2018高考理科数学备战配套习题第一百零九套
(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所
以只有答案 C 正确． 2．(2014·新课标全国Ⅰ，文)若 tanα>0，则( ) A．sin2α>0 C．sinα>0 答案 A 解析 ∵tanα>0，∴角 α 终边落在第一或第三象限，故 B，C 错；sin2α＝2sinαcosα>0，A 正确； 同理 D 错，故选 A. 3．若 α 是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A．sinα＋cosα<0 C．cosα－tanα<0 答案 B 解析 在第三象限，sinα<0，cosα<0，tanα>0，则可排除 A，C，D 三项． 4．已知角 α 的终边经过点 P(－4a，3a)(a<0)，则 2sinα＋cosα的值为( ) A．－ C．0 答案 A 3 4 解析 因为 x＝－4a，y＝3a，a<0，所以 r＝－5a，所以 sinα＝－ ，cosα＝ ，2sinα＋cosα＝ 5 5 3 4 2 2×(－ )＋ ＝－ .故选 A. 5 5 5 2 5．若点 P 从(1，0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 按逆时针方向运动 π弧长到达 Q 点，则 Q 3 的坐标为( ) 2 5 2 B. 5 2 2 D. 或－ 5 5 B．tanα－sinα<0 D．tanαsinα<0 B．cosα>0 D．cos2α>0
10．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( ) A．2 C．6 答案 C 1 解析 设扇形所在圆的半径为 R，则 2＝ ×4×R2，所以 R2＝1，所以 R＝1.扇形的弧长为 2 4×1＝4，扇形周长为 1＋1＋4＝6.故选 C. 11．sin 2·cos 3·tan 4 的值( ) A．小于 0 C．等于 0 答案 A 解析 ∵ π 3π <2<3<π<4< ，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0. 2 2 B．大于 0 D．不存在 B．4 D．8
3 1 A．(－ ， ) 2 2 3 1 C．(－ ，－ ) 2 2 答案 A 解析 P(cos 2π 2π 1 3 ，sin )，即 P(－ ， )． 3 3 2 2
B．(－ D．(－
3 1 ，－ ) 2 2 3 1 ， ) 2 2
6．已知 tanα＝ A．4 C．2 答案 B 解析 ∵tanα＝ 数为 3.
答案 C 解析 当 k＝2n 时，2nπ＋ π 4 ≤α≤2nπ＋ π 4 π 2 (n∈Z)，此时 α 的终边和 π 2 π 4 ≤α≤ π 2 的终边一 π 4 ≤α≤
样．当 k＝2n＋1 时，2nπ＋π＋ π＋ π 2 的终边一样．
≤α≤2nπ＋π＋
(n∈沧州七校联考)已知角 x 的终边上一点坐标为(sin ，cos )，则角 x 的最小正 6 6 值为( ) A. 5π 6 5π B. 3
题组层级快练(二十)
1．下列与 9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) 9 B．k·360°＋ π(k∈Z) 4 D．kπ＋ 5π 4 (k∈Z)
A．2kπ＋45°(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) 答案 C 解析 与 9π 4 的终边相同的角可以写成 2kπ＋ 9π 4
11π C. 6 答案 B 解析 因为 sinx＝cos x＝ 5π 3 5π 6 ＝－
D.
2π 3
3 5π 1 π ，cosx＝sin ＝ ，所以 x＝－ ＋2kπ(k∈Z)，当 k＝1 时， 3 2 6 2 3 ，故选 B.
，即角 x 的最小正值为
5π
9．sin1，cos1，tan1 的大小关系是( ) A．sin1<cos1<tan1 C．cos1<tan1<sin1 答案 D 2 π 解析 如图，单位圆中∠MOP＝1 rad> rad.因为 OM< <MP<AT，所以 cos1<sin1<tan1.故 4 2 选 D. B．tan1<sin1<cos1 D．cos1<sin1<tan1
3 ，且 α∈[0，3π]，则 α 的所有不同取值的个数为( ) 3 B．3 D．1
3 π 7π 13π ，且 α∈[0，3π]，∴α的可能取值分别是 ， ， ，∴α的所有不同取值的个 6 6 6 3
π π 7．集合{α|kπ＋ ≤α≤kπ＋ ，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 4 2
∴sin2·cos3·tan4<0，∴选 A. 12．在△ABC 中，若 sinA·cosB·tanC<0，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 C．直角三角形 答案 B B．钝角三角形 D．不能确定
解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sinA>0. ∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0. 若 B，C 同为锐角，则 cosB·tanC>0. ∴B，C 中必定有一个钝角．∴△ABC 是钝角三角形．故选 B. 13．－2 017°角是第________象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是________，最 大负角是________． 答案 二，143°，－217° 解析 ∵－2 017°＝－6×360°＋143°，∴－2 017°角的终边与 143°角的终边相同．∴－2 017° 角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是 143°.又是 143°－360°＝－217°，故与 －2 017°终边相同的最大负角是－217°. 37 37 sin4 14．有下列各式：①sin1125°；②tan π·sin π；③ ；④sin|－1|，其中为负值的个 12 12 tan4 数是________． 答案 2 解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号， 则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为 1 125°＝1 080°＋45°，所以 1 125°是第一象限角，所以 sin1 37 13 37 125°>0；对于②，因为 π＝2π＋ π，则 π是第三象限 12 12 12
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(9)word解析版
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（九）本试题卷共16页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·哈市附中]已知集合{}A x y ==，{}B x x a =≥，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞- B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞【答案】A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A =，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-．故选A ．2．[2018·南阳期末]已知1i +是关于x 的方程220ax bx ++=（a ，b ∈R ）的一个根，则a b +=（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】A【解析】由是关于的方程（a ，b ∈R ）的一个根，()()21i 1i 20a b ++++=，即()()()2i 1i 22i 20a b a b b +++=+++=，得2020a b b +=+=⎧⎨⎩，解得12a b ==-⎧⎨⎩，则1a b +=-．故选A ．3．[2018·曲靖一中]已知焦点在轴上的双曲线的焦距为）A ．2212x y -=B ．2212y x -= C ．2212x y -=D ．2212y x -=【答案】B【解析】c =b =1a =，∴双曲线的方程为2212y x -=，故选：B ． 4．[2018·茂名联考]函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C ，D 错误；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 201cos x y x =>+，所以选项B 错．本题选择A 选项． 5．[2018·凌源一模]已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）1i +x 220ax bx ++=x 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．33cmB ．35cmC ．34cmD ．36cm【答案】B【解析】几何体如图，体积为211221121522⎛⎫⨯-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，选B ．6．[2018·朝阳一模]按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】第一次输出1A =，第二次输出123A =+=，第三次输出325A =+=，选B ．7．[2018·江西联考]设向量，满足2=a ，1=b ，且()⊥+b a b ，则向量在向量2+a b方向上的投影为（ ） A ．