高一数学苏教版必修5教师用书：第2章 2.2.3 等差数列的前n项和
苏教版数学必修五同步讲义：2.2.3等差数列的前n项和
2．2.3 等差数列的前n 项和1.掌握等差数列的求和公式在解题中的运用．2.理解等差数列前n 项和公式的性质并会简单运用．3．初步体会等差数列前n 项和公式在实际问题中的运用．, [学生用书P26])1．数列前n 项和S n 与a n 的关系(1)S n 的记法：数列{a n }中，前n 项的和记为S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n .(2)a n 与S n 的关系：若数列的前n 项和为S n ，则通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列的前n 项和公式 (1)公式1：S n ＝n （a 1＋a n ）2．(2)公式2：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ．3．倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两项等距离两项之和等于首末两项之和，可采用正着写和与倒着写和的两个式子相加，就得到数列{a n }的前n 项和．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式．( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又因为a 1＝S 1＝3，所以a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . ★答案☆：(1)√ (2)× (3)×2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则其前n 项和S n ＝________． 解析：因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n （n －1）2×1＝2n ＋n 2－n2＝n 2＋n 2＝n （n ＋1）2.★答案☆：n （n ＋1）23．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32×d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，所以S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.★答案☆：484．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝________． 解析：法一：因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 所以S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又因为a 10＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1. 所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.法二：因为{a n }是等差数列，所以S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，所以a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98. ★答案☆：98与等差数列前n 项和S n 有关的基本运算[学生用书P26]在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ；(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . 【解】 (1)由题意，得n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，所以d ＝－16.(2)由已知，得S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（4＋a 8）2＝172，解得a 8＝39，又因为a 8＝4＋(8－1)d ＝39，所以d ＝5.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋（n －1）d ，S n＝na 1＋n （n －1）2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2（n －1）＝11，na 1＋n （n －1）2×2＝35， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2结合使用．1.已知等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ； (3)S 5＝24，求a 2＋a 4.解：(1)因为S m ＝m ×32＋m （m －1）2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理，得m 2－7m －60＝0，解得m ＝12或m ＝－5(舍去)， 所以a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ·（－512＋1）2＝－1 022，得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.(3)法一：设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋5×（5－1）2d ＝24，得5a 1＋10d ＝24，a 1＋2d ＝245.所以a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.法二：由S 5＝5（a 1＋a 5）2＝24，得a 1＋a 5＝485.所以a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝485.等差数列前n 项和性质的应用[学生用书P27]等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，求S 110.【解】 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知得 ⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10.②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，所以S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110×⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110. 法二：设S n ＝an 2＋bn . 因为S 10＝100，S 100＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.所以S n ＝－11100n 2＋11110n .所以S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.法三：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D ，则此数列前10项的和为10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22) ＝－120.所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法四：因为S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90（a 11＋a 100）2＝90（a 1＋a 110）2，又S 100－S 10＝10－100＝－90，所以a 1＋a 110＝－2. 所以S 110＝110（a 1＋a 110）2＝－110.法五：由S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ，得S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2. 所以可建立n 与S n n 的函数关系，则点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 是直线y ＝d2·(x －1)＋a 1上的一串点，即这些点共线，从而每两点连线的斜率相等，所以点(10，10)、⎝⎛⎭⎫100，110、⎝⎛⎭⎫110，S 110110共线， 所以S 110110－110110－100＝10－11010－100，解得S 110＝－110.本题运用了等差数列前n 项和性质：S n ＝An 2＋Bn 和S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，使运算简化，同时也要注意应用函数思想．2.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之和的比为32∶27，则公差为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227，⇒⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162，由S 偶－S 奇＝6d ⇒d ＝5.★答案☆：5等差数列前n 项和的最值问题[学生用书P27]已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，前多少项的和最大，最大值为多少？ 【解】 法一：(函数法)因为a n ＝40－4n ， 所以a 1＝40－4＝36，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n＝－2⎣⎡⎦⎤n 2－19n ＋⎝⎛⎭⎫1922＋1922 ＝－2⎝⎛⎭⎫n －1922＋1922. 令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，所以S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2⎝⎛⎭⎫10－1922＋1922＝180. 法二：(通项法)因为a n ＝40－4n ，所以a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，所以d ＝32－36＝－4<0， 数列{a n }为递减数列．令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎪⎨⎪⎧40－4n ≥0，40－4（n ＋1）≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.所以当n ＝9或n ＝10时，S n 最大． 所以S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 若本例中a n ＝40－4n 变为a n ＝2n －14，求该数列前n 项和S n 的最小值．解：法一：因为a n ＝2n －14，所以a 1＝－12，d ＝2. 所以a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….所以当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值． 易求S 6＝S 7＝－42， 所以(S n )min ＝－42.法二：因为a n ＝2n －14， 所以a 1＝－12.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694.所以当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.求等差数列前n 项和S n 的最值常用的两种方法(1)运用配方法．将S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 配方．转化为二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决．(2)根据项的正负来定．若a 1>0，d <0，则数列的所有正数项之和最大；若a 1<0，d >0，则数列的所有负数项之和最小．3.若等差数列5，427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的项数n的值．解：法一：根据等差数列前n 项和的公式可求得S n ＝75n －5n 214＝－514⎝⎛⎭⎫n －1522＋1 12556，所以S n 最大时，n ＝7或8.又S 7＝S 8＝20.故S n 最大时，n ＝7或8.法二：由题意知，等差数列5，427，347…的公差d ＝－57，所以a n ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57＝40－5n 7， 令a n ＝0，得n ＝8， 又因为d ＝－57<0，所以{a n }是一个递减数列．所以n ＝7或n ＝8时， S n 取得最大值．