密码学的数学基础
信息安全导论5密码学数学基础
任何一个不等于0的正整数a都可以写成唯一的表达
式
a
P P a1 a2 12
中αi>0整数。
P at t
，这里P1>P2>P3…>Pt是素数，其Leabharlann 2019/9/1510
目前没有可用于整数分解的有效算法。
对于整数a,b(a,b≥2)，a,b的素数分解式分别为：
a
P e1 1
P e2 2
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8
带余除法
带余除法：
a∈Z, m>0，可找出两个唯一确定的整数q和r使a=qm+r, 0≤r< m。 (若r=0则m∣a） q和r这两个数分别称为以m去除a所得到的商数和余数.记： q=a div m或[a/m], r =a mod m。
存在x,y，gcd(a,b)＝ax+by 如果a=qb+r,则gcd(a,b)=gcd(b,r).
信息安全导论
第五讲 密码学技术中的数学基础
华中科技大学图象所 信息安全研究室 Dr. Zuxi Wang
2019/9/15
1
密码学是研究密码系统或通信安全的一门学科， 分为密码编码学和密码分析学。
密码编码学是使得消息保密的学科，从事此行的 称为密码编码者。
密码分析学（密码破译学）是研究加密消息的破 译的学科，从事此行的称为密码分析者。精于此 道的人被称为密码学家，现代的密码学家通常是 理论数学家。
2019/9/15
2
密码学是一门交叉学科，它很大程度上是应用数 学学科。
密码学中涉及数论、代数、概率论、组合数学、 计算复杂理论等多种数学知识。
还涉及信息论学科知识。
高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件
1.2 模运算 同余有以下性质： ① 若n|(a-b)，则a≡b mod n。(试证明) ② (a mod n)≡(b mod n)，则a≡b mod n。 ③ a≡b mod n,则b≡a mod n。 ④ a≡b mod n,b≡c mod n,则a≡c mod n。 从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为这 个同余类的表示元素。
10
1.2 模运算
① 交换律 (w+x) mod n=(x+w) mod n (w×x) mod n=(x×w) mod n ② 结合律 [(w+x)+y] mod n=[w+(x+y)] mod n [(w×x)×y] mod n=[w×(x×y)] mod n ③ 分配律 [w×(x+y)] mod n=[w×x+w×y] mod n ④ 单位元 (0+w) mod n=w mod n (1×w) mod n=w mod n ⑤ 加法逆元 对w∈Zn，存在z∈Zn，使得 w+z≡0 mod n，记z=-w。
a p1 p2 pt
91=13 ×7 ，11011=13 ×112 ×7 这一性质称为算术基本定理。
1
2
t
其中p1>p2>…pt是素数，ai>0(i=1,…,t)。例如
这一性质也可表示为：
4
a p
pP
ap
1.1 素数和互素数
两数相乘等价于这两个数的分解式中相同因子的指数 相加，即由k=mn 可得：对每一素因子p, kp=mp+np 2 3 例如： m 54 32 n 5 3 2
3
6 1 4 7 2 5
4
0 4 0 4 0 4
数学与密码学的联系
数学与密码学的联系数学与密码学是两个看似独立而又紧密相关的领域。
数学作为一门科学，在密码学领域扮演着重要的角色。
本文将介绍数学与密码学之间的联系，并探讨数学在密码学中的应用。
一、数学的基础与密码学密码学作为一门研究保护信息安全的学科，需要借助数学的基础理论来构建密码系统。
数学提供了密码学所需要的工具和方法，使得密码学能够在世界各地得到广泛应用。
1.1 数论与密码学数论是研究整数性质及其相互关系的数学分支。
