甘肃省天水市第一中学2021-2022高一数学下学期第三学段考试试题 理(含解析)
甘肃省天水市第一中学2021-2022学年高二下学期学业水平模拟考试(三)数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（ ）A．B．C．D．2. 已知，，则的值为（ ）A．B ．3C ．4D ．83. 为双曲线：上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，，则的值为A ．6B ．9C ．18D ．364. 对于直线，下列选项正确的为（ ）A ．直线l倾斜角为B ．直线l 在y轴上的截距为C ．直线l 不过第二象限D ．直线l过点5.已知圆经过点，半径为2，若圆上存在两点关于直线对称，则的最大值为（ ）A ．1B．C．D．6. 命题“，，”的否定形式是（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，7. 若向量，向量，则A ．2B．C．D．8. 已知双曲线的左右焦点分别为为右半支上一点，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．99. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形中，，它的两个锐角的顶点A 和B 分别在x 正半轴、y 正半轴上滑动，则下列结论正确的是（ ）A ．点C在直线 上B ．点C 在直线上C ．点C的轨迹长度等于D ．点C的轨迹长度等于10. 已知，为正实数，且，则（ ）A．的最大值为2B ．的最小值为4C．的最小值为3D ．的最小值为甘肃省天水市第一中学2021-2022学年高二下学期学业水平模拟考试（三）数学试题(2)甘肃省天水市第一中学2021-2022学年高二下学期学业水平模拟考试（三）数学试题(2)三、填空题四、解答题11. 欧拉公式（本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ）A ．复数为纯虚数B．复数对应的点位于第二象限C ．复数的共轭复数为D．复数在复平面内对应的点的轨迹是圆12. 已知定圆，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q ，则点Q 的轨迹可能为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆13.表示一个两位数，记，如，则满足的两位数共有______个．14. 已知双曲线的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为________.15. 设F为双曲线的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x ＝t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则的最大值为____________.16. 已知函数.在下列条件①､条件②､条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知.(1)求的值；(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.条件①：；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为.17. 已知函数．(1)求函数的最小正周期及单调增区间；(2)设的内角的对边分别为，若，，且的面积为，求的值．18.设数列的前n 项和为，已知．(1)证明：数列是等比数列；(2)若数列满足，，求数列的前14项的和．19. 已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面.（1）求证：平面；（2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由.20. 已知，直线过椭圆的右焦点F 且与椭圆交于A 、B 两点，l 与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．21. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，.(1)求证：；(2)在线段PD上是否存在点M，使得二面角的余弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.。
2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知向量()2,4a =，()1,b x =，且//a b ，则x =（ ） A ．2 B ．2-C ．8D ．8-【答案】A【分析】由平面向量共线的坐标表示可求得x 的值. 【详解】由已知可得24=x ，解得2x =. 故选：A.2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()2,1-，则i z ⋅=（ ） A ．12i + B ．2i -+C ．12i -D ．12i --【答案】D【解析】由题可得2z i =-+，再由复数乘法计算即可. 【详解】复数z 对应的点的坐标是()2,1-，2z i ∴=-+，()212i z i i i ∴⋅=-+=--.故选：D.3．从3个不同大小的“冰墩墩”和2个不同大小的“雪容融”挂链中任选2个，则恰好选中1个“冰墩墩”和1个“雪容融”挂链的概率为（ ） A ．310 B ．25C ．35D ．710【答案】C【分析】先列举出所有情况，找出符合要求的情况，再由古典概型计算概率即可. 【详解】3个不同大小的“冰墩墩”挂链分别记为,,a b c ，2个不同大小的“雪容融”挂链分别记为,A B ，从这5个挂链中任选2个有()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,a b a c a A a B b c b A b B c A ，(),c B ，(),A B ，共10种等可能的情况，恰好选中1个“冰墩墩”和1个“雪容融”挂链的有(),a A ，()()()()(),,,,,,,,,a B b A b B c A c B ，共6种，所以恰好选中1个“冰墩墩”和1个“雪容融”挂链的概率为63105P ==． 故选：C.4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1AA 、AB 、1BB 、11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【分析】连接1111,,A B BC AC ，证明异面直线EF 与GH 所成的角是11A BC ∠或其补角，由正方体性质即可得结论．【详解】如图，连接1111,,A B BC AC ，由题意1//EF A B ，1//GH BC ，所以异面直线EF 与GH 所成的角是11A BC ∠或其补角， 由正方体性质知11A BC 是等边三角形，1160A BC ∠=︒， 所以异面直线EF 与GH 所成的角是60︒． 故选：B ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB（ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C.6．若1sin cos 2αα+=，则sin 2α=（ ） A ．34B ．38C ．38-D ．