【附加15套高考模拟试卷】江苏省如东高级中学2020届高三第二次学情调研数学试题含答案
2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)数学(理)试题(学生版)
2019~2020学年度高三年级第一学期教学质量调研(二)数学(理科)试题一､填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合20{|}2A x x x ＝﹣＞，24{}1B ＝﹣，，，则A B I ＝_____． 2.若向量,a b r r 满足(3,3)a b +=rr ，2a b r r ==，则a r 与b r的夹角为_____．3.已知双曲线过点(1,2)，且渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的焦距为______．4.已知集合{|2,0,}2A y y cosx x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，集合0{}0|B y y a a ＝＜＜，＞，若y A Î是y B ∈的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为_____．5.已知直线:10l ax by +-=，若,1{}1a Î-，2,1}1,{b ?-，则l 不经过第二象限的概率为______．6.已知函数(),413,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，若()()16f f a =，则实数a = _____．7.设函数()f x sinx =，把()f x 的图象向左平移()0m m p <<个单位后，恰为函数()'y f x ＝的图象，则m 的值为_____．8.如图，已知点()()3,00,3A B -， ，P 是曲线29y x =-上一个动点，O 为坐标原点，则OP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是_____．9.设()f x 是周期为6的奇函数，当03x £＜时，()31f x log x ＝﹣，则()382f f ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭_____． 10.已知1tan 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______．11.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点12,,F F PQ 是椭圆C 的焦点2F 的一条弦，1PFQ V 的三边11,,PQ PF FQ 的长之比为2:3:4，则椭圆C 的离心率为_____．12.如图，曲线()()201f x x x ＃＝在点()()M t f t ，处的切线为l ，直线l 与x 轴和直线1x =分别交于点P 、Q ，点()1,0N ，则PQN V 的面积取值范围为_____．13.已知24,0,(),0,x t x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若函数()((1))g x f f x =-恰有3个不同的零点，则实数t 的取值范围是______．14.在ABC V 中，已知AD 为边BC 上的高，AE 为BAC ∠的平分线，4AB =，14425AD AE ⋅=u u u r u u u r ，487AB AE ⋅=u u u r u u u r ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r _____．二､解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()222b c a sinA bc +-=， 02A ＜π<．（1）求角A ；（2）若5a =，ABC V 的面积为32，求ABC V 的周长． 16.在平面直角坐标系xOy 中，()1,0A ，先将OA u u u r 绕原点O 逆时针方向旋转()0a a p ＜＜得到OB uuu r，再绕原点O 逆时针方向旋转()0b b p ＜＜得到OC u u u r，若(23OA OB u u u r u u u r +=．（1）求角α；（2）若()35sin αβ-=，求3cos πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭值．17.已知圆22:410()C x y x ay a R +-++=∈，过定点(0,1)P 作斜率为1-直线交圆C 于A B 、两点，P 为AB 的中点．（1）求实数a值；（2）从圆外一点M 向圆C 引一条切线，切点为N ，且有2MN MP =，求MN 的最小值．18.某种水箱用的“浮球”是由两个相同半球和一个圆柱筒组成，它的轴截面如图所示，已知半球的直径是12cm ，圆柱筒高6cm ，为增强该“浮球”的牢固性，给“浮球”内置一“双蝶形”防压卡，防压卡由金属材料杆AC ,BD ,1O C ,1O D ,2O A ,2O B 及12O O 焊接而成，其中1O ,2O 分别是圆柱上下底面的圆心，A ，B ，C ，D 均在“浮球”的内壁上，AC ，BD 通过“浮球”中心O ，且AD 、BC 均与圆柱的底面垂直．（1）设1O C 与圆柱底面所成的角为θ，试用θ表示出防压卡中四边形12O O BC 的面积()f q ，并写出θ的取值范围；（2）研究表明，四边形12O O BC 的面积越大，“浮球”防压性越强，求四边形12O O BC 面积取最大值时，点C 到圆柱上底面的距离d ．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，椭圆C 上一点P 到12,F F 的距离之和为4．过点2F 作直线2F P 的垂线2F Q 交直线4x =于点Q ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试判断直线PQ 与椭圆C 公共点的个数，并说明理由；（3）直线PQ 与直线1x =交于点N ，求22F NF Q值．20.已知函数3()3()f x x x a a R =+-∈ ．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调增区间；（2）当3a >时，求函数()f x 在区间[]2,1﹣上的最大值； （3）对任意[]21x ∈﹣，，恒有()2f x a >+，求实数a 的取值范围．。
2019-2020学年江苏省如东高级中学高二下学期期中学情检测数学试题 word版
江苏省如东高级中学2019-2020学年高二下学期期中学情检测数学试题一、单选题：本大题共10小题.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复平面内表示复数()2z i i =-+的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设函数()3f x x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为（ ） A.2y x =-B.y x =-C.2y x =D.y x =3.设121iz i i-=++，则z =（ ）A. 0B.12C.14.已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，若()20.023P ξ>=，则()22P ξ-≤≤=（ ）A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9775.()412x +展开式中含2x 的项为第______项（ ） A.1B.2C.3D.46.某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中至少各选一门，则不同的选法共有（ ） A.30种B.35种C.42种D.60种7.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.110B.15C.310D.258.若2x =-是函数()()211x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1-B.32e --C.35e -D.19.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A.100B.200C.300D.40010.已知0m >，且202015m +恰能被14整除，则m 的取值可以是（ ）A.1-B.1C.7D.13二、多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 11.下列说法中正确的有（ ）A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；B.设有一个线性回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位；C.设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越弱；D.在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，在22.706K ≥的前提下，2K 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大.12.设函数()ln f x x x =，()()f xg x x'=，则下列说法正确的有（ ） A.不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；B.函数()g x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减；C.当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，总有()()f x g x <恒成立；D.若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数()0,1a ∈.三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13.()101x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为______.14.i 为虚数单位，则复数201111i i +⎛⎫⎪-⎝⎭的虚部为______.15.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有______种. 16.定义在R 上的函数()f x 满足：()()22f x f x x -+=，且当0x <时，()2f x x '<，则不等式()()424f x f x x +≥-+的解集为______.