1 B ．1- C ．12-D ．12【答案】D【解析】∵()⊥+b a b ，∴()20+=+=b a b a b b ，∴21⋅=-=-a b b ．∴()2221⋅+=⋅+=b a b a b b，22+==a b ．设向量b 和向量的夹角为θ，则向量b 在向量方向上的投影为()()221cos 222θ⋅+⋅+=⋅==+⋅+b a b b a b b b a bb a b．故选D ． 8．[2018·定州中学]将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到()g x 的图象，若()()129g x g x =，且[]1222x x ∈-ππ，，，则122x x -的最大值为（ ） A ．5512πB ．5312πC ．256πD ．174π【答案】A【解析】函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，可得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向下平移1个单位，得到()2sin 213g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，若()()129g x g x =，且[]122,2x x ∈-ππ，，则()()123g x g x ==-， 则2232x k ππ+=-+π，k ∈Ζ， 即512x k π=-+π，k ∈Z ，，得1217571912121212x x ππππ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭,，，，， 当11912x π=，21712x π=-时，122x x -取最大值5512π，故选A ． 9．[2018·西安期末]我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n． ① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则12231n n a a a a a a -+++等于（ ） A ．()1n n -B ．()21n -C ．2nD ．()1n n +【答案】A【解析】∵k n a k =．当2n ≥a b b 2+a b 2+a b []1222x x ∈-ππ，，∴12231n n a a a a a a n ++⋯+=﹣211n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭()1n n =﹣． 故选：A ．10．[2018·邢台二中]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin 242B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2a c +=，则ABC △周长的取值范围是（） A ．(]2,3 B ．[)3,4 C ．(]4,5 D ．[)5,6【答案】B【解析】由0B π＜＜2a c +=， ∴由余弦定理可得，()22222cos 243b a c ac B a c ac ac ac =+-=+--=-，∵2a c +=，a c =时取等号，∴01ac ≤＜，则330ac -≤-＜，则214b ≤＜， 即12b ≤＜．∴ABC △周长[)234L a bc b =++=+∈，．故选B ．11．[2018·抚州联考]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线()220ypx p =>有相同的焦点F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点()3M t -，，MF =，则双曲线的离心率为（ ）A B ．C D 【答案】C【解析】由题意可知，抛物线220y px p =>（）的焦点坐标为02p F （，），准线方程为2px =-，由M 在抛物线的准线上，则32p-=-，则6p =，则焦点坐标为30F （，），所以MF =，则294t =，解得32t =±，双曲线的渐近线方程是b y x a =±，将M 代入渐近线的方程332b a =⨯，即12b a =， 则双曲线的离心率为c e a ===，故选C ．12．[2018·长郡中学]若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数()sin cosg x a x x x =-的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（）A ．1⎤⎥⎣⎦B ．1⎡-⎢⎣⎦C ．12122⎛⎡⎤---∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦，， D ．(][)11-∞-+∞，，【答案】D【解析】设切线1l 的斜率为1k ，则()()1112212211k f x x x x x '==+=++-≥++， 当且仅当12x =-时等号成立．设切线2l 的斜率为2k ，则()2cos21k g x a x '==-， 由于总存在2l ，使得12l l ⊥，即总存在2k ，使得121k k =-，故211102k k ⎡⎫=-∈-⎪⎢⎪⎣⎭，，显然0a ≠，且211k a a ⎡⎤∈---⎣⎦，． 则：011a a ⎡⎫⎡⎤⊆---⎪⎢⎣⎦⎪⎣⎭，，即：10112a a -≥--≤-⎧⎪⎨⎪⎩，解得：112a a ⎧≥≥⎪⎨⎪⎩， 据此有：1a ≥．即实数a 的取值范围为(][)11-∞-+∞，，．本题选择D 选项． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018高考理科数学备战配套习题第一百一十套
A．2sinα C．sinα＋cosα 答案 C
解析 原式＝ ＝
sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα 1＋sinα＋cosα
（sinα＋cosα）2＋sinα＋cosα （sinα＋cosα）（sinα＋cosα＋1） ＝ 1＋sinα＋cosα 1＋sinα＋cosα
＝sinα＋cosα.故选 C. 14．化简 sin6α＋cos6α＋3sin2αcos2α的结果是________． 答案 1 解析 sin6α＋cos6α＋3sin2αcos2α＝(sin2α＋cos2α)(sin4α－sin2αcos2α＋cos4α)＋3sin2αcos2α＝ sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1. 15．若 tanα＋ 1 答案 ，7 3 解析 ∵tanα＋ 即 sinα cosα ＝3，∴ ＋ ＝3. tanα cosα sinα 1 1 ＝3，则 sinαcosα＝________，tan2α＋ ＝________． tanα tan2α 1
5．已知 A＝
sin（kπ＋α） sinα
＋
cos（kπ＋α） cosα
(k∈Z)，则 A 的值构成的集合是( ) B．{－1，1} D．{1，－1，0，2，－2}
A．{1，－1，2，－2} C．{2，－2} 答案 C 解析 当 k 为偶数时，A＝ 当 k 为奇数时，A＝ sinα cosα ＋ ＝2； sinα cosα
－sinα cosα － ＝－2. sinα cosα
6．已知 f(cosx)＝cos2x，则 f(sin15°)的值等于( ) A. C. 1 2 3 2 1 B．－ 2 D．－ 3 2
答案 D 解析 f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－ 3 .故选 D. 2
2018全国高考数学必刷模拟卷(九)含答案(PDF版)
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2018高考理科数学备战配套习题第一百零六套
解集为( ) A．(－1，1) C．(－∞，－1) 答案 B 解析 设 g(x)＝f(x)－(2x＋4)，[f(x)－(2x＋4)]′＝f′(x)－2>0，所以 g(x)单调递增．又 g(－1)＝ 0，所以 f(x)>2x＋4 的解集是(－1，＋∞)．故选 B. 8．(2017·山东师大附中检测)已知函数 f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使 得 f(x2)≤g(x1)成立，则实数 a 的取值范围是( ) 1 A．(－ ，＋∞) e C．[－e，＋∞) 答案 D 解析 f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当 x>－1 时，f′(x)>0，函数单调递增；当 x<－1 时，f′(x)<0， 1 函数单调递减．所以当 x＝－1 时，f(x)取得极小值即最小值，f(－1)＝－ .函数 g(x)的最大值 e 为 a.若∃x1，x2∈R，使得 f(x2)≤g(x1)成立，则有 g(x)的最大值大于或等于 f(x)的最小值，即 1 a≥－ .故选 D. e 9．已知函数 y＝f(x)对任意的 x∈(－ π 2 ， π 2 )满足 f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中 f′(x)是函数 B．[－1，＋∞) 1 D．[－ ，＋∞) e B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
2．函数 f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) 答案 B
B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
解析 f′(2)、f′(3)是 x 分别为 2，3 时对应图像上点的切线斜率，f(3)－f(2)＝ －f(2)是图像上 x 为 2 和 3 对应两点连线的斜率，故选 B.
