=ax 2-6ax-10交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB=4，抛物线l 2与l 1交于点A 与C （4，m ）．（1）求抛物线l 1，l 2的函数表达式；（2）当x 的取值范围是 时，抛物线l 1与l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线PQ ∥y 轴，分别交x 轴，l 1，l 2于点D （n ，0），P ，Q ，当12≤n ≤5时，求线段PQ 的最大值． 解：（1）当y=0时，ax 2-6ax-10=0，∴a=-2，∴抛物线l 1的函数表达式为y=-2x 2+12x-10．当y=0时，-2x 2+12x-10=0，解得x 1=1，x 2=5，∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（5，0）．当x=4时，m=-2x 2+12x-10=6，∴点C 的坐标为（4，6）．设抛物线l 2的函数表达式为y=2x 2+bx+c ，将A （1，0），C （4，6）代入y=2x 2+bx+c ，∴抛物线l 2的函数表达式为y=2x 2-8x+6．（2）2≤x ≤3【解析】当x ≤3时，抛物线l 1上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大，当x ≥2时，抛物线l 2上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大．∴当2≤x ≤3时，抛物线l 1与l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大． 33333（3）∵点D 的坐标为（n ，0），∴点P 的坐标为（n ，-2n 2+12n-10），点Q 的坐标为（n ，2n 2-8n+6），∴|PQ|=|-2n 2+12n-10-（2n 2-8n+6）|=4|n 2-5n+4|．①当12≤n ＜1时，PQ=4（n 2-5n+4），∵4＞0，∴n 2-5n+4时，PQ 随着n 的增大而减小，∴当n=12时，PQ 取得最大值，最大值为7； ②1≤n ≤4时，PQ=-4（n 2-5n+4）=-4（n-52）2+9， ∵-4＜0，∴当n=52时，PQ 取得最大值，最大值为9；③当4＜n ≤5时，PQ=4（n 2-5n+4），∵4＞0，∴PQ 随着n 的增大而增大，∴当n=5时，PQ 取得最大值，最大值为16．综上所述：当12≤n ≤5时，线段PQ 的最大值为16．10.如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD的面积S 满足：123S S =若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设正比例函数的解析式为， ∵的图象过点，∴，解得．这个正比例函数的解析式为.设反比例函数的解析式为．∵的图象过点，∴，解得．这个反比例函数的解析式为． （2）∵点在的图象上，∴，则点． 设一次函数解析式为．∵的图象是由平移得到的,11(0)y k x k =≠1y k x =(33)A ，133k =11k =y x =22(0)k y k x =≠2k y x =(33)A ，233k =29k =9y x =(6)B m ，9y x =9362m ==362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33(0)y k x b k =+≠3y k x b =+y x =∴，即．又∵的图象过点，∴，解得一次函数的解析式为．（3）∵的图象交轴于点，所以的坐标为． 设二次函数的解析式为． ∵的图象过点、、和 ∴ 解得 这个二次函数的解析式为． （4）交轴于点，点的坐标是， 如图所示，31k =y x b =+y x b =+362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，362b =+92b =-∴92y x =-92y x =-y D D 902⎛⎫- ⎪⎝⎭，2(0)y ax bx c a =++≠2y ax bx c =++(33)A ，362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 902⎛⎫- ⎪⎝⎭，1249.2a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，，219422y x x =-+-92y x =-x C ∴C 902⎛⎫ ⎪⎝⎭，．假设存在点，使． ∵四边形的顶点只能在轴上方，，．，．∵在二次函数的图象上，．解得或．当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，∴点的坐标为． 15113166633322222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯99451842=---814=00()E x y ，12812273432S S ==⨯=CDOE E x ∴00y >1OCD OCE S S S ∴=+△△01991922222y =⨯⨯+⨯081984y =+081927842y ∴+=032y ∴=2001934222x x ∴-+-=02x =06x =06x =362E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B CDOE 06x =E 322⎛⎫ ⎪⎝⎭，。
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江西省中考近5年二次函数试题
6．（2014年）已知反比例函数k y x
=
的图像如右图所示，则二次函数2224y kx x k =-+的图像大致为（ ）．
24．（2014年）如图1，抛物线2
(0)y ax bx c a =++>的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若三角形AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高。
（1）抛物线212y x =
对应的碟宽为____；抛物线24y x =对应的碟宽为_____；抛物线2y ax =（a>0）对应的碟宽为____；抛物线2(2)3(0)y a x a =-+>对应的碟宽____；
（2）若抛物线254(0)3
y ax ax a =-->对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值； （3）将抛物线2(0)n n n n n y a x b x c a =++>的对应准蝶形记为F n （n=1,2,3，…），定义F 1，F 2，…..F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。
若F n 与F n-1的相似比为12，且F n 的碟顶是F n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1.
①求抛物线y 2的表达式
② 若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n 。
则h n =_______,F n 的碟宽右端点横坐标为_______；F 1，F 2，….F n 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。
6．（2013年）若二次涵数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1<x2，图象上有一点M (x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是（）．A．a>0 B．b2－4ac≥0 C．x1<x0<x2D．a(x0－x1)( x0－x2)<0
24．（2013年）已知抛物线抛物线y n=-(x-a n)2+a n（n为正整数，且0<a1<a2<…<a n）与x轴的交点为A n-1（b n-1,0）和A n(b n，0)，当n=1时，第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．
（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为（，）；
依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为（，）;
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是；
（3）探究下列结论：
①若用A n-1A n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出
A n-1A n；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得
线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
23. （2012年）如图,已知二次函数34:21+-=x x y L 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C .
(1)写出A 、B 两点的坐标;
(2)二次函数k kx kx y L 34:22+-=(k ≠0),顶点为P.
①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质;
②是否存在实数k ,使△ABP 为等边三角形?如存在,请求出k 的值;如不存在,请说明理由; ③若直线k y 8=与抛物线2L 交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不
会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由.
24. （2011年）将抛物线c 1：y
=2x 轴翻折，得抛物线c 2，如图所示.
（1）请直接写出抛物线c 2的表达式.
（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴
的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E .
①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；
②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.
y x
O 备用图
24．（2010年）如图，已知经过原点的抛物线y=－2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m>0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．。