【精准解析】河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题
【精准解析】河北省唐山市开滦一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
其中喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的为：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊
羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（美羊羊、沸羊 羊），共 7 种.
7
所以喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的概率为 .
10
-4-
故选：A
【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.
【详解】当 a b 9 时，满足 a 0, b 0 ，但 ab 9 2 1 1 ，即 D 不正确； 2 2a2
b2 2
(a b)2 4
0
a
2
b
2
a2
b2 2
，即 A 正确；
ab a2 b2 (a b)2 0ab a2 b2 ，即 B 正确；
2R sin A 2R sin B ①， R 是三角形 ABC 外接圆的半径.
由①得 sin A sin C .所以 D 选项正确.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查正弦定理，属于基础题.
2.
不等式 1
1 的解集为（
）
x2
A. (, 2)
B. (2, )
C. (0, 2)
D.
4. 已知an 是等差数列，且 a1 a4 15 ，则 a2 a3 的值是（ ）
A. 20
B. 15
C. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质直接求解.
【详解】an 是等差数列，且1+ 4 = 2 + 3 ，
a2 a3 a1 a4 15 .
故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 5. 下列事件： ①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形； ②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；
河北省唐山市开滦一中2019 - 2020学年度第二学期高一年级期末试卷数学
唐山市开滦一中2019-2020年度第二学期高一年级期末试卷数学试卷 第Ⅰ卷 命题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．tan tan A C <B ．tan tan AC > C ．sin sin A C <D ．sin sin A C >2．不等式112x <的解集是（ ） A ．(2),-∞ B ．()0,2 C ．(),0,)2(-∞⋃+∞ D ．(2,)+∞3．若(1,2)OA =，(1,1)OB =-则AB 等于（ ）A ．()0,3-B ．()0,1C ．()1,2-D ．()2,3-4．已知{}n a 是等差数列，且1415a a +=，则23a a +的值是（ ）A ．20B ．15C ．10D ．55．下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但220a b +=；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．其中为随机事件的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④6．不等式22120x ax a --<（其中0a >）的解集为（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7．对于0,0a b >>，下列不等式中不正确的是（ ）A ．22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．222a b ab +C ．22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．112a b <+ 8．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好至少有一只被选中的概率为（ ）A ．710B ．67C ．35D ．459．已知向量31,cos ,cos ,26a b αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若//a b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．75︒10．已知ABC 的内角,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ．若1sin 4a A =，则sin sin sin b c a B C A +-+-等于（ ）A ．14B ．4C ．13D ．3 11．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A ．110B ．15C ．310D ．2512．已知数列{}n a ：112,233+，123444++，12345555+++，…，又1114n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前n 项的和n S 为（ ）A ．1411n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ B ．11421n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭C ．111n -+D ．1121n -+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题44分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为6的样本，则抽取的女生人数为________．14．在数列{}n a 中，223n S n n =-，则通项公式n a =________． 15．（第一空2分，第二空3分）为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄调查统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[)25,30内的数据不慎丢失，依据此图可得：（1）年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为________．（2）这800名志愿者中年龄在[)25,40内的人数为________．16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠︒∠＝的平分线交AC 于点D ，且1BD ＝，则9a c +的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题10分）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足1124351,10,a b a a b a ==+==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．18．（本题12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m 与中位数n （结果保留一位小数）；（2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分．19．（本题12分）在ABC 中，120A ︒＝，37c a =． （1）求sin C 的值； （2）若7a ＝，求b 的长． 20．（本题12分）如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111A B C D 和环公园人行道组成，已知休闲区1111A B C D 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111A B C D 的长和宽应分别为多少米？21．（本题12分）已知ABC 的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设向量(,)m b c =，(sin ,sin )n C B =，(2,2)p c b =--..（1）若//m n ，求证：ABC 为等腰三角形；（2）若m p ⊥，边长2a ＝，角3A π=，求ABC 的面积．22．（本题12分）某市2020年发放汽车牌照14万张，其中燃油型汽车牌照12万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2020年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2020年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式．（2）从2020年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过100万张？。
2019-2020学年河北省重点中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
