初高中衔接教材下教师版

第一讲 集合的概念【学习目标】l .通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择不同的集合语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高分析问题和解决问题的能力，培养应用意识.【知识要点】1.集合的概念：我们把研究对象统称元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).2.集合中元素的特性：（1）确定性：集合的元素，必须是确定的.任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素.（2）互异性:集合中的任意两个元素都是不相同的,也就是同一个元素在集合中不能重复出现.（3）无序性:集合与组成它的元素顺序无关.3.集合与元素的关系：若a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；若a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉.4.集合的表示法：（1）列举法:即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集。

（2）描述法:即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集。

（3）图示法:韦恩(英国逻辑学家，John ．Venn)图(几何方法)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

5.常用的数集及其记法：非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合。

记作．{}0,1,2,N =正整数集：非负整数集内排除0的集。

记作或．{}*1,2,3,N =N *N +N整数集：全体整数的集合。

记作Z ．{}012Z =±±，，，有理数集：全体有理数的集合。

记作Q ．实数集：全体实数的集合。

记作R ．6.集合的分类：①按集合中所含元素的个数分类有限集：含有有限个元素的集合。

无限集：含有无限个元素的集合。

空集：不含任何元素的集合。

记作∅，如：2{|10,}x x x R +=∈。

②按集合中元素的性质分类数集：集合中元素是数值。

如{|x y =，{|y y =点集：集合中的元素是点。

如{(,)|x y y =，{(,)|21}x y y x =-图形集等等【精讲精练】一．集合的概念例1 观察下列对象：（1）1～20以内所有的质数；（2）某汽车厂2013年生产的所有汽车；（3）2014年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（4）所有的正方形；（5）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点;（6）方程2320x x +-=的所有实数根；（7）新华中学2013年9月入学的高一学生的全体.这些例子都能组成集合吗？它们有什么共同的特征？【答案】：能 【解析】：相同特征元素一起例2 问题1 “我们班中高个子的同学”“接近0的数”“咱们必修1教材中所有的难题能否分别组成一个集合？为什么？【答案】：不能【解析】：不确定问题2 一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、衬衣、闹钟共计4个品种，第二批进货是MP4、皮鞋、水杯、衬衣、台灯共计5个品种，问一共进了多少个品种的货？是不是4+5=9(种)呢？【答案】：7【解析】：4+5-2=7（种）问题3 我们这个班重新调整座次之后，是否还是原来的班集体？【答案】：是【解析】：班级人员没有变化变式 判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）某服装店里出售的好看的衣服组成一个集合；（2）36111,,,,2422-这些数组成的集合有5个元素； （3）由a,b ,c 组成的集合与由b,a,c 组成的集合是同一集合【答案】：（1）不对；（2）不对；（3）对【解析】：（1）好看的衣服无法确定（2）相同元素：46,23；|21|,21- 二．元素与集合的关系例3 用适当的符号填空：已知{27,12,17}A =，，{1,5,11,17,23}B =-，则有：17 A ； －5 A ； 17 B .【答案】：∈∉∈,,【解析】：17在集合A 中，5-不在集合A 中，17在集合B 中变式 用符号“∈”或“∉”填空：（1）3.14______Q ；（2）______Q π（3）*0____N ；（4）0____N ；（5）0*(2)____N -；（6）Z ；（7）Q ；（8）R【答案】：（1）∈；（2）∉；（3）∉；（4）∈；（5）∈；（6）∉；（7）∉；（8）∈ 【解析】：N 自然数集；Z 整数集；Q 有理数集；R 实数集例 4 若23{3,21,1}a a a -∈--+，求实数a 的值【答案】：}0,1{-【解析】：当33-=-a ，即0=a 时，集合：}1,1,3{--当312-=-a ，即1-=a 时，集合：}2,3,4{--变式 已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.【答案】：1-【解析】：当12=x ，即1±=x 时，若1=x ，集合：}1,0,1{（舍）；若1-=x ，集合：}1,0,1{- 当02=x ，即0=x 时，集合：}0,0,1{（舍）当x x =2，即1,0=x 时，舍三．集合的表示方法例5 用列举法表示下列集合（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内的所有质数组成的集合.【答案】：（1）}9,8,7,6,5,4,3,2,1{；（2）}1,0{；（3）}19,17,13,11,7,5,3,2{【解析】：将满足条件元素列举出来变式 用列举法表示下列集合（1）能被3整除且小于10的正数组成的集合；（2）方程2230x x +-=的所有实数根组成的集合.【答案】：（1）}9,6,3{；（2）}3,1{-【解析】：将满足条件元素列举出来例6 试分别用列举法和描述法表示下列集合（1）方程220x -=所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.【答案】：（1）列举法：}2,2{-描述法：}02|{2=-x x（2）列举法：}19,18,17,16,15,14,13,12,11{描述法：}2010|{＜＜x Z x ∈【解析】：（1）列举法：将满足条件元素列举出来（2）描述法：满足性质表示出来变式 选择适当的方法表示下列集合：（1）使y=216x x +-有意义的实数x 的集合； （2）坐标平面上第一、第三象限内点的集合；（3）{},,5x x x x Z x =∈<； （4）{}2(21)(2)(1)0,x x x x x Z-++=∈. 【答案】：（1）描述法：}06|{2≠-+x x x （2）描述法：}0|),{(＞xy y x（3）列举法：}4,3,2,1,0{ （4）列举法：}2{-例7 下列各组集合中，每个集合的含义是否相同？为什么？（1）{}(){}{}(){}1,5,1,55,1,5,1，（2）{}{}0,(,)0,x x x y x y R ==∈ （3）{}{}2210,10x R x ax a R x ax ∈--=∈--=有实数根（4）{}{}21,,21,x x k k Z x x k k Z =-∈=+∈；（5）{}{}{}2221,1,(,)1y y x x y x x y y x =+=+=+.【答案】：（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是；（5）不是【解析】：（1）}5,1{和}1,5{相同，是两数集；)}5,1{(和)}1,5{(不相同，是两直角坐标点集（2）}0|{=x x 是数集；},0|),{(R y x y x ∈=是直角坐标系点集（3）描述法表示的元素不同，前面集合表示}{x ，后面集合表示}{a（4）前后两个集合均表示奇数集合（5）三个集合表示的元素不同，前两个表示数集，最后一个表示点集变式 下列集合表示同一集合的是（ ）A .{(3,2)},{(2,3)}M N ==B .2{3,2},{560}M N x x x ==-+=C .{(,)1},{1}M x y y x N y y x ==+==+D .{0},M N ==∅【答案】：B 【解析】：:B }3,2{=N【思维拓展】1. (山东)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( )A .1B .3C .5D .9【答案】：C 【解析】：2,1,2,1,0--=-y x【课外作业】1.有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{45}x x <<是有限集。

