江苏省江阴市成化高级中学高中数学1.2.4平面与平面的位置关系(3)教案新人教版必修2
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.4 平面与平面的位置关系》0
§1.2.4 平面与平面的位置关系〔1〕教学目标:1、了解两个平面的两种位置关系：相交和平行；2、掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，并能灵活应用；3、在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间两个平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念。
教学重点、难点:重点：两个平面平行的判定定理及性质定理。
难点：两个平面平行的判定定理及性质定理的灵活应用。
教学过程:一、数学实验利用手中的两本书作为两个平面，摆一摆，两个平面有哪几种位置关系？你能根据公共点的情况进行分类吗？学生归纳：两个平面的位置关系：二．问题情境工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平平面，你能解释其中的奥秘吗？三、建构数学 两个平面平行的判定定理：_______________________________________________________。
用符号表示：假设______________________________________，那么___________。
合作探究：如果两个平面平行，那么：〔1〕一个平面内的直线是否平行于另一个平面？ 〔2〕分别在两个平行平面内的直线是否平行？ 两个平面平行的性质定理：_______________________________________________________。
〔要求学生画出图形，写出、求证并证明。
〕四、数学运用 1．例题：例1、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：平面BC 1D ∥平面AB 1D 1 分析：可考虑证明一个平面内有两条直线与另一个平面平行。
Aab DCA 1D 1C 1B 1思考：A 1C 与平面BC 1D 垂直吗？为什么？例2、求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
： 求证：思考：垂直于同一条直线的两个平面平行吗？结合例2归纳：公垂线：_________________________________________。
高中数学 (2.1.4 平面与平面之间的位置关系)示范教案 新人教A版必修2.doc
2.1.4 平面与平面之间的位置关系整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.三维目标1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系.2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.3.培养学生全面思考问题的能力.重点难点平面与平面的相交和平行.课时安排1课时教学过程复习1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.2.直线与平面的位置关系：①直线在平面内——有无数个公共点,②直线与平面相交——有且只有一个公共点,③直线与平面平行——没有公共点.导入新课思路1.(情境导入)拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？思路2.(事例导入)观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做两个平面平行？②两个平面平行的画法.③回忆两个平面相交的依据.④什么叫做两个平面相交?⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.问题②怎样体现两个平面平行的特点.问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.问题④回忆公理三.问题⑤鼓励学生自我训练.讨论结果：①两个平面平行——没有公共点.②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.图2 图3③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.④两个平面相交——有一条公共直线.⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图4.图4应用示例思路1例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a与直线b具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.图5例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.图6变式训练α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )A.α、β都平行于直线l、mB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥βD.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β分析：如图7,分别是A、B、C的反例.图7 答案：D点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.思路2例1 α∩β=l,a ⊂α,b ⊂β,试判断直线a 、b 的位置关系,并画图表示.活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价. 解：如图8,直线a 、b 的位置关系是平行、相交、异面.图8变式训练α∩β=l,a ⊂α,b ⊂β,b∩β=P,试判断直线a 、b 的位置关系,并画图表示.解：如图9,直线a 、b 的位置关系是相交、异面.图9直线a 、b 不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明. 点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力. 例2 如图10，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ，图10（1）画出l 的位置；（2）设l∩A 1B 1=P ，求PB 1的长.解：（1）平面DMN 与平面AD 1的交线为DM ，则平面DMN 与平面A 1C 1的交线为QN.QN 即为所求作的直线l.如图10.（2）设QN∩A 1B 1=P,∵△MA 1Q≌△MAD，∴A 1Q=AD=a=A 1D 1,∴A 1是QD 1的中点.又A 1P∥D 1N,∴A 1P=21D 1N=41C 1D 1=41a. ∴PB 1=A 1B 1－A 1P=a a a 4341=-. 变式训练画出四面体ABCD 中过E 、F 、G 三点的截面与四面体各面的交线.解：如图11,分别连接并延长线段EF 、BD ，图11∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点.知能训练三棱柱的各面把空间分成几部分?解：分为21部分.拓展提升已知平面α∩平面β=a,b⊂α,b∩a=A,c⊂β且c∥a,求证：b、c是异面直线.证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.∴AB⊂β,即b⊂β.这与b∩β=A矛盾.∴b,c是异面直线.课堂小结本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线.另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.作业课本习题2.1 B组1、2、3.设计感想本节内容较少，与上一节课一样,教材没有讨论面面平行的判定和性质，只介绍了平面与平面的位置关系.平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力.。
江苏省江阴市成化高级中学高中数学课件：1.2.3 直线与平面的位置关系(4)
C1 EP
B1
D A
C
B
第十二页，编辑于星期日：十四点 分。
A
C
B
第七页，编辑于星期日：十四点 分。
数学应用
5 （1）在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是O，若PA⊥BC，
PB⊥AC，求证：O是△ABC的垂心 ．
（2）在三棱锥P-ABC中，O是底面△ABC的垂心，若OP⊥底面ABC．求证：
PA⊥BC ．
P
O
A
C
B
第八页，编辑于星期日：十四点 分。
高中数学 必修2
姓名：范金泉
单位：宿迁市马陵中学
第一页，编辑于星期日：十四点 分。
数学应用：
1．在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同
一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂
直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确的是
．
①、④
2．如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角
第十一页，编辑于星期日：十四点 分。
附加题：
如图，一块正方体木料的上底面内有一点E，要经过点E在上底面内画一条 直线与CE垂直，应怎样画？
分析： 因为CE 平面CEC1．所以只要找与平面CEC1垂直．
作法：连结C1E．
D1
在平面A1B1C1D1内作C1E的垂线PE与C1E交于E点．A1
则直线PE就是所求作的直线.