等差数列前n 项和公式的实际应用[学生用书P27]某市在某年4月份发生疫情．据资料统计，4月1日，该市的新感染者为20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者多10人．由于该市各部门通力合作，采取隔离措施(还没有特效药问世)，使疫情的传播得到了控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者少8人，到4月30日止，该市在这30天内感染该病的患者共有2 196人．问：4月几日该市新感染该病的人数最多？并求这一天的新感染人数．【解】 设从4月1日起的第n (n ∈N *，1≤n ≤30)天，感染此病的新患者人数最多．则从4月1日到4月n 日，每天的新患者人数构成一个等差数列，这个数列的首项为20，公差为10，所以，前n 天的感染者总人数就是这个数列的前n 项和S n ＝20n ＋n （n －1）2×10＝5n 2＋15n ；从4月n ＋1日开始，至4月30日，每天新感染人数也构成一个等差数列，其首项为20＋10(n －1)－8＝10n ＋2，项数为30－n ，公差为－8.故这后30－n 天的新感染人数为T 30－n ＝(30－n )(10n ＋2)＋（30－n ）（29－n ）2×(－8)＝－14n 2＋534n －3 420.从而，这个月的感染者总人数为S n ＋T 30－n ＝5n 2＋15n ＋(－14n 2＋534n －3 420)＝2 196. 化简得n 2－61n ＋624＝0， 解得n ＝13或48，因为n ∈N *，1≤n ≤30，所以n ＝13. 即该市4月13日的新感染者人数最多，这一天的新感染人数为20＋(13－1)×10＝140人．本题是一道等差数列求和的应用题，首先要根据问题给出的已知条件建立数学模型，此题是把每天新感染人数的变化规律抽象为两个等差数列问题，再用等差数列的求和公式来解决．4.沙尘暴是由于土地沙漠化引起的，根据调查，某县2011年已有一定面积的沙漠，以后每年被沙漠化的土地面积相同；该县从2012年起在沙漠上植树，改造沙漠为林地，以后每年都比上一年多植相同面积的树木，据统计，沙漠面积及每年植树面积(单位：亩)如下表：年份 沙漠面积 每年植树面积2012 25 200 1 000 201324 0001 400问：到哪一年底可以将所有沙漠改造完？解：设2011年有沙漠m 亩，以后每年被沙漠化的土地面积有y 亩，从2012年起在沙漠上每年植树面积构成等差数列为{a n }，a 1＝1 000，a 2＝1 400，公差d ＝400，则第n 年底植树面积为T n ＝1 000n ＋n （n －1）2×400＝200n 2＋800n .则第n 年底沙漠总面积为S n ＝m ＋ny －T n ＝m ＋ny －200n 2－800n .所以⎩⎪⎨⎪⎧25 200＝m ＋y －200－800，24 000＝m ＋2y －800－1 600，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝26 000，y ＝200.所以S n ＝－200n 2－600n ＋26 000，由S n ≤0，得S n ＝－200n 2－600n ＋26 000≤0， 即n 2＋3n －130≥0，解得n ≥10或n ≤－13(舍去)．故到2021年年底可以将所有沙漠改造完．1．等差数列前n 项和公式的特点(1)两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n 项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用公式1较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式2较好．(3)等差数列的五个基本量包含于三个公式(两个前n 项和公式、一个通项公式)中，简称“五量三式”知其中三个量可求另外两个量，共有10种情形，进行基本量计算时，一要注意选用公式，其中已知a n ，S n ，d 求a 1和n 时需选两个公式联立方程组求解，二要恰当运用等差数列的性质进行转化和快速计算．(4)当公差不为零时，等差数列的通用公式是关于n 的一次函数，前n 项和公式是关于n 的没有常数项的二次函数，因此前n 项和必有最大值或最小值．2．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m－S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ，①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.求{|a n |}的前n 项和． [解] 记{a n }的前n 项和为S n ，{|a n |}的前n 项和为T n . 由a 10＝23，a 25＝－22可得a 1＝50，d ＝－3. 当n ≤17，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－32n 2＋1032n ，当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 17－S n ＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. 所以当n ≤17，n ∈N *时，{|a n |}的前n 项和为－32n 2＋1032n ，当n ≥18，n ∈N *时，{|a n |}的前n 项和为32n 2－1032n ＋884.综上可知T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，32n 2－1032n ＋884，n ≥18.对于带有绝对值号的数列求和问题，应先弄清n 取什么值时a n ＞0或a n ＜0，然后求解，因此本类型题的易错点在于对n 在什么范围内取值时a n ＞0或a n ＜0的讨论．1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝________． 解析：因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 4＝2a 3＝1＋5，所以a 3＝3， 所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5×2a 32＝5a 3＝5×3＝15.★答案☆：152．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝__________． 解析：由题意知a 1＝2， 由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12. ★答案☆：123．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，2a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝－2，所以S 6＝6a 1＋12×6×5d ＝36＋15×(－2)＝6.★答案☆：64．在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 100＝0，则其前n 项和S n 取最大值时的n 的值为________．解析：因为a 1＋a 100＝a 50＋a 51＝0，且d <0，所以a 50>0，a 51<0，所以当n ＝50时，S n 取最大值．★答案☆：50, [学生用书P88(单独成册)])[A 基础达标]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，则{a n }的前n 项和S n ＝________． 解析：a 1＝2×1＋1＝3，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （3＋2n ＋1）2＝n 2＋2n . ★答案☆：n 2＋2n2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5知，6×(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. ★答案☆：133．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.★答案☆：454．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了19层瓦片，则该斜面共铺了________块瓦片．解析：由题可知，每一层所铺瓦片数由上至下依次构成一个等差数列，设为{a n }，则a 1＝21，d ＝1，n ＝19.所以S 19＝（21＋21＋18）×192＝570，即该斜面共铺了570块瓦片． ★答案☆：5705．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .★答案☆：2A6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝________．解析：因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝210，得n ＝14. ★答案☆：147．某工厂去年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则去年全年总产值为________万元．解析：法一：设第一个月产值为a 1万元，每月产值增长d 万元，则⎩⎨⎧（a 1＋a 1＋2d ）×32＝20，（a 1＋a 1＋5d ）×62＝60，解得⎩⎨⎧a 1＝409，d ＝209. 所以全年产值为⎝⎛⎭⎫409＋409＋209×11×122＝200(万元)．法二：季度产值也按等差数列增长，且此时的公差为(60－20)－20＝20，所以全年总产值为（20＋20＋20×3）×42＝200(万元)． ★答案☆：2008．已知等差数列{a n }共有20项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为112，则公差d ＝________．解析：依题意：S 偶－S 奇＝10d ＝112－132＝－20，所以d ＝－2.★答案☆：－29．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242， 得方程242＝12n ＋n （n －1）2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解：(1)设{a n }的公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12.(2)S n ＝n （a 1＋a n ）2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.[B 能力提升]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________． 解析：a n ＝2n －30，令a n <0，得n <15，即在数列{a n }中，前14项均为负数，所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. ★答案☆：1902．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值时的自然数n 的值为________．解析：由题意得a 1＋2d ＝－a 1－8d ，所以a 1＝－5d ＞0，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－5nd ＋n （n －1）2d ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －1122－1218d ， 又因为d ＜0，n ∈N *，所以当n ＝5或6时，S n 取最大值．★答案☆：5或63．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，所以4(a 1＋a n )＝280，所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210， 所以n ＝6.★答案☆：64．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0.因为a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， 所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ， 所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . 因为{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12(c ＝0舍去)． 经检验，c ＝－12符合题意， 所以c ＝－12.。
苏教版数学必修五：2.2.3等差数列的前n项和(2)【教师版】
二、知识建构与应用
例 1 若数列 an 的前 n 项的和 S n 满足 Sn 5n2 3n ，
（1）写出它的前 3 项； （2）求数列 an 的通项公式；
例 2 已知等差数列 {an } 的项数为奇数，且奇数的和为 44 ，偶数项的和为 33 ，求此数列的 中间项及项数.