四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.若复数()()2262z m m m m i =+-+--，当实数m 为何值时 （1）z 是实数； （2）z 是纯虚数.18.已知二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数和为256.（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项.19.某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A 类学生，已知体育健康A 类学生中有10名女生.（1）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为达到体育健康A 类学生与性别有关？非体育健康A 类学生体育健康A 类学生合计 男生 女生 合计（2）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，若从体育健康A +类学生中任选取2人，求至少有1名女生的概率.()20P K k ≥0.05 0.010 0.005 0k3.8416.6357.879附：22()()()()()n ad bc K a c b d c d a b -=++++20.已知函数()(222f x x ax ax =++（1）当1a =-时，求()f x 的单调递增区间；（2）当205a -<<-时，()f x 在区间[]1,4上的最小值为8，求a 的值.21.已知函数()()x f x e x a a R =--∈. （1）当0a =时，求证：()f x x >； （2）讨论函数()f x 零点的个数. 22.已知函数()3213332a f x ax b x x -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，其中 0a >，b ∈R . （1）当3b =-时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当3a =，且0b <时，（i ）若()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，求证：()11f x <；（ii ）若对任意的[]0,x t ∈，都有()116f x -≤≤成立，求正实数t 的最大值.2019〜2020学年度第二学期期中学情检测高二数学参考答案一、选择题1. C ；2. D ；3. C ；4. C ；5. C ；6. A ；7. D ；8. A ；9. B ；10. D ； 二、多选题 11.ACD ； 12. AC. 三、填空题13. 0；14.1-；15. 36；16.(],1-∞ 四、解答题17.解：（1）当z 是实数时，220m m --=，解得2m =或1m =-， 所以，所求的m 值为2或1-；（2）当z 是纯虚数时，222060m m m m ⎧--≠⎨+-=⎩，解得3m =-，所以，所求的m 值为3-.18.解：（1）012256nn n n n C C C C +++⋯+=，∴2256n=，解得8n =.（2）该二项展开式中的第1r +项为8188184C C 3rrrr rr T x x -+-⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令8403r-=，得2r =，此时，常数项为23828T C ==. 19.解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A 类学生有25人，从而22⨯列联表如下：由22⨯列联表中数据代入公式计算，得：()22210030104515()100 3.030 3.841()()()()7525455533n ad bc K a c b d c d a b ⨯⨯-⨯-===≈<++++⨯⨯⨯所以没有95%的把握认为达到体育健康A 类学生与性别有关.（2）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记1a ，2a ，3a 表示男生，1b ，2b 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为()()()(){()()()()()()}12132211122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b Ω=.Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的.用B 表示“任选2中至少有1名是女生”这一事件， 则()()()()()()(){}11122122313212,,,,,,,,,,,,,B a b a b a b a b a b a b b b =共计7种，所以7()10P B =. 答：至少有1名女生的概率为710.解：（1）当1a =-时，()(221f x x x =-+，则()f x =，由()0f x >得()f x 的单调递增区间为10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞.（2）()5x a x a f x ++=()0f x =得5ax =-或x a =-， 因为205a -<<-，所以520a <-<，145a <-<，所以5a x =-，()f x 在区间[]1,4上的最小值可能在1x =或4x =上取得，当()21(1)8f a =+=，得1a =±，不符合205a -<<-， 当()242(4)8f a =+=，得6a =-或2a =-， 因为205a -<<-，所以6a =-，此时()2144648f a a =++=>，6a =-符合题意， 综上，6a =-.21.（1）证明：当0a =时，()x f x e x =-.令()()2x x g x f x x e x x e x =-=--=-， 则()2x g x e '=-，当()0g x '=时，ln 2x =；当ln 2x <时，()0g x '<，ln 2x >时，()0g x '>， 所以()g x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 所以ln 2x =是()g x 的极小值点，也是最小值点， 即()()ln 22min ln 22ln 22ln 02eg x g e==-=>， 故当0a =时，()f x x >成立.（2）解：()1x f x e '=-，由()0f x '=，得0x =.当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即()()min 01f x f a ==-. 当10a ->，即1a <时，()f x 没有零点； 当10a -=，即1a =时，()f x 只有一个零点；当10a -<，即1a >时，因为()()0a a f a e a a e ---=---=>，所以()f x 在(),0a -上有一个零点，即()f x 在(),0-∞上只有一个零点；由（1），得2xe x >，令x a =，则得2ae a >，所以()20a af a e a a e a =--=->，于是()f x 在()0,a 上有一个零点，即()f x 在()0,+∞上只有一个零点， 因此，当1a >时，()f x 有两个零点. 综上，当1a <时，()f x 没有零点； 当1a =时，()f x 只有一个零点； 当1a >时，()f x 有两个零点. 22.解：（1）()3213332a f x ax b x x -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，()()()()23313f x ax a x x ax '=-++=--. 令()0f x '=，得11x =，23x a=. ①当31a=，即3a =时，()0f x '≥， ()f x 的递增区间为(),-∞+∞，无递减区间；②当31a>，即03a <<时， ()f x 的递增区间为(),1-∞，3,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，递减区间为31,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当31a <，即3a >时，()f x 的递增区间为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞，递减区间为3,1a ⎛⎫⎪⎝⎭.（2）（i ）证明：()233f x x bx x =++，()2323f x x bx '=++. 由已知1x ，2x 是方程()0f x '=，即23230x bx ++=的两实根，故24360b ∆=->，又0b <，所以3b <-.由韦达定理，12203b x x +=->，121x x =，12x x <，所以101x <<，11312b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ()222111*********3222f x x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭.设()()3130122g x x x x =-+<<，则()()()223331001222g x x x x '=-+=-><< 所以()g x 递增，故()()11g x g <=，即()11f x <. （ii ）解：当0x =时，不等式恒成立； 当0x t <≤时，不等式()116f x -≤≤化为2213163x b x x x x x---≤≤--. 设()()21630g x x x x x =-->，()()2130h x x x x x=---> 因为()()3222323332100x x g x x x x x-+=--+=-<>， 所以()g x 在()0,+∞上单调递减.因为()323223(1)(2)1x x h x x x x+-'=-+=-， 所以()h x 在(]0,2上单调递增，在[)2,+∞上单调递减， 故()()max 1524h x h ==-.又()1544g =-，所以max 4t =，此时154b =-.。
江苏省如东高级中学2020-2021学年高一下学期阶段测试(二)数学试题 含答案
