2011届上海市高三年级六校联考_理科数学(附答案)

六校联考数学学科试题（理科）（复兴中学、建平中学、南洋模范、向明中学、延安中学、上师大附中）命题人： 范文豪 审题人：卢久红 满分150分 时间14：00-16：00一、填空题（本题共14小题，每小题4分，共56分）1.函数x x f lg 1)(-= 的定义域为_____________2.过(1,2)P ,以(3,4)=为法向量的点法向式直线方程为_____________3.若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于_____________4.设集合{}{}0| 12|<-=<<-=a x x B x x A ，，若B A ≠⊂,则a 的取值范围 为_____________5.若函数)0(sin 2)(2>+=ωωx x f 的最小正周期与函数2tan )(xx g =的最小正周期相 等，则正实数ω的值为_____________6.现有2010年上海世博会各展览馆卡片5张,卡片正面分别是中国馆、台湾馆、沙特馆、日本馆、韩国馆，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次性随机抽出两张，则抽到台湾馆的概率是_____________7.设 ，++++=) 3+(2 443322104x a x a x a x a a x 则2312420)+(－)++(a a a a a 的值为_____________8.已知0y >x ,且0y －9－y =x x ,则y +x 的最小值为_____________9.已知|a |＝|b |＝2, a 与b 的夹角为3π，则a +b 在a 上的投影为_____________10.在锐角△ABC 中, 角B 所对的边长01b =,△ABC 的面积为01,外接圆半径31R =, 则△ABC 的周长为_____________11.一离散型随机变量ξ的概率分布律为：且其数学期望E ξ＝1.5，则a －b ＝____________ 12.如右图所示，已知0为矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为旋转轴，旋转这个矩形所得的几何体体积为1，其中以OA 为母线的圆锥体积为41，则以OB 为母线的圆锥体积为____________13.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，……． 则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是_____________14．我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动 地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当1=a ，1=b 时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为____________二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）15．“Z k k ∈+=,2βπα”是“βαsin sin =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．2)(x x f = B ．xx xf ||)(=C ．xx xx ee e e xf --+-=)( D ．x x f =)( 17．已知函数x x f πsin )(=A ．)212(-=x f y B ．)12(-=x f yC ．)12(-=x f y D ．)212(-=x f y 18. 数列}{n a 满足11=a ，14121=+⋅+nn a a （*∈N n ），记22221n n a a a S +++= ， 若3012m S S n n ≤-+对*∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为（ ） A. 10 B ． 9 C ． 8 D ． 7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分6分。

如右图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB=2， ∠BCA=90°，AA 1=4 ，E 是A 1B 1的中点。

⑴ 求CE 与平面ACB 所成的角；⑵ 求异面直线BA 1与CB 1所成的角。

20. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分。

设)2(cos )22(cos )2sin()22sin(2)(22x x x x x f +--++-=ππππ。

⑴ 若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最小值；⑵ 设=)(x g ]87,4[,2)42(πππ∈+-x m x f ，若)(x g 有两个零点， 求实数m 的取值范围。

21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分。

在平面直角坐标系中， 直线L ：R m 4m,3+mx =y ∈-恒过一定点，且与以原点为 圆心的圆C 恒有公共点。

⑴ 求出直线L 恒过的定点坐标；⑵ 当圆C 的面积最小时，求圆C 的方程； ⑶ 已知定点Q)3,4(-，直线L 与⑵中的圆C 交于M 、N 两点，试问MQN ∠⋅⋅tan 是否存在最大值，若存在则求出该最大值，并求出此时直线L 的方程，若不存在请说明理由。

22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

已知点),(n n n b a P 满足21111,nn n n n n a b b b a a -==+++，且))(32,31(0N n P ∈。

⑴ 求点1P 坐标，并写出过点10,P P 的直线L 的方程； ⑵ 猜测点)2(≥n P n 与直线L 的位置关系，并加以证明； ⑶ 求数列{}{}n n b a 与的通项公式，并求1+⋅n n OP OP 的最小值 （其中O 为坐标原点*∈N n ，）。

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知函数R x e x f ex f a x a x ∈==+-+-,)(,)(1||2|12|1。