例 3 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为 40mm,满盘时直径 120 mm.已知卫生纸 的厚度为 0.1 mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到 1m)?
例 4 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对
象为在校四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取 3 年教育储蓄的月利率为 2.1 0 00 . (1) 欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元,每月大约存入多少元? (2) 零存整取 3 年期教育储蓄每月至少存入多少元?此时 3 年后本息合计约为多少(精确到 1 元)?
四、 【回顾反思】
五、作业批改情况记录及分析
【学习过程】 一、自主学习与交流反馈 问题 1 求下列等差数列的各项和： （1）1，5，9，…，401. 各项和为________； （2）- 3，- ，0，…，30. 各项和为_____； （3）0.7，2.7，4.7，…，56.7. 各项和为________； （4）-10，-9.9，-9.8，…，-0.1. 各项和为___________. 问题 2 求和：(其中
a
i 1
n
i
a1 a2 an )
（1）
(3 0.25k ) = ___________，
k 0
10
（2）
1 2n = ___________.
2019-2020学年苏教版数学必修五：2.2.3等差数列的前n项和(1)【教师版】
2019-2020学年苏教版数学精品资料课题：2.2.3 等差数列的前n 项和（1）总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】1．掌握等差数列前n 项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题.2．探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力. 【重点难点】教学重点：等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用. 教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. 【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题:一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？等差数列n a 的前n 项和公式2)(1n na a n S dn n na S n 2)1(1性质：在等差数列n a 中,m m m m m S S S S S 232,,，…成等差数列，公差为2m d ．二、知识建构与应用例1 在等差数列n a 中，(1)已知,101,3501a a 求50S ；(2)已知,21,31d a 求10S .例2 在等差数列n a 中,已知,215,23,21n n S a d 求1a 及n . 例3 在等差数列n a 中，已知第1项到第10项的和为310,第11项到第20项的和为910, 求第21项到第30项的和.三、【巩固练习】1．在等差数列n a 中(1)已知,43,7101a a 求10S ;(2)已知,2,1001d a 求50S .2．在等差数列n a 中（1）已知,15,2,11n d a 求n n S a 和；（2）已知,7,231-1n a d a ，求n S n 和;（3）已知,21,5,81n a n a 求n S d 和; （4）已知,90,12,2n n S n a 求da 和13．在等差数列,32,21,31,61中,(1)求前20项的和;(2)已知前n 项的和为2155,求n 的值. 4．在等差数列n a 中，已知，，392100168S S 试求24S . 四、【回顾反思】五、作业批改情况记录及分析。
(教师用书)高中数学 2.2.3 等差数列的前n项和教案 苏教版必修5
2.2.3 等差数列的前n项和(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)掌握等差数列前n项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题；(2)掌握等差数列前n项和的常用性质，并会用它们解决一些相关问题；(3)会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值，从而提高学生分析问题、解决问题的能力；(4)在探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力．2.过程与方法(1)通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究；(2)通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通项公式推导的过程教学是对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平．3．情感、态度与价值观(1)通过公式的推导过程，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力；(2)培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力；(3)通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并解决问题．●重点、难点重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用，等差数列前n项和的常用性质及应用．难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系．为了突破重点，化解难点，在教学时要从特例出发，抓住知识的切入点，结合学生原有的知识水平和所需知识，引导学生思考：如何求等差数列的前n项和？等差数列的前n项和有何特点？通过观察、分析、比较，采取从特殊到一般的方法推证出等差数列的前n项和公式．对于等差数列前n项和的常用性质，应先引导学生回答所提问题，采取从特殊到一般的思想，发现并归纳出等差数列前n项和的常用性质；再通过例题强化学生对性质的理解和记忆．(教师用书独具)●教学建议1．求等差数列前n项和是我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时也是数列研究的基本问题．学生对等差数列前n项和公式的学习既是重点又是难点．为此，首先从“高斯算法”和“钢管堆放”两个实际问题出发，引导学生去观察探寻与等差数列首末两端“等距离”的两项之和有何特点？这样做，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面，使学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律．也为接下来求一般等差数列前n项和做铺垫．由于这里的思路和算法比较巧妙，蕴涵有求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列内在的规律．2．在推导等差数列前n项和公式时，由于已在前面做好铺垫，就可以引导学生自己去推导求和公式，推导结束后要注意引导学生认识公式本身结构特征．前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质．后者反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两者从不同角度反映了等差数列的性质．对于这两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．譬如说，两个公式的共同点是需知a1和n，不同点是前者还需知a n，后面还需知d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式．教学时，可以用熟知的梯形面积公式(给出图形)帮助学生理解和记忆．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案．(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3，…，n ，…前100项的和的问题．人们从这个算法中受到启发，用下面的方法计算1,2,3，…，n ，…的前n 项和．由1＋2＋…＋(n －1)＋n ＋n ＋(n －1)＋…＋2＋1 ＝(n ＋1)＋(n ＋1)＋…＋(n ＋1) 可知1＋2＋3＋…＋n ＝n ＋n2.这种方法能够推广到求一般等差数列的前n 项和吗？若能，试求之． 【提示】 能． ∵S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∴2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)， ＝n (a 1＋a n )． ∴S n ＝12n (a 1＋a n )等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d1．若数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 有何关系？ 【提示】 设等差数列的首项为a 1，公差为d .则a k ＋1＝a 1＋kd ，a 2k ＋1＝a 1＋2kd .S k ＝ka 1＋k k －2d .又S 2k －S k 为数列第k ＋1项到第2k 项这k 项的和， ∴S 2k －S k ＝k (a 1＋kd )＋k k －2d＝ka 1＋k k －2d ＋k 2d .同理，S 3k －S 2k ＝k (a 1＋2kd )＋k k －2d＝ka 1＋k k －2d ＋2k 2d .∴S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 构成等差数列，且公差为k 2d .2．若项数为偶数2n (n ∈N *)的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 偶与S 奇有何关系？ 【提示】 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n＝n a 2＋a 2n2＝n a n ＋1＋a n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝n a 1＋a 2n －12＝n ·2a n2＝na n .∴S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝nd ，S 偶S 奇＝na n ＋1na n ＝a n ＋1a n. 