如东高级中学2020-2021学年第二学期阶段测试（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}ln 1B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.命题p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是命题q ：“0a b ⋅>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3.若复数z 满足|z －i|≤2，则z z 的最大值为 ( )A.1 B ．2 C ．4 D ．94.某年级有100名学生到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，且每个人只到一个社区，经统计，并将到各社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（ ） A ．10B ．15C ．20D ．255.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3vN v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为A ．135B ．149C ．165D ．195 6．已知函数()()sin 2(||)2f x x πϕϕ+<=的图象的一条对称轴为6x π=,则下列结论中正确的是（）.A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 B ．()f x 是最小正周期为π的奇函数C ．()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．先将函数2sin 2y x =图象上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象再向左平移6π个单位长度，即可得到函数()f x 的图象7.圆台上底半径为5cm ，下底半径为10cm ，母线20AB cm =，A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短时长为（ ）A ．10cmB ．25cmC ．50cmD ．352πcm 8.已知函数()2ln ,0,1,0,x x f x x x ⎧>=⎨-+≤⎩若方程()f x a =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，123x x 的取值范围是 （ ）.A ．1[0,]2B ．[C ．1[,0]2-D ．1[,0)2- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案
江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省如东高级中学2019-2020学年高一下学期第二次阶段测试数学试题
江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试高一数学试题考试时间：120分钟 2020.06一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系中，点(2P -，1，4)关于xOy 平面对称点的坐标是 ( ) A ．(2-，1，4)-B ．(2-，1-，4)-C ．(2，1-，4)D ．(2，1，4)-2．圆222210x y x y +--+=的点到直线4x y -=距离的最小值是 ( )A ．1+B ．2C ．1D ．1+3．已知三棱柱111ABC A B C -的体积为120，点P ，Q 分别在侧棱1AA ，1CC 上，且1PA QC =，则三棱锥1B BPQ -的体积为 () A ．20 B ．30 C ．40 D ．604．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得数据如表：根据上表可得回归方程ˆ811y x =+，则实数a 的值为 ( )A ．34B ．35C ．36D ．375．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 ( )A B C D6．在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点,6AD =，4BC =，EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为 ( ) A ．34B ．56C ．910D ．11127．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 ( )A ．23 B ．13C ．12D ．568．在平面直角坐标系中，已知圆22:4O x y +=，过点(1,1)P 的直线l 交圆O 于,A B 两点，且2AP PB =，则满足上述条件的所有直线斜率之和为 ( )A ．83-B ． 83C ． 38-D ． 389．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos 3cos 5cos a b cA B C==，则B ∠的大小是 ( ) A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 10．如图所示，三棱锥S ABC -中，ABC ∆与SBC ∆都是边长为1的正三角形，32SA =，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( ) A ．73πB ．133π C ．43πD ．3π二．多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分，选对得5分，漏选得3分，选错得0分） 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论正确的是 ( ) A ．AC ⊥平面BEFB ．AE ，BF 始终在同一个平面内C ．//EF 平面ABCDD ．三棱锥A BEF -的体积为定值12．在三角形ABC 中，下列命题正确的有( ) A ．若30A =︒，4b =，5a =，则三角形ABC 有两解B ．若0tan tan 1A B <<，则ABC ∆一定是钝角三角形C ．若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆一定是等边三角形D ．若cos cos a b c B c A -=-，则ABC ∆的形状是等腰或直角三角形 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若一组数据3，x ，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是 ． 14．过点(1,1)P 作圆22210x y x ++-=的切线，切点为A ，则||PA = ．15．在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点， 若记,,AB a AD b AC c ===，则AG = ．16．从正方体1111ABCD A B C D -上截下一个角，得三棱锥A EFG -．如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1，2，4，则该三棱锥的底面EFG 的面积是 ．四．解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =且2cosB(a cosC+ccosA)=b ． （1）求ABC ∆的外接圆直径； （2）求ac +的取值范围． 18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线340x y --=相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线:3l y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月(510-月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示． （1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润； （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对A ，B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表)．若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？使用寿命 材料类型1个月 2个月 3个月 4个月 总计A 20 35 35 10 100 B10304020100参考数据：196i i y ==∑，1371i i i x y ==∑．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1122211()()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x y nxyb xx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆay bx =-． 20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是线段AB 上的动点． （1）线段AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1B CD ？若存在，请写出ADDB值，并证明此时，1//AC 平面1B CD ；若不存在，请说明理由； （2）已知平面11ABB A ⊥平面1CDB ，求证：CD AB ⊥． 21．（本小题满分12分）为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛（满分150分）．已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组[90，100)，第二组[100，110)，第三组[110，120)，第四组[120，130)，第五组[130，140)，第六组[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值并估计这800名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中选取2名学生参与督查工作，其选取办法是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生．记这2名学生的竞赛成绩分别为x 、y ．求事件||20x y -的概率．22．（本小题满分12分）平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，2BD =，沿BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥C-OAD 的体积最大？最大值为多少？ （2）当AD BC ⊥时，求α的大小．江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试高一数学参考答案1．A ． 2．C ． 3．C ． 4．C ． 5．A ． 6．D ． 7．A ． 8．A ． 9．D ． 10．A ． 11．ACD ． 12．BCD ． 13．2． 1415．