福建省宁德市部分一级达标中学2015-2016学年高二上学期期中联合考试数学理试题

2015-2016学年宁德市部分一级达标中学第一学期期中联合考试高二数学试卷（理科）考试时间 ： 120分钟命题、审核人：兰诗全 张沪博 陈长帮 周玲芬 刘荣坤 杨恩彬本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若,a b c d >>，则下列不等式成立的是A ．a bc d> B ．ac bd > C ． 2222a c b d +>+ D ． a c b d +>+2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若327a a =-，则4S 的值为A ．15B ．14C ．13D ．123．不等式224122x x +-≤的解集为A ． [1,3]-B ． [3,1]--C ．[3,1]-D ． [1,3] 4．已知变量,x y 满足约束条件22,24,2,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩则目标函数3z x y =-的最小值为A ．8-B ． 5-C ．2-D ．1-5．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且221052a a a =，3=1a ，则4a =A ．21 B ．2 C ． 2D ．26．在ABC ∆中，3a =,b =60A =，则cos B ＝A ．B C ． D7．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A ．B ．C ．D ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若角,,A B C 成等差数列，边,,a b c成等比数列，则sin sin A C ⋅的值为A ．34 BC ．12D ．149．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c =，3C π=，且3a b += 则ABC ∆的面积为 ABC ．125D10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-．若数列{}n b 满足210log n n b a =-，则使数列{}n b 的前n 项和取最大值时的n 的值为A ．8B ．10C ．8或9D ．9或1011．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为A ．13B ． 14C ． 15D ． 16 12．数列{}n a 满足1=1a ，且对任意的*,m n ∈N 都有m n m n a a a mn +=++，则1220111a a a +++等于 A ．4021 B ．2021 C ． 1910 D ． 2019第II 卷 （非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13．不等式302x x ->+的解集是________． 14．已知数列{}n a 的通项公式为(1)(21)n n a n =--，则1230a a a +++=________．15．已知数列{}n a 满足11a =，2+13)n a ，则数列{}n a 的通项公式为n a =________． 16．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，12BD DC =，若1AB =，2AC =，则AD BD ⋅的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步ABC骤．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ． （Ⅰ）若222b c a bc +=+，求角A 的大小；（Ⅱ）若cos cos a A b B =，试判断ABC ∆的形状．18．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，若12a =，且139a a a ，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12n n b -=，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ． 19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量()()2sin ,cos ,A A B =-p(sin ,1)B =-q ，且12⋅=p q 。

（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c =，求b a -的取值范围．20．（本小题满分12分）某厂生产A 产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件需另投入成本()C x 万元．当年产量不足80千件时21()103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时10000()511450C x x x=+-（万元），每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润()L x 万元关于x （千件）的函数关系； （Ⅱ）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？ 21．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式 222(32)3(2)0()x a a x a a a -++++<∈R ．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间(,)m n 的长度为d n m =-，若[0,4]a ∈，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和233=22n S n n +．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记12n n n na a T +⋅=，若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤成立，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）设n B 为数列{}n b 的前n 项的和，其中2n an b =，若不等式111+16n n n n B tb B tb ++-< 对任意的*n ∈N 恒成立，试求正实数t 的取值范围．2015-2016年宁德市五校联考高二（上） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7． B 8．A 9．D 10．D 11. B 12.A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．(,2)(3,)-∞-+∞ 14．30 15．2(32)n - 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．