(109)2018年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+ .如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = .棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()R A C B = (A) {01}x x <≤(B) {01}x x << (C) {12}x x ≤<(D) {02}x x <<(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >> (B) b a c >>(C) c b a >>(D) c a b >>(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为(A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D) 22193x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 (A)2116(B)32(C)2516(D) 3第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018高考理科数学备战配套习题第一百零三套
017)＝( ) A．1 1 C. 2 017 答案 D 解析 令 ex＝t，则 x＝lnt，所以 f(t)＝lnt＋t，故 f(x)＝lnx＋x. 1 1 2 018 求导得 f′(x)＝ ＋1，故 f′(2 017)＝ ＋1＝ .故选 D. x 2 017 2 017 11．若 P 为曲线 y＝lnx 上一动点，Q 为直线 y＝x＋1 上一动点，则|PQ|min＝( ) A．0 C. 2 答案 C 解析 如图所示，直线 l 与 y＝lnx 相切且与 y＝x＋1 平行时，切点 P 1 1 到直线 y＝x＋1 的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝ ，令 ＝1，得 x x x ＝1.故 P(1，0)．故|PQ|min＝ 2 ＝ 2.故选 C. 2 B. 2 2 B．2 D. 2 018 2 017
题组层级快练(十五)
1．y＝ln(－x)的导函数为( ) 1 A．y′＝－ x C．y′＝ln(x) 答案 B 2．(2017·广东五校协作体联考)曲线 y＝ A．2 1 C. 2 答案 D 解析 y′＝ （x＋1）′（x－1）－（x＋1）（x－1）′ 2 ＝－ ，故曲线在(3，2)处的切线的斜率 k＝ （x－1）2 （x－1）2 x＋1 x－1 在点(3，2)处的切线的斜率是( ) B．－2 D．－ 1 2 B．y′＝ 1 x
D．2
12．y＝x·tanx 的导数为 y′＝________． 答案 tanx＋ x cos2x sinx cosx )′＝tanx＋x· cos2x＋sin2x cos2x ＝tanx＋ x cos2x .
解析 y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·(
1 13．已知 y＝ x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________． 3 答案 [2，＋∞) 14．已知函数 f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则 f′(0)＝________． 答案 －120 解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以 f′(0) ＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 15．已知函数 f(x)＝f′( 答案 1 解析 因为 f′(x)＝－f′( f′( π π 4 )sinx＋cosx，所以 f′( π 4 )＝－f′( π 4 )sin π 4 ＋cos π 4 ，所以 π 4 )cosx＋sinx，所以 f( π 4 )的值为________．
2018届全国高考考前押题卷(十)数学理科试卷
2018届全国高考考前押题卷（十）数学理科试卷本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：共12题1．若集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算、对数函数.，，则.2．下面是关于复数的四个命题：：；：；：的共轭复数为；：的虚部为，其中真命题为A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】本题主要考查复数的共轭复数、模、四则运算、命题真假的判断.因为，所以，则是假命题；又,故是真命题；的共轭复数为，故是假命题，因此排除A、B、D，则答案为C.3．在矩形中，，，为线段上的点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查平面向量的数量积、函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化思想.设,则，,且,则,由二次函数的性质可知，当时，取得最小值15.4．如图是2017年第一季度五省情况图，则下列陈述正确的是①2017年第一季度总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长；③去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江；④2016年同期浙江的总量也是第三位.A.①②B.②③④C.②④D.①③④【答案】B【解析】本题主要考查由样本数据估计总体数据、统计图，考查了分析问题与解决问题的能力. ①2017年第一季度总量和增速均居同一位的省有2个，江苏与河南，分别居第一位与第四位，故①错误；②由图知，②正确；③由图计算2016年第一季度同期五省的总量，前三位是江苏、山东、浙江，故③正确；④由图计算2016年同期五省的总量，浙江的总量也是第三位，故④正确，故答案为B.5．若函数在区间上的最大值为1，则A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的单调性，考查了逻辑推理能力.因为,所以，又因为函数在区间上的最大值为1，所以，则6．若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质,考查了函数的基本性质的应用.因为,,,所以7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的A.15B.29C.31D.63【答案】D【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：A=1,B=3;B=7,A=2;B=15,A=3;B=31,A=4;B=63,A=5,此时不满足条件,循环结束,输出B=638．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，为锐角，那么角的比值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查了计算能力.因为，，，为锐角，所以由正弦定理可得sin B=,则，所以，则9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是一个底面直角边长分别为2、4的直角三角形、高是2的直三棱柱，所以该几何体的表面积S=10．在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段的长度的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查异面直线所成的角、空间向量、线面与面面垂直，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.设BC的中点为O,连接OA,因为，，所以OA=1，故建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，则O(0,0,0),A(0,0,1),B(-1,0,0),C(1,0,0),P(s,0,t),Q(1,m,0)(s<0,t>0,m>0),则,,，所以,,,所以，即,结合可得,则，则,故答案为B.11．设为双曲线右支上一点，，分别是圆和上的点，设的最大值和最小值分别为，，则A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】本题主要考查双曲线与圆的性质，考查了逻辑推理能力.双曲线的焦点分别两个圆的圆心,圆E的半径为2，圆F的半径为1，则的最大值为,最小值为,的最大值为,最小值为，又,所以的最大值为,的最小值为, 则12．表示一个两位数，十位数和个位数分别用，表示，记，如，则满足的两位数的个数为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查新定义问题、归纳推理，考查了逻辑推理能力.由题意可知，若，即，因为，所以，当a分别取1,2,3,4,5,6,7,8,9时，满足成立，因此满足的两位数的个数为9.二、填空题：共4题13．已知实数，满足不等式组则的最大值是 .【答案】【解析】本题主要考查线性规划问题、直线的斜率公式，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，表示过点P()与平面区域内任一点的直线l的斜率，当直线过点A(0,1)时，取得最大值2.14．已知，，则 .【答案】【解析】本题主要考查同角三角函数关系式,考查了逻辑推理能力.因为,所以,将两边平方化简可得,则,则,所以15．直线分别与曲线，交于，，则的最小值为 . 【答案】【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了逻辑推理能力.根据题意,要求的最小值,即求函数在上的最小值,,则易知函数在上是减函数,在上是增函数,所以的最小值,即函数的最小值为16．设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线：的距离为.当最小时，圆的面积为 .