数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则有如下性质： (1)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列，公差为m 2d ； (2)若项数为偶数2n (n ∈N *)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (3)若项数为奇数2n ＋1(n ∈N *)，则S 奇－S 偶＝a n ＋1，S 奇S 偶＝n ＋1n. (4)若{a n }、{b n }均为等差数列，前n 项和分别为S n 和T n ，则a mb m＝S 2m －1T 2m －1.(对应学生用书第26页)在等差数列{a n }中，前n 项和为S n .(1)已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d ； (2)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【思路探究】 (1)利用前n 项和公式，建立关于a 1、d 的方程组，解方程组求a 1、d . (2)根据前n 项和公式求a 1、d ，再求a 8和S 8.(3)先根据等差数列的性质求a 1＋a 17，再求S 17. 【自主解答】 (1)由等差数列的前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋28d ＝48，12a 1＋66d ＝168，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4.(2)∵a 6＝S 6－S 5，∴S 6＝S 5＋a 6＝15. ∴a 1＋a 62×6＝15，即3(a 1＋10)＝15，∴a 1＝－5，∴d ＝a 6－a 15＝3，∴a 8＝a 6＋2d ＝16，S 8＝a 1＋a 82×8＝44.(3)根据等差数列的性质，有a 3＋a 15＝a 1＋a 17＝40， ∴S 17＝a 1＋a 172＝17×402＝340.1．本题第(3)问看似缺少条件，但注意到a 3＋a 15与a 1＋a 17的联系，便可以很容易地求出结果，所以应注意各元素之间的某些特殊联系．2．对于两个求和公式S n ＝n a 1＋a n2和S n ＝na 1＋n n －2d ，要根据题目的已知条件灵活选用．等差数列{a n }中，a 10＝30，S 20＝620. (1)求a n ；(2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，20a 1＋20×192d ＝620，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10. (2)由(1)知，S n ＝a 1＋a n n2＝＋2n ＋2·n ＝n 2＋11n .∴由n 2＋11n ＝242，得n ＝11或n ＝－22(舍)． 故n ＝11.在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10.求S 110.【思路探究】 思路一：利用S n ＝na 1＋n n －2d →求a 1，d →求S 110思路二：利用前n 项和性质→连续10项和成等差数列→求S 110 【自主解答】 法一 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋－2d ＝100，100a 1＋－2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋－2d＝110×1 099100＋110×1092×(－1150)＝－110.法二 ∵{a n }是等差数列，∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列． 设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.1．本题的两种解法中，法一为基本解法，运算量很大；法二利用前n 项和的性质，在新的等差数列中研究，利于思考和计算．2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…也是等差数列，利用此性质解题，往往比直接利用最基本的前n 项和公式要简捷．应当注意，在利用此性质解题时，不要误认为S k ，S 2k ，S 3k ，…是等差数列．已知含2n ＋1项的等差数列，求其奇数项的和与偶数项的和之比． 【解】 法一 设原数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ＋1，公差为d ，则a 1，a 3，a 5，…，a 2n ＋1和a 2，a 4，a 6，…，a 2n 分别也为等差数列，公差都为2d . 故S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)a 1＋n ＋n ＋－1]2·2d ＝(n ＋1)(a 1＋nd )，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝na 2＋n n －2·2d＝n (a 1＋d )＋n (n －1)d ＝n (a 1＋nd )． 故S 奇S 偶＝n ＋a 1＋nd n a 1＋nd ＝n ＋1n. 法二 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n 2，且a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n.已知等差数列{a n }中，a 1＝13且S 3＝S 11，那么n 取何值时，S n 取得最大值？并求出S n 的最大值．【思路探究】 先根据前n 项和公式求公差d ，再求出S n 的表达式，转化成二次函数在N *上的最值问题；也可求出公差d 后，利用通项公式a n 的符号解决．【自主解答】 法一 设公差为d ，由S 3＝S 11得3×13＋－2d ＝11×13＋－2d ，d ＝－2，又a 1＝13，∴S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49.∴当n ＝7时，S n 取得最大值，最大值是S 7＝49. 法二 同法一得d ＝－2，a n ＝13－2(n －1)＝15－2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧15－2n ≥0，15－n ＋，解得6.5≤n ≤7.5，∴当n ＝7时，S n 取得最大值． ∴Sn 的最大值是S 7＝a 1＋a 72＝＋15－2＝49.法三 同法一得d ＝－2又由S 3＝S 11知a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝4(a 7＋a 8)＝0.∵a 1＝13＞0，∴a 7≥0，a 8≤0，知数列的前7项和最大． ∴S 7＝7×13＋7×62×(－2)＝49.1．本题中法一利用二次函数的最值确定n 值；法二利用等差数列的通项公式确定n 值；法三利用等差数列的性质，由条件本身的特点确定n 值．2．求等差数列前n 项和的最值的常见方法： (1)方法一：利用通项公式确定n 值①若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1＜0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1＞0来确定．(2)方法二：利用二次函数的最值确定n 值等差数列的前n 项和为S n ，当d ≠0时，点(n ，S n )是二次函数y ＝ax 2＋bx (a ≠0)上的间断点．因此可利用二次函数的最值确定n 值．本题条件改为“a 1＝25，S 17＝S 9”，结果如何？【解】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25S 17＝S 9得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 则S n ＝25n ＋n n －2(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169，∴数列的前13项和最大． ∴S 13＝169.法二 同法一得d ＝－2，又a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－n －，a n ＋1＝25－2n ≤0得12.5≤n ≤13.5.∴当n ＝13时，S n 有最大值，最大值为S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169. 法三 同法一得d ＝－2， ∵a 1＝25，S 9＝S 17，∴公差d ＜0. 又S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，设a ＝d 2，b ＝a 1－d2，则S n ＝an 2＋bn (a ＜0)，其图象是二次函数f (x )＝ax 2＋bx 图象上一群孤立的点．∵S 9＝S 17，即f (9)＝f (17)，∴二次函数f (x )的图象的对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口向下，∴当x ＝13时，f (x )取得最大值． ∴数列的前13项和最大，∴S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169(对应学生用书第27页)等差数列前n 项和公式的结构特征未弄清致误两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋134n ＋5，求a 10b 10的值． 【错解】 设S n ＝(5n ＋13)k ，T n ＝(4n ＋5)k ， 则a n ＝S n －S n －1＝5k ，b n ＝T n －T n －1＝4k ，所以a n b n ＝54，于是a 10b 10＝54.【错因分析】 由等差数列的前n 项和公式知S n ＝12n ×[2a 1＋(n －1)d ]，故S n 与n 不一定是一次函数关系，由S n T n ＝5n ＋134n ＋5可知比值S n 5n ＋13＝T n4n ＋5随着序号n 的变化而变化，不能设为常数k .【防范措施】 弄清等差数列前n 项和的函数特征，当d ≠0时，S n 是关于n 的一元二次函数(无常数项)．【正解】 设S n ＝(5n ＋13)nk ，T n ＝(4n ＋5)nk ， 则a n ＝S n －S n －1＝(10n ＋8)k ，b n ＝T n －T n －1＝(8n ＋1)k ， 所以a n b n ＝10n ＋88n ＋1，其中n ≥2.所以a 10b 10＝10×10＋88×10＋1＝43.1．