111244a b c =++ 1617．解：（1）因为2cos (cos cos )B a C c A b +=， 由正弦定理可得，2cos (sin cos sin cos )sin B A C C A B +=， 即2cos sin()sin B A C B +=，所以2cos sin sin B B B =， 因sin 0B ≠，故1cos 2B =且(0,)B π∈，故3B π=， ……3分由正弦定理21sin bR B ===，即外接圆直径1， ……5分 （2）由正弦定理可得，2sin sin a cR A C==，1sin sin sin sin()sin sin 32a c A C A A A A A π∴+=+=++=+3sin 2A A =)6A π=+， 7分 由题意可得，022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解可得62A ππ<<，所以2(,)633A πππ+∈，sin()6A π∴+∈，∴3(2a c +∈． ……10分18．（1）设圆O 的半径长为r ,因为直线xy -4=0与圆O 相切,所以 r=2.所以圆O 的方程为 x 2+y 2=4. ……5分 （2）假设存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形,则OM 与AB 互相垂直且平分,所以原点O 到直线l :y =kx +3的距离d =12|OM|=1.=1,解得k 2=8,即k =±, 经验证满足条件.所以存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形，此时直线l 的斜率为±. ……12分 19．解：（1）由折线图可知统计数据(,)x y 共有6组， 即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)．计算可得1(123456) 3.56x =+++++=，1(111315162021)166y =+++++=，616222163716 3.516ˆ2916356i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ……2分ˆˆ162 3.59ay bx =-=-⨯=． ……4分 ∴月度利润x 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+， ……5分 当13x =时，ˆ213935y=⨯+=．故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元； ……6分（2）由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，A ∴型新材料对应产品的使用寿命的平均数为110.220.3530.3540.1 2.35x =⨯+⨯+⨯+⨯=；……9分B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， B ∴型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为210.120.330.440.2 2.7x =⨯+⨯+⨯+⨯=．12x x <，∴应该采购B 新型材料． ……12分20．（1）解：在线段AB 上存在点D ，当1ADDB=时，1//AC 平面1B CD ． 证明如下：连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点， 又当1ADDB=，即点D 是AB 的中点，由中位线定理得1//DE AC ， DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊂/平面1B CD ， 1//AC ∴平面1B CD ． ……6分（2）证明：过B 作1BP DB ⊥并交1DB 于点P ，又平面11ABB A ⊥平面1CDB ，BP ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面11CDB DB =，BP ∴⊥平面1CDB ，又CD ⊂平面1CDB ，CD BP ∴⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 1CD BB ∴⊥，又1BB ⊂平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，1BB BP B =，CD ∴⊥平面11ABB A ．又AB ⊂平面11ABB A ，CD AB ∴⊥． ……12分21．解：（1）由频率分布直方图可知(0.01020.0250.0150.005)101a ⨯++++⨯=，解得0.035a =． ……2分 这800名学生数学成绩的平均数为：950.010101050.010101150.025101250.035101350.015101450.00510120⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．……5分（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为A ，B ，则100A ，110B <， 第五组抽取3名学生，其成绩记为C ，D ，E ，则130C ，D ，140E <， 第六组抽取1名学生，其成绩记为F ，则140150F ， 现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)A F ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ， (,)B F ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F 共15个．其中事件||20x y -包含的基本事件为：(,)A B ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F 共7个，记“这2名学生的竞赛成绩分别为x 、y ，其中||20x y -”为事件M ， 则事件||20x y -的概率为7()15P M =．……12分22．(1) 当45α=︒时，三棱锥O ACD -的体积最大，最大值为2;(2) 60α=︒. 【解析】（1）由题意可得BD ⊥OD ，可得1.2AODSOD BD =，OC ⊥平面ABDO ，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；（2）由AD ⊥BO ，即可得出． 解：（1）由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影， ∵BD ⊥CD ，CO ⊥平面ABD ，∴BD ⊥OD ， ∴∠ODC=α，则OC=CDsin α，OD=CDcos α． ∴ -------3分==，当且仅当sin2α=1，即α=45°时取等号，∴当α=45°时，三棱锥O﹣ACD的体积最大，最大值为． --------6分（2）连接OB，分面面面面面9---,OCBDBOCOCBOCADBOCBCCOCBCCOBCADCOADABDADABDCO⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥，又因为BD⊥OD2,2ππ=∠+∠=∠+∠OBDABHABHDABBDORtABDRt∆∆∴相似于1,222,=∴=∴=ODODABBDBDOD中，的平面角，在为二面角）知由（ODCRtCBDAODC∆--∠121cos==∠CDODODC分12----3πα=∴。
江苏省如东高级中学2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．72．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．3D ．223．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-4．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-35．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，312b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ D ．{|1}x x >-8．当0a >时，函数()()2x f x x ax e =-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>11．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ） A ．35 B ．45 C ．1 D ．8512．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ）A ．3215B ．6415C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高三年级如东-如皋联合调研数学参考答案及评分标准
2020届高三年级第二学期阶段联合调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{}|0x x>2．—23．534．65．3106．2337．348．19．2310．111212．[－34，＋∞)13．[e2，4e]14．4333-二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）（1）因为12 BD AD c-=，所以1cos cos2a Bb A c-=，………………2分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin2A B B A C-=，所以sin2sin()C A B=-．………………6分（2）由（1）得，sin()2sin()A B A B+=-，所以sin cos cos sin2(sin cos cos sin)A B A B A B A B+=-，化简，得3cos sin sin cosA B A B=．………………8分又3cos5A=，所以4sin5A=，所以4tan3A=，4tan9B=，………………10分所以44tan tan4839tan tan()1tan tan4411139A BC A B A B++=-+=-=-=---⋅．………………14分16．（本小题满分14分）（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．因为F为C1B的中点，所以FG＝∥12C1C．………………2分在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝∥C1C，且E为A1A的中点，所以FG＝∥EA．所以四边形AEFG是平行四边形．所以EF∥AG．………………4分因为EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．