2019-2020年高考数学一轮复习解三角形教案理
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
动态演示
结合动画演示，直观地呈现三角函数的计算过 程。
总结
1 重点内容概括
回顾本章重点内容，检 查概念与公式的掌握程 度。
2 解题方法总结
总结解题技巧和常用公 式，为下一步的练习做 好准备。
3 知识点巩固提示
练习做题、做笔记，多 次温习概念与公式，通 过追溯源头的方式加深 理解。
正弦、余弦、正切公式
正弦公式
三角形任意两边的比值相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。
余弦公式
根据勾股定理和余弦函数，得到c²=a²+b²-2ab*cosC。
正切公式
将正弦公式与余弦公式相除得到tanA=a/b*tanC-b/a。
解题技巧
1
使用两角和/差公式
判断题中是否存在三角形两个角之和/
合理运用公式
2
差，使用对应的公式。
根据题目中所给的信息，选择合适的
公式，并化简，变形运用。
3注意化简Fra bibliotek将多个三角函数合并为一个统一的三 角函数，然后进行化简，避免表达式 过于复杂。
练习题
求第三个角度
已知三角形内两角的度数，求第三个角的度数。
求解三角形的边长
已知部分边长与角度，求解三角形剩余边长度。
复杂问题
数学一轮复习：三角函数 解三角形
本课件旨在帮助你理解三角形的两角和与差，掌握正弦、余弦、正切公式， 并运用解题技巧快速解决问题。
三角形的两角和与差
两角和公式
两个角的和为第三个角的补角，即A+B=180°-C， 其中C为第三个角的度数。
两角差公式
两个角的差的余角等于这两个角的余角之积，即 A-B=C-》sinA*sinB=sinC*sin(A+B)。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数学案 文(含解
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。
(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。
2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。
(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。
(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。
3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。
正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。
如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。
1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。
(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。
2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。
3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。
一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。
答案 －5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。
高考数学：解三角形(复习学案)
专题09 解三角形（一） 三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________． 【练习3】 在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。
2020版高考数学一轮总复习课件5.3 正弦、余弦定理及解三角形
2
;sin
A
2
B
=cos
C 2
;cos
A
2
B
=sin
C 2
.
2.三角形形状的判断方法
要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,依据已知条
件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:
(1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通
过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
ABC的外接圆半径为R.
(1)S= 1 ah(h为BC边上的高);
2
(2)S= 1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A;
2
2
2
(3)S=2R2sin Asin Bsin C;
(4)S= abc ;
4R
(5)S=
p(
p
a)(
p
b)(
p
c)
p
1 2
(a
b
c)
.
考向基础 1.距离的测量
数学（浙江专用）
5.3 正弦、余弦定理及解三角形
考向基础 1.正、余弦定理
考点清单
考点一 正弦、余弦定理
2.解斜三角形的类型 (1)已知两角及一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解时可分为几种情况.在 △ABC中,已知a、b和角A,解的情况如下:
55
∵B=2C,∴cos B=cos 2C=2cos2C-1=2× 4 -1= 3 ,
55
∴sin B= 4 .