基础知识：(1)数列的前n 项和概念； (2)等差数列前n 项和公式；(3)等差数列前n 项和公式与函数关系； (4)等差数列前n 项和的性质． 2．基本技能：(1)等差数列前n 项和公式的应用； (2)等差数列前n 项和性质的应用； (3)等差数列前n 项和最值的求法． 3．思想方法： (1)方程思想； (2)转化思想；(3)数形结合思想.(对应学生用书第28页)1．等差数列{a n }中，a 11＝10，则S 21＝________. 【解析】 S 21＝a 1＋a 212＝21a 11＝210.【答案】 2102．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n (n ∈N *)，则{a n }的前n 项和S n 等于________． 【解析】 由a n ＝2－3n ，得a 1＝－1，则Sn ＝n a 1＋a n 2＝n －1＋2－3n 2＝n －3n ＋2＝－32n 2＋n 2【答案】 －32n 2＋n 23．在等差数列{a n }中，a 4＝10，a 10＝－2.若S n ＝60，则n 的值为________．【解析】 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋9d ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－2.∴S n ＝n ×16＋n n －2×(－2)＝60，整理得n 2－17n ＋60＝0，∴n ＝5或n ＝12. 【答案】 5或124．已知在等差数列中，前n 项和为S n ，且S m ＝3，S 2m ＝6，求S 3m . 【解】 ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，∴2×3＝3＋(S 3m －6)，∴S 3m ＝9.(对应学生用书第87页)一、填空题1．已知等差数列{a n }中，a 7＝3，则数列{a n }的前13项之和为________． 【解析】 S 13＝13a 7＝13×3＝39. 【答案】 392．(2013·汉中高二检测)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________.【解析】 由S n ＝n 2＋2n ＋5，得S 2＝13，S 6＝53， ∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 2＝53－13＝40. 【答案】 403．(2013·微山高二检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n＝________.【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也适合上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)． 【答案】 2n (n ∈N *)4．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，则公差d ＝________. 【解析】 ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －2d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －d ＝－512，n ＋n n －2d ＝－1 022.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4，d ＝－171.【答案】 －1715．(2013·徐州检测)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.【解析】 设S 3＝k ，则S 6＝3k ，∴S 6－S 3＝2k .由等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9也成等差数列． ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k . ∴S 9＝6k ，S 12＝10k .∴S 6S 12＝310. 【答案】3106．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 【解析】 由S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝72，∴a 5＝8.∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝a 5＋(a 6＋a 4)＝3a 5＝24. 【答案】 247．(2013·扬州检测)已知首项为正数的等差数列{a n }满足：a 2011＋a 2012＞0，a 2011a 2012＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．【解析】 ∵a 2011a 2012＜0，∴数列{a n }的项有正有负． ∵a 1＞0，∴等差数列{a n }为递减数列． ∴a 2011＞0，a 2012＜0. ∴S 4022＝a 1＋a 40222＝a 2011＋a 20122＞0，S 4023＝a 1＋a 40232＝4023×2a 20122＜0.【答案】 4 0228．(2013·无锡检测)在等差数列{a n }中，若任意两个不等的正整数k ，p ，都有a k ＝2p －1，a p ＝2k －1，设数列{a n }的前n 项和为S n ，若k ＋p ＝m ，则S m ＝________(结果用m 表示)．【解析】 ∵d ＝a k －a pk －p＝p －－k －k －p＝－2，又a k ＝a 1－2(k －1)，∴a 1＝a k ＋2(k －1)＝2p －1＋2k －2＝2(k ＋p )－3＝2m －3， ∴S m ＝ma 1＋m m －2d ＝m (2m －3)－m (m －1)＝m (m －2)＝m 2－2m . 【答案】 m 2－2m 二、解答题9．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，求S 10. 【解】 设首项为a 1，公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16， ①20a 1＋12×20×19d ＝20. ②由②得2a 1＋19d ＝2. ③ ③－①×2得15d ＝－30，∴d ＝－2. ∴a 1＝16－2d ＝20.∴S 10＝10a 1＋12×10×9d ＝200－90＝110.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n . (1)求证{a n }是等差数列；(2)求使100＜a n ＜200成立的所有项的和．【解】 (1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2×1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1. 因为n ＝1时，适合a n ＝2n ＋1，所以此数列的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 因为a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2，所以{a n }是以a 1＝3为首项，d ＝2为公差的等差数列． (2)因为100＜a n ＜200，又由(1)得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 所以100＜2n ＋1＜200，所以992＜n ＜1992(n ∈N *)，即50≤n ≤99(n ∈N *)，所以它们的和为S ＝S 99－S 49＝992＋2×99－(492＋2×49)＝7 500. 故满足条件的各项之和为7 500.11．数列{a n }是等差数列，a 1＝50，d ＝－0.6. (1)从第几项开始有a n ＜0?(2)求此数列前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)因为a 1＝50，d ＝－0.6，所以a n ＝50－0.6(n －1)＝－0.6n ＋50.6(n ∈N *)． 令－0.6n ＋50.6≤0，则n ≥50.60.6≈84.3. 由于n ∈N *，故当n ≥85时，a n ＜0，即从第85项起，以后各项都小于0. (2)法一 因为d ＝－0.6＜0，a 1＝50＞0， 由(1)知a 84＞0，a 85＜0，所以S 1＜S 2＜…＜S 84，且S 84＞S 85＞S 86＞….所以S n 的最大值为S 84＝50×84＋84×832×(－0.6)＝2 108.4.法二 S n ＝50n ＋n n －2×(－0.6)＝－0.3n 2＋50.3n ＝－0.3(n －5036)2＋5032120.当n 等于最接近5036的自然数，即n ＝84时，S n 达到最大值，为S 84＝2108.4.(教师用书独具)有两个等差数列{a n }，{b n }，满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nb 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.【思路探究】 a 1＋a 2＋…＋a n ，b 1＋b 2＋…＋b n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，因此可用等差数列前n 项和公式或其他相关性质解答．【自主解答】 法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2， 则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝na 1＋n n －2d 1nb 1＋n n －2d 2＝a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2， 则有a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2＝7n ＋2n ＋3，① 又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①②，在①中取n ＝9， 得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512，故a 5b 5＝6512. 法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝a 1＋a n n2，B n ＝b 1＋b n n2.由于a 1＋a 9＝2a 5，即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝a 1＋a 92＝9a 5.同理B 9＝9b 5.