2017版高中人教A版数学必修1课时作业13 Word版含解析

课时作业(十三) 单调性与奇偶性的综合应用一、选择题1．设f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且f (4)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (4)>f (3)C ．f (2)>f (0)D ．f (－1)<f (4)答案：D 解析：∵f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (4)>f (1)，∴ f (4)>f (－1)．2．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1，那么x <0时，f (x )的解析式为f (x )＝( )A ．x 2－|x |＋1B ．－x 2＋|x |＋1C ．－x 2－|x |－1D ．－x 2－|x |＋1答案：D 解析：设x <0，则－x >0，f (－x )＝x 2＋|x |－1，∵f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x 2＋|x |－1，∴f (x )＝－x 2－|x |＋1.3．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32与fa 2＋2a ＋52的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52答案：C 解析：a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52. 4．若p (x )，g (x )都是R 上的奇函数，f (x )＝ap (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f (x )在(－∞，0)上有( )A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3答案：C 解析：∵p (x )，g (x )都是R 上的奇函数，∴f (x )－2＝ap (x )＋bg (x )为奇函数．又f (x )在(0，＋∞)上有最大值5，∴f (x )－2在(0，＋∞)上有最大值3，∴f (x )－2在(－∞，0)上有最小值－3，∴f (x )在(－∞，0)上有最小值－1.5．偶函数的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D 解析：f (x )是偶函数有f (|x |)＝f (x )，所以f (x )>f (1)可转化为f (|x |)>f (1)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以|x |>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．6．偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( )A ．f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π) B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－1)>f (－π) C ．f (－π)>f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f (－1)>f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 答案：A 解析：∵y ＝f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，f (－π)＝f (π)．∵0<1<π3<π<4，y ＝f (x )在[0,4]上单调递减，∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (π)，∴f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π)． 7．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·[f (x 2)－f (x 1)]＞0，则当n ∈N *时，有( )A ．f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)B ．f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)C ．f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)D ．f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )答案：C 解析：由(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，得f (x )在x ∈(－∞，0]为增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )在x ∈[0，＋∞)为减函数．又f (－n )＝f (n )且0≤n －1＜n ＜n ＋1，∴f (n ＋1)＜f (n )＜f (n －1)，即f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)．二、填空题8．若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，且f (x )－g (x )＝x 2＋3x ＋2，则f (x )＋g (x )＝________.答案：－x 2＋3x －2解析：∵f (x )－g (x )＝x 2＋3x ＋2，∴f (－x )－g (－x )＝x 2－3x ＋2，又f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴－f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (x )＋g (x )＝－x 2＋3x －2.9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，g (x )，x <0为奇函数，则f (g (－1))＝________.答案：－15 解析：当x <0时，则－x >0，因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ，所以f (x )＝－x 2＋2x ，即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f (g (－1))＝f (－3)＝－9－6＝－15.10．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b )是偶函数，值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案：－2x 2＋4 解析：由于f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2，所以f (－x )＝bx 2－(ab ＋2a )x ＋2a 2，∴ab ＋2a ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.又f (x )最大值4，所以b ＝－2，且f (0)＝2a 2＝4，∴a ＝±2，∴f (x )＝－2x 2＋4.11．老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质：①此函数为偶函数；②定义域为{x ∈R |x ≠0}；③在(0，＋∞)上为增函数．老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个(或几个)这样的函数______________________．答案：y ＝x 2或y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >0，1＋x ，x <0或y ＝－2x (答案不唯一) 解析：本题为开放型题目，答案不唯一，可结合条件来找．如：y ＝x 2或y ＝⎩⎨⎧ 1－x ，x >0，1＋x ，x <0或y ＝－2x .三、解答题12．已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明过程． 解：F (x )在(0，＋∞)上为减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1< x 2，∴F (x 2)－F (x 1)＝1f (x 2)－1f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 2)f (x 1). ∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且x 1< x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.而f (x 1)＜0，f (x 2)＜0，∴f (x 1)f (x 2)＞0.∴F (x 2)－F (x 1)＜0，即F (x 1)>F (x 2)，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．13．若偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (a ＋1)＞f (3－a )，求a 的取值范围．解：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．∵f (a ＋1)＞f (3－a )，∴f (|a ＋1|)＞f (|3－a |)，∴|a ＋1|＜|3－a |，∴a 2＋2a ＋1＜9－6a ＋a 2，∴a ＜1，∴a 的取值范围为(－∞，1)．14．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，f (x )＝x ＋b ，且f (x )的图象经过点(－2,0)．又在y ＝f (x )的图象中，有一部分是顶点为(0,2)，且过(－1,1)的一段抛物线．(1)试求出f (x )的表达式；(2)求出f (x )的值域．解：(1)∵f (x )的图象经过点(－2,0)，∴0＝－2＋b ，即b ＝2.∴当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2.又∵f (x )为偶函数，∴当x ≥1时，f (x )＝f (－x )＝－x ＋2.当－1<x <1时，依题意设f (x )＝ax 2＋2，则1＝a (－1)2＋2，∴a ＝－1，∴当－1<x <1时，f (x )＝－x 2＋2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－1，－x 2＋2，－1<x <1，－x ＋2，x ≥1.(2)当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2∈(－∞，1]；当－1<x <1时，f (x )＝－x 2＋2∈(1,2]；当x ≥1时，f (x )＝－x ＋2∈(－∞，1]．综上所述，f (x )的值域为(－∞，2]．尖子生题库15．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0.(1)求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，∴f (x )＝x 2＋2x ，∴m ＝2.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3. 故a 的取值范围是(1,3]．。