5
∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 4 × 2 5 + 3× 5 =
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形考前增分微课2解三角形的综合应用课件理新人教A版 (2)
第六节 解三角形2019考纲考题考情1．正弦定理asin A＝b sin B ＝csin C＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。
变式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。
a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。
2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
变式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。
sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。
3．解三角形(1)已知三边a，b ，c 。
运用余弦定理可求三角A ，B ，C 。
(2)已知两边a ，b 及夹角C 。
运用余弦定理可求第三边c 。
(3)已知两边a ，b 及一边对角A 。
先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin Aa。
①A 为锐角时，若a <b sin A ，无解；若a ＝b sin A ，一解；若b sin A <a <b ，两解；若a ≥b ，一解。
②A 为直角或钝角时，若a ≤b ，无解；若a >b ，一解。
(4)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理，先求出一边，后求另一边。
4．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)。
(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R 。
(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)。
在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。
2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C2。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式创新教学案(含
第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式[考纲解读] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，并能熟练应用同角三角函数关系进行化简求值．(重点)2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限〞的含义，并能利用诱导公式进行化简．(重点、难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2021年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.对应学生用书P0631.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01 sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02 sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式一 二三四五 六 角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－α π2＋α 正弦sin α01 －sin α 02 －sin α 03sin α 04cos α 05 cos α 余弦cos α06 －cos α07cos α 08 －cos α 09sin α10 －sin α正切tan α11 tan α12 －tan α13 －tan α ——口诀 函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1．概念辨析(1)对任意α，β∈R ，有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)假设α∈R ，那么tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)假设sin α＝55，π2<α<π，那么tan α＝________. 答案 －12解析 因为sin α＝55，π2<α<π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255， 所以tan α＝sin αcos α＝－12.(2)化简：cos 2α－1sin αtan α＝________.答案 －cos α解析 原式＝－sin 2αsin α·sin αcos α＝－cos α.(3)sin 2490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________.答案 －12－12解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.(4)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么sin(π＋α)＝________.答案 －45解析 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.对应学生用书P063题型 一 同角三角函数关系式的应用角度1 化简与求值1．(2019·某某模拟)角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)，那么cos α＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 由任意角三角函数的定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，所以3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)．整理得2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系2.(2019·某某石室中学模拟)α为第二象限角，且sin α＋cos α＝15，那么cos α－sin α＝( )A.75 B ．－75C ．±75D.2425答案 B解析 因为sin α＋cos α＝15，所以(sin α＋cos α)2＝125，即1＋2sin αcos α＝125，所以2sin αcos α＝－2425.所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.又因为α为第二象限角．所以cos α<0，sin α>0.所以cos α－sin α<0.所以cos α－sin α＝－75.角度3“齐次式〞问题3．sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，那么cos 2α＋sin αcos α的值是() A.35 B ．－35C ．－3D ．3 答案 A 解析 因为sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，所以tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，所以cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35.1．应用同角三角函数关系式化简、求值的方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．如举例说明1.(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系〞公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．2．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α之间的关系问题(1)方法：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(2)关注点：根据角α终边的位置确定sin α＋cos α，sin α－cos α的符号．如举例说明2.3．sin α，cos α的齐次式的解法 (1)常见的结构①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切〞代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)巧用“1〞的变换：1＝sin 2α＋cos 2α.如举例说明3.1．假设α是第二象限角，那么tan α1sin 2α－1化简的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．－tan 2α D ．tan 2α答案 A解析 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以tan α1sin 2α－1＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 2．假设sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，那么sin αcos α的值等于( ) A ．－25B ．－15C.25或－25D.25答案 A解析 由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，那么tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 3．