故A 9B 9＝9a 59b 5，故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 法三 若设两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ， 则由等差数列的性质得a n ＝a 1＋a 2n －12，b n ＝b 1＋b 2n －12，∴a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝n －a 1＋a 2n －12n －b 1＋b 2n －12＝A 2n －1B 2n －1. ∴A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，从而a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.等差数列的项随着序号n 的变化而变化，这是等差数列的最本质特征，而等差数列的性质则是这一特征的具体反映．利用等差数列的性质解题，就要从等差数列的本质特征入手去思考，分析题目，这样做必定获得事半功倍的效果．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使a nb n为整数的正整数n 有________个．【解析】 a nb n ＝n －a n n －b n ＝A 2n －1B 2n －1＝n －＋452n －1＋3＝7n ＋19n ＋1＝n ＋＋12n ＋1＝7＋12n ＋1. ∴n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 【答案】 5 拓展生活中，银行存款时的零存整取问题整存整取及活期存款利息是：每期存款利息＝本金×期数×每期利率．存款到期实际所得为：本利和＝本金＋利息－应纳税额．零存整取的储蓄方式是：每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期，可以取出全部本利和．规定每次存入的钱不计复利.(1)若每月存入x 元，月利率r 不变，存期为n 个月，试求到期后的本利和(不考虑利息税)．(2)若每月初存入500元，月利率为0.3%，则到第36个月末整取时的本利和是多少？【解】 (1)根据题意，第1个月存入的x 元，到期利息为x ·r ·n 元；第2个月存入的x 元，到期利息为x ·r ·(n －1)元；……；第n 个月存入的x 元，到期利息为x r 元．不难看出这是一个等差数列求和问题．各月利息之和为x r (1＋2＋3＋…＋n )＝n n ＋2xr (元)，而本金为nx 元，这样就得到本利和公式y ＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n n ＋r 2. (2)根据(1)中的公式，本利和y ＝500×⎝ ⎛⎭⎪⎫36＋36×372×0.3%＝18 999(元).。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.3 等差数列的前n项和》
等差数列中的最值问题一、教学目标1、掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的形式和应用。
2、掌握常见题型的解法及常用思想方法。
3、掌握等差数列求最值问题的多种不同方法，并能对最值问题进行归纳总结。
二、教学重点和难点重点：等差数列求最值问题的常用解法。
难点：通过例题的讲解引导学生对等差数列的最值问题进行归纳和总结，并理解何种形式会有最大值，何种形式会有最小值。
三、教学过程1、复习旧知，回忆等差数列的常用公式：〔1〕通项公式〔2〕前n项和公式〔3〕等差中项概念〔4〕等差数列的判定方法定义法;中项公式法;通项公式法;前n项求和法;〔复习时主要以口述为主，必要的公式进行板书，主要让学生进行回忆，强调等差数列的通项公式和前n项和公式的形式，即通项公式是关于n的一次函数，前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0，为后面课程的讲述埋好伏笔。
〕2、教授新课：高考总复习之等差数列微专题-----等差数列中的最值问题例题1 分析：要求n为何值时，Sn有最大值，可从Sn的形式入手思考，Sn 是关于n的二次函数，可以从函数的角度求出Sn的最大值。
思考：在用nS是关于n的二次函数求最值时，如何防止复杂的计算，比方此题中的配方？引导学生讨论得到只要取离对称轴最近的整数处的和，即可得到最值，而对称轴可以由二次函数中的公式得到，这样可以防止复杂的计算，以便提高计算的准确度。
3、小组合作讨论思考：为什么等差数列会存在最值，是不是所有的等差数列都有最值呢？什么样的等差数列存在最大值，什么样的等差数列又存在最小值？通过观察数列、归纳特点并讨论可得两类数列存在最值思考：那有没有更简单的方法来得到等差数列何时取到最值呢？由数列的增减情况可以得到只要找出何时出现正负转折项，在该项处即得到等差数列前n项和的最值。
4、归纳等差数列最值问题的求法方法一、利用Sn是关于n的二次函数，在离对称轴最近的整数处取得最值。
方法二、利用等差数列的单调性，求出正负转折项。
苏教版高中数学必修五2.2.3等差数列的前n项和(一)教学设计
2.2.3等差数列的前n项和（一）教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.学情分析本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（人教A版）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍.教学重点和难点重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式．难点：从求1+2+3+…+100的过程中概括出推导等差数列前n项和公式的思想方法．教学媒体利用计算机和实物投影等辅助教学.教学过程1．实例引入，学习数列前n项和的概念问题1：一个堆放铅笔的V形架，最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（多媒体显示）问题1要求V形架里的铅笔数．第一层1支，第二层2支，第三层3支，…各层的铅笔数涉及一个数列：1，2，3，…，100，…．我们现在求的和就是这个数列前100项的和．一般地，我们称为数列的前n项和，用表示，即（板书）口头解释、，今天这节课的学习内容是：等差数列的前n项和．（板书课题）2．引导探究，发现公式2.1 高斯解决的思想方法如何求和：原问题：是100个不同的数求和，通过“配对分组”手段，将问题转化，得到新问题：是50个相同的数求和．其中，是数列：1，2，3，…，100，…的性质．也就是说，高斯算法的高明之处在于将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题．好，解决了的问题.我们再看问题2.2.2 正整数数列前n项和问题2 求(学生探究，交流讨论，教师巡视，最后总结评价)2.3 等差数列前n项和让我们再看更一般的问题！问题3 求等差数列的前n项和，即（学生分组讨论，教师最后点评、总结）至此，我们得到了计算等差数列前n项和的公式，公式有两种形式．下面我们来应用公式解决问题：3．公式辨析，应用反馈例1 如图，一个笔架，最下面一层放20支笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．这个笔架上共放着多少支笔？学生独立完成解题后，教师展示完整的解题过程，要求学生完善自己的解题步骤．解：根据题意，每一层的笔数构成一个等差数列：，，公差．由，解得n=81．.答：这个笔架上共放着4860支笔．梯形的面积公式可以帮助我们记忆等差数列前n项和的公式．例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：根据题意，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中，．到2010年（n =10），投入的资金总额为（万元）.答：从2001—2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．学生练习：教科书第45页的练习1．1．根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和.（1）；（2）.（展示学生的练习，并讲评．第2题的关键：准确表述问题中的数列）4．归纳小结，反思提升让我们回顾一下今天学习的内容：1.数列前n项和的概念2.等差数列的前n项和公式：；．3.运用等差数列的前n项和公式解决一些问题．其中，在推导等差数列的前n项和公式的过程中，我们分别运用了从特殊到一般和从一般到特殊的思想方法，你注意到了吗？（1）从特殊到一般（问题探究的方法）问题1：问题2：问题3：求等差数列的前n项和，即（2）从一般到特殊（等差数列求和转化的方法）“将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题”．加上一定的转化技巧，具体的做法是：“倒序相加法”．5．布置作业，分层落实教科书第46页习题2.3 A组：2、3。
高中数学第2章数列2.2.3等差数列的前n项和(1)教案苏教版必修5(2021学年)
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2。
2.3 等差数列的前n项和(1)教学目标：要求学生掌握等差数列的求和公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题．教学重点：掌握等差数列的求和公式.教学难点:推导该公式的数学思想方法.教学方法：启发、讨论、引导式．教学过程：一、问题情境高斯计算从1一直加到100的和，这里的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为５0组,第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，……,每组数的和均相等,都等于101，50个1０１就等于50５0了．高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?二、学生活动由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义．提问：你能说出高斯解题的思想方法是什么吗？三、建构数学等差数列的前ｎ项和公式;四、数学运用１．例题.例1 已知等差数列﹛a n ﹜中,ａ1＝50,a 8=15,求S 8.例2 已知等差数列﹛a n ﹜中,a １3＝0。
７，a ３＝1。
