广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试文数试题Word版含答案.doc

数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}=|13,|1A x x B x x -<<=>，则集合A B = （ ） A ．()1,3- B ．()1,1- C ．()1,3 D ．()1,-+∞2.已知i 是虚数单位，则复数32ii+的虚部是（ ） A ．3i B ．3i - C ．3 D ．-33.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率（ ）A ．4π B ．14 C ．16π D ．1164.若直线l 与平面α相交，则（ ）A ．平面α内存在直线与l 异面B ．平面α内存在唯一直线与l 平行 C. 平面α内存在唯一直线与l 垂直 D ．平面α内的直线与l 都相交 5.已知函数()()1cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C.()f x 既是奇函数也是偶函数 D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数6.函数()f x = ）A ．()0,+∞B ．[)1,+∞ C.(]1,2 D ．[)2,+∞7.已知ABC ∆的顶点B C 、在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．B ． C.6 D ．12 8.设0ω>，函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．23 B ．43 C.32D ．3 9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12 B ．1 C. 32D ．3 10.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用如下：不超过50千克按0.53元/千克收费，超过50千克的部分按0.85元/千克收费，相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填（ ）A ．0.85y x =B ．()500.53500.85y x =⨯+-⨯ B ．C. 0.53y x = D ．500.530.85y x =⨯+11.在ABC ∆中，角A B C 、、对应的边分别为c a 、b 、，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）A ．30,40,30a b A ===︒B ．25,30,150a b A ===︒ C. 8,16,30a b A ===︒ D ．72,60,135a b A ===︒ 12.已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()0f x f x +<′，设()2a f m m =-,()211m m b ef -+= ,则a b 、的大小关系是（ ）A ．a b >B ．a b < C.a b = D ．a b 、的大小与m 的值有关第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.sin15cos15︒︒=． 14.双曲线22142x y -=的离心率e = ． 15.设x y 、满足不等式组1000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ． 16.如图，已知向量,,2,3OA a OB b a b ====，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S关于点B 的对称点为N ，点C 为线段AB 的中点，则MN OC =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列{}()n b n N *∈是递增的等比数列，且13135,4b b b b +== .（Ⅰ）若2log 3n n a b =+，证明：数列{}n a 是等差数列； （Ⅱ）若11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）四棱锥A BCDE -的侧面ABC 是等边三角形，1EB ABC DC ABC BE ⊥⊥=平面，平面，，2BC CD ==，F 是棱AD 的中点.（Ⅰ）证明：//EF ABC 平面； （Ⅱ）求四棱锥A BCDE -的体积. 19. （本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的占55%.（Ⅰ）求x y 、的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）. 20. （本小题满分12分）已知曲线C 在y 轴右边，C 上的每一点到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离多1. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）已知过点()(),00M m m >的直线l 与曲线C 有两交点A B 、，若0F AF B<恒成立，求m 的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln f x x ax x a R =+-∈.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=，直线的参数方程为32545x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）若2a =，直线l 与x 轴的交点为,M N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值； （Ⅱ）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆Ca 的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()23,3f x x g x x =--=+. （Ⅰ）求不等式()()f x g x <的解集；（Ⅱ）若不等式()()f x g x a <+对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDCAA 6-10:DBCCB 11、12：AA 12.解：记()()xh x e f x = ，则()()()()()()0xxxh x e f x e f x ef x f x =+=+< ′′′. ∴函数()()xh x e f x = 在R 上单调递减. 由()()x h x e f x = 得()()()22222m m m mh m m a f m m h m m e e ---=-==- ，()()221111mm m m h b e h e e-+-== . ()2221311024m m m m m ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭ ，即()21m m >-.