α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin αcos α＝229，那么sin α－cos α＝________.(提示(22－1)2＝9－42)答案1－223解析 因为sin αcos α＝229，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1－429＝9－429＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－132.又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝1－223.题型 二 诱导公式的应用1．化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案 C解析 原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2．(2019·某某六校教育研究会联考)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.255 B ．－255C.55D ．－55 答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－55. 3．假设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值为________．答案 0 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.(1)诱导公式的两个应用方向与原那么①求值，化角的原那么与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原那么与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察角与所求角的关系，如果两者之差或和为π2的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明2中⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2.1．(2020·某某高三摸底)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 因为角α的终边经过点P (3,4)． 所以cos α＝332＋42＝35. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－1010π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－35. 2．k ∈Z ，化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α＝________.答案 －1解析 当k 为偶数时，原式＝sin －αcos －π－αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，原式＝sin π－αcos －αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上知，原式＝－1.题型 三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用1．(2019·某某模拟)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么cos α＝( )A.12 B ．－12C ．－32D.32答案 C 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1008π＋3π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.2．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，那么C 等于( )A.π3 B.π4 C.π2D.2π3答案 C解析 因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6.因为cos A ＝－3cos(π－B )，即cos A ＝3cos B ，所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π，所以B ＝π3，所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.应选C. 3．(2019·某某六中第一次阶段性检测)f (α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan π＋α－cos π－α2－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos π－α＋cos 2π－α.(1)化简f (α)；(2)假设－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值X 围．解 (1)f (α)＝cos αtan α＋cos α2－1－4cos α－cos α＋cos α＝sin α＋cos α2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z .∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3.同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法(1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式．如举例说明3.(2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性．1．(2019·某某八校联考)sin(π＋α)＝－13，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝() A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2答案 D解析 因为sin(π＋α)＝－sin α＝－13，所以sin α＝13，所以cos α＝±1－sin 2α＝±223， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2. 2.1＋2sin π－3cos π＋3化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3·cos3＝sin3－cos32＝|sin3－cos3|.因为π2<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.3．tan100°＝k ，那么sin80°的值等于( ) A.k1＋k2B ．－k1＋k2kk答案 B解析 由得tan100°＝k ＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k ，又因为tan80°＝sin80°cos80°＝sin80°1－sin 280°，所以sin 280°1－sin 280°＝k 2，注意到k <0，可解得sin80°＝－k1＋k2.对应学生用书P277组 基础关1．计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( )A ．－1B ．1C ．0 D.12－32答案 A 解析 sin 11π6＋cos 10π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.2．sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，那么θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3答案 D解析 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝sin θcos θ＝ 3.又因为|θ|<π2，所以θ＝π3. 3．cos31°＝a ，那么sin239°·tan149°的值是( ) A.1－a2aB.1－a 2a答案 B解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.4．假设0≤2x ≤2π，那么使1－sin 22x ＝cos2x 成立的x 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π答案 D解析 显然cos2x ≥0，因为0≤2x ≤2π，所以0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π.5．(2019·某某二中模拟)角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，那么sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2答案 D 解析 因为r ＝2sin22＋－2cos22＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos2.6．假设sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，那么m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5答案 B解析 由得Δ＝(2m )2－4×4×m ＝4m (m －4)≥0，所以m ≤0或m ≥4，排除A ，C.又因为sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1－5或m ＝1＋5(舍去)．7．tan α＝3，那么1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析 因为tan α＝3，所以1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1 ＝32＋1＋2×332－1＝2. 