【答案】【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了逻辑推理能力与计算能力.设圆的半径为r,圆心(a,b),由②可知短弧所对的圆心角为,则圆心不在x轴上,设b>0,则r=,由①截轴所得弦长为2可得a2+1=r2,则a2=,又,当且仅当a=b=1时,d取得最小值,此时r=,则圆的面积为.三、解答题：共7题17．已知各项均为正数的等差数列满足：，且，，成等比数列，设的前项和为.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为，求证：.【答案】(Ⅰ)根据题意，等差数列中，设公差为，，且，，成等比数列，，即解得，，所以数列的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，则，∴.∴，(*)，(**)∴，∴=.∴.【解析】本题主要考查等差数列,等比数列的通项公式与前项和公式,考查了错位相减法,逻辑推理能力与计算能力.(1) 根据题意，等差数列中，设公差为，则有,求解易得结论;(2)求出的前项和为,则,利用错位相减法,再结合等比数列的前项和公式求解,易得结论.18．某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量(单位：万件)之间的关系如表：(Ⅰ)在图中画出表中数据的散点图；(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的散点图拟合与的回归模型，并用相关系数甲乙说明；(Ⅲ)建立关于的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？.附注：参考数据：，，.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.【答案】(Ⅰ)作出散点图如图：(Ⅱ)由(Ⅰ)散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：，，，，，，，.∵与的相关系数近似为0.9996，说明与的线性相关程度相当大，∴可以用线性回归模型拟合与的关系.(Ⅲ)由(Ⅱ)知：，，，，，，，故关于的回归直线方程为，当时，，所以第5年的销售量约为71万件.【解析】本题主要考查回归分析及其应用,考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据所给数据易得散点图;(2)利用所提供的数据与公式求出与的相关系数r,即可得出结论;(3)由题中所提供的数据,分别求出的值,则可得回归直线方程,再将代入回归直线方程可得结论.19．如图，在正三棱柱中，点，分别是棱，上的点，且(Ⅰ)证明：平面平面；(Ⅱ)若，求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明：取线段的中点，取线段的中点，连接，，，则，又，∴是平行四边形，故.∵，平面平面，平面平面，∴平面，而，∴平面，∵平面，∴平面平面.(Ⅱ)以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量，则有即令，则，设平面的一个法向量，则有即令，则，设二面角的平面角，则.【解析】本题主要考查线面,面面垂直的判定与性质,二面角,空间向量的应用,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1) 取线段的中点，取线段的中点，连接，，，证明四边形是平行四边形，再证明平面,则结论易得;(2) 以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量, 平面的一个法向量, 设二面角的平面角，利用向量的夹角公式求解即可.20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个交点.【答案】(Ⅰ)依题意，设椭圆的方程为，焦距为，由题设条件知，，，，，所以，，或，(经检验不合题意舍去)，故椭圆的方程为.(Ⅱ)当时，由，可得，当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点.当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点. 当时，直线的方程为，联立方程组消去，得.①由点为曲线上一点，得，可得.于是方程①可以化简为，解得，将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个交点，综上，直线与曲线有且只有一个交点，且交点为.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质,直线与圆锥曲线的位置关系,考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1) 由题设条件知，，且,求解可得结论;(2)先讨论,即点P是椭圆的左右顶点,易得结论;再讨论, 直线的方程为，联立椭圆方程,结合点P在椭圆上,化简可得,则结合易得.21．设函数，曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求实数，的值；(Ⅱ)若，，，，试判断，，三者是否有确定的大小关系，并说明理由.【答案】(Ⅰ).由于所以，.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.(i),而，故(ii)=. 设函数，，则，.当时，，所以在上单调递增；又，因此在上单调递增.又，所以，即，即(iii)=.设，.则，有.当时，，所以在上单调递增，有.所以在上单调递增.又，所以，即，故综上可知：【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义,函数的性质,基本不等式,考查了函数的构造,考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意可得,求解可得结论;(2) 由(Ⅰ)知,(i),利用对数的运算性质与基本不等式求解可得结论;(ii), 设函数，，求导并判断函数的单调性,易得结论; (iii), 设，,同理求解即可.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为. (Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(Ⅱ)设点为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最大值.【答案】(Ⅰ)因为直线的极坐标方程为，即，即.曲线的参数方程为是参数)，利用同角三角函数的基本关系消去，可得.(Ⅱ)设点为曲线上任意一点，则点到直线的距离，故当时，取最大值为.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标,考查了参直与极直互化,点到直线的距离公式,三角函数.(1)消去参数可得曲线C的普通方程;将直线l的极坐标方程展开,再利用公式化简可得直线l的直角坐标方程;(2) 设点为曲线上任意一点，利用点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离,结合三角函数的性质求解即可.23．已知函数).(Ⅰ)若不等式恒成立，求实数的最大值；(Ⅱ)当时，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ).∵，∴恒成立当且仅当，∴，即实数的最大值为1.(Ⅱ)当时，∴，∴或∴，∴实数的取值范围是.【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式的应用,考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)利用绝对值三角不等式,由题意可得,则结论易得;(2)分,,三种情况讨论去绝对值,求出函数,解不等式,即可求出结果.。
福建省百校2018届高考临考冲刺数学理科试卷附答案
福建省百校2018届下学期临考冲刺高三数学考试卷数 学 理 科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（ ）z ()23i z i -=+z =A ．B ．C ．5102.设全集，集合，，则{}55U x x =-<<{}2450A x x x =--<{}24B x x =-<<（ ）()U C A B = A ． B ． C ． D ．(]5,2--[)4,5()5,2--()4,53.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、 十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为 ．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（ ）2log 643A ．B ．C ．D ．4.若双曲线的焦距等于离心率，则（ ）()2205y x m m -=>m = A ．B ．C ．D ．12011015145.设有下面四个命题，若，则；若，则；1:p 13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()314P X ≥=2:p 13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭()718P X ≥=的中间项为；的中间项为；其中真命题为（ ）3:p 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭20-4:p 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭320x -A ． B ． C. D ．13,p p 14,p p 23,p p 24,p p 6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ． C. D ．21542ππ+2154ππ+21342ππ+2134ππ+7.已知点表示除以余，例如，，则如图所示的()mod N n m ≡N m n ()71mod 6≡()133mod 5≡程序框图的功能是（ ）A ． 求被除余且被除余的最小正整数B ．求被除余且被除余的最小正整数51737153C. 