河北省重点中学2019-2020学年高一下学期期末考试试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版必修5，必修2前三章．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列几何体中是四棱锥的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，公差2d =，则5S =（ ） A ．30 B ．35 C ．40 D ．453．在ABC 中，,sin 44B A AC π===，则BC =（ ） A ．5 B ．6 C ． D ．84．若关于x 的不等式220ax ax ++的解集为R ，则a 的取值范围为（ ） A ．(]0,4 B ．[]0,4 C ．(]0,8 D ．[]0,8 5．已知点(2,5),(1,6)A B ，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．34π B ．23π C ．3π D ．4π 6．在正项等比数列{}n a 中，2256892100a a a a ++=，则59a a +=（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．507．已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为（ ）A B C D 8．已知a c >，b d >，则下列结论正确的是（ ） A ．22()()a b c d +>+ B ．0ab cd ad bc +--> C ．ab cd > D ．a b c d ->-9．已知直线:30l x y ++=，直线:260m x y -+=，则m 关于l 对称的直线方程为（ ） A ．630x y ++= B ．630x y -+= C ．260x y ++= D ．230x y -+=10．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若//,m n αα⊥，则m n ⊥； ②若,//m m αβ⊥，则αβ⊥； ③若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n ； ④若,m n m α⊥⊥，则//n α． 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．② 11．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos ,22c a b A b a c =+=+，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰非等边三角形B ．直角非等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形12．在三棱锥S ABC -中，5,SA BC SB AC SC AB ======外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．25πC ．26πD ．34π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知直线l 的斜率为2，且经过点()2,5--，则直线l 的一般式方程为_____________． 14．已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，则该圆柱的体积为____________．15．有A ，B ，C 三座城市，其中A 在B 的正东方向，且与B 相距100km ，C 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距300km ．一架飞机从A 城市出发，以400km/h 的速度向C 城市飞行，飞行30min 后，接到命令改变航向，飞往B 城市，此时飞机距离B 城市__________km ． 16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在等差数列{}n a 中，已知244,10a a ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，若70n S =，求n 的值．18．（12分）求出满足下列条件的直线方程．（1）经过点(3,2)A -且与直线340x y +-=垂直； （2）经过点()2,7B 且在两条坐标轴上的截距相等．19．（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin cos b C B =．（1）求B ；（2）若4b ac ==，求ABC 的周长．20．（12分）在三棱锥DABC -中，4AB BC DA DC AC =====，平面ADC ⊥平面ABC ，点M 在棱BC 上．（1）若M 为BC 的中点，证明：BC DM ⊥．（2）若三棱锥A CDM -的体积为M 到平面ABD 的距离．21．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ，O 为11AC 的中点，且2AB =．（1）证明：//OD 平面1AB C ．（2）若异面直线OD 与1AB 所成角的正切值为13，求三棱柱111ABC A B C -的体积．22．（12分）在数列{}n a 中，1114,340n n a a a +=-+=． （1）证明：数列{}2n a -是等比数列．（2）设()()1(1)3131n n n n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*,n n N m T ∈恒成立，求m 的取值范围．——★ 参 考 答 案 ★——1．C由四棱锥的定义可知选C ． 2．B因为13,2a d ==，所以5151035S a d =+=． 3．A 由正弦定理知sin sin BC ACA B=，解得5BC =． 4．D由题知当0a =时符合条件；当0a ≠时，20,80,a a a >⎧⎨-⎩解得08a <．综上，a 的取值范为[]0,8．5．A由题知直线AB 的斜率65112k -==--，故直线AB 的倾斜角为34π． 6．B因为数列{}n a 为等比数列，所以()22222568955995922100a a a a a a a a a a ++=++=+=，又0n a >，所以5910a a +=． 7．C因为直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，所以4m ==． 8．B因为a c >，b d >，所以()()0ab cd ad bc a c b d +--=-->．B 正确，其他选项可以用特值法判断出都是错误的． 9．D由题知直线l 与直线m 交于点()3,0P -，且点()0,6M 在m 上，设点M 关于l 对称的点的坐标为(),N a b ，则61,630,22b aa b -⎧=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩解得9,3,a b =-⎧⎨=-⎩则直线MN 的方程为230x y -+=，即m 关于l 对称的直线方程为230x y -+=． 10．A易知①②正确；对于③，m ，n 可能平行，也可能异面，所以③错；对于④，n 可能平行于α，也可能n 在平面α内，所以④错，选A ． 11．C 因为1cos 2c a b A =+，所以1sin sin sin cos sin cos cos sin 2C A B A A B A B =+=+． 又sin 0A ≠．所以1cos ,23B B π==．又因为2b a c =+，所以2sin sin sin B A C =+=，即sin sin 3C C π⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得3C π=，故ABC 的形状为等边三角形．12．C因为5,SA BC SB AC SC AB ======所以可以将三棱锥S ABC -如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a ，b ，c ，则有22222217,25,10,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩整理得22226a b c ++=，则该棱锥外接球的半径2R =，2426S R ππ==球．13．210x y --=因为直线l 的斜率为2，且经过点()2,5--，所以直线l 的方程为52(2)y x +=+，即210x y --=．14．54π由题意知该圆柱的底面半径为3π，高为6，故该圆柱的体积为23546πππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭．15．如图，由题意可知100km,300km,200km,120AB AC AD BAD ===∠=︒，则22212cos 10000400002100200700002BD AB AD AB AD BAD ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭故BD =．16．49因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229438493749b a b aa b a b a b⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当64,55a b ==时，等号成立． 17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得114,310,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 2分解得11,3,a d =⎧⎨=⎩ 4分故1(1)32n a a n d n =+-=-． 5分（2）因为{}n a 的前n 项和为n S ，所以()2137022n n n a a n nS +-===， 7分整理得(320)(7)0n n +-=， 9分故203n =-（舍去）或7n =． 10分 18．解：（1）因为所求的直线与直线340x y +-=垂直， 所以所求的直线的斜率为3． 2分又直线经过点()3,2A -，所以该直线方程为23(3)y x -=+， 即3110x y -+=． 5分（2）当所求的直线与两条坐标轴上的截距均为0时， 因为直线经过点()2,7B ，所以该直线方程为720x y -=； 8分 当所求的直线与两条坐标轴上的截距相等且不为0时， 则设该直线方程为0x y b ++=， 10分 将点()2,7B 代入方程得9b =-，即所求的直线方程为90x y +-=． 12分19．解：（1）因为sin cos b C B =，所以sin sin cos B C C B =． 1分又sin 0C ≠，所以sin B B =，即tan B = 4分 又0B π<<，所以23B π=． 6分 （2）由余弦定理得22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-． 8分因为4b ac ==，所以4a c +=． 10分故ABC 的周长为4+ 12分 20．（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB ，OD ． 因为DA DC =，所以OD AC ⊥． 1分因为平面ADC ⊥平面ABC ，且相交于AC ，所以OD ⊥平面ABC ， 2分 所以OD OB ⊥．因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 3分 所以OB OC =．所以OBD OCD ≌， 4分所以DB DC =，且M 为BC 的中点，所以BC DM ⊥． 5分（2）解：16D ABC V DO BC AB -=⋅⋅=所以33D ABM V -=-= 8分在ABD 中，12ABDS=⨯= 10分设M 到平面ABD 的距离为h ，则13ABD D ABM Sh V -⋅=，解得7h =所以M 到平面ABD ． 12分21．（1）证明：连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ． 1分 易证1//OB DG ，且1OB DG =， 2分 所以四边形1OB GD 为平行四边形， 3分 所以1//OD B G ． 