34-【答案】D【分析】利用平方关系和二倍角公式求解. 【详解】解：由1sin cos 2αα+=平方得： 221sin 2sin cos cos 4αααα++=， 所以3sin 24α=-， 故选：D7．已知某圆锥的高为3 ）A B ． C ．2π D ．6π【答案】A【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案.【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为π． 故选：A.8．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，,a b 夹角为60︒，若()()a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．2B ．C ．5D ．52【答案】D【分析】首先根据向量数量积的定义求出a b ⋅，依题意()()0a b a b λ+⋅-=，根据数量积的运算法则计算可得；【详解】解：因为2a =，1b =且a 与b 夹角为60︒，所以1cos602112a b a b ⋅=⋅︒=⨯⨯=，又()()a b a b λ+⊥-，所以()()0a b a b λ+⋅-=，即()2210a a b b λλ+-⋅-=，即()2210a a b b λλ+-⋅-=，所以()2221110λλ+-⨯-⨯=，解得52λ=； 故选：D9．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，60BAC ∠=︒，则1AC 与面11BCC B 成角的正弦值为（ ） A ．64B ．34C ．63D ．33【答案】A【解析】过A 作AM BC ⊥,可证AM ⊥平面11BB C C ，连接1C M ,可知1AC M ∠即为所求线面角，计算即可求解.【详解】如图，过A 作AM BC ⊥，连接1C M ，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为11,B B AM BC BB B ⊥=所以AM ⊥平面11BB C C ，故1AC 在平面11BB C C 上的射影为1MC ,所以1AC M ∠为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角， 设1AB AC AA a ===，又60BAC ∠=︒ 所以13,2AM AC a == 故1362sin 2AC M a∠==故选：A【点睛】方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解； （2）向量法：建系用空间向量公式求解.10．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径MN CD ∥，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】计算得出24PM PN PO ⋅=-，求出PO 的取值范围，由此可求得PM PN ⋅的取值范围，从而可得最小值.【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，OAB 、OBC 、OCD 、ODE 、OEF 、OFA 均为边长为4的等边三角形，当点P 位于正六边形ABCDEF 的顶点时，PO 取最大值4， 当点P 为正六边形各边的中点时，PO 取最小值，即min4sin233PO π==，所以，23,4PO ⎡⎤∈⎣⎦.所以，()()()()[]248,12PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-∈. PM PN ⋅的最小值为8.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为1136B ．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是12，14，则题被解出的概率是18C ．某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件D ．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12【答案】AD【分析】结合古典概型概率公式求得概率判断AD ，由独立事件同时发生的概率公式结合对立事件概率公式求解后判断B ，根据互斥事件的定义判断C ．【详解】A ．至少有一枚骰子的点数是3，即只有一枚骰子的点数是3，或两枚骰子的点数都是3，概率为122C 5111636P ⨯+==，A 正确； B ．由独立事件同时发生的概率公式得题被解出的概率为1151(1)(1)248P =--⨯-=，B错；C ．如果选出的两名学生是一男一女，则两个事件同时发生，它们不是互斥事件，C 错；D ．两位男生和两位女生随机排成一列，总排法为44A 24=，两位女生不相邻的排法为2223A A 12=，概率为121242P ==，D 正确． 故选：AD ．12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1AD 上的动点，下列命题正确的是（ ）A ．异面直线1PC 与1BC 所成角的大小为定值 B ．二面角1P BCD --的大小为定值C ．若Q 是对角线1AC 上一点，则PQ QC +长度的最小值为43D ．若R 是线段BD 上一动点，则直线PR 与直线1A C 不可能平行 【答案】ABC【分析】证明1B C ⊥平面11ABC D 后得线线垂直，从而判断A ，根据二面角的定义判断B ，把11AC D △和1AC C △沿1AC 摊平得平面四边形12ACC D ，在平面四边形中求得C 到直线2AD 的距离后判断C ，取AD 中点E ，连接1A E 交1AD 于P ，连接CE 交BD 于R ，连接RP ，证明1//PR AC 判断D ． 【详解】如图1，由AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，得1AB B C ⊥，又11B C BC ⊥， 1ABBC B =，1,AB BC ⊂平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，1PC ⊂平面11ABC D ，所以11B C PC ⊥，即异面直线1PC 与1B C 所成角是90︒为定值，A 正确；如图1，二面角1P BC D --即为二面角1A BC D --，为定值，B 正确；图1把11AC D △和1AC C △沿1AC 摊平，得平面四边形12ACC D ，如图2． 作2CP AD ⊥于P ，1CPAC Q =，此时PQ QC CP +=最小，四边形12ACC D 中，22AC AD ==，13AC =，1121C C C D ==， 由对称性知21CD AC ⊥，1163AC CC CG AC ⋅==，22623CD CG ==， 22223233AG AC CG =-=-=， 22262343332CD AG CP AD ⨯⋅===，所以PQ QC +的最小值是43，C 正确；图2取AD 中点E ，连接1A E 交1AD 于P ，连接CE 交BD 于R ，连接RP ，如图3， 则111EP AE AE ER PA A D BC RC===，所以1//PR AC ，D 错． 故选：ABC ．图3【点睛】本题空间直线、平面间的位置关系，考查异面直线所成的角，二面角的定义，主要考查空间想象能力，属于难题．