………………6分（2）因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以A1A⊥BD．………………8分（第16题）ABC DEC1A1B1FG因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ．………………10分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．………………12分因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ．………………14分17．（本小题满分14分）（1）由题意，得PQ ＝50－50cos θ．从而，当θ＝2π3时，PQ ＝50－50cos 2π3＝75．即点P 距地面的高度为75m ．………………4分（2）方法一：由题意，得AQ ＝50sin θ，从而MQ ＝60－50sin θ，NQ ＝300－50sin θ．又PQ ＝50－50cos θ，所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ5－5cos θ．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ )＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ ＝6－sin θ1－cos θ－6－5sin θ5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ×6－5sin θ5－5cos θ＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分令g (θ)＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ，θ∈(0，π)，则g '(θ)＝12×18(sin θ＋cos θ－1)(23－18sin θ－5cos θ)2，θ∈(0，π)．………………10分由g '(θ)＝0，得sin θ＋cos θ－1＝0，解得θ＝π2．当θ∈(0，π2)时，g '(θ)＞0，g (θ)为增函数；当θ∈(π2，π)时，g '(θ)＜0，g (θ)为减函数，所以，当θ＝π2时，g (θ)有极大值，也为最大值．………………12分因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜π2，所以0＜∠MPN ＜π2，从而当g (θ)＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值．即当θ＝π2时，∠MPN 取得最大值．………………14分方法二：以点A 为坐标原点，A M 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M (60，0)，N (300，0)．设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02＋y 02－100y 0＝0．从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ )＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ ＝300－x 0y 0－60－x 0y 01＋300－x 0y 0×60－x 0y 0＝24y 010y 0－36x 0＋1800．………………6分由题意知，x 0＝50sin θ，y 0＝50－50cos θ，所以tan ∠MPN ＝＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分（下同方法一）18．（本小题满分16分）（1）由题意知：222222121321b a a b ⎧⎛⎫⎪-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，………………2分所以椭圆C 的方程为2214x y +=．………………4分（2）设直线PQ的方程为(2y x =-，与椭圆联立得2320x -+=，所以12433x x +=，1223x x =，则122PQ x =-==，又点A 到直线PQ 的距离为3233d +=，………………7分所以三角形APQ的面积为113322233PQ d ++⋅⋅=⋅⋅=………………9分（3）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为：()2y k x =+，联立方程组()42142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()222214161640k x k x k +++-=，由22164214B k x k --=+，得222814B k x k -=+，………………12分将0x =代入()2y k x =+中，得到2C y k =，得2k =，解得218k =．………………14分所以直线l 的斜率为24±．………………16分19．（本小题满分16分）（1）令()ln 1g x x x =-+，所以()111xg x x x-'=-=．………………1分当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减；所以()()max 10g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．………………3分（2）因为111222ln 1ln 1a x x x a x x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，所以211221ln ln 1x x a x x x x ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭，………………5分要证121a x x x <-，即证211212121ln ln 1x x x x x x x x x ⎛⎫-⋅-<- ⎪-⎝⎭，即证2112ln 1x x x x ⎛⎫>-⎪⎝⎭，………………7分令211x t x =>，1ln 1t t>-，由（1）知ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等，所以11ln 1t t<-，即1ln 1t t>-，所以原不等式成立．………………9分（3）不等式()()221ln 1x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立．因为()()()()22211ln 11ln 1k x x x k x x x x -⎡⎤---=--⎢⎥+⎣⎦．设()()1ln 1k x h x x x -=-+，则()()()()2222111211x k x k h x x x x x +-+'=-=++．………………10分记()()2211x x k x ϕ=+-+，()()241442k k k ∆=--=-，①当0∆≤，即02k <≤时，()0h x '≥恒成立，故()h x 单调递增．于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故()()221ln 1x x k x ->-，当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故()()221ln 1x x k x ->-，又当1x =时，()()221ln 1x x k x -=-．因此当02k <≤时，不等式恒成立．………………13分②当0∆>，即2k >时，设()22110x k x +-+=的两个不等实数根分别为3x ，4x （34x x <）．又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<．故当()1,1x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在()1,1k -在单调递减；当()1,1x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是()()210x h x -<，即()()221ln 1x x k x -<-，舍去；………………15分综上，k 的取值范围是02k <≤．………………16分20．（本小题满分16分）（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d3，解得，a d ＝34．………………3分②由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n a ＋(n ＋1)d ，2－n －2ad ≤0，n 2＋n －2a d＞0，………………5分解得－1＋1＋8ad 2＜n ≤1＋1＋8a d 2，由于1＋1＋8a d 2－－1＋1＋8a d 2＝1且－1＋1＋8a d 2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2．………………8分（2）因为b t b r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．………………9分设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．………………12分所以当r ≧2时，t ＞r ≧2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13．若t ≧3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋856．………………16分2020届高三年级第二学期阶段联合调研数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换∵1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴111011=22020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．………………4分在直线l '上任取一点(,)P x y ，它是由l 上的点000(,)P x y 经矩阵AB 所对应的变换所得，∵点000(,)P x y 在直线:20l x y +-=上，∴0020x y +-=．①∴00x x AB y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即0011202x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴000122x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，即001412x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．