4分因为1B G ⊂平面1,AB C OD ⊄平面1AB C ，所以//OD 平面1AB C ． 5分 （2）解：由（1）知，1//OD B G ，所以异面直线OD 与1AB 所成角即直线1B G 与1AB 所成角， 6分 所以11tan 3AB G ∠=． 7分因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又侧棱垂直底面，所以1BB AC ⊥． 8分因为1BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC B G ⊥． 9分因为11tan 3AG AB G =∠=，所以1B G =， 10分所以14BB =． 11分故三棱柱111ABC A B C -的体积212482V =⨯⨯=． 12分22．解：（1）证明：因为1340n n a a +-+=，所以134n n a a +=-， 1分 所以()1232n n a a +-=-，即()*1232n n a n N a +-=∈-． 3分 因为114a =，所以1212a -=，故数列{}2n a -是以12为首项，3为公比的等比数列． 4分（2）解：由（1）可得1212343n n n a --=⨯=⨯，即432n n a =⨯+， 5分则()()()()()111(1)432(1)11(1)313131313131n n n n n n n n n n n n a b +++-⨯+-⎛⎫===-+ ⎪++++++⎝⎭． 6分 当n 为偶数时，22311111111113131313131313131n n n n n T -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++++--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111113131431n n ++=-+=-++++， 7分因为111431n n T +=-++是递减的，所以13414n T -<-． 8分 当n 为奇数时，22311111111113131313131313131n n n n n T -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111113131431n n ++=--=--+++， 9分 因为11031n +>+，所以14n T <-． 10分要使对任意的*,n n N m T ∈恒成立，只需()max n m T ，即314m -，11分 故m 的取值范围是3,14⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 12分。
河北省唐山市唐山一中2019-2020学年高一数学下学期期中试题含解析
【详解】数列
an
为正数项的等比数列,
若 a1a7 4 ,则根据等比数列的性质得到
a1a7 =a42
4
a4
2 ，且 a4
2a7
5 2
，可得到 a7
1 4
，根据等比数列的公式得到
a7
a4q3
1q 4
1 2 ，a1
16 ， S4
a1 1 q4 1 q
30.
故答案为 C.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常
1 半径 r 2 OM
2 ，又 Q 1, 1
∴|AQ| 2 2＞ 2 ，则点 Q 在圆外， ∴ PQ 的取值范围为 2，3 2
故选：A． 【点睛】本题考查了恒过定点的直线方程，圆的轨迹方程，线段中点坐标公式，以及两点 间的距离公式，确定点 P 的轨迹是关键，属于中档题
卷 II（非选择题共 90 分） 二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13.两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为_____
个选项正确，有选错或不答的得 0 分）
1. 在 等差数列an中，若 a2 8, 公差 d 2 ，则 a12 （
）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式求解即可得到结果．
【详解】∵等差数列
an
中，
a2
8
，公差 d
2，
∴ a12 a2 10d 8 20 12 ．
2a b
c
cos C cos B
,b
4,
则
ABC
的
高中数学新教材人教A版必修第一册《基本不等式》真题
精练03基本不等式1．【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末】已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D 【答案】C 【详解】由22280x y xy y x +--=知：(2)8xy x y y x +=+，而0x >，0y >∴182y x x y +=+，则21816(2)(2)()101018y x y x y x x y x y +=++=++≥=∴2y x +≥故选：C2．【湖北省荆州市2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足21x y +=，则12x y+的最小值为（ ）A ．4B ．3+C ．8D ．9【答案】C 【详解】解：因为正数x ，y 满足21x y +=，所以()12422248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即11,42x y ==时取等号， 所以12x y+的最小值为8，故选：C3．【宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一期末】下列函数的最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C ．y =D ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<< 【答案】D 【详解】 对于A. 1y x x=+,当0x <时，0y <，所以最小值为不是2，A 错误； 对于B. 1sin 0sin 0sin 2y x x x x π⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭，，所以1sin 2sin x x +≥时， 即sin 1x =，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B 错误.对于C.2y =≥2=，此方程无解，则y 的最小值取不到2，C 错误；对于D,1tan (0)tan?2y x x x π=+<<，因为tan 0x >，所以1tan 2tan x x +≥=， 当且仅当tan 1x =，即4x π=时，y 有最小值2，满足，D 正确；故选：D.4．【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（ ）A B C ．D ．【答案】C 【详解】 ∵21a ab +=， ∴1b a a=-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号．∴3a b +的最小值为故选：C5．【河北省石家庄市2019-2020学年高一期末】如果x ＞0，y ＞0，且111x y+=，则xy 有（ ）A ．最小值4B ．最大值4C ．最大值14D ．最小值14【答案】A 【详解】x ＞0，y ＞0，且111x y+=，又11x y +≥1，114xy ≤， 即4xy ≥，当2x y ==时取等号, 则xy 有最小值4， 故选：A6．【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高一期末】已知正实数a ，b 满足1a b +=，则2241a ba b--+的最小值为（ ） A ．11 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【详解】解：因为正实数a ，b ，且1a b +=，所以2241a b a b--+41a b a b =-+- 41()b a a b =+-+41()()1b a a b =+⋅+- 44b a a b=++4≥ 8=当且仅当4b a a b =即223a b ==时，取等号. 所以2241a b a b--+的最小值为8. 故选：C.7．【广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一期末】若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤BC ．22a b +≥D ．223a b +≥【答案】A 【详解】对于A ，0a >，0b >，a b ∴+≥12a b+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，224a b =++=+≤2≤，当且仅当1a b ==时取等号，故B 错误； 对于C ， 不妨设32a =，12b =时，23172244a b =+=<+，故B 错误； 对于D ，()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 错误. 故选：A8．【广东省佛山市南海区2019-2020学年高一期末】若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．24C ．16D ．36【答案】C 【详解】()4af x xx=+≥，等号成立当且仅当24x a =，∴2x ==，解得：16a =，故选：C.9．【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y +的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．D ．【答案】C 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为 故选：C10．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C 【详解】 由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．11．【山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一期末】若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．()4,1-C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),14,-∞-+∞【答案】C 【解析】正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭， 当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.12．