解题关键是利用正方体的性质证明空间的线面位置关系，确定空间角，对空间的线段和的最小值问题，方法是空间问题平面化，即把空间的两个面摊平到一个平面上，利用平面的知识求解．三、填空题 13．已知3sin 5θ=，则cos2θ=______ 【答案】7250.28 【分析】直接利用二倍角的余弦公式计算可得；【详解】解：因为3sin 5θ=，所以2237cos212sin 12525θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭故答案为：72514．已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.9，若甲､乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是___________. 【答案】0.341750【分析】根据题意可知“甲､乙各投篮一次，则恰有一人命中”分为两种情况：甲中乙不中，甲不中乙中，根据独立事件乘法公式分别运算求和．【详解】记“甲运动员的投篮命中”为事件A ，“乙运动员的投篮命中”为事件B ，则()()0.7,0.9P A P B ==“甲､乙各投篮一次，则恰有一人命中”的概率()()()()0.34P P A P B P A P B =+= 故答案为：0.34．15．已知球O 的半径为4,3点,,,A B C D 均在球面上，若ABC 为等边三角形，且其面积则三棱锥D ABC -的最大体积是___________.【分析】根据三角形面积求出边长，即可求出三角形外接圆半径，继而可求出高的最大值，求出体积.【详解】设ABC 外接圆的圆心为1,O由ABC21sin603,2AB ⋅⋅=解得2AB =，则1122sin603AB O B =⨯=当三棱棱锥D ABC -体积最大时，球心O 在1DO 上，因此有22112,3OO OB O B =-=所以1DO 的最大值为42233+=，三棱锥D ABC -的最大体积为1112332333ABCV SDO =⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：233.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是建立好勾股关系求出高.四、双空题16．对于直角坐标平面内的任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义它们之间的曼哈顿“距离”：2121AB x x y y =-+-．如果点()1,2A ，()3,5B ，则AB =______． 给出下列两个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC 中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； 其中是真命题的为______． 【答案】 5 ①【分析】根据已知，利用绝对值的几何意义以及勾股定理进行求解. 【详解】因为()1,2A ，()3,5B ，由题可知：13|25|5AB =-+-=，对于命题①，若点C 在线段AB 上，设00(,)C x y ，则0x 在12,x x 之间，0y 在12,y y 之间， 则010*********||||||||||||||AC CB x x y y x x y y x x y y AB +=-+-+-+-=-+-=， 所以AC CB AB +=，故①正确； 对于命题②，设00(,)C x y ，则222201012020(||||)(||||)AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-22220101010120202020||||2||||||||2||||x x y y x x y y x x y y x x y y =-+-+--+-+-+--， 2222212121212121||||(||||)||||2||||AB x x y y x x y y x x y y =-+-=-+-+--，又在ABC 中，90C ∠=︒，则222||||||AC BC AB +=，即222222010120202121||||||||||||x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-，又212101012020||||||||||||x x y y x x y y x x y y --=--+--不一定成立，如图，2121||||||||0x x y y AC BC --=≠，01012020||||||||0x x y y x x y y --+--=，故②错误. 故答案为：5，①.五、解答题17．如图，在三棱锥P ABC -中，,PA PC AB BC ==，O 是AC 的中点，PO BO ⊥，2,3PO AC BO ===.（1）证明：AC PB ⊥； （2）求三棱锥A PBC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】（1）通过,PO AC BO AC ⊥⊥得出AC ⊥平面POB ，即可证明； （2）先证明PO 是三棱锥的高，再直接求出三棱锥体积. 【详解】（1）,PA PC AB BC ==，O 是AC 的中点，,PO AC BO AC ∴⊥⊥，PO BO O =，AC ∴⊥平面POB ， ∴AC PB ⊥；（2）,PO AC PO BO ⊥⊥，AC BO O ⋂=，PO ∴⊥平面ABC ，即PO 是三棱锥的高， 1112322332A PBC ABCV SPO -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=.18．在①5a =，②1cos 7C =这两个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c cos sin B b A =，7b =，若________．（注：只需选一个作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答给分）求： (1)c 的值； (2)ABC 的面积． 【答案】(1)8c =；(2)【分析】（1）由正弦定理边角关系可得tan B =3B π=，根据所选的条件，应用正余弦定理求c .（2）由和角正弦公式求sin A ，根据所选条件，应用三角形面积公式求面积.【详解】(1)cos sin B b A =cos sin sin A B B A =，因为sin 0A ≠sin B B =，故tan B =(0,)B π∈， 所以3B π=，选①：5a =，又7b =，3B π=，所以214925252c c =+-⨯⨯⨯得：25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍）， 所以8c =.选②：1cos 7C =，(0,)C π∈，则sin C =由正弦定理得：743372c=，所以8c =. (2)选①：由5a =，8c =，3B π=，所以113sin 58103222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△. 选②：由1cos 7C =，则43sin 7C =，3B π=，所以53sin sin()sin cos cos sin 14A B C B C B C =+=+=，又7b =，8c =， 所以1153sin 781032214ABCSbc A ==⨯⨯⨯=. 19．