5，求Ｓ7．２．练习.(2)在等差数列﹛a ｎ﹜中，①若a 2＋a 5+ａ１2+a 15=36.求Ｓ１6.②已知a 6=20.求S 11.(３)求1000以内能被7整除的所有自然数之和．(４）南北朝《张秋建算经》:今有女子善织布,逐日所织布以同数递增,初日织五尺，计织三十日,共织九匹三丈,问日增几何？(一匹为四丈)五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:1．运用从特殊到一般的方法得到了等差数列前ｎ项和公式.11()(1)22n n n a a n n d S na +-==+; 2．探究过程中得到了一种重要的求和方法:倒序相加法.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
苏教版高中数学必修五2.2.3 等差数列的前n项和(二).docx
2.2.3 等差数列的前n 项和(二)课时目标 1.熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)， (n ≥2).2．等差数列前n 项和公式S n ＝____________＝______________. 3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定．(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最______值；当d <0时，S n 有最______值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值． 一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．一、填空题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n ，(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是________．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为________．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.6．在等差数列{a n}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.7．等差数列{a n}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和S n取到最小值，则k 的值是________．8．一个凸n边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，则凸n边形的边数是________．9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和是________．10．设{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是________(只填序号)．①d<0；②a7＝0；③S9>S5；④S6与S7均为S n的最大值二、解答题11．设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．12．已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n.能力提升13．数列{a n}的前n项和S n＝3n－2n2 (n∈N*)，则当n≥2时，S n、na1、na n从大到小的顺序是________．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．2．2.3 等差数列的前n 项和(二)答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d3．(1)大 ⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0 小 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0 (2)小 大作业设计 1．2n －2 2．－1解析 等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 3．8解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8. 4.310解析 方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310.方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.5．1解析 由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1.6．10解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n＝n (a 1＋a n )2＝31n2＝155，得n ＝10. 7．10或11解析 方法一 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎨⎧1－110(n －1)≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ， 得S n ＝⎝⎛⎭⎫－120a 1·n 2＋⎝⎛⎭⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝⎛⎭⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)， 由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小．但n ∈N *，故n ＝10或11时S n 取得最小值． 8．9解析 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180，解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9. 9．－110解析 方法一 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法三 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90， ∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.10．①②④解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.故①②正确．由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5. 故③错误，④正确．11．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).13．na 1>S n >na n解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)，解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ， ∴na n ＝5n －4n 2，∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0. S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0. ∴na 1>S n >na n .14．解 (1)根据题意，有：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3.(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。
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2.2.3 等差数列的前n项和1．掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题．(重点) 2．体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系．(难点)3．等差数列前n项和的最值的判断．(易错点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的前n 项和公式 阅读教材P 42，完成下列问题． 1．等差数列的前n 项和公式项和的方法是倒序相加法．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 30＝30，则S 30＝ . 【解析】 S 30＝30(a 1＋a 30)2＝30×(1＋30)2＝465.【★答案☆】 4652．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝ .【解析】 ∵a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 4＝14，∴a 4＝7，∴d ＝2， ∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝100，∴n ＝10. 【★答案☆】 10教材整理2 等差数列前n 项和的性质阅读教材P 48第8题～第12题，完成下列问题． 等差数列前n 项和常用性质(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．(2)S 奇表示奇数项之和，S 偶表示偶数项之和，公差为d . ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. ②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(3)前n 项S n 是关于n 的二次函数，不具有常数项． ①当a 1>0，d <0时，S n 有最大值． ②当a 1<0，d >0时，S n 有最小值．1．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝ .【解析】设a3＋a6＋a9＝x，则45,39，x成等差数列，∴45＋x＝39×2，∴x＝33.【★答案☆】332．已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2－10n，则当n＝时，S n 最小．【解析】S n＝n2－10n＝(n－5)2－25，∴当n＝5时，S n最小，为－25.【★答案☆】5[小组合作型]在等差数列{a n }中，(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ； (2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ； (3)d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【精彩点拨】 (1)(2)利用S n ＝n (a 1＋a n )2求解；(3)利用S n ＝na 1＋n (n －1)2d 求解．