形有
4 个．
P
A
B
C
第二页，编辑于星期日：十四点 分。
数学应用：
例1．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四 边形，求证：MN∥平面PAD．
高一数学必修2教案：1.2.4 平面和平面的位置关系3
l E DCB A βαlCBA βαD B 1C 1D 1A 1A C B cP ba βα§1.2.4 平面和平面的位置关系(3)教学目标：1．进一步巩固二面角的概念2．掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用 3．强化“线线垂直”，“线面垂直”，“面面垂直”相互之间转化的思想教学重点：平面与平面垂直的判定定理和性质定理的理解及这两个定理的运用教学难点：创设并理解平面与平面垂直的判定定理以及性质定理成立的条件教学过程：1．问题情境(1)情境：回顾二面角的平面角的范围和二面角平面角的作法及求二面角的步骤，由两个平面互相垂直的概念，思考教室中的门与地面是否垂直．(2)问题：门轴是与地面垂直的，那么过门轴的面是否都与地面垂直呢？2．平面与平面垂直的判定定理：(线面垂直⇒面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．推理模式：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥ 如图示已知：AB ⊂β，AB ⊥α，垂足为B (A 为l 上的一点)，求证：αβ⊥．证明：如图所示，令CD αβ=I ，则B CD ∈，在α内过B 作BE CD ⊥， ∵,AB CD αα⊥⊂，∴AB CD ⊥，∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角， 又∵AB BE ⊥，∴ABE ∠是直角，所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥． 思考：如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面呢？ 答案是否定的，但一个平面内满足什么条件的直线才垂直于另一个平面呢？ 3．平面与平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．已知：如图所示，,,,l AB AB l αβαβα⊥=⊂⊥I 垂足为B ， 求证：AB β⊥．证明：在β内过B 作BC l ⊥，则由题意得ABC ∠是l αβ--的平面角，∵αβ⊥知AB BC ⊥，又∵AB l ⊥，∴AB β⊥． 4．例题讲解例1．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，求证：平面''A C CA ⊥平面''B D DB ． 证明：AA '⊥Q 平面ABCD ，AA BD '∴⊥ BD AC ⊥Q ，BD ∴⊥平面''A C CA ，BD ⊂Q 平面''B D DB ，∴平面''A C CA ⊥平面''B D DB例2．求证，如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内． 已知：如图， αβ⊥，P α∈，P a ∈， a β⊥．求证：a α⊂．证明：设c αβ=I ，过点P 在平面α内作直线b c ⊥，αβa b Pc根据平面与平面垂直的性质定理，有b β⊥． 因为经过一点有且仅有一条直线与平面β垂直， 所以直线a 与直线b 重合，即a α⊂．说明：运用性质定理的关键是创设定理成立的条件， l αβ=I ，αβ⊥，a α⊂，a l ⊥． 5．课堂小结两个平面垂直的判定定理及性质定理成立的条件．补充：1．在正三角形ABC 中，AD BC ⊥于D ，沿AD 折成二面角B AD C --后，12BC AB =，求二面角B AD C --的大小．2．直角ABC ∆的斜边在平面α内，C 是α外一点，又,AC BC 与平面α所成的角分别为30,45︒︒，求平面ABC 与平面α所成的角度．3．在60︒的二面角l αβ--的面α内一点A 到β，求A 到l 的距离．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.4 平面与平面的位置关系》19
（含重难点）
重点：对两平面平行的判定定理和性质定理的理解．
难点：会证明平面与平面平行，培养学生运用定理解决问题的能力．
教学方法、
手段
问题诱思法，探究法，讲练结合法
教学过程
教学
流程
学生活动
教师活动
设计意图
新课
教学
回答、倾听、思考．
动手操作
观察思考
学生给出面面平行的定义
学生聆听，思考线面平行的证明，感受类比数学思想的运用
动一动，摆一摆：请你拿两本书当做两个平面，摆一摆，看看他们有怎样的位置关系？
回到几何体中来认识面面位置关系
教师引导学生类比线面平行的定义给出面面平行的定义
教师提问面面平行的的判定方法并联系生活。
归纳出面面平行的判定两种方法（1）定义法（2）转化法
说明：定义直接但是难操作；转化法要注意线面平行判定的要点，一是数量，二是位置给出面面Biblioteka 行的判定定理例1：命题判定
重点是面面平行的定义以及判定定理的理解
例2：正方体中证明面面平行
重点是规范写法，五推一的条件一个也不能少。
教师根据学生小结给出本节授课思维导图
复习引入，让学生通过问题进行知识回顾，激发学生的参与热情．
直观感知面面的位置关系
以学生为主体，重在问题的发现，重在过程的探究，突出数形结合思想在问题解决中的作用，体现建构主义学习理论指导下的新授课教学．
学生给出定理的符号表述和图形表述
学生完成例1例2加深定理和定义的理解，注意证明的规范性
学生完成课堂反馈
学生根据本节课的学习情况，给出自己的想法
课后作业
一、复习回顾
根据课件展示的正方体中的直线与平面来复习线面位置关系及判断方法
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.4 平面与平面的位置关系》
教学设计说明---------平面与平面平行的判定一教材内容解析本节课是平面与平面位置关系的第一课时，主要内容是两个平面平行的判定定理及其应用，它是在学生学习了空间两直线位置关系、空间直线和平面位置关系之后，又一种图形直角的位置关系的研究，为后面学习两个平面平行的性质以及将来研究多面体奠定了基础。
本节把面面位置关系与线面位置关系类比，把面面平行的判定与线面平行的判定类比，渗透类比的数学方法。
定理的证明和应用体现了线线平行、线面平行到面面平行的转化，体现了转化的数学思想。
二教学目标设置1、知识与技能：理解平面与平面平行的判定定理，并会初步运用。
转化与化归思想在解决问题中的运用。
通过问题解决，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想像能力。
2、过程与方法启发式。
