专题4 基本不等式-2018年高二数学好题分类汇编解析版

专题4 基本不等式-2018年高二数学好题分类汇编解析版1．【黑龙江省双鸭山市第一中学2017-2018学年高二4月月考】 设0b a >>，且 则它们的大小关系是（ ）A. P Q M N R <<<<B. Q P M N R <<<<C. P M N Q R <<<<D. P Q M R N <<<< 【答案】A2．【山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】在下列函数中，最小值时的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 A.，当时，，当时，，所以不正确， B.，当时，所以不正确，C.，当时，无解，不能取得等号，也不成立，D.，当时，即，，成立，故选D.【点睛】解决此类问题的关键条件是利用基本不等式求最值，要根据“一正，二定，三相等”的思路求解，一正是基本条件，不等式另一侧需是定值，定值是否能取得得看两个数能不能相等，尤其是第三条要引起重视，容易出错，当需要使用两次基本不等式时，还要验证两次基本不等式的定值能否同时取得. 3．【广西来宾市2017-2018，则4xy x y ++的最小值为（ ）A. 24B. 28C. 32D. 36 【答案】C本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．4．【山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】下列函数中最小值为4的是（ ）（0x π<< ） C. 343x x y -=+⨯ D. lg 4log 10x y x =+ 【答案】CA 的最小值不为4；B 因此函数单调递减， 5y ∴＞，不成立．C ．当且仅当0x =时取等号，成立．D ． 01x ∈（，）时， 330x log x log ，＜， 不成立．故选C ．5．【山东省济宁市2017-2018学年高二上学期期末考试】若正数x ， y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A.C. 5D. 6 【答案】B【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．6．【山东省济宁市2017-2018学年高二上学期期末考试】若正数x ， y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A.275 B. 245C. 5D. 6【答案】A【解析】正数x ， y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()13492743433355555x y x y x y y x y x⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭ 故答案为：A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中。

7．【陕西省咸阳市2017-2018学年高二上学期期末考试】已知3x >，（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 5 【答案】C点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．8．【河南省新乡市2017-2018学年高二年级上学期期末考试】已知a b <，则 ）A. 3B. 2C. 4D. 1 【答案】A 【解析】,b a b >∴，当=1b a - 时等号成的最小值为3，故选A.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.9．【广西贺州市2017-2018学年高二年级上学期期末质量检测】若直线220(0,0)ax by a b -+=>>经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则 ）A. 16B. 9C. 12D. 8 【答案】B【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．【河南省林州市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试】已知0x >， 0y >， 23x y +=，的最小值为（ ）【答案】B选B11．【广西南宁市第三中学、柳州铁一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考】若实数,x y 满足0x y >>，，则x y +的最小值为（ ）D. 【答案】D点睛：本题是均值不等式的灵活运用问题，解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待. 12．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若(,,0OP aOA bOB a b R =+∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 221a b +≥ B. 1ab ≥ C. 1a b +≥ D. 2a b -≥ 【答案】C【解析】由题意，双曲线渐近线方程为2xy =±，联立直线2x =，解得1,y =±∴不妨设 ()()()2,1,2,1,,A B P x y -， OP aOA bOB =+， 22,x a b y a b ∴=+=-， P 为双曲线C 上的任意一点， ()()222214a b a b +∴--=， 141,4ab ab ∴==， ()222241a b a b ab ab ∴+=++≥=a b =（ 时等号成立），可得1a b +≥，故选C.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的的渐近线、向量相等的应用以及平面向量的坐标运算、不等式的性质，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，解答本题的关键是根据坐标运算．13．【新疆兵团第二师华山中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】若直线经过圆的圆心，则的最小值为___________．【答案】14．【浙江省亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测】已知，则的最小值为__________．【答案】【解析】，当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15．已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是________．16．【福建省宁德市2017-2018学年高二上学期期末质量检测】若1,0m n >>， 3m n +=，则小值为__________．【解析】点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．【山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试】已知,,a b c 均为正实数. （I ）求证：（II ）求证：【答案】（I ）见解析；（II ）见解析. 【解析】试题分析：（I然后求和后利用基本不等式可得结论成立．（II ）在所给不等式的每个分母中利用基本不等式进行化简，然后再利用基本不等式求解．由①+②+③得：当且仅当a b c ==时各个等号同时成立．（II当且仅当a b c ==时各个等号同时成立．18．【2017-2018学年陕西省汉中市汉台中学西乡中学高二上学期期末联考】（1）若0x >， 0y >， 1x y +=，求证：114x y+≥. （2）已知实数0a >， 0b >，且1ab =，若不等式a b x y m x y ⎛⎫+⋅+> ⎪⎝⎭（），对任意的正实数,x y 恒成立，求实数m 的取值范围。

【答案】（1）见解析；（2）(),4-∞.【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用常量代换和基本不等式证明. （2）第（2）问，利用基本不等式求解.所以()ab a y b x x y a b a b b a b x y x y⎛⎫+⋅+=+++≥++≥ ⎪⎝⎭ 4=，当且仅当a b =，ay bxx y=，即a b =， x y =时等号成立，故只要4m <即可，所以实数m 的取值范围是(),4-∞ 19．【广东省揭阳市第三中学2017-2018学年高二上学期期末考试】已知正数满足；（1）求的取值范围；（2）求的最小值.【答案】(1)(2)4【解析】试题分析：（1）由，，根据基本不等式，即可求解的取值范围；（2）由，即可利用基本不等式求解的最小值．（2），，当且仅当时取等号，∴的最小值为4.20．（1）求的最小值；（2）若，且，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将原式变形为，令，则，然后利用函数的单调性求解可得最值．（2）由于为定值，解题时先将原式变形得到的形式，然后利用基本不等式求解，注意等号成立的条件．试题解析：（1），令，则，又当时，函数单调递增，∴当时，有最小值，且最小值为，故的最小值是．∴的最大值为．点睛：利用基本不等式求最值的方法（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号；若等号不成立，一般利用函数单调性求解．21．【山东省垦利第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划. 2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本()C x万元，由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2018年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1（2）当100x =时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.解析：（1）当040x <<时，()25100101002500L x x x x =⨯--- 2104002500x x =-+-；当40x ≥时，（2）当040x <<时， ()()210201500L x x =--+，∴当20x =时， ()()max 201500L x L ==；当40x ≥时，20002001800=-=， ，即100x =时， ()()max 10018001500L x L ==>； ∴当100x =时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.22．【广东省江门市2017-2018学年高二上学期调研测试】一种设备的单价为a 元，设备维修和消耗费用第一年为b 元，以后每年增加b 元（a b 、是常数）.用t 表示设备使用的年数，记设备年平均费用为y ，即y = (设备单价+设备维修和消耗费用）÷设备使用的年数. （Ⅰ）求y 关于t 的函数关系式； （Ⅱ）当112500a =， 1000b =时，求这种设备的最佳更新年限.【答案】（Ⅱ）15年 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可知设备维修和消耗费用构成以b 为首项， b 为公差的等差数列，结合等差数列前n项和公式可得(Ⅱ)15t =时，年平均消耗费用取得最小值，即设备的最佳更新年限是15年.（Ⅱ）∵0,0,0t a b >>>，所以112500a =， 1000b =，15t =时，年平均消耗费用取得最小值 所以设备的最佳更新年限是15年点睛：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．。