求被除余且被除余的最小正奇数 D ．求被除余且被除余的最小正奇数517371538.若，则（ ）()0,απ∈2cos 2αα+=tan 23απ⎛⎫-=⎪⎝⎭A ． ．D9.设满足约束条件，若的最大值为6，则的最大值为（ ）,x y 120y ax y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩z x y =+y x a +A ．B ． C. D ． 2324510.若函数与都在区间上单调递减，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()cos 4g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()(),0a b a b π<<<则的最大值为（ ） b a -A ．B ．C.D ．6π3π2π512π11.在正方体中，，以为球心，为半径的球与棱分别1111ABCD A B C D -3BE EA = E EC111,A D DD 交于两点，则二面角的正切值为（）,F G A FG E --A12.设函数，若存在互不相等的4个实数，使得()()2124,12,1x x f x x x a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩1234,,,x x x x，则的取值范围为（ ）()()()()123412347f x f x f x f x x x x x ====a A ． B ． C. D ．()6,12[]6,12()6,18[]6,18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，，且，则 ．ABC ∆4,6AB AC ==16cos 1A =BC =14.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为 ．15.在平行四边形中，，，，且，ABCD AB AD AB AD +=- 2DE EC =CF FB = 7AE AF ⋅= 则平行四边形的面积的最大值为 ．ABCD 16. 为椭圆上一动点，分别为左、右焦点，延长至点，使得P 22:12x C y +=12,F F 1F P Q ，记动点的轨迹为，设点为椭圆短轴上一顶点，直线与交于两2PQ PF =Q ΩB C 2BF Ω,M N 点，则 ．MN =三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列是等比数列，且．}n -129,36a a ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和．{}2n a n -n n S18. 如图，在三棱锥中，两两垂直，，平面平面，且P ABC -,,PA PB PC ==PA AB AC //αPAB 与棱分别交于三点．α,,PC AC BC 111,,P A B （1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；A l l BC ⊥11l P A ⊥（2）过点，且与直线垂直；（3）若将三棱锥分成体积之比为的两部分（其中，四面体的体积更小），αP ABC -8:19111P A B C 为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． D 1B C 1PD 11PA B19. 某大型水果超市每天以元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以元/千克的价格10A 15出售，若有剩余，则将剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记8录了水果最近天的日需求量（单位：千克）整理得下表：A 50日需求量140150160170180190200频数51088775以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．50（1）若该超市一天购进水果千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的A 150A X X 分布列及其数学期望；（2）若该超市计划一天购进水果千克或千克，请以当天水果获得的利润的期望值为决A 150160A 策依据，在千克与千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以元/千克1501607的价格退回水果基地，又该选哪一个？20. 已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于两点，，l 24y x =()()1122,,,A x y B x y 8AB <直线与抛物线交于两点，且两点在轴的两侧．l 24y x =-,M N ,M N y（1）证明：为定值；12y y （2）求直线的斜率的取值范围；l （3）已知函数在处取得最小值，求线段的中()4324854f x x x x x =-+-()0012x x x =<<m MN 点到点的距离的最小值（用表示）P ()2,0D m 21. 已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论的单调性；()f x （2）设是的两个零点，证明：．12,x x ()f x 124x x +>请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方xoy M 2cos 1sin x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩θ0r >N 程为（为参数，且）．1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 0t ≠（1）以曲线上的点与原点连线的斜率为参数，写出曲线的参数方程；N O k N （2）若曲线与的两个交点为，直线与直线的斜率之积为，求的值．M N ,A B OA OB 43r 23.选修4-5：不等式选讲已知函数．()1f x x a x =---（1）当时，求不等式的解集；2a =()01f x <≤（2）若，求的取值范围．()()20,,3x f x a ∀∈+∞≤-a 试卷答案一、选择题1-5:CADAD 6-10:BDBCB 11、12：BC二、填空题13. 14.726三、解答题17.解：（1）设等比数列的公比为，则，}nq 62231q -===-，()1312n n -=-⨯故；()22n n a n =+（2），()2212,24n n n n na n an n +=+∴-=⋅+ 记，()231222122nn n T n n +=+⋅++-⋅+⋅ ()23122222122n n n T n n ++=+⋅++-⋅+⋅ ()23122222222242124n n n n n n T n n n +++++∴-=+++-⋅=--⋅=-⋅- ；()2124n n T n +∴=-⋅+故．()112444812143n n n n n S T n +++-+=+=-⋅+-18.解：（1）作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线．BC H AH AH l证明如下：，且，平面．,PA AB PA AC ⊥⊥ AB AC A = PA ∴⊥ABC 平面平面，且平面，平面平面．//αPAB α 11PAC P A =PAB PAC PA =平面，．11P A ∴⊥ABC 11P A AH ∴⊥又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线．AB AC =H BC AH BC ⊥AHl （2）将三棱锥分成体积之比为的两部分，α P ABC -8:19四面体的体积与三棱锥分成体积之比为，∴111P A B C P ABC -8:27又平面平面，．//αPAB 11123A CBC PC AC BC PC ∴===以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，A A xyz -3AB =则，()()()()()10,1,0,2,1,0,0,0,3,0,1,2,1,2,0A B P P D ,()()()11112,0,0,0,1,3,1,1,2A B PA PD ==-=-设平面的法向量为，11PA B (),,n x y z =则，即，11100n A B n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 030x y z =⎧⎨-=⎩令，得1z =()0,3,1n =则，1cos ,PD n 〈〉==直线与平面．1PD 11PA B 19. 解：（1）若水果日需求量为千克，则A 140元，()()()1401510150140108680X =⨯---⨯-=且，若水果日需求量不小于千克，()56800.150P X ===A 150则元，且．()1501510750X =⨯-=()75010.10.9P X ==-=故的分布列为：X X 680750P0.10.9元．()6800.17500.9743E X =⨯+⨯=（2）设该超市一天购进水果160千克，当天的利润为（单位：元）A Y 则的可能取值为，即，Y 1405202,1505102,1605⨯-⨯⨯-⨯⨯660,730,800的分布列为：Y Y 660730800P0.10.20.7，()6600.17300.28000.7772E Y =⨯+⨯+⨯=因为，所以该超市应购进千克，772743>160若剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，同理可得的分布列分别为：7,X Y X 670750P0.10.9Y 640720800P0.10.20.7因为，6700.17500.96400.17200.28000.7⨯+⨯<⨯+⨯+⨯所以该超市还是应购进160千克．20.解：（1）证明：由题意可得，直线的斜率存在，故可设的方程为，l l ()()10y k x k =-≠联立，得，则为定值；()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2440ky y k --=1244k y y k -==-（2）由（1）知，，121212244,22y y y y x x k k k++=+=+=+则，即．