它在密码学中扮演着基础的角色，通过数论的方法可以构建安全的加密算法。
首先，素数在密码学中起着重要的作用。
素数是只能被1和自身整除的整数，它们的特殊性质使得它们被广泛用于加密算法中的关键位置。
例如，RSA算法中需要选择两个大素数，而这些素数往往具备难以被因数分解的特点，增加了密码系统的安全性。
其次，模运算也是密码学中常用的数论方法。
模运算是一种将数字对某个模数取余的运算方式。
在密码学中，模运算可用于构建循环密码算法和生成伪随机数，从而增强密码系统的复杂性和随机性。
1.2 线性代数与密码学线性代数是研究向量空间及其线性变换的数学分支。
它在密码学中的应用主要体现在矩阵运算和线性相关性分析上。
矩阵运算在密码学中广泛应用于混淆和扩散（Confusion and Diffusion）步骤。
通过矩阵变换，可以使得明文和密文之间的关系显得复杂和随机，提高密码算法的安全性。
另外，线性相关性分析是密码破译中的一种重要方法。
通过线性代数的理论，攻击者可以分析密文和明文之间的线性关系，从而推测出密钥或者明文信息。
二、数学在密码学中的应用密码学的发展离不开数学的支持，因此数学在密码学中的应用不仅限于提供基础理论，还包括具体的密码算法和协议。
2.1 对称密钥密码算法对称密钥密码算法是指发送方和接收方使用相同密钥进行加密和解密。
在对称密码算法中，数学在密码算法的设计和分析中发挥着重要作用。
例如，DES算法是一种经典的对称密钥密码算法，采用了Feistel结构和置换盒（S-box）的设计。
数学知识点归纳数论与密码学的基础
数学知识点归纳数论与密码学的基础数学知识点归纳：数论与密码学的基础数论是数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
而密码学是应用数论的一个领域，研究的是信息保密和安全通信的方法。
本文将就数论和密码学的基础知识进行归纳和总结。
一、数论的基础知识1. 整数和整除性质：整数是自然数、0和负整数的集合。
整除是指一个数能够整除另一个数，也可以说是被整除的那个数是另一个数的倍数。
2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个数中最大的能够同时整除它们的数；最小公倍数是能够同时被两个数整除的最小的非零自然数。
3. 模运算：模运算是指将一个数对另一个数取余得到的结果，表示为a mod b。
常用于解决循环问题、计算机编程和密码学等领域。
4. 素数和合数：素数是指只能被1和自身整除的数，大于1的非素数称为合数。
二、RSA公钥密码体制RSA密码体制是一种基于数论的非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman共同发明。
它利用了大数分解的困难性来提供安全性。
1. 密钥生成：RSA算法需要生成一对公私密钥。
首先选择两个不同的素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
选择一个与(p-1)*(q-1)互质的整数e作为公钥，计算私钥d使e*d ≡ 1(mod (p-1)*(q-1))。
2. 加密过程：将明文M转换为整数m，然后使用公钥(e,n)对明文进行加密，得到密文C ≡ m^e(mod n)。
3. 解密过程：使用私钥(d,n)对密文进行解密，得到明文M ≡C^d(mod n)。
三、素性测试素性测试是判断一个大数是否为素数的方法，其中最著名的是费马素性测试和米勒-拉宾素性测试。
1. 费马素性测试：根据费马小定理，如果p是素数且a是p的一个互质整数，那么 a^p-1 ≡ 1(mod p)。
因此，对于一个给定的大数n，若不等式a^n-1 ≡ 1(mod n)成立，那么n一定是合数。
费马素性测试虽然简单，但在实际应用中效果较差。
数学与密码学的关系与应用