其中正确的说法是（ ）A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对【答案】：C【解析】：（1）0表示数，}0{表示集合（2）集合中元素具有无序性（3）集合中元素具有互异性，}2,1{（4）是无限集2.下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是（ ）A ．{}M π=, {3.14159}N =B ．{2,3}M =, {(2,3)}N =C ．{|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =D ．{}M π=, {,1,|N π=【答案】：D 【解析】：D 中均是π,3,1这三个元素3.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，那么此三角形一定不是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】B 【解析】：集合中元素具有互异性4.设a ,b 是非零实数，那么a b a b +可能取的值组成的集合是________. 【答案】：}0,2,2{-【解析】：当0,＞b a 时，2||||=+b b a a ；当0,＜b a 时，2||||-=+bb a a ；当b a ,异号时，0||||=+bb a a 5.已知集合241x A a x a ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭有唯一解,试用列举法表示集合A . 【答案】：}417,4,4{-- 【解析】：当为一元二次方程时，042=---a x x 有唯一实数根01641=++=∆a ，即417-=a 时有唯一解。

当为一元一次方程时，4±=a第二讲 集合间的基本关系【学习目标】l .理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn 图表达集合的关系，加强从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想.【知识要点】l .子集：对于两个集合A 、B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们也说集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇）.2.集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），我们就说集合A 等于集合B ，记作A B =.3.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ⫋B .4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.5.子集的性质：（1）任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.（2）空集是任何集合的子集，即对任何集合A,都有A ∅⊆；空集是任何非空集合的真子集，即对任何集合A ,若A ≠∅，则∅⫋A .（3）对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，B C ⊆，那么A C ⊆.（4）含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是21n -，非空真子集个数是22n -.【精讲精练】一．理解子集、真子集例1 写出集合{},a b 的所有子集。