②将②代入①得112042x y y -+-=，即480x y +-=，∴直线l '的方程为480x y +-=．………………10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程因为点M的极坐标为4π，所以点M 的直角坐标为(1,1)，………………2分因为圆C的极坐标方程为04ρθπ++=，所以将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y +++=，………………4分当直线l 的斜率不存在时，直线l 与圆C 没有交点，………………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，则圆心(1,1)C --到直线l的距离为d =因为直线l 被圆C 截得的弦长为2305，所以2230()25d +=，即245=，解得12k =或2k =，所以直线l 的方程为210x y -+=或210x y --=．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）（1）因为点A (1，a )(a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p 2＋1＝2，所以p ＝2．………………2分（2）由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．（3）因为点A (1，a )(a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2)(m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．－1＝m (y －2)，2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，………………6分即(y －2)(y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2．因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2，………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝|4m ×(－4m)|＝16．………………10分23．（本小题满分10分）（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，于是所求元素之和为23(1234)30C +++⨯=．………………2分（2）集合{}1,2,3,,M n = 的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．………………5分31n C i i m =∴∑312n C m m m =+++ 222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++ 22231244(1)()n n n C C C C --=+++++ 3(1)nn C ==+ 3131n C i i nm n C =∴=+∑………………8分32018132018201812019C i i m C =∴=+=∑………………10分。
2020届高三年级第二学期阶段联合调研数学试题(三稿)
S ←0I ←0While S ≤10 S ←S ＋I （第4题）江苏省如皋中学2020届高三年级第二学期阶段考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则AB = ▲ ．2．已知i 为虚数单位，若复数3i()12i a z a -=∈+R 为纯虚数，则a = ▲ ． 3．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ ．4．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．5．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22213x y b-=的两条渐近线与直线3x =围成正三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．7．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≤0f (x －2)，x ＞0，则f (log 23)＝ ▲ ．8．若函数()sin 3f x x x ωω=（x ∈R ，0ω>）满足()0f α=，()2f β=，且αβ-的最小值等于2π，则ω的值为 ▲ ． 9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC －A 1B 1C 1与四棱锥P －ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V2V 1＝ ▲ ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434322+1,2232S S a a a ==++，则1a = ▲ ．11．已知向量m ＝(a ，﹣1)，n ＝(2b ﹣2，3)(a ＞0，b ＞0)，若m ∥n ，则211a b ++的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．已知a ，b ∥R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∥[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为 ▲ ． 14．已知不等式()()322244≤+++--x xxx b a 对任意R x ∈恒成立，则b a +的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在∥ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ∥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ∥平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ ∥(0，π)．（1）当θ ＝2π3时，求点P 距地面的高度PQ ；（2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．ABCDEC 1A 1B 1F（第16题）AMNBO PQθ18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且点12⎫⎪⎭在椭圆C 上．椭圆C 的左顶点为A ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，求三角形APQ 的面积；（3）过点A 作直线与椭圆C 交于另一点B ．若直线l 交y 轴于点C ，且OC BC =，求直线l 的斜率．19．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；（2）设函数()f x 的图象与函数1ay x x=+-的图象交于()11,A x y ，()22,B x y （12x x <）两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x -≥-对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ∥当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad 的值；∥求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∥N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q 的值．数 学 附 加 题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线变为直线l '，求直线l '的方程．1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦AB :20l x y +-=B ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为(2,)4π，圆C 的极坐标方程为22sin()04ρθπ++=．过点M 的直线l 被圆C 截得的弦长为2305，求直线l 的直角坐标方程．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2．（1）求p 的值；（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ∥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．· F（第22题图）xyO A MN23．（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）当4n =时，求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)n i C =中最小元素与最大元素之和，求32018132018C ii mC=∑的值．江苏省如皋中学2020届高三年级第二学期阶段考试数学参考答案及评分标准1．{}|0x x > 2．—2 3．534．6 5．31067．34 8．1 9．23 10．1 112 12．[－34，＋∞) 13．[e 2，4e] 14．4333-15．（本小题满分14分） （1）因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a B b A c -=，………………2分 由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-．………………6分 （2）由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-，所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =．………………8分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，………………10分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅．………………14分16．（本小题满分14分）（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．………………2分 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．