【安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一期末】已知2m >，0n >，3m n +=，则112m n+-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=， 则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭， 当且仅当22n m m n -=-且3m n +=，即51,22m n ==时取等号， 故选：B.13．【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ）A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+，∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A.14．【湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一期末】已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．7+【答案】B 【详解】1x >，10x ->，又0y>，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭22(1)61y x x y -=++- 262x +-10=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ．15．【湖南省长沙市长沙县实验中学2019-2020学年高一期末】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?3xy xy x y z x xy y x y y xy x===-++--， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D16．【广东省惠州市2019-2020学年高一期末】函数2241y x x =++的最小值为__. 【答案】3 【详解】函数2241y x x =++， 即()224111y x x =++-+ ()2242114131xx ≥+⋅=-=+， 当且仅当212+=x ，即1x =±时，取等号， 则函数的最小值为3， 故答案为：3.17．【吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一期末】已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(),221-∞由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.18．【湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一期末】设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为_____ 【答案】8 【详解】1x >，∴函数1115(1)62(1)68111y x x x x x x =++=-++-+=---，当且仅当2x =时取等号． 因此函数151y x x =++-的最小值为8． 故选：A ．19．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【详解】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号． )120∴≥，∴21≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．20．【四川省凉山州2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______． 【答案】3依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：321．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一期末】若441x y +=，则x y +的取值范围是____________．【答案】(],1-∞- 【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.22．【安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一期末】已知x ，0y >，且194x y+=，则x y +的最小值________． 【答案】4 【详解】 因为x ，0y >，且194x y+=， 所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y xx y=，,即1,3x y ==时，取等号， 所以x y +的最小值为4， 故答案为：423．【山西省2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________.【答案】25【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭17172425≥+=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：2524．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一半期考试】设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值. 【答案】20202019-【详解】由已知有： 22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b =时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 25．【四川省乐山市2019-2020学年高一期末】已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．【答案】10【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：10 26．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站2km 处建仓库，则1y 和2y 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.【答案】5km 处，最小值为8万元..【详解】解：设仓库建在距离车站km x 处时，两项费用之和为y 万元. 根据题意可设1y xλ=，2y x μ=. 由题可知，当2x =时，110y =，2 1.6y =，则20λ=，45μ=. 所以()20405y x x x =+>.根据均值不等式可得8y ≥=， 当且仅当2045x x =，即5x =时，上式取等号. 故这家公司应该把仓库建在距离车站5km 处，才能使两项费用之和最小，且最小值为8万元.27．【安徽省池州市2019-2020学年高一期末】已知函数2(4)()x f x x+=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值．【答案】（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【详解】（1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x >⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 28．【浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >且3a b +=．（Ⅰ）求11()a b +的最大值及此时a ，b 的值； （Ⅱ）求2231a b a b +++的最小值及此时a ，b 的值． 【答案】（Ⅰ）32a b ==时，11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值为2-；（Ⅱ）6a =-3b =-+32+； 【详解】解：（Ⅰ）1133224233333333333a b a b b a b a a b a b a b a b a b +++=+=+=+++=， 当且仅当33b a a b =且3a b +=，即32a b ==时取等号， 3211423log a b ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭即最大值为2-， （Ⅱ）3a b +=， ∴223313131(1)121111a b a b a b a b a b a b a b ++=++-+=+-++=++++++ 3113(1)3(1)2()()332314444(1)4(1)a bb a b a a b a b b ++=+++=+++=+++ 当且仅当3(1)44(1)b a a b +=+且3a b +=，即6a =-3b =-+ 29．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+； （2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥， ∴()2232a b b a b +≥+. （2）∵0a >，0b >， ∴22ab a b ab =+≥，即22ab ab ≥， ∴1≥ab ，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.和分析法来一起证明，属于中档题.30．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【答案】（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．。