以实际情景（三角板实验），启发、引导学生逐步经历定理的直观感知过程。
指导学生进行合情推理。
对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识、发现问题、教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识、正确运用。
3、情感态度与价值观让学生在发现中学习，增强学习的积极性；培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动手、勤于思考的良好习惯。
三学生学情分析立体几何的学习，学生已初步入门，上一届线面平行的判定为学生学习本节的内容打下良好的基础。
高一学生已经有了自己的判断，合作，交流的能力，但是课堂的活动性不强，基于此现象，老师应充分利用自己的教学智慧和课堂组织能力积极调动学生的积极性，让学生积极参与到课堂的教学中来。
基于以上情况，本人选择了自主探究，合作交流，让学生通过自己的实践和思考去发现问题，解决问题。
四教学策略本节课本着“教师为主导，学生为主体，课本为主线”的原则进行设计，教师的主导作用，在于激发学生的求知欲。
通过实际情境，让学生主动参与探究过程，激发学生的学习兴趣，而后的层层设问，引导学生步入问题情境，师生共同推进课堂教学活动。
高中数学 第1章 立体几何1.2.4 平面与平面的位置关系同步教学案 苏教版必修2
高中数学 第1章 立体几何1.2.4 平面与平面的位置关系同步教学案 苏教版必修2【课时目标】 1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．1．平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________． 符号表示为：________________⇒a∥b． 3．面面平行的其他性质：(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂α⇒________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________； (3)平行于同一平面的两个平面________．一、填空题1．平面α∥平面β，a ⊂α，b ⊂β，则直线a 、b 的位置关系是__________． 2．下列各命题中假命题有________个． ①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交； ④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β． 3．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线三点到β的距离相等；③l、m 是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；④l、m 是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．5．已知α∥β且α与β间的距离为d ，直线a 与α相交于点A 、与β相交于B ，若AB ＝233d ，则直线a 与α所成的角等于________．6．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S △A′B′C′∶S △ABC ＝________．7．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．① ⎭⎪⎬⎪⎫a∥c b∥c ⇒a∥b； ②⎭⎪⎬⎪⎫a∥γb∥γ⇒a∥b； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa∥γ⇒a∥α． 8．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．9．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足________时，有MN∥平面B 1BDD 1．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 和SC 的中点．求证：平面EFG∥平面BDD 1B 1．11．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M∥平面BC 1N ，AC∩平面BC 1N ＝N ．求证：N 为AC 的中点．能力提升12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．1．2．4 平面与平面的位置关系 第1课时 两平面平行的判定及性质答案知识梳理1．两条相交直线a ⊂α，b ⊂α，a∩b＝A ，a∥β，b∥β⇒α∥β2．那么所得的两条交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b 3．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行作业设计1．平行或异面 2．2 3．平行解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的． 4．④ 5．60° 6．4∶25解析 面α∥面ABC ，面PAB 与它们的交线分别为A′B′，AB ，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S △A′B′C′∶S △ABC ＝(A′B′AB )2＝(PA′PA )2＝425．7．②③⑤⑥解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内．8．24或245解析 当P 点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD ＝24，当平面α和平面β在点P 同侧时可求得BD ＝245．9．M∈线段FH解析 ∵HN∥BD，HF∥DD 1， HN∩HF＝H ，BD∩DD 1＝D ， ∴平面NHF∥平面B 1BDD 1，故线段FH 上任意点M 与N 连结， 有MN∥平面B 1BDD 1．10．证明 如图所示，连结SB ，SD ， ∵F、G 分别是DC 、SC 的中点， ∴FG∥SD．又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， ∴直线FG∥平面BDD 1B 1． 同理可证EG∥平面BDD 1B 1， 又∵EG ⊂平面EFG ， FG ⊂平面EFG ， EG∩FG＝G ，∴平面EFG∥平面BDD 1B 1．11．证明 ∵平面AB 1M∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N∥AM，又AC∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．