数学与密码学的关系与应用数学与密码学的关系密不可分，密码学是一门利用数学方法来研究信息保密和信息安全的学科。
密码学通过运用数学原理和算法来设计密码系统，保护敏感信息的机密性和完整性。
这篇文章将探讨数学与密码学的关系，并探讨密码学在现实世界中的应用。
1. 数学与密码学的基础密码学从根本上依赖于数学。
数论、代数学、概率论和统计学等数学领域中的概念和方法都在密码学中发挥了重要作用。
数论中的素数和模运算，代数学中的群、环和域的概念，概率论和统计学中的随机性和分布等都是密码学研究的基础。
2. 对称密钥密码与数学对称密钥密码系统是一种使用相同密钥进行加密和解密的方法。
这些密码系统的设计依赖于数学中的置换和替换算法。
例如，凯撒密码、DES和AES等算法都是基于数学方法的，其中包括模运算、置换和代换等。
3. 公钥密码与数学公钥密码系统使用不同的密钥进行加密和解密。
这些系统的设计依赖于数学中的数论和代数方法。
RSA算法就是基于数论中的大数分解问题，而椭圆曲线密码算法则是基于代数中的椭圆曲线离散对数问题。
4. 数学在密码分析中的应用密码分析是破解密码系统的过程，此过程也依赖于数学。
数学方法如概率统计、线性代数和数论等被广泛应用于密码分析中。
通过分析密码系统的数学特性和算法弱点，攻击者可以发现密码系统中的漏洞，从而破解密码。
5. 数学与现实生活中的密码学应用密码学在现实生活中有广泛的应用。
银行和电子商务使用密码学来确保交易的安全和隐私。
例如，在进行网上银行交易时，通过使用公钥密码系统，用户可以对敏感信息进行加密，防止信息被窃取。
另外，数字版权管理、电子票务系统以及移动通信等领域也应用了密码学技术，以确保信息的安全传输和存储。
6. 数学与量子密码学量子密码学是密码学领域中的一个新兴研究方向，它利用了量子力学的原理来构建安全的密码系统。
量子密码学是建立在数学和量子力学的交叉领域上的，它的发展需要深厚的数学基础，涉及到概率、线性代数和信息论等数学概念和方法。
密码学数学基础第四讲 同余式(3)
教师：李艳俊
本讲内容
一、原根的定义 二、x k 1(mod n) 的解 三、基本性质
四、存在性问题
五、基本计算方法
一、原根的定义
回顾：欧拉定理 设m 1 是正整数，a是与m互素的正整数，则
a ( m ) 1(mod m)
问题： (m)是否为使得上述同余式成立的最小的正整数，
例1 求模41的所有原根。 解： (41) 40 23 5 所以40的素因数为2，5，而 40/2=20，40/5=8，
8 20 计算 g , g 模41是否为1 ：
28 mod 41 10,220 mod 41 1 48 mod 41 18,420 mod 41 1 68 mod 41 10,620 mod 41 40
m
的简化剩余系；
(4)
m (a) m (a ) , d 0 ，进一步，如果g是模m的 ( m (a ), d ) 原根，则 g d 是模m的原根的充分必要条件是 (d , (m)) 1；
d
(5)如果模m存在一个原根g，则模m有 ( (m)) 个不同原根； (6)如果(a, m) 1, (b, m) 1，则 ( m (a), m (b)) 1 的充分必要 条件是
640 mod 412 143
6 4120 mod 412 1106
6418 mod 412 903 47 418 mod 412 370
47 40 mod 412 1518
47 4120 mod 412 83
所以6和47都是模1681的原根。
2 例3 设 m 2 41 3362 ，求模m的原根。
定理2.17 设k是正整数，n为整数，p为素数，且不是n的因子，
密 码 学 基 础
左28位Ci
右28位D
左右合并 换位选择2
48位密钥Ki
数据加密标准DES
DES的雪崩效应
在相同密钥加密时,明文的微小变化(如1位)会 引起密文的较大变化. 对相同明文,用两个差别很小(如1位)的密钥加 密,产生的密文差别较大.