………………4分 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC ．………………6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ∥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ∥BD ． ………………8分因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ∥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ∥平面A 1ACC 1． 因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ∥C 1E ．………………10分（第16题）ABCD EC 1A 1B 1FG根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∥C 1EB ＝90°，即C 1E ∥EB ．………………12分 因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ， 所以C 1E ∥平面BDE ．………………14分 17．（本小题满分14分）（1）由题意，得PQ ＝50－50cos θ ．从而，当θ ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π3＝75．即点P 距地面的高度为75m ．………………4分（2）方法一：由题意，得AQ ＝50sin θ ，从而MQ ＝60－50sin θ ，NQ ＝300－50sin θ ．又PQ ＝50－50cos θ ，所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ5－5cos θ ．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ ) ＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ＝6－sin θ1－cos θ －6－5sin θ5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ ×6－5sin θ5－5cos θ＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分 令g (θ )＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ，θ ∥(0，π)，则g '(θ)＝12×18(sin θ＋cos θ－1)(23－18sin θ－5cos θ)2 ，θ ∥(0，π)．………………10分由g '(θ)＝0，得sin θ ＋cos θ －1＝0，解得θ ＝ π2．当θ ∥(0，π2)时，g '(θ )＞0，g (θ )为增函数；当θ ∥(π2，π)时，g '(θ )＜0，g (θ )为减函数，所以，当θ ＝π2时，g (θ )有极大值，也为最大值．………………12分因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜π2，所以0＜∠MPN ＜π2，从而当g (θ )＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值． 即当θ ＝π2时，∠MPN 取得最大值．………………14分方法二：以点A 为坐标原点，A M 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M (60，0)，N (300，0)． 设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02＋y 02－100y 0＝0． 从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0 ．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ ) ＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ＝300－x 0y 0 － 60－x 0y 01＋300－x 0y 0 ×60－x 0y 0＝24y 010y 0－36x 0＋1800．………………6分由题意知，x 0＝50sin θ ，y 0＝50－50cos θ ，所以tan ∠MPN ＝＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分（下同方法一）18．（本小题满分16分）（1）由题意知：22222212121b a a b ⎧⎛⎪-=⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，………………2分 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．………………4分 （2）设直线PQ的方程为y x =-，与椭圆联立得2320x -+=，所以123x x +=，1223x x =，则122PQ x =-==， 又点A 到直线PQ的距离为d =7分 所以三角形APQ的面积为11222PQ d ⋅⋅=⋅=9分 （3）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为：()2y k x =+，联立方程组()42142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()222214161640k x k x k +++-=，由22164214B k x k --=+，得222814B k x k-=+，………………12分将0x =代入()2y k x =+中，得到2C y k =，得2k =，解得218k =．………………14分 所以直线l的斜率为16分19．（本小题满分16分）（1）令()ln 1g x x x =-+，所以()111xg x x x-'=-=．………………1分 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减；所以()()max 10g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．………………3分（2）因为111222ln 1ln 1a x x x a x x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，所以211221ln ln 1x x a x x x x ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭，………………5分要证121a x x x <-，即证211212121ln ln 1x x x x x x x x x ⎛⎫-⋅-<- ⎪-⎝⎭，即证2112ln 1x x x x ⎛⎫>-⎪⎝⎭，………………7分令211x t x =>，1ln 1t t>-，由（1）知ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等，所以11ln 1t t<-，即1ln 1t t>-，所以原不等式成立．………………9分（3）不等式()()221ln 1x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立．因为()()()()22211ln 11ln 1k x x x k x x x x -⎡⎤---=--⎢⎥+⎣⎦． 设()()1ln 1k x h x x x -=-+， 则()()()()2222111211x k x k h x x x x x +-+'=-=++．………………10分 记()()2211x x k x ϕ=+-+，()()241442k k k ∆=--=-， ①当0∆≤，即02k <≤时，()0h x '≥恒成立，故()h x 单调递增．于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故()()221ln 1x x k x ->-，当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故()()221ln 1x x k x ->-，又当1x =时，()()221ln 1x x k x -=-．因此当02k <≤时，不等式恒成立．………………13分 ②当0∆>，即2k >时，设()22110x k x +-+=的两个不等实数根分别为3x ，4x （34x x <）． 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<．故当()1,1x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在()1,1k -在单调递减；当()1,1x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是()()210x h x -<，即()()221ln 1x x k x -<-，舍去；………………15分 综上，k 的取值范围是02k <≤．………………16分 20．（本小题满分16分）（1）∥因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d3，解得，a d ＝34．………………3分∥由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n ＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2ad≤0，n 2＋n －2a d＞0，………………5分解得－1＋1＋8a d 2＜n ≤1＋1＋8a d 2，由于1＋1＋8ad 2－－1＋1＋8a d2＝1且－1＋1＋8a d 2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2．………………8分（2）因为b tb r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．………………9分设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．………………12分 所以当r ≧2时，t ＞r ≧2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13．若t ≧3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115 ＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋ 856．………………16分数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换∥， ∥．