解: （Ⅰ）由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，……………………………3分又∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3.……………………………5分（Ⅱ）在△ABC 中，由cos cos a A b B =，得s i n c o s s i n c o s AA B B =，………………6分∴sin 2sin 2A B =. ……………………………7分∴22A B =或2+2=A B π. ……………………………9分∴A B =或+=2A B π∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．……………………………10分 18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d .∵12a =，且139a a a ，，成等比数列，∴2319a a a =⋅，即2(22)2(28)d d +=⨯+，……………2分 ∴248d d =，∵0d ≠，∴2d =．……………4分 ∴=2n a n ．……………6分 （Ⅱ）1=222n n n n a b n n -⋅=⋅，S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①……………7分从而2·S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1.②……………8分①－②，得(1－2)S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，……………10分即112(12)22(21)212n n n n n S n n ++--=-⋅=--⋅-,∴1(1)22n n S n +=-⋅+．……………………………12分19．解（Ⅰ）由12⋅=p q ，得 12sin sin cos()2A B A B --=，……………………1分 12sin sin cos cos sin sin 2A B A B A B --=，……………………2分∴1cos()2A B +=-，即1cos 2C =，……………………4分∵0C <<π，∴=C π3.……………………6分（Ⅱ）∵c =C π3，sin sin sin 3a b A B ==， ∴2sin ,2sin a A b B ==．……………………7分 ∴2sin 2sin b a B A -=-2sin()2sin A A π=+-3……………………8分sin 2sin A A A =-sin A A =-……………………9分2cos()A π=+6，……………………10分∵A 2π0<<3，∴+A ππ5π<<66，∴cos()A π<+<6，……………………11分∴(b a -∈．……………………12分 20．解: （Ⅰ）由题意可知，当 080x <<时，2211()50(10)2504025033L x x x x x x =-+-=-+-； ……………………2分当 80x ≥时，1000010000()50(511450)2501200()L x x x x x x =-+--=-+， (4)分∴2140250080,3()100001200(),80.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，……………………5分（Ⅱ）当 080x <<时，2211()40250(60)95033L x x x x =-+-=--+，∴=60x 时，max ()950L x =； ……………………8分 当 80x ≥时，10000()1200()12001000L x x x =-+≤-=．……………………9分 当且仅当10000=x x，即100x =时()L x 取最大值1000.………………………11分 综上所述，当100x =时，max ()1000L x =．故当年产量为100千件时该厂当年的利润最大．………………12分21．解：（Ⅰ）原不等式可化为2[(2)](3)0x a x a -+-<，……………………1分当223a a +<，即12a <<时，原不等式的解为223a x a +<<； ……………………3分当22=3a a +，即1a =或2a =时，原不等式的解集为∅； (5)分当223a a +>，即1a <或2a >时，原不等式的解为232a x a <<+．……………………7分 综上所述，当12a <<时，原不等式的解为223a x a +<<， 当1a =或2a =时，原不等式的解集为∅，当1a <或2a >时，原不等式的解为232a x a <<+．（Ⅱ）显然当1a =或2a =时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…………8分当1a ≠且2a ≠时，223123=()24d a a a =+---，[0,4]a ∈.………………9分设223t a a =+-，[0,4]a ∈，则当0a =时，2t =，当32a =时，14t =-，当4a =时，6t =，……………11分∴当4a =时，max 6d =．……………………12分 22．解：（Ⅰ）当2n ≥时，2-133=(1)(1)22n S n n -+-， ∴13n n n a S S n -=-=，………………………… 2分 又=1n 时，11=3a S =满足上式，所以3n a n =．…………………………3分19(1)=22n n n n n a a n n T +⋅+= 119(1)(2)229(1)22n n n nn n T n n n T n +++++⇒==+，…………………4分当1,2n =时，1n n T T +≥，当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒<， ∴1n =时，19T =，2,3n =时，23272T T ==， 4n ≥时，3n T T <，∴{}n T 中的最大值为23272T T ==．…………………………6分 要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立，只需272m ≤， ∴272m ≥．…………………………7分（Ⅱ）38(18)828(81)187n nnnn n b B -==⇒==--，…………………………8分将n B 代入11116n n n n B tb B tb ++-<+，化简得，()+18818178816+877n nn t t ⨯--⨯<⎛⎫-⎪⎝⎭（﹡） ∵0t >，∴+188+877n t ⎛⎫>⎪⎝⎭，…………………………9分所以（﹡）化为()+1+1816818+1387n n n t ⎡⎤⨯--<⨯⎣⎦，整理得()+1+1816818+1218n n n t ⎡⎤⨯--⎣⎦>⨯，…………………………10分∴+18151218n t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭对一切的正整数n 恒成立，…………………………11分 易知+11518n -随n 的增大而增大，且+18158121821n ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， ∴821t ≥．.…………………………………………12分。