从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[)65,75，第二组[)75,85，…，第八组[]135,145，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．(1)求第七组的频率；(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分；(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们来自同一组的概率． 【答案】(1)0.08 (2)102 (3)25【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可得第七组频率； （2）由每组数据中间值乘以相应频率相加后可得平均分；（3）求出两组人数，分别编号后，用列举法写出任选2人的基本事件，并得出它们来自同一组的基本事件，计数后可得概率． 【详解】(1)由频率分布直方图知第七组的频率为1(0.0040.0120.0160.0200.0300.0060.004)100.08P =-++++++⨯=；(2)平均分数为700.04800.12900.161000.31100.21200.061300.081400.04102⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(3)由频率分布直方图知第6组人数为500.063⨯=，第8组人数为500.042⨯=， 把它们分别编号，第6组为,,a b c ，第8组为1,2，从中任取2人的基本事件为：,,1,2,,1,2,1,2,12ab ac a a bc b b c c 共10个，他们来自同一组的基本事件有,,,12ab ac bc 共4个，概率为42105P ==． 20．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．（1）证明：PF FD ⊥；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角A PD F --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26【详解】试题分析：（1）根据几何体的结构特殊，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用0PF DF ⋅=，即可证得PF FD ⊥；(2)根据几何体的结构特殊，得到平面PAD 的法向量(1,0,0)AB =和平面PFD 的法向量为n ，即可利用向量所成的角，求解二面角A PD F --的余弦值．试题解析：（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=︒，1AB =，2AD =， 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)F ，(0,2,0)D ． 不妨令(0,0,)P t ，∵(1,1,)PF t =-，(1,1,0)DF =-， ∴111(1)()00PF DF t ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，即PF FD ⊥．（2）解：∵AB ⊥平面PAD ，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得(1,0,0)AB =， 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，得45PBA ∠=︒，1PA =，平面PFD 的法向量为11(,,1)22n =，∴，故所求二面角A PD F --的余弦值为66．【解析】空间向量在立体几何中的应用．21．已知函数()()22sin cos 2cos R f x x x x x =+∈.(1)求()f x 的最小正周期，并求()f x 的最小值及取得最小值时x 的集合；(2)令()18g x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若存在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()2g x a <-成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)最小正周期是π，最小值为12x 的集合为()3Z 8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭∣(2)22∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）化简函数()2)14f x x π=++，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）化简()22g x x =，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求得()g x 2.【详解】(1)由题意，函数()sin2cos212sin 214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可得其最小正周期是22T ππ==， 当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得()2242x k k Z πππ+=-+∈，即()3Z 8x k k ππ=-∈时， 函数的()f x 最小值为12此时x 的集合为()3Z 8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭∣(2)由()12sin 22cos2844g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1cos2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()g x x ⎡∴=∈⎢⎣存在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()2g x a <-成立，则min 2()a g x ->，所以2a >，即求实数a 的取值范围2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭。
甘肃省天水一中高一下学期入学考试数学试题Word版含答案
（Ⅲ）求直线 与平面 的所成角的大小.
假期作业检测答案
一、选择题BBDCC CAACA BABD
二、解答题
1．解析：(1)见解析(2) 或
解析：( 证明:直线 ,经过定点 , , 定点在圆内,故对 ,直线 与圆 总有两个不同的交点.
( 由圆心 到直线 的距离 ,而圆的弦长 ,即 , , ,解得 ,故所求的直线方程为 或
C. D.三棱锥 的体积与 点位置有关
二、解答题（每小题15分，共分）
1.已知圆C: ,直线
(1)求证:对 ,直线 与圆 总有两个不同的交点;
(2)设直线 与圆 交于 两点,若 ,求直线 的方程.
2．如图，点 是菱形 所在平面外一点， ， 是等边三角形， ， ， 是 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
A. B.
C. D.
12.某四棱锥的三视图如上右图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A. B. C. D.