121224248y y AB x x p k k+=++=+=+<21k >联立得：，()241y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩240x kx k -+-=两点在轴的两侧，，，,M N y ()22444160k k k k ∴∆=--=-+>40,4k k -<<故直线的斜率的取值范围为．l ()(),11,4-∞- （3）设，则，()()()1122,,,,,P x y M x y N x y 12=,222x x kx k x +==．()()212122y k x y x x x x =-∴=-=- 又，，()(),11,4k ∈-∞- 11,,2222k x ⎛⎫⎛⎫∴=∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故点的轨迹方程为，P 21122222y x x x x ⎛⎫=-<-<< ⎪⎝⎭或而，PD ===在处取得最小值，()4324854f x x x x x =-+- ()0012x x x =<<m．min PD ∴=21.解：（1），()1xf x ae '=+当时，，则在上单调递增．0a ≥()0f x '>()f x R 当时，令，得，则的单调递增区间为，0a <()0f x '>1ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭()f x 1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，得，则的单调递减区间为．()0f x '<1ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭()f x 1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由得，设，则．()0f x =1x x a e -=()1x x g x e -=()2x x g x e -'=由，得；由，得．()0g x '<2x <()0g x '>2x >故的最小值．()()2min 120g x g e ==-<当时，，当时，，1x >()0g x <1x <()0g x >不妨设，则，12x x <()()121,2,2,x x ∈∈+∞等价于，且在上单调递增，124x x +>214x x >-142x -> ()g x ()2,+∞要证：，只需证，124x x +>()()214g x g x >-，()()12g x g x a == 只需证，即，()()114g x g x >-1111413x x x x e e --->即证；()12411310x e x x --+-<设，()()()2431,1,2x h x e x x x -=-+-∈则，()()24251x h x e x -'=-+令，则，，()()m x h x '=()()2442x m x e x -'=-()()1,2,0x m x '∈∴<在上单调递减，即在上单调递减，()m x ∴()1,2()h x '()1,2，在上单调递增，()()20h x h ''∴>=()h x ∴()1,2，()()()1241120,310x h x h e x x -∴<=∴-+-<从而得证．124x x +>22.解：（1）将消去参数，得（未写扣一分），1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t ()2200x y x -+=≠0x ≠由得（为参数，且）．220x y y kx -+=⎧⎨=⎩221221x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩k 12k ≠（2）曲线的普通方程为，M ()()22221x y r -+-=将代入并整理得：；221221x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩()()22221x y r -+-=()()2222164432170r k r k r -+-+-=因为直线与直线的斜率之积为，所以，OA OB 43221741643r r -=-解得，又，，21r =0r >1r ∴=将代入，得：，故．1r =()()2222164432170r k r k r -+-+-=21228160,0k k -+=∆>1r =23.解：（1）当时，因为2a =()()()21211f x x x x x =---≤---=所以的解集为，()1f x ≤R 由，得，则，即，()0f x >21x x ->-2221x x ->-224421x x x x -+>-+解得，故不等式的解集为；32x <()01f x <≤3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）当时，，()0,0,a x ≤∈+∞()1,1121,01a x f x x a x x a x -≥⎧=---=⎨--<<⎩则，又，所以．()()2max 113f x f a a ==-≤-0a ≤a ≤当时，，故不合题意，[)01,1,a x <<∈+∞()2103f x a a =->>-01a <<当时，()1,0a x ≥∈+∞()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=-当且仅当时等号成立，则，又，所以01x <≤231a a -≥-1a ≥2a ≥综上：的取值范围为．a [),2,⎛-∞+∞ ⎝。
2018黑龙江省哈尔滨市第一零九中学高三数学理测试题
2018黑龙江省哈尔滨市第一零九中学高三数学理测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集,集合则为( )A、 B、 C、D、参考答案：A2. 下列叙述中，正确的个数是①命题p：“”的否定形式为：“”；②O是△ABC所在平面上一点，若，则O是△ABC的垂心；③“M＞N”是“”的充分不必要条件；④命题“若，则”的逆否命题为“若，则”．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：C略3. 是“函数在区间[-1,2]上存在零点”的（）条件（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充分必要（D）既不充分也不必要参考答案：A4. 下列四组函数，表示同一函数的是( )A．f（x）=，g（x）=x B．f（x）=x，g（x）=C． D．参考答案：D略5. 在中，，，，则（）A．B．C．或D．或参考答案：D6. 用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A．B．C．且D．或参考答案：D【考点】反证法与放缩法．【分析】分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑＞的反面是什么即可．【解答】解：∵＞的反面是≤，即=或＜．故选D．7. 若a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1参考答案：B【考点】映射．【专题】计算题．【分析】由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，而M和N中都只有2个元素，故 M=N，故有=0 且 a=1，由此求得a和b的值，即可得到a+b的值．【解答】解：由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，而M和N中都只有2个元素，故 M=N，∴=0 且 a=1．∴b=0，a=1，∴a+b=1+0=1．故选B．【点评】本题主要考查映射的定义，判断 M=N，是解题的关键，属于基础题．8. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且，，则{a n}的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为，由条件得，由此可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{a n}的公差为，由题意得，即，解得．故选B．【点睛】本题考查等差数列的前项和，关键是掌握等差数列的前项和公式的形式特点，属于基础题．9. 下列可作为函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】利用函数的定义分别对A、B、C、D四个选项进行一一判断，即可的答案．【解答】解：∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x=c都只有一个交点；选项A、B、C中均存在直线x=c，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选D．10. 下列结论中正确的是()A．?n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．?n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．?n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．?n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题参考答案：C解析：当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D错误，C项正确．故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}是等差数列，且a2=3，并且d=2，则++…+= ．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】由已知条件得a n=3+（n﹣2）×2=2n﹣1，再由==，利用裂项求和法能求出++…+的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a2=3，d=2，∴a n=3+（n﹣2）×2=2n﹣1，∴==，∴++…+===．故答案为：．12. 