8．化简：(1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝________. 答案 1解析 (1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.9．化简：sin α＋πcos π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αtan －αcos 3－α－2π＝________. 答案 －1解析 原式＝－sin α－cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－tan αcos 3α＝sin αcos αcos α－sin αcos αcos 3α＝sin αcos 2α－sin αcos 2α＝－1. 10．cos(75°＋α)＝13，那么sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．答案 －23解析 因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13.所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝－23.组 能力关1．2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝( )A.22B ．－22C. 2 D ．－ 2答案 A解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，所以tan θtan 2θ＋1＝23，解得tan θ＝22(tan θ＝2，舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以tan θ为小于1的正数)．2．(2019·某某模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.3．－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，那么1cos 2α－sin 2α的值为() A.75 B.257 C.725D.2425答案 B解析 因为－π2<α<0，所以cos α>0，sin α<0，可得cos α－sin α>0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2，所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 4．(2020·某某摸底)假设1＋cos αsin α＝2，那么cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95D.95答案 C解析 因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1.整理得5sin 2α－4sin α＝0，因为sin α≠0，所以sin α＝45.所以cos α＝2sin α－1＝35.所以cos α－3sin α＝35－125＝－95.5．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α等于( )A.223B.13 C ．－13D ．－223答案 D 解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.6．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 答案 44.5解析 因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1， 设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 那么S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5. 7．α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且满足 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝2，那么cos 2α＋2sin2α＝________.答案 95解析 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝1－sin α1－sin α1＋sin α1－sin α＋1cos α＝1－sin α－cos α＋1cos α＝sin αcos α，那么sin αcos α＝2，tan α＝2，而cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝95. 8．sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解 tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 那么原式＝1sin αcos α＝52；当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 那么原式＝1sin αcos α＝－52.。
2019-2020学年高考数学一轮复习-第2讲-平面向量、解三角形教学案
2019-2020学年高考数学一轮复习 第2讲 平面向量、解三角形教学案【学习目标】（1）正弦定理、余弦定理及其应用（B 级）（2）处理与三角形有关的三角综合问题，除正确运用好正弦定理、余弦定理、面积公式及己知的三角函数关系式外，对隐含的很多条件，如三角函数的定义、三角形的内角和、诱导公式、勾股定理,向量有关知识等等，都要综合考虑，这样才能有效的解决问题【知识要点】1.已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则有a =⋅b __________，其中夹角θ的取值范围是________,规定=⋅a 0___ _；向量的数量积的结果是一个_____ _ 2．平面向量数量积的坐标表示： 已知),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a _____ ________；记a 与b 的夹角为θ，则=θcos _____________ __=||a ___ __ ____3.向量的平行的充要条件：设),(11y x a =,),(22y x b =,且0≠a ,则⇔b a // ⇔4.两非零向量垂直的充要条件：设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a _____ __5．正弦定理： ．6．余弦定理：第一形式：=2a ，第二形式: =A cos7．三角形的面积公式【自主学习】1. (必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x +1)，若a ⊥b ，则实数x = .2. (必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k = 时，向量k a -b 与a +3b 平行.3. (必修5 P10习题4改编)在△ABC 中，已知b a a +=sin sin -sin B B A ， 且2sin Asin B=2sin 2C ，则△ABC 的形状为4. (必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =7，b =43，c =13，则△ABC 最小的内角为 .【课堂探究】例1 (2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，角A=60°.(1) 求BC 的长；(2) 求sin 2C 的值.例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin2sin-sinCA C=222222----b a cc a b.(1) 求角B的大小；(2) 设T=sin2A+sin2B+sin2C，求T的取值范围.例3 (2015·陕西卷)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a，3b)与n=(cos A，sin B)平行.(1) 求角A的大小；(2) 若a7b=2，求△ABC的面积.【针对训练】1. (2015·安徽卷)在△ABC中，已知6A=75°，B=45°，则AC= .2. (2015·南京调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a+2c=2b，sin B=2sin C，则cos A= .3. (2014·常州期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，22 -a bc=3，则c= . 【巩固提升】1. 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=2，则|a+b|=2. (2015·苏锡常镇宿一调)如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，AB=2，AD=1，且MA·MB=-16，则AB·AD= .3. (2015·福建卷)在△ABC中，若AC=3，A=45°，C=75°，则BC= .4.(2015·镇江期末)已知△ABC的面积为S，且AB·AC=2S.(1) 求sin A的值；(2) 若|AB|=3，|AB-AC|=23，求sin B的值.5. (2015·苏北四市)已知向量a=(1，2sin θ)，b=πsin13θ⎛⎫⎛⎫+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，θ∈R.(1) 若a⊥b，求tan θ的值；(2) 若a∥b，且θ∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，求θ的值.。
高考数学第一轮复习教案 专题6三角函数、三角恒等变换与解三角形