13.将正方形 沿对角线 折叠成一个四面体 ，当该四面体的体积最大时，直线 与 所成的角为（）
A. B. C. D.
14.如图，在正方体 中， 为线段 上的动点，则下列判断错误的是（）
A. 平面 B. 平面
又因为 ， 为 中点，所以
又 ，所以 平面 ，则 为直线 在平面 内的射影，
所以平面 为直线 与平面 的所成角
因为 ，所以 ，
在 中， ，所以
所以直线 与平面 的所成角为 .
A. B. C. D.
5.方程 的解的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
6.函数 与 ，两函数图象所有点的横坐标之和为（）
A.0B.2C.4D.8
7.设a=lo 3,b= ,c= ,则()
甘肃省天水市第一中学2018_2019学年高一数学下学期第三学段考试试题理(含解析)
甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高一数学下学期第三学段考试试题 理（含解析）一、选择题（每题只有一个选项正确，请你将所选选项涂在答题卡相应位置，每题3分共36分）1.()sin 585-°=（）A. 22-B.22C.3 D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算，即可得到结果． 【详解】由题意，可得()sin 585sin585sin(360225)sin 225-=-=-=-ooo o o +2sin(18045)sin 45=-==o o o +． 故选B ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.已知α是第一象限角，那么2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角【答案】D 【解析】试题分析：∵α的取值范围22?2k k πππ+（，）（k∈Z）∴2α的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时2α的取值范围是5224n n ππππ++（，）即2α属于第三象限角．②当k=2n （其中n∈Z）时2α的取值范围是22?4n n πππ+（，）即2α属于第一象限角．故答案为：D ． 考点：象限角、轴线角．3.下列说法正确的是（）A. 锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B. 如果向量a 0b ⋅=r r ，则a b ⊥r r ；C. 在ABC △中，记AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量a b +rr 与a b -r r 可以作为平面ABC 内的一组基底；D. 若a r ，b r都是单位向量，则a b =r r .【答案】C 【解析】 【分析】可举390o 的角在第一象限，但不是锐角，可判断A ；考虑两向量是否为零向量，可判断B ；由,a b r r 不共线，推得a b +r r 与a b -r r不共线，可判断C ；考虑两向量的方向可判断D ，得到答案．【详解】对于A ，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角， 比如390o 的角在第一象限，但不是锐角，故A 错误；对于B ，如果两个非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，则a b ⊥r r，若存在零向量，结论不一定成立，故B 错误；对于C ，在ABC ∆中，记,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，可得a b +r r 与a b -r r不共线，则向量a b +r r 与a b -r r可以作为平面ABC 内的一组基底，故C 正确；对于D ，若,a b r r 都是单位向量，且方向相同时，a b =r r；若方向不相同，结论不成立，所以D 错误． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．4.角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（） A. -3 B. 3C. 3±D. 5【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，建立方程关系，即可求解． 【详解】由题意，角α的终边经过点(,4)P b -且3cos5α=-，则3cos 5α==-， 又由3cos 05α=-<，所以0b >，则2291625b b =+，解得3b =或3b =-（舍去）， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.设(2,1)a =r ，(3,2)b =r ，(5,4)c =r ，若c a b λμ=+r r r则λ，μ的值是（）A. 3λ=-，2μ=B. 2λ=-，3μ=C. 2λ=，3μ=D. 3λ=，2μ=【答案】B 【解析】 【分析】由向量相等的充要条件可得：(5,4)(23,2)λμλμ=++，列出方程组，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量(2,1)a =r ，(3,2)b =r ，(5,4)c =r，又因为c a b λμ=+r r r，所以(5,4)(23,2)λμλμ=++，所以23524λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得23λμ=-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数乘运算及向量相等的充要条件，其中解答中熟记向量的共线条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知向量1)a =-r，b =r ，则a r 在b r 方向上的投影为（）A.15B.14C.13D. 1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量1)a =-r，b =r ，则a r 在b r方向上的投影为：3112a b b⋅-==r rr ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.已知实数59a =°，实数sin15cos15b =+°°，实数31cos31c =°°，则实数a 、c b 、的大小关系是（） A. a c b <<B. a b c <<C. a c b 厖D. a b c 厖【答案】B 【解析】 【分析】将,b c 转化成具体的正弦函数，利用正弦函数单调性，进行比较，即可得到答案．【详解】由题意，得sin15cos1545)60b =+=+=o o o o o ，31cos 6231c =o o o =，由正弦函数的单调性可得sin 59sin 60sin 62<<o o o ，所以a b c <<，【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选：D ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．9.为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（） A. 向左平移724πB. 向右平移724π C. 向左平移712πD. 向右平移712π【答案】B 【解析】利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，即可求解，得出结论． 【详解】由题意，函数2sin(2)2sin[2()]36y x x ππ=-=-，2sin(2)2sin[2()]48y x x ππ=+=+，又由7()8624πππ--=，故把函数2sin[2()]8y x π=+的图象上所有的点，向右平移724π个单位长度， 可得72sin[2()]2sin(2)2443y x x πππ=-+=-的图象， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（） A. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= B. 5,512π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= C. 2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π= D. 2,53π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π= 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用余弦型函数的性质求出函数的对称轴和对称中心，即可得到答案．【详解】由题意，函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的性质，令2,3x k k Z ππ-=∈，解得,26k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，23x π=，即函数一条对称轴的方程为23x π=， 令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,212k x k Z ππ=+∈，当0k =时，512x π=，即函数的一个对称中心为5(,5)12π， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了余弦型函数的性质对称轴和对称中心的应用，着重考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a b c bc =+-，则角A =（） A.6πB.4π C.3π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求三角形的一个内角A 的余弦值，可得A 的值，得到答案． 