唐山市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学达标测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线x ＋（1＋m ）y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是（ ） A ．1 B ．－2 C ．1或－2D ．32-2．三棱锥中，，，，则二面角等于A ．B ．C ．D ．3．在中，已知，，则角的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知单位向量OA ，OB ，满足0OA OB ⋅=.若点C 在AOB ∠内，且60AOC ∠=︒，(,)OC mOA nOB m n =+∈R ，则下列式子一定成立的是（ ）A ．1m n +=B ．1mn =C ．221+=m nD ．33m n =5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4和2，则输出v 的值为（ ）A ．32B ．64C ．65D ．1306．棱长为2的正四面体的表面积是（ ） A ．3B ．4C ．43D ．167．不等式2230x x -->的解集为 A ．(3,1)-B ．-∞-+∞(,3)(1,) C ．(1,3)-D ．(,1)(3,)-∞-+∞8．已知三棱锥A BCD -，若AB ⊥平面BCD ，90CBD ∠=︒，32CD =，23AB =，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．28πB ．30πC ．32πD ．36π9．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．B ．C ．D ．10．在等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，点E 是线段BC 的中点，若AE AB AD λμ=+，则(λμ+=)A ．52B ．54C ．12D ．1411．设函数()2,01,0x x f x x ⎧≥=⎨<⎩，则满足()()2f x f x <的x 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()1,+∞12．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，已知向量2cos c m a b B a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，()cos n a A =，，且m n ，共线，则ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题：本题共4小题13．如图，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC EG 、剪开，拼成如图所示的平行四边形KLMN ，且中间的四边形ORQP 为正方形.在平行四边形KLMN 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________14．已知圆C:()2269x y -+=，点M 的坐标为(2，4)，过点N(4，0)作直线l 交圆C 于A ，B 两点，则MA MB +的最小值为________15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E ，F 、1E ，1F ，则AEEB的值是__________.16．在数列{}n a 中，若11a =，12n n a a +=+（*n N ∈），则2016a =________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年河北省唐山一中高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年河北省唐山一中高一第二学期期末数学试卷一、选择题1．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则＝（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，则S n取得最大值时n ＝（）A．14B．15C．16D．173．某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析：方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简单随机抽样法、分层抽样法4．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A．B．C．D．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为（）A．3πB．12πC．18πD．27π6．在等差数列{a n}中，a1+a2+a3＝3，a28+a29+a30＝165，则此数列前30项和等于（）A．810B．840C．870D．9007．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sin A﹣sin B）＝c（sin C+sin B），b+c＝4，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．1D．8．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β9．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．40海里10．在约束条件下，若目标函数z＝﹣2x+y的最大值不超过4，则实数m的取值范围（）A．（﹣，）B．[0，]C．[﹣，0]D．[﹣，] 11．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，平面α垂直于对角线AC′，且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S，周长为l，则（）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值12．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．14．一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，在几何体ADF﹣BCE内任取一点，则该点在几何体F﹣AMCD内的概率为．15．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是．（填写所有正确命题的序号）①若sin A sin B＝2sin2C，则0＜C＜；②若a+b＞2c，则0＜C＜；③若a4+b4＝c4，则△ABC为锐角三角形；④若（a+b）c＜2ab，则C＞•三、解答题（共6小题，满分70分）17．如图，在△ABC中，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边，△ABC外接圆的半径为2，．（1）求b；（2）求△ABC周长的最大值．18．S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和．19．2020年寒假期间病毒肆虐，全国人民众志成城抗疫情．某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟．教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0，40]，（40，80]，（80，120]，（120，160]，（160，200]得到如图所示的频率分布直方图．全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人．若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率．20．已知数列{a n}满足a n+2＝qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n＝，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．21．如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF ⊥平面ABCD且DF＝．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若∠ABC＝∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值．22．如图（1），梯形ABCD中，AB∥CD，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F．AB＝AE＝2，CD＝5，已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE﹣BCF，如图（2）．（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；（Ⅱ）若DE∥CF，，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，求AP的长．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则＝（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2【分析】由已知可求，，根据＝（）•＝代入可求解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，∴＝a2，＝a×a×cos60°＝，则＝（）•＝＝故选：D．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，则S n取得最大值时n ＝（）A．14B．15C．16D．17【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，可得3d＝﹣6，5a1+30d ＝75，解出可得a n，令a n≥0，解得n即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，∴3d＝﹣6，5a1+30d＝75，解得：a1＝27，d＝﹣2，∴a n＝27﹣2（n﹣1）＝29﹣2n．令a n≥0，解得n≤＝14+．则S n取得最大值时n＝14．故选：A．3．某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析：方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简单随机抽样法、分层抽样法【分析】由简单随机抽样，分层抽样，系统抽样的概念，结合实际问题，直接判断．解：由简单随机抽样，分层抽样，系统抽样的概念，结合实际问题，显然两方案应用分层抽样，简单随机抽样，故选：B．4．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A．B．C．D．【分析】由古典概型及其概率计算公式得：甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是＝，得解．解：群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，设甲抢到的金额为x、乙抢到的金额为y，则（x，y）的基本事件共有＝20种，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的基本事件为（2.49，2.19），（2.49，3.37），（1.32，3.37），（2.19，3.37），（0.63，3.37），（2.19，2.49），（3.37，2.49），（3.37，1.32），（3.37，2.19），（3.37，0.63）共10种，即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是＝，故选：B．