给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数的四个论断：①；②③④的定义域为R，值域是[一]．则其中论断正确的序号是（）（A）①②（B）①③（C）②④（D）③④参考答案：B略13. （4分）计算3+lg﹣lg5的结果为．参考答案：1考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数恒等式和对数的运算法则即可得出．解答：原式=2+lg2﹣1﹣lg5=2﹣（lg2+lg5）=2﹣1=1．故答案为1．点评：本题考查了对数恒等式和对数的运算法则，属于基础题．14.给出数表请在其中找出4个不同的数，使它们能构成等比数列，这4个数从小到大依次是．参考答案：答案：2，6，18，54等15. 的展开式中，的系数为．参考答案：－480从6个括号中选择2个取，选择1个取，剩余的3个取，便可得到含的项，故所求项的系数为.16. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2，若数列{b n}满足b n=10﹣log2a n，则使数列{b n}的前n项和取最大值时的n的值为．参考答案：9或10【考点】数列的求和．【分析】S n=2a n﹣2，n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式可得a n．令b n≥0，解得n，即可得出．【解答】解：∵S n=2a n﹣2，∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），∴a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=2n．∴b n=10﹣log2a n=10﹣n．由b n=10﹣n≥0，解得n≤10．∴使数列{b n}的前n项和取最大值时的n的值为9或10．故答案为：9或10．17. 在的展开式中，项的系数是（用数字作答）．参考答案：－40的展开式的通项为：.令，得.答案为：-40.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(九)理科数学含解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(九)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不【答案】D【解析】p ：22a b a b >⇔>，q a b >与a b >没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”．故选D ． 2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选B ． 3．十字路口往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种【答案】C【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有43=12⨯种，故选C ．4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ） A ．4- B ．2-C ．0D ．2【答案】A 【解析】如图，过()2,0时，2z x y =-+取最小值，为4-．故选A ．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5 BCD．【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA ⊥平面A B C D ，∴3PA =，4AB CD ==，5AD BC ==，∴该几何体最长棱的棱长为D ． 6． )())0,π大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D)())0,π是偶函数，故它的图象关于y轴对称，再由当x 趋于π时，函数值趋于零，故答案为：D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．34【答案】Dk ∈Z ，k ∈Z ，∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在D ．8．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数a y x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37【答案】A【解析】由框图可知{}3,0,1,8,15A =-，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数a y x =，[)0,x ∈+∞是增函数”为事件E ，当函数a y x =，[)0,x ∈+∞是增函数时，0a ＞，事件E 包含基本事件的个数为3A ． 开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设12x x <，函数2x y =为单调增函数，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则121122y y -=-，即121y y +=．有12221x x +=122x x +<-．（因为12x x ≠，等号取不到）．故选B ．10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==2AC BD ==，AD BC ==四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π【答案】C【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则22222254 3a b a c b c +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，三式相加得：2226a b c ++=，所以该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为：246R π=π．11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【答案】A【解析】由题意可得()21232n n n f x a x a x a ++=--'，∵1x =是函数()f x 的极值点， ∴()121320n n n f a a a ++=-'-=，即21320n n n a a a ++-+=．∴()2112n n n na a a a +++-=-， ∴211a a -=，32212a a -=⨯=，243222a a -=⨯=，，212n n n a a ---=，以上各式累加可得12n n a -=．∴212log log 2n n n b a n +===． ∴122320182018b b b b b b +++12018++⨯∴1223201820192018201820182017b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．选A ．12[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞【答案】C【解析】当0a >增函数，在区间[]0,1上单调递增， 在区间[]0,1上单调递增，则，解得](0,1a ∈， 当0a =在区间[]0,1上单调递增，满足条件． 当0a <在R 上单调递增，令，解得1a -≥，综上所述，实数a 的取值范围[]1,1-，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知i 为虚数单位，则．14．已知等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则{}n a 的前6项和为__________． 【答案】212【解析】3528a q a ==-，2q =-，则2112a a q ==-，()()()661611212121122a q S q⎡⎤----⎣⎦===---．15．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为__________． 【答案】92【解析】如图所示：设AE 与AF 的夹角为θ，则221||||cos 2||cos AE AF AE AF AF θθ⎛⎫⋅==+ ⎪，由投影的定义知，只有点F 取点C 时，c o s AF θ取得最大1=2AE AF ⎛∴⋅ ，故填92．16．设F为双曲线C ：22221x y a b -=(0a ＞，0b ＞)的右焦点，过F 线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，2AF BF =，则双曲线C 的离心率为_____． 【答案】2或3【解析】若2AF BF =-，则由图1可知，渐近线OB 的斜率为ba-，l OB ⊥，在Rt OBA △中，由角平分线定理可得2O A F AO BF B==，所以60AOB ∠=︒，30xOA ∠=︒，所以b a =c e a ===．若2A F B F =，则由图2可知，渐近线OB 为AOF △边AF 的垂直平分线，故AOF △为等腰三角形，故可以求出OA c =，根据l 的方程：()0a y x c b -=-和准线方程：by x a=，可以求出点22222,a c abc A a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据OA c=，求出b a =2c e a ===，即该双曲线的离心率为2． yxOF AB图1lyxOFA B 图2l三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17（1）求()f x 的最大值、最小值；（2）CD 为ABC △的内角平分线，已知()max AC f x=，()min BC f x =，CD ，求C ∠．【答案】（1）()max 6f x =，()min 3f x =；（2【解析】（13分∵()f x∴()max 6f x =，()min 3f x = (6)分（2）ADC △中，，BDC △中， ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =， ∵2AD BD =·······9分BCD △中， ACD △中，2446822C C AD =-=-，∴cos22C =12分 18．