⑴ 若2=a ，求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值；⑵ 若)()(21x f x f -=)()(12x f x f -对于任意的实数R x ∈恒成立，求a 的取值范围；⑶ 当61≤≤a 时，求函数=)(x g 2|)()(|2)()(2121x f x f x f x f --+在∈x [1，6]上的最小值。

高三数学六校联考参考答案（理科）一、填空题（4分×14=56分）1．(0,10]； 2．0)2(4)1(3=-+-y x ； 3．1i +； 4．1≥a ；5．21； 6．25； 7．1； 8．16； 9．3； 10．31010+； 11．0； 12．121；13．3959； 14．3π； 二、选择题（5分×4=20分）15．A ； 16．C ； 17．B ； 18．A ； 三、解答题（12分+12分+14分+18分+18分=74分） 19.解：（1）过点E 作EH 垂直于AB 于H ，连接CH ，则∠E CH 就是所求的CE 与平面ACB 所成的角………∵EH =4，CH=2∴∠E CH =arctan 22……………………………………即CE 与平面ACB 所成的角为arctan 22；……………（2）在直三棱柱的下方补上一个全等的直三棱柱 ∵CB 1∥C 2B∴∠A 1BC 2或其补角就是异面直线BA 1与CB 1所成的角……∵BA 1= 62，C 2B=52，A 1C 2=172∴在△A 1BC 2中，由余弦定理可得∠A 1BC 2= arccos （－1030）…………11'∴异面直线BA 1与CB 1所成的角为arccos1030． …………………12' 20. 解：⑴)4sin(2cos sin )(π+-=--=x x x x f ………………3'∵4344πππ<+<x ∴x =2,4min -=f π………………5'⑵设g (x )=]87,4[,22sin 2ππ∈+-x m x …………………………7' ∵函数g (x )有两个零点∴方程]87,4[022sin 2ππ∈=+-x m x 当时有两个解……………9' ∴y=m 2与y=]87,4[2sin 2ππ∈x x ，图象有两个交点 由图象得122-≤<-m ∴2122-≤<-m ……………………12' 21. 解：⑴直线L ：y=mx+3-4m 可化简为y=m(x-4)+3………………2'所以直线恒过定点T （4，3）……………………………4'⑵由题意，要使圆C 的面积最小，定点T （4，3）在圆上， 所以圆C 的方程为2522=+y x。

……………………………8'⑶MQN ∠⋅⋅tan=MQN MQN ∠⋅∠⋅tan cos |||| =MQN QN QM ∠⋅⋅sin ||||MQ N S ∆=2 ……………………………………………………………10'由题意得直线L 与圆C 的一个交点为M （4，3），又知定点Q （–4，3）， 直线L MQ ：y=3，|MQ|=8，则当N （0，–5）时S MQN 有最大值32. 即MQN ∠⨯⋅tan 有最大值为64，………………………13' 此时直线L 的方程为2x –y –5=0。

…………………………………14'22. 解：⑴由32,3100==b a 得43,4111==b a ,得1P 坐标为（43,41）……2'显然直线L 的方程为x+y=1 …………………………………………………4' ⑵由43,4111==b a 得54,5122==b a ,∴点L P ∈2， 猜想点),2(N n n P n ∈≥在直线L 上，…………………………………6'以下用数学归纳法证明： 当n=2时，点L P ∈2当n=k(k ≥2)时，点L P k ∈，即k a +k b =1,则当n=k+1时，1+k a +1+k b =k a 1+k b +1+k b =111)1(2=-=-⋅+k kkk k a b a b a , ∴点L P k ∈+1 ∴点)2(≥∈n L P n ………………………………………10' ⑶由1+n a =n a 1+n b , 1+n b =21nna b -,1=+n n b a ， 得1+n a =)0(111122≠+=--=-n nnn n n n n na a a a a a ab a ∴1111+=+nn a a ……………………………………………………………12' ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列，∴32,31,3110++=+=∴+=+=n n b n a n n a a n n n ……14' 1275212111+++-=+=⋅+++n n n b b a a OP OP n n n n n n …………………………16' 令2n+5=t 则n=25-t ,上式可化简化434134412++-=++-tt t t t由单调性可得当t=7，n=1时，上式有最小值为2013所以1275212+++-n n n （n ∈N ﹡）的最小值为2013。