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为（）A．3πB．12πC．18πD．27π【分析】几何体为正方体切割而成的三棱锥，故棱锥的外接球也是正方体的外接球，根据正方体的棱长得出球的半径，得出球的面积．解：由三视图可知几何体为三棱锥C1﹣ABD，其中ABCD﹣A1B1C1D1为边长为3的正方体，故棱锥的外接球也是正方体的外接球，设外接球半径为R，则2R＝＝3，∴R＝，∴S球＝4πR2＝27π．故选：D．6．在等差数列{a n}中，a1+a2+a3＝3，a28+a29+a30＝165，则此数列前30项和等于（）A．810B．840C．870D．900【分析】在等差数列{a n}中，由a1+a2+a3＝3，a28+a29+a30＝165，知a1+a30＝56，再由S30＝15（a1+a30），能求出此数列前30项和．解：在等差数列{a n}中，∵a1+a2+a3＝3，a28+a29+a30＝165，∴3（a1+a30）＝168，∴a1+a30＝56，∴此数列前30项和为S30＝15（a1+a30）＝15×56＝840．故选：B．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sin A﹣sin B）＝c（sin C+sin B），b+c＝4，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．1D．【分析】由正弦定理化简已知等式b2+c2﹣a2＝﹣bc，利用余弦定理可求cos A＝﹣，结合范围A∈（0，π），可求A＝，利用基本不等式，三角形的面积公式即可求解△ABC的面积的最大值．解：∵（a+b）（sin A﹣sin B）＝c（sin C+sin B），∴由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝c（c+b），整理可得：b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴cos A＝＝＝﹣，∵A∈（0，π），∴A＝，∵b+c＝4，∴S△ABC＝bc sin A＝bc≤•（）2＝，当且仅当b＝c时等号成立，即△ABC的面积的最大值为．故选：D．8．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．解：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故A错误；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊄α，又n⊄α，则n∥α，故B正确；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故D正确．故选：A．9．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．40海里【分析】分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．解：连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，∴AD＝20，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝CD＝40．在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝20．故选：A．10．在约束条件下，若目标函数z＝﹣2x+y的最大值不超过4，则实数m的取值范围（）A．（﹣，）B．[0，]C．[﹣，0]D．[﹣，]【分析】作出可行域，平移直线y＝2x可知当直线经过点A（，）时，目标函数取最大值，由题意可得m的不等式，解不等式可得．解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y＝2x+z，解方程组可得平移直线y＝2x可知当直线经过点A（，）时，目标函数取最大值，∴﹣2×+≤4，解得﹣≤m≤，∴实数m的取值范围为[﹣，]故选：D．11．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，平面α垂直于对角线AC′，且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S，周长为l，则（）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值【分析】将正方体切去两个正三棱锥A﹣A′BD与C′﹣D′B′C后，得到一个以平行平面A′BD与D′B′C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A′B′剪开，展平在一张平面上，得到一个▱A′B′B1A1，考查E′的位置，确定S，l．解：将正方体切去两个正三棱锥A﹣A′BD与C′﹣D′B′C后，得到一个以平行平面A′BD与D′B′C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A′B′剪开，展平在一张平面上，得到一个▱A′B′B1A1，如图，而多边形W的周界展开后便成为一条与A′A1平行的线段（如图中E′E1），由题意得E′E1＝A′A1，故l为定值．当E′位于A′B′中点时，多边形W为正六边形，而当E′移至A′处时，W为正三角形，由题意知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值．故选：B．12．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化＝﹣4（﹣4）﹣（t ﹣1）＝17﹣（4•+t），由基本不等式可得．解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴＝（﹣1，﹣4），＝（﹣1，t﹣4），∴＝﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）＝17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2＝4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4＝13，当且仅当4t＝即t＝时取等号，∴的最大值为13，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【分析】由4x+4y＝1，得（2x）2+（2y）2＝1，利用三角代换设2x＝sinα，2y＝cosα，所以，再利用三角函数的范围，即可求出x+y的范围．解：∵4x+4y＝1，∴（2x）2+（2y）2＝1，设2x＝sinα，2y＝cosα，∴，∴，∴x+y≤﹣1，∴x+y的取值范围是：（﹣∞，﹣1]，故答案为：（﹣∞，﹣1]．14．一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，在几何体ADF﹣BCE内任取一点，则该点在几何体F﹣AMCD内的概率为．【分析】先根据三棱锥的体积公式求出F﹣AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF ﹣BCE的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．解：因为，，所以该点在几何体F﹣AMCD内的概率为．故答案为：．15．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是30°．【分析】由题意由于图中已有了两两垂直的三条直线，所以可以建立空间直角坐标系，先准确写出个点的坐标，利用线面角和线与平面的法向量所构成的两向量的夹角之间的关系即可求解．解：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P．则＝（2a，0，0），＝，设平面PAC的法向量为n，可求得n＝（0，1，1），则cos＜C，n＞═＝．∴＜C，n＞＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°﹣60°＝30°．故答案为：30°16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是①②③．（填写所有正确命题的序号）①若sin A sin B＝2sin2C，则0＜C＜；②若a+b＞2c，则0＜C＜；③若a4+b4＝c4，则△ABC为锐角三角形；④若（a+b）c＜2ab，则C＞•【分析】①由正弦定理可得：ab＝2c2，由余弦定理可得：c2＝＝a2+b2﹣2ab cos C，整理可得：cos C＝﹣≥，利用余弦函数的图象和性质可得0＜C＜，命题正确；②利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cos C＞，从而证明C＜；③由题意可得（a2+b2）2﹣c4＝2a2b2＞0，△ABC中，由余弦定理可得cos C＝＞0，故角C为锐角，再根据c边为最大边，故角C为△ABC的最大角，从而得出结论④只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；解：①若sin A sin B＝2sin2C，由正弦定理可得：ab＝2c2，由余弦定理可得：c2＝＝a2+b2﹣2ab cos C，整理可得：cos C＝﹣≥，则0＜C＜，命题正确；②a+b＞2c⇒cos C＝＞≥×﹣≥＞⇒C＜，故②正确；③∵△ABC的三边长分别为a，b，c，且a4+b4＝c4，∴（a2+b2）2＝a4+b4+2a2b2＝c4+2a2b2．∴（a2+b2）2﹣c4＝2a2b2＞0．又（a2+b2）2﹣c4＝（a2+b2+c2）（a2+b2﹣c2），∴（a2+b2﹣c2）＞0．△ABC中，由余弦定理可得cos C＝＞0，故角C为锐角．再由题意可得，c边为最大边，故角C为△ABC的最大角，∴△ABC是锐角三角形，命题正确；④取a＝b＝2，c＝1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜＜，故④错误；故答案为：①②③．三、解答题（共6小题，满分70分）17．如图，在△ABC中，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边，△ABC外接圆的半径为2，．（1）求b；（2）求△ABC周长的最大值．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，可得tan B＝，结合范围B∈（0，π），可求B＝，利用正弦定理即可求解b的值．（2）利用余弦定理，基本不等式可得a+c≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，即可得解△ABC周长的最大值．