DES具有很强的雪崩效应
数据加密标准DES
DES的雪崩效应
如下两个明文只差1位:
R i-1(32位) E
32 4 8 12 16 20 24 28
1 5 9 13 17 21 25 29
2 6 10 14 18 22 26 30
3 7 11 15 19 23 27 31
4 8 12 16 20 24 28 32
5 9 13 17 21 25 29 1
48位
⊕
S3 S4 P S5
0
0 1 2 3
1
2
3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
14 4 13 0 15 7 4 1 14 15 12 8
1 2 15 4 14 2 8 13 6 2 4 9
11 8 3 10 6 12 5 9 0 7 13 1 10 6 12 11 9 5 3 8 2 1115 12 9 7 3 10 5 0 1 7 5 11 3 14 10 0 6 13
现代密码学
公开密钥算法 加密密钥(公钥) ≠ 解密密钥(私钥) 数学基础:单向函数,单向陷门函数 应用方面:加密/解密 数字签名 密钥交换 代表:RSA体制,Rabin体制等
密钥管理
密钥生成
1、密钥长度与密钥空间 2、好密钥与弱密钥 好密钥：自动处理设备产生的随机的位串 弱密钥：特定的密钥比其他密钥的安全性差。例如,用 户个人信息,简写字母,各种数据库单词及其不同变形
数学教学中的密码学基础与应用探索
数学教学中的密码学基础与应用探索在当今数字化的时代，密码学作为一门重要的学科，不仅在信息安全领域发挥着关键作用，也逐渐成为数学教学中的一个引人入胜的课题。
密码学与数学的紧密结合，为学生提供了一个将理论知识应用于实际问题的绝佳机会，同时也激发了他们对数学的兴趣和探索欲望。
密码学的基础建立在数学的多个分支之上，其中包括数论、代数、概率论等。
数论中的素数分解、同余运算等概念是许多加密算法的核心。
例如，著名的 RSA 加密算法就依赖于大整数的素因数分解的困难性。
通过学习数论，学生能够理解这些加密算法的工作原理，以及为何它们能够保障信息的安全。
代数在密码学中也有着重要的地位。
群、环、域等代数结构为密码学提供了强大的工具。
例如，椭圆曲线密码体制就是基于椭圆曲线上的点构成的代数结构。
这种密码体制具有更高的安全性和更小的密钥尺寸，在实际应用中具有很大的优势。
概率论在密码学中的应用则主要体现在随机数生成和密码分析等方面。
随机数在加密过程中起着关键作用，如用于生成密钥、初始化向量等。
而密码分析则需要运用概率论的知识来评估密码系统的安全性。
在数学教学中引入密码学，能够让学生更加深入地理解数学概念。
以数论中的同余运算为例，单纯讲解同余的定义和性质可能会让学生感到枯燥。
但如果通过介绍基于同余运算的加密算法，如恺撒密码，让学生亲自尝试加密和解密的过程，他们就能更加直观地感受到同余运算的实际应用，从而加深对这一概念的理解。
密码学还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
在破解密码或设计安全的密码系统时，学生需要运用逻辑推理、分析和综合等思维方法。
例如，在分析一种加密算法的安全性时，学生需要思考攻击者可能采取的攻击方式，并评估加密算法对这些攻击的抵抗能力。
这种思维训练对于学生解决其他数学问题和实际生活中的问题都具有很大的帮助。
此外，密码学的实践项目能够提高学生的动手能力和团队合作精神。
教师可以组织学生分组完成一些简单的密码学实验，如设计一个加密聊天程序或破解一个简单的密码。
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定理：若acbc mod m，d=gcd（c,m）， 则：ab mod m/d 因为 acbcmod m
所以 ac=km+bc 所以 c（a-b）=km 又因为 d=gcd（c,m） 所以 c=c1· d，m=c2· d，gcd（c1,c2）=1 所以 c1· d（a-b）=k· c1 · d 所以 c1（a-b）=k· c2 又因为 gcd（c1,c2）=1 所以 c1|k 所以k=h· c1 所以 a-b=k· h· c2 所以 ab mod c2 所以 ab mod （m/d）
按模指数运算：am mod n