【详解】在ABC ∆ 中，因为222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=，利用余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，又由(0,)A π∈,所以3A π=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件，合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知1sin cos 5αα-=，0απ剟，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）B.50【答案】C 【解析】 分析】首先利用同角三角函数关系式的变换，求出sin 2α的值，进一步求sin cos αα+的值，最后利用差角公式的应用求出结果． 【详解】由题意，知1sin cos 5αα-=，0απ剟，所以221sin cos 2sin cos 25αααα+-=，解得242sin cos 025αα=>， 所以02πα剟，所以7sin cos 5αα+===， 又由7cos 2(cos sin )(cos sin )25ααααα=+-=-，则247sin(2)2cos 242222522550πααα-=-=+=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数关系式的变换，以及二倍角公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力，属于基础题．二、填空题（将你所做答案写在答题卡相应位置上，每小题3分，共12分）13.11sin(2)cos()cos cos 229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭________.【答案】tan α- 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式，进行化简，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，原式sin (cos )(sin )(sin )tan (cos )sin sin cos ααααααααα----==--，故答案为：tan α-【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用，关键在于熟练掌握诱导公式，考查学生记忆公式与应用公式的能力，属于基础题．14.已知(1,1)a =-r ，(,1)b λ=r ，a r 与b r的夹角为钝角，则λ的取值范围是________.【答案】(,1)(1,1)-∞--U【解析】 【分析】根据,a b r r的夹角为钝角，得出1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，即可求得λ的范围．【详解】由题意，向量a r 与b r的夹角为钝角，所以0a b ⋅<r r ，且,a b r r 不共线，则1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，解得1λ<，且1λ≠-，所以实数λ的范围(,1)(1,1)-∞--U ． 故答案为：(,1)(1,1)-∞--U ．【点睛】本题主要考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的坐标运算的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++o o o o o=_______________. 【答案】3- 【解析】试题分析：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++o o oo o考点：两角和的正切公式点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.16.若两个向量a r 与b r 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯r r”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=r r r r .若已知1a =r ，5b =r ，4a b ⋅=-r r，则a b ⨯=r r .【答案】3 【解析】44 155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯v v v v v vv v Q ＝＝＝＝33[0sin |15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯v v v v Q ，），＝＝＝故答案为3.【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题（将必要解题过程和推演步骤写在答题卡相应位置上，6小题共52分） 17.已知tan 2α=，求 （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+（2）22sin sin cos cos αααα++ 【答案】（1）611（2）75【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，知tan 2α=，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4tan 2422653tan 53211αα-⨯-===++⨯；（2）由22sin sin cos cos αααα++2222sin sin cos cos sin cos αααααα++=+ ＝22tan tan 1tan 1ααα+++＝75．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m u r 22⎛=- ⎝⎭，n r ＝(sin x ，cos x)， x∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）若m u r ⊥n r，求tan x 的值；（2）若m u r 与n r的夹角为3π，求x 的值．【答案】（1）1；（2）512π【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，m n ⊥r r，则0m n ⋅=r r，结合三角函数的关系式即可求出tan x 的值。
甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高二下学期第三学段(期末)数学(理)试题
甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高二下学期第三学段（期末）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤< B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤< 2．设函数23()xx f x e -=（e 为自然底数），则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．01x <<B ．04x <<C ．03x <<D ．34x << 3．已知命题p ：“[1,]x e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=””若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,4]B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．(4,)+∞ 4．方程ln 40x x +-=的实根所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5) 5．已知0.22x =，2lg 5y =，7525z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．x y z << B ．y z x << C ．z y x << D ．z x y <<6．函数3x xe e y x x--=-的图像大致是（ ） A ． B ． C ．D ．7．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()()f x f x -=，当12x ≤≤时，()21x f x =-，则(2017)f =A ．−1B ．0C ．1D ．28．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232x f x x xf e '=++，则()2f '的值等于（ ）A ．2-B ．222e - C ．22e - D ．222e -- 9．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1210．已知函数()f x 满足()(2)f x f x =-，与函数|1|y x =-图象的交点为1122(,),(,),,(,)m m x y x y x y ，则12m x x x +++=（ ） A ．0 B ．m C ．4m D ．2m11．已知函数3()21f x x x =++，若(1)1x f ax e -+>在(0,)x ∈+∞上有解，则实数a的取值范围为（ ）A ．(1,)eB ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞ 12．