解：（1）由正弦定理及，得sin C＝sin B cos A+sin B sin A，由C＝π﹣（A+B），得sin（A+B）＝sin B cos A+sin B sin A，可得cos B sin A＝sin B sin A，因为A∈（0，π），所以sin A≠0，可得tan B＝．因为B∈（0，π），可得B＝，又△ABC外接圆的半径R＝2，可得＝2R，可得b＝2．（2）因为cos B＝＝，所以a2+c2＝12+ac，由≥≥，得≤a2+c2＝12+ac≤12+，所以a+c≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立．又因为b＝2，所以△ABC周长的最大值为6．18．S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3，n≥2时，+2a n﹣1＝4S n﹣1+3，a n＞0，相减可得，a n﹣a n﹣1﹣2＝0，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n＝＝＝，利用裂项求和方法即可得出．解：（1）a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3，n≥2时，+2a n﹣1＝4S n﹣1+3，相减可得：a n2+2a n﹣（+2a n﹣1）＝4a n，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，即a n﹣a n﹣1＝2，又＝4a1+3，a1＞0，解得a1＝3．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和＝+…+＝＝．19．2020年寒假期间病毒肆虐，全国人民众志成城抗疫情．某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟．教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0，40]，（40，80]，（80，120]，（120，160]，（160，200]得到如图所示的频率分布直方图．全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人．若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图性质能求出男生自主学习不超过40分钟的人数和女生自主学习不超过40分钟的人数，由此能估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数．（2）在80名学生中，男生网上学习时间不超过40分钟的人数4人，女生网上学习时间不超过45分钟的人数2人，从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，基本事件总数n＝，至少抽到1名男生包含的基本事件个数m＝＝14，由此能求出至少抽到1名男生的概率．解：（1）男生自主学习不超过40分钟的人数为：0.0025×40×1500＝150人，女生自主学习不超过40分钟的人数为：0.00125×40×1500＝75人，∴估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数为：150+75＝225人．（2）在80名学生中，男生网上学习时间不超过40分钟的人数：40×0.0025×40＝4人，女生网上学习时间不超过45分钟的人数：40×0.00125×40＝2人，∴选4名男生，2名女生，从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，基本事件总数n＝，至少抽到1名男生包含的基本事件个数m＝＝14，∴至少抽到1名男生的概率p＝．20．已知数列{a n}满足a n+2＝qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n＝，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）通过a n+2＝qa n、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知b n＝，n∈N*，写出数列{b n}的前n项和T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．解：（1）∵a n+2＝qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝2，∴a3＝q，a5＝q2，a4＝2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q＝2+3q+q2，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2或q＝1（舍），∴a n＝；（2）由（1）知b n＝＝＝，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n＝2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n＝3++++…+﹣n•＝3+﹣n•＝3+1﹣﹣n•＝4﹣．21．如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF ⊥平面ABCD且DF＝．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若∠ABC＝∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值．【分析】（1）过点E作EH⊥BC，连接HD，先证明EH⊥平面ABCD，再证明EF∥FD，再证明结论；（2）以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BAF 和平面BEF的法向量，利用夹角公式求出即可．解：（1）过点E作EH⊥BC，连接HD，EH＝，因为平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，所以EH⊥平面ABCD，因为FD⊥ABCD，FD＝，所以FD∥EH，FD＝EH，故平行四边形EHDF，所以EF∥HD，由EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD；（2）连接HA，根据题意，AH⊥BC，以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，，0），B（1，0，0），E（0，，），F（2，，），则＝（﹣1，，0），＝（﹣1，0，），＝（﹣3，，），设平面BAF的法向量为＝（x，y，z），，得＝（，1，2），设平面BEF的法向量为，由，得，由cos＜＞＝，所以二面角A﹣FB﹣E的余弦值为﹣．22．如图（1），梯形ABCD中，AB∥CD，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F．AB＝AE＝2，CD＝5，已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE﹣BCF，如图（2）．（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；（Ⅱ）若DE∥CF，，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，求AP的长．【分析】（Ⅰ）推导出AF⊥BE，AF⊥BD，从而AF⊥平面BDE，进而AF⊥DE，再由AE⊥DE，能证明DE⊥平面ABFE．（Ⅱ）过点D作DM∥EF交CF于点M，连接CE，过E作EG⊥EF交DC于点G，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，AF⊥BE，由已知得AF⊥BD，BE∩BD＝B，∴AF⊥平面BDE………………………………又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，又AE⊥DE，AE∩AF＝A，∴DE⊥平面ABFE．……………………………………解：（Ⅱ）在图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，即AE⊥面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作DM∥EF交CF于点M，连接CE，由题意得DM＝2，CM＝1，则DC⊥CF，则，CE＝2，过E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，………………则，．设平面ACD的一个法向量为，由得取x＝1得…………………设AP＝m，则P（2，m，0），（0≤m≤2），得设CP与平面ACD所成的角为θ，．所以．…………………………………………。
河北省唐山市重点名校2019-2020学年高一下学期期末经典数学试题含解析
河北省唐山市重点名校2019-2020学年高一下学期期末经典数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2019是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】C【解析】【分析】由题意，可知20193605219=⨯+，所以角2019和角219表示终边相同的角，即可得到答案．【详解】由题意，可知20193605219=⨯+，所以角2019和角219表示终边相同的角，又由219表示第三象限角，所以2019是第三象限角，故选C ．【点睛】本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2．两圆22(2)1x y +-=和22(2)(1)16x y +++=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 【答案】B【解析】【分析】由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系.【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为：()0,2和()2,1--；半径分别为：11r =，24r =则圆心距：d ==2121r r d r r -<<+ ∴两圆位置关系为：相交本题正确选项：B【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定.3．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( )A ．29cmB ．210.5cmC ．213.5cmD ．217.5cm【解析】【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解．【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，扇形的圆心角的弧度数是α.则由题意可得：215,3r l l r r α+===.