将指数运算作为一系列乘法运算，每次做一次模运 算。 例：a8 mod n = ((a2 mod n)2 mod n)2 mod n 当m不是2的乘方时，将m表示成2的乘方和的形式。 例如：25=(11001)2，即25=24+23+20 a25 mod n = (a16 a8 a) mod n = ((((a2)2)2)2 ((a2)2)2 a) mod n = ((((a2 a)2)2)2 a) mod n 适当存储中间结果，则只需6次乘法： (((((((a2mod n) a)mod n)2mod n)2mod n)2mod n) a)mod n
3为6的因子，记为3|6，3除尽6
任意的a|b，a|c，称a为b，c的公因子
最大公因数：a与b的公因数中能被所有a，b 的公因数整除的正整数，记为gcd(a，b)。 互素（互质）：两个整数称为互素的，如果它 们除了1以外没有其他的公因数，即 gcd(a,b)=1。
定理：若a=b· q+r，则gcd（a,b）=gcd （b,r） 证明：d=（a,b），d’=（b,r） d| a – bq d | r，d为b,r的公因数； d|d’ d’=h· d d’|b· q+r d’|a，d’为a,b的公因数；d’|d d=k· d 所以 k· h=1 k=h=1；
素数的产生
因数分解：对一个数进行因数分解，是指找出这 个数的素数因子。 素数的产生: 1. Solovay-Strassen方法 2. Lehmann法 3. Rabin-Miller法 4. 实际应用 5. 强素数
1
Solovay-Strassen方法
用Jacobi符号来测试p是否为素数： （1）选择一个随机数a，a<p； （2）如果gcd(a,p)1，则p是合数，停止检测； （3）计算i=a(p-1)/2 mod p； （4）计算Jacobi符号J(a,p)； （5）如果i J(a,p)，则p不是素数； （6）如果i= J(a,p)，则p不是素数的概率小于 50%。 对t个不同的随机数a，重复进行这个测试。能 通过所有t个测试的奇数是合数的概率小于 1/2t。
如果n为素数，且a是模n的非二次剩余，则J(a,n) = -1
Jacobi符号的计算（略） Blum整数：
若p和q为两个素数，且都与3模4同余，则n = pq称为Blum整数。若n为Blum整数，则 每个模n的二次剩余恰好有4个平方根，其 中一个也是一个二次剩余，称为原平方根。 例如，139的模437的原平方根为24，另三 个平方根为185，252和413。
1 模运算
同余：如果a = b + kn，k为整数，则
a b（mod n）
a mod n ：a模n操作，表示a除以n的余数， 为 0到n － 1之间的整数。
例如：(7＋9) mod 12 = 16 mod 12 = 4
模运算（+、－、 ）满足交换律、结合律和 分配律。 按模计算原理：对中间结果作模运算与做完了 全部运算后再做模运算结果相同。
2 素数
素数（质数）：大于1的整数，只能被1 和本身整除。 有无穷多个素数。 如：2，73，2521，2365347734339， 2756839-1
整数的表示法 1987的10进制表示：1· 103＋9· 102＋8· 10＋7 定理：设m是大于1的正整数，则每个正整数n可 唯一的表示为： n=Ckmk＋Ck-1mk-1＋…＋C1m＋C0 m 为基（radix） 设n0=n，则n1= n0/m C0=n0 mod m 所以 Ci=ni mod m ni＋1= ni /m
不可约多项式：一个多项式如果除了1和 本身外，不能分解成其他多项式的乘积形 式，则成为不可约多项式。 本原多项式：一个有限域内的生成元多项 式，其系数是互素的。 在GF(qn)中，所有运算都是模p(x)的运 算，其中p(x)是n阶不可约多项式。
GF（pn）表示形式如： a=an-1xn-1+…+a1x+a0, 其中 ai 是 mod p 的整数。 也表示：an-1an-2…a1a0 一 般 研 究 GF（2n）， 如 GF（25）： a(x)=x4+x3+1表示11001。 若p（x）不能为次数小于n的多项式之 积，则p（x）称既约多项式。
最大公因数的求法：辗转相除法
例如：求gcd(15,36)
36=15 2+6 15=6 2+3 6=3 2+0 因此，gcd(15,36)=3
原理：若a b (mod c)，则 gcd(a,c) = gcd(b,c) 这里，gcd(15,36) = gcd(15,6) = gcd(6,3) = 3
例：n=389；m=5 n0=389 ；C0=389 mod m=4 n1=389/5=77 ；C1=n1 mod 5=2 n2=77/5=15 ；C2= n2 mod 5=0 n3=15/5=3 ；C3= n3 mod 5=3 所以 389=3×53＋2×5＋4=（3024）5