专题六 三角函数、三角恒等变换与解三角形一、考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 二、考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”． 三、命题热点高考对给部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理，并能步运用它们解斜三角形，并结合平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。
高考对该部分的考查重基础，虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。
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图二abc CBA图一cabA BC2019-2020年高考数学一轮复习解三角形教案理知识梳理：1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在Rt ABC中，C=，BC=a，AC=b，Ab=c。
（1）、三边之间的关系：+=；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：A+B=（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）、三角形内角之间的关系：A+B+C=；sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanCsin； cos；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即=2R (2R为外接圆的直径)正弦定理变形：a=2R ；；；；；a：b：c=（4）、余弦定理：=-2bccosA; =-2accosB;-2abcosC;余弦定理变形：cosA= ; cosB=; cosC=3、三角形的面积公式：（1）、=a=b=c（，，分别表示a，b，c三边上的高）（2）、=absinC=bcsinA=casinB（3）、=2=（4）、=；（5）、=rs（r为内切圆半径，）4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。
5、实际问题中的应用。
（1）、仰角和俯角：（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。
（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度数。
（4）、距离、角度的测量测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。
βαDCBAβαHGE D EBA二、题型探究探究一：利用正余弦定理解三角形 例1: (2014安徽)（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πA 的值. （Ⅰ）因为B A 2=，所以B B B A cos sin 22sin sin ==．由正、余弦定理得 acb c a b a 22222-+⋅=．因为3=b ，1=c ，所以122=a ，32=a ．（Ⅱ）由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ． 由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A ． 故62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A 例2: 在中，已知a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且-=ac-bc ，求A 及 (,)探究二:求三角形的面积例3：已知a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，cosA= ，b=（1）、求sinC 的值 （2）、求的面积。
例4：已知三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆的半径为1，且有sinA-sinC+ cos(A-C)=（1）、求A，B，C大小；因为三个内角A、B、C成等差数列，所以B=sinA-sinC=2cos,所以= ,所以A-C=又A+C=12，所以A=，B=C=，（2）、求的面积。
=2=例5：已知三个内角A，B，C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，证明为正三角形。
探究三：判断三角形的形状例5：在中，已知asinA=bsinB，试判断三角形的形状；例6：在中，已知acosA=bcosB，试判断三角形的形状；例7：在中，已知acosB=bcosA，试判断三角形的形状；探究四：正余定理的实际应用(2014上海)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？【解析】(1).米的最大长度是所以，解得）（即则令28.2828.2822000,h -8080h 280h -180h2≥35h 0βtan -12tan ββ2tan ≥αtan ∴0β2≥α2π80hCB h βtan ,35h DC h αtan ,2222AC h h DC ≈≤<>•=•>=>>=====三、方法提升： （1）、解斜三角形的常规思维方法： 已知两角和一边，可先用正弦定理解；已知两边和夹角，先用余弦定理，之后再用正弦定理；已知两边及一边所对的角，应用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，这种情况要结合图形讨论解的情况； 已知三边，用余弦定理。
（2）、三角形的内切圆半径R= ，特别地，=（3）、三角形中中射影定理 （4）、两内角与正弦关系：在中，A<B,……（5）、三角形中的重要结论：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC(斜三角形) （6）、锐角三角形中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC; tanAtanBtanC>1四、反思感悟五、课时作业正弦、余弦定理的应用一、选择题（每小题6分，共60分） 1在△ABC 中，“︒>30A ”是“21sin >A ”的 （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC （ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定3在三角形ABC 中, 如果B A cos sin =, 那么这个三角形是 （ ） A ．直角三角形 B ． 锐角三角形C ．钝角三角形D ． 直角三角形或钝角三角形4已知ABC △中，a =b =60B =，那么角A 等于 （ ）A ．135B ．90C ．45D ．305ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34C ．4D ．36在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A =3π,a =3,b =1，则c = ( ) A 1 B 2 C 3—1 D 3 7在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-B ．32-C ．32D ．238在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b 2=,则角B 的值为 （ ） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π 9设A 是△ABC 中的最小角，且11cos +-=a a A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥3 B ．a ＞－1 C ．－1＜a ≤3 D ．a ＞010在△ABC 中，若三个内角A ，B ，C 成等差数列且A <B <C ，则cos cos A C 的取值范围是（ ）A ．11(,]24-B ．31[,]44-C ．11(,)24-D ．31(,)44-11在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b C ===︒ 则A ＝12在△ABC 中,若B=300，AB=23，AC=2，则△ABC 的面积S 是13△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos14在△ABC 中，已知AB=l ，∠C=50°，当∠B= 时，BC 的长取得最大值.三、解答题（15、16、17题每题16分，18题18分，共66分）15已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．16在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c .17在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC △，求a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积正余弦定理的应用参考答案15解：（I ）由题意得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，222cos 2AC BC AB C AC BC +-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==，60C =．16解：（1）sin tan cos C C C =∴=22sin cos 1C C += 解得1c o s 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．17解：（Ⅰ）由余弦定理得，224a b ab +-=，又1sin 2ab C =4ab =．（Ⅱ）已知条件化为2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =，b =．所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==。