12．证明 方法一 过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连结MN ．∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，∴EM∥BB 1，FN∥BB 1， ∴EM∥FN，∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ， ∴AE＝BF ，又∠B 1AB ＝∠C 1BC ＝45°， ∴Rt △AME≌Rt △BNF， ∴EM＝FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形， ∴EF∥MN．又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， ∴EF∥平面ABCD ． 方法二过E 作EG∥AB 交BB 1于G ，连结GF ， ∴B 1E B 1A ＝B 1G B 1B ，B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1G B 1B ， ∴FG∥B 1C 1∥BC．又∵EG∩FG＝G ，AB∩BC＝B ， ∴平面EFG∥平面ABCD ．又EF ⊂平面EFG ，∴EF∥平面ABCD ．13．(1)证明 (1)连结BM ，BN ，BG 并延长分别交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H ． ∵M，N ，G 分别为△ABC，△ABD，△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2，且P ，H ，F 分别为AC ，CD ，AD 的中点． 连结PF ，FH ，PH ，有MN∥PF． 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN∥平面ACD ．同理MG∥平面ACD ，MG∩MN＝M ， ∴平面MNG∥平面ACD ．(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG＝23PH ．又PH ＝12AD ，∴MG＝13AD ．同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ．∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3． ∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9．第2课时 两平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．2．平面与平面的垂直①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． ②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫l⊥α ⇒α⊥β．一、填空题 1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是________(填序号)．2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条． 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①若m∥n，n⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m⊥n，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的大小为________．6．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE ；③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC ．7．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．二、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD ．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥ 平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．第2课时两平面垂直的判定答案知识梳理1．两个半平面这条直线每个半平面0°≤α≤180°2．①直二面角②垂线l⊂β作业设计1．②④解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．2．0解析若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．3．①③解析②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．4．1或无数解析当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．5．60°解析如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝32，∴∠BOD＝60°．6．①②④解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴①正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴②正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴④正确．7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，∴面PDC⊥面PDA．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．(1)证明如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF⊄平面ABC．BC⊂平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．第3课时两平面垂直的性质【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．一、填空题1．平面α⊥平面β，a⊂α，b⊂β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题是________(填序号)．