3 最大公因数
公因数：两个整数a，b的公因数定义为能同时 整除a，b的所有整数。
10 生成元
定义：如果p为素数，g<p，如果对每个 b从1到p-1，存在a，使ga b (mod p)， 则g为模p的生成元。 例：p=11，2为模11的生成元 生成元的测试 素数q,q| p-1, s.t g(p-1)/q mod p=1, 则g不为p的生成元
11 有限域中的计算
有限域：元素个数有限的域，也叫伽罗瓦 （Galois）域。 在有限域中，非0数的加、减、乘、除都有定 义。加法单位元是0，乘法单位元是1，每个非 0元素都有一个唯一的乘法逆元。 有限域中运算满足交换律、结合律和分配律。 有限域中元素个数为素数或素数的乘方：设p 为素数，则有限域可记为GF(p)或GF(pn)。
如果n是素数，则(n) = n-1 设n = p1r1 p2r2 … pmrm, 其中p1, p2, … ,pm 是n的素数因子, 则(n) = n (1-1/p1) (1-1/p2) … (1-1/pm)
欧拉扩展的Fermat小定理：如果gcd(a,n) = 1，则 a(n) mod n = 1。
7 二次剩余
定义：设p为素数，a>0且a<p，如果存 在某个x，满足x2 a (mod p)，则称a 为模p的二次剩余；否则称a为模p的非 二次剩余。
8 Legendre（勒让得）符号
记为L(a,p)，其中a为任意整数，p为大 于2的素数。 定义：
L(a,p) = 0，如果a能被p整除； L(a,p) = 1，如果a是模p的二次剩余； L(a,p) = -1，如果a是模p的非二次剩余；
定 理 ： 令 d1，d2，…,dt 为 两 两 互 素 ， 并 令 n=d1d2…dt，则 x mod di xi (i=1,…, t) 在[0，n-1]范围内有公共解x：x=
mod n 其中：mi=n/di，yi=mi-1 mod di
解法：
令a1=2，a2=3，a3=2，p1=3，p2=5，p3=7， n=p1 p2 p3=105， M1=n/p1=35, M2=n/p2=21, M3=n/p3=15 求解 35 ·x1 mod 3=1, 得x1=2 求解 21 ·x2 mod 5=1, 得x2=1 求解 15 ·x3 mod 3=1, 得x3=1 则 x = (M1 ·x1 ·a1+M2 ·x2 ·a2+M3 ·x3 ·a3 ) mod n = (35 2 2+21 1 3+15 1 2) mod 105 = 233 mod 105 = 23
密码学的数学基础
初等数论 素数的产生 有限域内的离散对数 单向哈希函数
初等数论
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 模运算 素数 最大公因数 乘法逆元素 Fermat小定理及欧拉函数 中国剩余定理 二次剩余 Legendre（勒让得）符号 Jacobi（雅各比）符号 生成元 有限域中的计算
辗转相除：14 = 5 2 + 4 5=4+1 逆推：1 = 5 - 4 = 5 - （14 - 5 2）= 5 3 - 14 因此，5关于模14的乘法逆元为3。
求乘法逆元：扩展的Euclid算法
5 Fermat小定理及欧拉函数
Fermat小定理：如果m为素数，a不能被m整 除，则 am-1 1 (mod m) 模n的简化剩余集：模n的完全剩余集的一个子 集，其中每个元素与n互素。 欧拉函数：记为(n)，为模n的简化剩余集中 元素的个数。
6 中国剩余定理
定理：如果n的素数因子分解式为p1p2 … pt，则一组方程 (x mod pi）= ai，其中i = 1,2,…,t，有唯一解x，其中x小于n（其中某 些pi可能相等）。 例：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数 之剩三，七七数之剩二，问物几何？
x mod 3 = 2 x mod 5 = 3 x mod 7 = 2
求最大公因数的Euclid算法 Nhomakorabea求x，满足 (a ·x) mod n = 1, 即 x a1(mod n)
4 乘法逆元素
当a与n互素时, 方程 x a-1(mod n) 有唯一解； 当a与n不互素时, 此方程无解。 如果n为素数，则从1到n-1的任意整数都与n互素， 即在1到n-1之间都恰好有一个关于模n的乘法逆元。 例：求5关于模14的乘法逆元