∴由()h x 的单调性得()()21h m m h ->.又20m me-> ，∴()()2221m mm mh m m e h e--->，即a b >.二、填空题 13.1415.2 16.5 三、解答题17.解：（Ⅰ）13135,4b b b b +== ，且数列{}n b 递增，∴13,b b 是方程2540x x -+=的两根，31b b >. ∴131,4b b ==. ∴314b q b ==，即2q =（舍去负值）. ∴12n n b -=.∴2log 32n n a b n =+=+.∴数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列.F 是AD 中点，∴//FM DC ，且112FM DC ==. ,EB ABC DC ABC ⊥⊥ 平面平面，∴//EB DC ， ∴//FM EB . 又1EB = ， ∴FM EB =.∴四边形FMBE 是平行四边形. ∴//EF BM ，,BM ABC EF ABC ⊂⊄ 平面平面，∴//EF ABC 平面.（Ⅱ）取BC 中点N ，连结AN ，ABC ∆ 是正三角形，∴,AN BC AN BC ⊥==EB ⊥ 平面ABC ，∴EB AN ⊥.,BC BCDE EB BCDE ⊂⊂ 平面平面，且BC EB B =∴AN BCDE ⊥平面，由（Ⅰ）知底面BCDE 为直角梯形，∴()132BCDE S BE DC BC =+= ，∴四棱锥A BCDE -的体积13BCDE V AN S == 18.解：（Ⅰ）依题意：()3010010.5525101000.55x y ⎧+=-⎨++=⨯⎩，解得：15,20x y ==.将这100位顾客一次购物的结算时间看作一个容量为100的简单随机样本，用样本平均数估计顾客一次购物的结算时间的平均值：115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.∴顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.（Ⅱ）记A 事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，“顾客一次购物的结算时间为1分钟”的概率115100P =； “顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”的概率230100P =；“顾客一次购物的结算时间为2分钟”的概率325100P =；∴123700.7100P P P P =++==.∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7.19.解：（Ⅰ）依题意：曲线C 上的任意点到点()1,0F 的距离等于到直线1x =-的距离， ∴曲线C 是抛物线，方程是()240y x x =>.（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty m =+，l 与曲线C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ， ∴22112211,44x y x y ==. 将l 的方程代入抛物线方程化简得：2440y ty m --=.∴判别式()21212160,4,4t m y y t y y m ∆=+>+==- .又()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-， ∴()1212121FA FB x x x x y y =-+++,()()222121212111164y y y y y y =+-++, ()()22121212*********y y y y y y y y ⎡⎤=+-+-+⎣⎦.又0FA FB <恒成立，12124,4y y t y y m +==- ， ∴226140m m t -+-<恒成立， ∴22614m m t -+<恒成立.240t ≥ ，∴只需2610m m -+<即可.即：33m -<<+∴所求m 的取值范围为(3-+. 20.解：（Ⅰ）1a = ， ∴()2ln f x x x a =+-，∴()()()221112121x x x x f x x x x x-++-=+-==′， 函数定义域为()0,+∞，∴()0f x ≥′等价于()()2110x x ++≥，∴当12x ≥时，()0f x ≥′，()f x 单调递增； 当102x <<时，()0f x <′，()f x 单调递减.∴函数()f x 的递增区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）假设存在实数a ，使()()(]()20,g x f x x x e =-∈有最小值，()ln g x ax x =- ，∴()11ax g x a x x-=-=′， ()i 当0a ≤时，()()0,g x g x <′在(]0,e 上单调递减，∴()()min 13g x g e ae ==-=， ∴4a e=（与0a ≤矛盾，舍去）. ()ii 当10e a <<，即1a e >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x <′，在1,e a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上，()0g x >′， ∴()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， ∴2a e =.()iii 当1e a ≥，即10a e<≤时，()0g x <′， ∴()()min 13g x g e ae ==-=， ∴4a e =（与10a e<≤矛盾，舍去）. 综上所述，存在2a e =，当(]0,x e ∈时，函数()g x 的最小值是3.21.解：（Ⅰ）当2a =时，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可化为22sin ρρθ=， 化为直角坐标方程为2220x y y +-=，即()2211x y +-=.直线l 的普通方程为4380x y +-=，与x 轴的交点M 的坐标为()2,0.圆心()0,1与点()2,0M∴MN1.（Ⅱ）由sin a ρθ=可得2sin a ρρθ=，∴圆C 的普通方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半，122a = . 解得：32a =或3211a =. 22.解：（Ⅰ）依题意：原不等式可化为233x x --+<， 当3x ≤-时，233x x -++<，解集为空集；当32x -<<时，()233x x --+<，解得22x -<<；当2x ≥时，()233x x --+<，解得2x ≥.综上所述，所求不等式解集为{}|2x x >-.（Ⅱ）不等式()()f x g x a <+等价于233x x a --+<+. ()23235x x x x --+≤--+= （当且仅当3x ≤-时取等号）， ∴35a +>.∴2a >.。