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +>，()02020f =，则不等式()22018x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()2018,+∞C ．()2020,+∞D ．()(),02018,-∞+∞二、填空题13．函数()()212log 56f x x x =-++的单调减区间是________. 14．函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程为_______.15．已知函数()()()2152124log 1a a x x x f x x x -⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的数值范围为________.16．已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是______．三、解答题17．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{n b }满足n nn b a =，求数列{n b }的前n 项和n S ． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，1AP AB ==，F 、E 分别是PB 、PC 中点.（1）证明：PB ED ⊥（2）求平面ADEF 与平面PCD 所成锐二面角的值.19．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦距为 （1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21．设函数()aln(1)1x f x x x=-++，()ln(1)g x x bx =+-． （1）若函数f （x ）在0x =处有极值，求函数f （x ）的最大值；（2）是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0<g x 在(0,)+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l 的参数方程为221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积.23．已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果.【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<{}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2．A【解析】【分析】由()1f x <可得：03x <<，结合充分、必要条件的概念得解.【详解】()1f x <⇔ 231x x e -<⇔230x x -<解得：03x <<又“01x <<”可以推出“03x <<”但“03x <<”不能推出“01x <<”所以“01x <<”是“()1f x <” 充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题。
甘肃天水市第一中学2024届数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析
甘肃天水市第一中学2024届数学高一下期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．己知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0>ω，2πϕ<）的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2si 3n ()f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭B ．()2sin 2()6f x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．()2sin ()6f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D ．()2sin 2()3f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭2．已知等比数列{}n a 的公比为q ，若472a a +=，32q =-，则110a a +=（ ）A ．-7B ．-5C ．7D ．53．已知3log 5a =，21()3b =，131log 9c =，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．设x ，y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩， ，则目标函数2z x y =-+ 的最小值为（ ） A ．4-B ．2-C ．0D ．25．如图，函数tan cos 0,,22y x x x πππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如图，扇形OAB 的圆心角为90︒，半径为1，则该扇形绕OB 所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）A ．34π B ．2π C ．3π D ．4π7．已知数列{}n a 是等比数列，若2678492ma a a a a ⋅=-⋅，且公比3(5,2)q ∈，则实数m 的取值范围是（） A ．(2,6)B ．(2,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．已知函数()2f x ax bx c =++，若关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,3-，则 A ．()()()401f f f >> B ．()()()104f f f >> C ．()()()014f f f >> D ．()()()140f f f >>9．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．设ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有22sin sin cos()22A C A C -+-=，则三角形的面积为（ ） A ．334B ．3C ．3或33D ．34或335二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
甘肃省天水市高一下学期数学阶段性测试(三)
甘肃省天水市高一下学期数学阶段性测试（三）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）将右图算法语句（其中常数e是自然对数的底数）当输入x为3时，输出y的值为（）输入xIFx e THENy=0.5+0.5*(x-2)ELSEy=0.5*xEND IF输出yA . 1B . 1.5C . 2D . 0.8591412. （2分）若,，则tanβ=（）A . 10B . 5C .D . -83. （2分）(2020·随县模拟) 执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·浦城期中) 设点（a，b）是区间内的随机点，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上的增函数的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如下图所示，则支出在（单位：元）的同学人数是（）A . 100D . 3006. （2分） (2016高二下·海南期中) 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A . 11B . 12C . 13D . 147. （2分） (2019高二下·泉州期末) 我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为（）A . 数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析B . 数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析C . 数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品D . 数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发8. （2分） (2017高一下·乌兰察布期末) 设tanα=3，则 =（）A . 3D . ﹣19. （2分）已知，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·临沂期末) 在边长为的等边三角形的边上任取一点，使成立的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）已知x，y的取值如表所示；x234y645如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为 =bx+6.5则b=（）A . ﹣0.5B . 0.5C . ﹣0.2D . 0.212. （2分） (2016高一下·威海期末) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ的值为（）A .B . -C .D . -二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．