3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．其中结论正确的是________(填序号)．6．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β；②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________ cm．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．二、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求P点到平面ABCD的距离．1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．2．无论从判定还是从性质来看，线线垂直、线面垂直和面面垂直都是密切相关的，面对复杂的空间图形，要善于发现它们之间的内在联系，找出解决问题的切入点，垂直关系的转化为：第3课时 两平面垂直的性质 答案知识梳理1．垂直 交线 a⊥β2．(1)第一个平面内 a ⊂α (2)a∥α 作业设计 1．a⊥β 2．②④ 3．0解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾． 4．③ 5．①②③ 6．2∶1解析 如图：由已知得AA′⊥面β， ∠ABA′＝π6，BB′⊥面α，∠BAB′＝π4，设AB ＝a ，则BA′＝32a ，BB′＝22a ， 在Rt △BA′B′中，A′B′＝12a ，∴AB A′B′＝21．7．①③④解析 由性质定理知②错误． 8．7解析 P 到O 的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长． 9．直线AB 上解析 由AC⊥BC 1，AC⊥AB， 得AC⊥面ABC 1，又AC ⊂面ABC ， ∴面ABC 1⊥面ABC ．∴C 1在面ABC 上的射影H 必在交线AB 上． 10．证明 在平面PAB 内，作AD⊥PB 于D ． ∵平面PAB⊥平面PBC ，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．12．证明设AC∩BD＝O，连结EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．13．(1)证明在△ABD中，∵A D＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．∴P点到平面ABCD的距离为23．。
高中高三数学《空间平面与平面的位置关系》教案、教学设计
组织学生进行小组讨论，让每个学生都能参与到问题解决过程中，培养学生的合作意识和交流能力。
5.精讲精练，巩固知识：
对重点知识进行详细讲解，让学生掌握解题方法，并通过典型例题和练习题，巩固所学知识。
6.关注个体差异，因材施教：
针对学生在学习过程中出现的问题，给予个别指导，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
b.两个平面垂直，第三个平面与其中一个平面相交，第三个平面与另一个平面的位置关系是什么？
c.两个平面相交，第三个平面同时与这两个平面相交，这三个平面的位置关系有哪些可能性？
要求各小组给出解答过程和结论，并在下节课上分享。
4.请同学们在课后思考以下问题，并撰写一篇关于空间平面与平面位置关系的学习心得：
1.请同学们结合教材中的例题和课堂讲解，完成课后习题第1、2、3题，强化对空间平面与平面位置关系的理解和应用。
2.设计一道关于空间平面与平面位置关系的实际问题，要求运用本节课所学的判定定理和性质进行解答。此题旨在培养学生的创新意识和解决问题的能力。
3.小组合作，共同探讨以下问题：
a.两个平面平行，第三个平面与其中一个平面相交，第三个平面与另一个平面的位置关系是什么？
3.培养学生严谨、踏实的学风，使学生认识到学习数学需要勤奋刻苦、持之以恒。
4.增强学生对数学学科的兴趣和信心，激发学生进一步学习数学的热情。
二、学情分析
本章节的学习对象为高中三年级学生，他们在之前的学习中已经掌握了空间几何的基本知识，如点、线、面的位置关系，具有一定的空间想象能力和逻辑思维能力。在此基础上，学生对空间平面与平面的位置关系这一知识点有了初步的认识，但对于判定定理和性质的理解可能还不够深入，需要通过本章节的学习进行巩固和拓展。
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1.2.4 平面与平面的位置关系（3）
教学目标：
1．进一步理解和掌握两平面垂直的定义与判定；
2．理解掌握两平面垂直的性质，并能运用性质定理与判定定理解题．
教材分析及教材内容的定位：
两平面垂直是生产、生活中常见问题，应要求学生能熟练地证明有关问题．
教学重点：
面面垂直的性质定理．
教学难点：
面面垂直的性质定理与判定定理的综合应用．
教学方法：
类比，猜想，验证．
教学过程：
一、问题情境
1．复习二面角的定义；
2．复习两平面垂直的定义、判定定理．
3．情境问题：如果两平面垂直，那么其中一个平面内的任一点在另一个平面内的射影的位置有什么特殊性吗？
二、学生活动
画图探究，类比思考．
三、建构数学
1． 两平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 面垂直⇒线面垂直
l a l ββ⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭
1．例题．
例1 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
已知：α⊥β，A ∈α，AB ⊥β．
求证：AB ⊂α．
例2 四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，
求证：平面EDB ⊥平面PBC ． 2．练习． （1）如图，在三棱锥A -BCD 中，∠BCD ＝90︒，AB ⊥面BCD ， 求证：平面ABC ⊥平面ACD ．
变式：如图，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，请写出图中与平面PAB 垂直的所有平面．
A
B C D
P
E
D B
P
A B
D
（2）S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求证：AB⊥BC．
本节课学习了以下内容：
1．面面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直
2．已知面面垂直，如何找一个面的垂线？
3．解题时要注重线线、线面、面面垂直的相互关系；
4．理解数学的化归思想．。