………………4分 在直线上任取一点，它是由上的点经矩阵所对应的变换所得， ∥点在直线上， ∥．∥∥，即， ∥，即．∥ 将∥代入∥得，即， ∥直线的方程为．………………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程因为点M的极坐标为)4π，1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111011=22020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦l '(,)P x y l 000(,)P x y AB 000(,)P x y :20l x y +-=0020x y +-=00x x AB y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0011202x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦000122x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩001412x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112042x y y -+-=480x y +-=l '480x y +-=所以点M 的直角坐标为(1,1)，………………2分 因为圆C的极坐标方程为)04ρθπ++=，所以将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y +++=，………………4分 当直线l 的斜率不存在时，直线l 与圆C 没有交点，………………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-， 则圆心(1,1)C --到直线l的距离为d =因为直线l 被圆C所以222d +=，即245=， 解得12k =或2k =， 所以直线l 的方程为210x y -+=或210x y --=．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2．………………2分（2）由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．（3）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，………………6分 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2．因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m －2，………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16．………………10分23．（本小题满分10分）（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，于是所求元素之和为23(1234)30C +++⨯=．………………2分（2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．………………5分31nC i i m =∴∑312nC m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++22231233(1)()n n n C C C C --=+++++22231244(1)()n n n C C C C --=+++++3(1)n n C ==+3131nC ii nmn C =∴=+∑………………8分32018132018201812019C ii mC=∴=+=∑………………10分。
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B．当 时，点 的轨迹是一条直线
C．当 时，点 的轨迹是椭圆
D．当 时，点 的轨迹是双曲线抛物线
5．一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是（）
A． B． C． D．
6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的体积为
由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：
（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到关于的线性回归方程 中的 ，求 关于 的回归方程；
（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数 为何值时，单位面积的总产量 的预报值最大？（计算结果精确到 ）．
①若 ，则甲有必赢的策略；②若 ，则乙有必赢的策略；
③若 ，则甲有必赢的策略；④若 ，则乙有必赢的策略.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数 （ 为常数）.当 时，求 的单调区间；若函数 ， 的图象与 轴无交点，求实数 的最小值.
18．（12分）已知正项数列 的前 项和 满足 ， .若数列 为等比数列，求数列 的公比 的值.若 ， ，求数列 的通项公式.
19．（12分）已知函数 ， .求 的单调递增区间；设 为锐角三角形，角 所对边 ，角 所对边 ，若 ，求 的面积.
20．（12分）为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数为 与每棵作物的产量 之间的关系进行了研究，收集了 块试验田的数据，得到下表：
试验田编号（棵/）Fra bibliotek（斤/棵）
技术人员选择模型 作为 与 的回归方程类型，令 ， ，相关统计量的值如下表：
A． B．
C． D．4
7．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， 过 的直线 交双曲线左支于 ， 两点，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
8．若关于 的方程 在区间 上仅有一个实根，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
9．已知 ， , 为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）
附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ． ．
21．（12分）在平面直角坐标系 中，已知 分别为椭圆 的左、右焦点，且椭圆经过点 和点 ，其中 为椭圆的离心率．
求椭圆的方程；过点 的直线 椭圆于另一点 ，点 在直线 上，且 ．若 ，求直线 的斜率．
22．（10分）如图所示的几何体中， 为三棱柱，且 平面 ，四边形 为平行四边形， ， ．
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ， ，则
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．240B．220
C．200D．260
11．定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是()
A． B．
C． D．
12．已知 是定义在 上的函数，且对任意的 都有 ， ，若角 满足不等式 ，则 的取值范围是（）
【详解】
解：（1）依题意可得 ， ，
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ， ，则 _________．
14．已知 ， ，且 ，则向量 在向量 方向上的投影为______．
15．曲线 在点 处的切线的斜率为__________．
16．现有 个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是_____________.(填写序号)
13．45.
14．
15．4
16．③
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） ．
【解析】
分析：（1）先求导 ，再利用导数求函数的单调区间.(2)先转化成对任意的 ， 成立，再转化成 时， ，再求 的最大值.
详解：（1） 时， ， ，
由 得 ； 得 .
江苏省如东高级中学2020届高三第二次学情调研数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正六边形 中， 是线段 的中点，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
3．下列关于命题的说法错误的是（）
若 ，求证： 平面 ；若 ， ，二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的体积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
2．A
3．D
4．B
5．D
6．A
7．B
8．C
9．D
10．A
11．C
12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
B．已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，则命题“若 ，则 在区间 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
C．命题“ ,使得 ”的否定是：“ ，均有 ”
D．“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题
4．如图， 是平面 的斜线段， 为斜足，点 满足 ，且在平面 内运动，则（）
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化成 时， ，其二是利用二次求导求 的最大值.
18．(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）令 代入 ，利用等比数列通项公式进行化简，求得 的值.（2）利用 ，化简已知条件，得 ，利用凑配法证得 是从第二项起的等比数列，由此求得 的通项公式.
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 时， ，同时 ，
因此 时， ，故要使函数 图象与 轴在 上无交点，
只有对任意的 ， 成立，
即 时， .令 ， ，
则 ，再令 ， ，
，于是在 上 为减函数，
故 ，∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上为增函数，∴ 在 上恒成立，
又 ，故要使 恒成立，只要 ，
所以实数 的最小值为 .