可得：2315r r +=，解得：3r =，9l =. 可得：211=9313.522S lr cm =⨯⨯=扇形故选：C【点睛】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题． 4．若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（ ）A ．42n a n =-B ．24n a n =+C ．23nn a =⨯ D ．32nn a =⨯【答案】C【解析】【分析】061636=⨯=⨯，1183636=⨯=⨯，2549636=⨯=⨯，可以归纳出数列的通项公式．【详解】依题意，061636=⨯=⨯，1183636=⨯=⨯，2549636=⨯=⨯，所以此数列的一个通项公式为-16323n nn a =⨯=⨯，故选：C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题．5．圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，且圆锥的体积18V π=，则圆锥的表面积为（）A ．B ．9(1π+C ．D ．9(1π+【答案】D【解析】【分析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径r 和高h ,求出母线长，即可计算圆锥的表面积．圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，∴2h r =，又圆锥的体积18V π=， 即32121833r r h πππ==， 解得3r =； ∴6h =， 母线长为22226335l h r =+=+=，则圆锥的表面积为2233539(15)S rl r πππππ=+=⋅⋅+⋅=+．故选：D ．【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.6．已知，，，则 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】由对数函数的性质可得， 由指数函数的性质可得，， 所以，故选A ． 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7．已知,a b 是平面内两个互相垂直的向量，且||1,||3a b ==，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是（ ）A ．1B 2C ．3D 10 【答案】D【解析】【分析】设出平面向量,a c 的夹角，求出,b c 的夹角，最后利用平面向量数量积的运算公式进行化简等式()()0a c b c -⋅-=，最后利用辅助角公式求出||c 的最大值.【详解】设平面向量,a c 的夹角为θ，因为,a b 是平面内两个互相垂直的向量，所以平面向量,b c 的夹角为2πθ±，因为,a b 是平面内两个互相垂直的向量，所以0a b ⋅=.2()()00a c b c a b a c b c c -⋅-=⇒⋅-⋅-⋅-=， 2cos cos()02a c b c c πθθ⇒-⋅⋅-⋅⋅±+=， cos 3cos()cos 3sin 10)2c πθθθθθϕ⇒=+±=±=±，其中tan 3ϕ=，显然当2()2k k Z πθϕπ±=+∈时，||c 有最大值，即max 10c =故选：D【点睛】 本题考查平面向量数量积的性质及运算，属于中档题.8．将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ）A ．,22a πϕ==B ．3,28a πϕ==C ．31,82a πϕ==D ．1,22a πϕ== 【答案】D【解析】由题意结合辅助角公式有：cos sin 4y x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 将函数y cosx sinx =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，所得函数的解析式为：4y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，所得函数的解析式为：14y x aπϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，而cos 2sin 224y x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 据此可得：1244a ππϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，据此可得：122a πϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 本题选择D 选项.9．在ABC ∆中，sin cos sin B A C =，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．正三角形 【答案】A【解析】【分析】在ABC ∆中，由sin cos sin B A C=，变形为sin cos sin B A C =，再利用内角和转化为()sin cos sin A C A C +=，通过两角和的正弦展开判断.【详解】在ABC ∆中，因为sin cos sin B A C =， 所以sin cos sin B A C =，所以()sin cos sin A C A C +=，所以sin cos 0A C =， 所以2C π=，所以ABC ∆直角三角形.故选：A【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN 与BM 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】【分析】 把展开图再还原成正方体如图所示:由于BE 和CN 平行且相等，故∠EBM (或其补角)为所求.再由△BEM 是等边三角形，可得∠EBM=60°,从而得出结论.【详解】把展开图再还原成正方体如图所示:由于BE 和CN 平行且相等，故异面直线CN 与BM 所成的角就是BE 和BM 所成的角，故∠EBM (或其补角)为所求,再由∆BEM 是等边三角形，可得∠EBM=60,故选：C【点睛】本题主要考查了求异面直线所成的角，体现了转化的数学思想，属于中档题.11．已知角α的终边经过点()8,6P -，则sin cos αα-的值是（ ）A ．15B ．15- C ．75 D ．75- 【答案】D【解析】【分析】首先计算出r ，根据三角函数定义可求得正弦值和余弦值，从而得到结果.【详解】由三角函数定义知：()228610r OP ==+-= 3sin 5y r α∴==-，4cos 5x r α==，则：7sin cos 5αα-=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查任意角三角函数的求解问题，属于基础题.12．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,23,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）.A ．323πB ．16πC ．253πD ．312π 【答案】A【解析】试题分析：直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以ABC ∆中，2BAC π∠=，所以下底面ABC ∆的外心P 为BC 的中点，同理，可得上底面111A B C ∆的外心Q 为11B C 的中点，连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，所以PQ ⊥平面ABC ，再取PQ 的中点O ，可得点O 到111,,,,,A B C A B C 的距离相等，所以O 点是三棱柱111ABC A B C -的为接球的球心，因为直角POB ∆中，1113,122BP BC PQ AA ====，所以222BO BP OP =+=，即外接球的半径2R =，因此三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为3344322333V R πππ==⨯=，故选A.考点：组合体的结构特征；球的体积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题13．方程的解集为________.【答案】【解析】【分析】 由诱导公式可得，由余弦函数的周期性可得：.【详解】 因为方程，由诱导公式得， 所以， 故答案为．【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题． 14．在ABC 中，两直角边和斜边分别为a ，b ，c ，若a b cx +=则实数x 的取值范围是________. 【答案】2]【解析】【分析】 计算得到24x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到范围. 【详解】两直角边和斜边分别为a ，b ，c ， 则sin sin sin cos 24a b x A B A A A c c π⎛⎫=+=+=+=+ ⎪⎝⎭， 则0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3,444A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(224A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：2].【点睛】本题考查了正弦定理和三角函数的综合应用，意在考查学生的综合应用能力. 15．设数列{}n a 的通项公式210n a n =-+，则数列{}n a 的前20项和为____________．【答案】260【解析】【分析】 对n a 去绝对值，得20156205202T a a a a S S =++---=-，再求得210n a n =-+的前n 项和29n S n n =-+，代入n =20即可求解【详解】由题{}n a 的前n 项和为219n n S a a n n =++=-+{}n a 的前20项和20156205202T a a a a S S =++---=-，代入可得20260T =. 故答案为：260【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，去绝对值是关键，考查计算能力，是基础题 16．函数f （x ）＝log 2（x+1）的定义域为_____．【答案】{x|x ＞﹣1}【解析】【分析】利用对数的真数大于0，即可得解.【详解】()()2log 1f x x =+函数的定义域为：{|10}x x +>,解得：{|1}x x >-，故答案为：{|1}x x >-.【点睛】本题主要考查对数函数定义域，考查学生对对数函数定义的理解，是基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。