随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？（2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人．从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X 的分布列和数学期望．参考公式：()()()()()2n ad bc K a c b d a b c d -=++++()n a b c d =+++【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关；（2）见解析． 【解析】（1）()2502511598104663530201634K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．．·······3分所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．·······4分（2）X 可取0，1，2，3．·······6分3639(502)1C P X C ===，·······7分12363915)128(C C P X C ===，·······8分 2136393()214C C P X C ===，·······9分3339(138)4C P X C ===，·······10分所以X 的分布列为()0123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．·······12分 19．如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 中，BC AD ∥，AB AD ⊥，且22PA AD AB BC ====，M 为AD 的中点． （1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）问在棱PD 上是否存在点Q ，使PD ⊥平面CMQ ，若存在，请求出二面角P CM Q --的余弦值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在Q ． 【解析】∴以A 为原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示：22PA AD AB BC ====，()0,0,0A ，()200B ,,，()2,1,0C ，()020D ,,，()002P ,,， ()020AD =,,，()002AP =,,，M 为AD 的中点，∴()0,1,0M ，()200MC =,,． (2)分（1）0MC AD ⋅=，0MC AP ⋅=，∴CM PA ⊥，CM AD ⊥．·······4分PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PAAD A =，∴CM ⊥平面PAD ．·······5分CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD ．·······6分（2）存在点Q 使PD ⊥平面CMQ ，在PAD △内，过M 做MQ PD ⊥垂足为Q ， 由（1）CM ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，CM PD ∴⊥，MQ CM M =，PD ∴⊥平面CMQ ，·······8分设平面PCM 的一个法向量为()x y z =,,n ，则200MC x x ⋅==⇒=n ，()()012202PM x y z y z y z ⋅=⋅-=-=⇒=,,,,n ， 取()02,1=,n ．·······10分PD ⊥平面CMQ ，()022PD =-,,是平面CMQ 的一个法向量．·······11分 由图形知二面角P CM Q --的平面角θ是锐角， 25PD PD⋅=所以二面角余弦值为10·······12分 20．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±；（2）见解析．【解析】（1）设动点(),M x y 3MB y k x =-()3x ≠±， MA MB k k ⋅2分即1339y y x x ⋅=-+-． 化简得：2219x y +=，由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±．·······4分（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22199x my x y =++=⎧⎨⎩， 消去x 得()229280m y my ++-=,设()11,P x y ，()22,Q x y6分 直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s==-+-，22221SQ y y k x s my s==-+-，·······8分 ()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+-()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991sm s -=-+-．·······10分当3s =3s =-所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．·······12分21．已知函数()22ln f x x x a x =--，()g x ax =． （1）求函数()()()F x f x g x =+的极值； （2对0x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()22ln F x x x a x ax =--+，()()21x a x x+-，·······1分∵()F x 的定义域为()0,+∞．即0a ≥时，()F x 在()0,1上递减，()F x 在()1,+∞上递增，()1F x a =-极小，()F x 无极大值．·······2分 ②012a <-<即20a -<<时，()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小． (3)分 ③12a-=即2a =-时，()F x 在()0,+∞上递增，()F x 没有极值．·······4分 ④12a ->即2a <-时，()F x 在()0,1和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，∴()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小 (5)分综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．··6分（2设cos t x =，则[]1,1t ∈-，()()2122tt t ϕ+=+∴()t ϕ在[]1,1-上递增，∴()t ϕ的值域为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，·······8分时，()0h x '≥，()h x 为[]0,+∞上的增函数，∴()()00h x h =≥，适合条件．·······9分②当0a ≤时，∵10分③当103a <<()sin 3xh x ax <-， 令()sin 3x T x ax =-()00,x x ∈时，()0T x '<，∴()T x 在()00,x 上单调递减，∴()()000T x T <=， 即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件．综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：极坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线1Cα为参数),将曲线1C 上各点的横坐标都缩短为原的12倍,倍,得到曲线2C ,在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l（1）求直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点Q 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y -+=，221x y +=（2）1【解析】（1）因为直线l所以有cos sin 40ρθρθ-+=，即直线l 的直角坐标方程为：40x y -+=·······2分因为曲线1C 的的参数方程为(α为参数),经过变换后为c o ss i nx y αα==⎧⎨⎩(α为参数) 所以化为直角坐标方程为：221x y +=·······5分 （2）因为点Q 在曲线2C 上,故可设点Q 的坐标为()cos ,sin αα，从而点Q 到直线l (8)分由此得,,d 取得最大值,且最大值为1 (10)分23．选修4-5：不等式选讲设函数()12f x x x =++-，()254g x x x =-+-． （1）求不等式()5f x ≤的解集M ；（2）设不等式()0g x ≥的解集为N ，当x M N ∈时，证明：()()3f x g x +≤．【答案】（1）{|23}M x x =-≤≤（2）见解析 【解析】（1则有1240x x -+⎧⎨⎩≤≥①或12 20x -<<-⎧⎨⎩≤②或2260x x -⎧⎨⎩≥≤③·······3分解①得21x --≤≤，解②得12x -<<，解③得23x ≤≤，则不等式的解集为{|23}M x x =-≤≤．·······5分（2）()20540g x x x ⇔-+≥≤，解得14x ≤≤，则{|14}N x x =≤≤，所以{|13}MN x x =≤≤． 当12x ≤≤时，()3f x =，()()225935424f x g x x x x ⎛⎫--=-+=-- ⎪⎝⎭，，则()()3f x g x +≤成立．当23x <≤时，()26f x x =-，，则()()3f x g x <+． 综上，()()3f x g x +≤成立．·······10分。