【自主解答】 (1)由题意，得 S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32， ∴d ＝－16. (2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172， 解得a 8＝39.又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39， ∴d ＝5.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎨⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎨⎧n ＝7，a 1＝－1.等差数列的基本计算方法与技巧1．公式S n ＝n (a 1＋a n )2中涉及四个量：S n ，n ，a 1，a n ；公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 中也涉及四个量：S n ，n ，a 1，d .结合等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，对于等差数列中的五个量：S n ，n ，a 1，a n ，d ，已知其中的三个可以求另外的两个量．简称“知三求二”．2．在进行等差数列基本量的互求时，要注意求和公式和通项公式的恰当选取，注意方程思想及等差数列性质的应用．[再练一题]1．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ； (3)S 5＝24，求a 2＋a 4.【解】 (1)S m ＝m ·32＋m (m －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15， 整理，得m 2－7m －60＝0，解得m ＝12或m ＝－5(舍去)， ∴a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·(－512＋1)2＝－1 022，得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.(3)法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×(5－1)2d ＝24，得5a 1＋10d ＝24，即a 1＋2d ＝245，∴a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485. 法二 由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝24，得a 1＋a 5＝485.∴a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝485.在等差数列{a n }中，公差为d ，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求数列{a n }的前多少项和最大？【精彩点拨】【自主解答】 法一 由⎩⎨⎧a 1＝25，S 17＝S 9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.则S n ＝25n ＋n (n －1)2(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169， ∴数列{a n }的前13项和最大．法二 同法一解得d ＝－2，∴a n ＝25＋(－2)(n －1)＝－2n ＋27. 令a n >0，即－2n ＋27>0，解得n <13.5，即数列{a n }的前13项均为正数，第13项以后均为负数， ∴数列{a n }的前13项和最大． 法三 ∵a 1＝25，S 9＝S 17，∴公差d <0. 又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设a ＝d 2，b ＝a 1－d2，则S n ＝an 2＋bn (a <0)，其图象是二次函数f (x )＝ax 2＋bx 图象上一群孤立的点．∵S 9＝S 17，即f (9)＝f (17)，∴二次函数f (x )的图象的对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口向下， ∴当x ＝13时，f (x )取得最大值， ∴数列{a n }的前13项和最大．等差数列前n 项和的最值问题的三种解法1．利用a n ：当a 1>0，d <0时，前n 项和有最大值．可由a n ≥0，且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1<0，d >0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0，且a n ＋1≥0，求得n 的值．2．利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n 的值．3．利用二次函数的图象的对称性．[再练一题]2．在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值.【导学号：92862042】【解】 法一 ∵a n ＝2n －14， ∴a 1＝－12，d ＝2，∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<…， ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值． 易求S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42. 法二 ∵a n ＝2n －14， ∴a 1＝－12，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322－1694， ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小， 且(S n )min ＝－42.[探究共研型]n n m2mS m，S3m－S2m是否成等差数列？如果是，其公差是多少？【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d.同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d.所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，并且公差为m2d.探究2设S n，T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系？请证明．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.证明：∵S2n－1＝12(2n－1)(a1＋a2n－1)＝2n－12·2a n＝(2n－1)a n；同理T2n－1＝(2n－1)b n；∴S2n－1T2n－1＝(2n－1)a n(2n－1)b n＝a nb n.即a nb n＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m.(2)两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．【精彩点拨】(1)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列求解．(2)利用a5b5＝S9T9求解．【自主解答】(1)在等差数列中，S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列，∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)a5b5＝9(a1＋a9)9(b1＋b9)＝S9T9＝6512.1．对等差数列{a n }的前n 项和S n ，等差数列{b n }的前n 项和T n ，S 2n －1T 2n －1＝a nb n 是很重要的性质，解类似题目时注意运用．2．求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程．[再练一题]3．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ .(2)在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为 ．【解析】 (1)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，可得S 6S 12＝310.(2)∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝165150，解得n ＝10. 【★答案☆】 (1)310 (2)101．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ .【解析】 S 11＝11×(a 1＋a 11)2，∵a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，∴S 11＝11×(a 4＋a 8)2＝11×162＝88.【★答案☆】 882．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d ＝ . 【解析】 ∵S 10＝4S 5，∴10a 1＋10×92d ＝4(5a 1＋12×5×4d )， ∴d ＝2a 1，∴a 1d ＝12.【★答案☆】 123．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值为 ．【解析】 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 【★答案☆】 －14．在等差数列{a n }中，已知a 3∶a 5＝34，则S 9∶S 5的值是 .【导学号：92862043】【解析】 S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝95×a 5a 3＝95×43＝125.【★答案☆】 1255．已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【解】 (1)由a 10＝30，a 20＝50， 得⎩⎨⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10， 所以，当n <5时，b n <0； 当n >5时，b n >0； 当n ＝5时，b n ＝0.由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20.。