14. （1分） (2019高三上·吉林月考) 已知函数若，则 ________.15. （1分）一组数据的方差是5，将这组数据中的每一个数据都乘以2，再加3，所得到的一组数据的方差是________．16. （1分）下边的程序框图（如图所示），能判断任意输入的数x的奇偶性，其中判断框内的条件是. ________三、解答题 (共6题；共80分)17. （10分） (2018高一下·栖霞期末) 已知角的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴，若的终边分别于单位圆相交于两点，且；（1）求的值，并确定点所在的象限；（2）若点的坐标为，求的值.18. （20分）某校高二年级的600名学生参加一次科普知识竞赛，然后随机抽取50名学生的成绩进行统计分析．分组频数频率[50，60）5[60，70）10[70，80）15[80，90）15[90，100）5合计50（1）完成频率分布表；（2）根据上述数据画出频率分布直方图；（3）估计这次竞赛成绩在80分以上的学生人数是多少？（4）估计这次竞赛中成绩的众数，中位数，平均数分别是多少？19. （5分） 2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．20. （15分）(2016·海口模拟) 汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（1）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（2）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．21. （15分） (2017高一上·白山期末) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴的交点为（0，），它的一个对称中心是M（，0），点M与最近的一条对称轴的距离是．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数取得最大值时x的取值集合；（3）当x∈（0，π）时，求此函数的单调递增区间．22. （15分） (2019高一下·延边月考) 某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2011201220132014201520162017年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： .（1）求样本中心点坐标；（2）已知两变量线性相关，求y关于t的线性回归方程；（3）利用(2)中的线性回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、18-4、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
甘肃省天水一中2021届高三数学下学期复学诊断考试试题 理.doc
甘肃省天水一中2021届高三数学下学期复学诊断考试试题 理（满分：150分 时间120分钟）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知全集U =R ，集合{}{}22log 1,20A x x B x x x =≤=+-≤，则A B =（ ）A ．(0,1]B ．(2,2]-C ．(0,1)D ．[2,2]-2．已知i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若201823iz i-=，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量()sin ,2cos a θθ=-，()1,1b =-，若a b ⊥，则()2a a b ⋅-=（ ） A ．85B ．210C ．1D ．54．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A ．128.5米B ．132.5米C ．136.5米D ．110.5米5．下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则x ，y 的值为（ ）A ．8，2B ．3，6C ．5，5D ．3，56．设0.40.5a =，0.4log 0.3b =，8log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 、c 是三条不同的直线，已知a αβ⋂=，b βγ=，c αγ⋂=.给出如下结论：①若//a b ，则//b c ；②若ab A =，则bc A =；③若b a ⊥，b c ⊥，则αβ⊥，αγ⊥；④若αβ⊥，αγ⊥，则b a ⊥，b c ⊥. 其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．过点(2,0)P -的直线与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，且12PA AB =，则点A 到原点的距离为 （ ） A ．53B ．2C ．263D ．279．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象关于直线23x π=对称，给出下面四个结论：①函数()f x 在区间40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减；②将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称；③点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心；④函数()f x 在[],2ππ上的最大值为1．其中正确的是( ) A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④10．函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图象如右图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是( ) A ．6516 B ．6516- C ．6316D ．6316-11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为12F F 、，A B 、为其左右顶点,以线段12F F 、为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30MAB ∠=,则双曲线的离心率为( ） A ．21 B ．213C ．19 D ．19 12．若函数()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极大值，则a 的取值范围是（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,C ．1,2D ．2,二、填空题（每小题5分，共20分）13．某公司有职工2000名，从中随机抽取200名调查他们的居住地与上班工作地的距离，其中不超过1000米的共有10人，不超过2000米的共有30人，由此估计该公司所有职工中居住地到上班地距离在(1000，2000]米的有 人．14．已知函数()f x 是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间[0,5]是减函数，若(23)()f a f a +<，则实数a 的取值范围是_______.．15．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若()()3 1cosA sinB sin A cosB -=+，6a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为________16．已知体积为643的正四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，其中O 在四棱锥P ABCD -内部.设球O 的半径为R ，球心O 到底面ABCD 的距离为3R。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
甘肃省天水市第一中学2021-2022高一数学下学期第三学段考试试题 理（含解析）一、选择题（每题只有一个选项正确，请你将所选选项涂在答题卡相应位置，每题3分共36分）1.()sin 585-°=（）A. 22-B.22C.3 D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算，即可得到结果． 【详解】由题意，可得()sin 585sin585sin(360225)sin 225-=-=-=-+2sin(18045)sin 45=-==+． 故选B ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.已知α是第一象限角，那么2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角【答案】D 【解析】试题分析：∵α的取值范围22?2k k πππ+（，）（k∈Z）∴2α的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时2α的取值范围是5224n n ππππ++（，）即2α属于第三象限角．②当k=2n （其中n∈Z）时2α的取值范围是22?4n n πππ+（，）即2α属于第一象限角．故答案为：D ． 考点：象限角、轴线角．3.下列说法正确的是（）A. 锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B. 如果向量a 0b ⋅=，则a b ⊥；C. 在ABC △中，记AB a =，AC b =，则向量a b +与a b -可以作为平面ABC 内的一组基底；D. 若a ，b 都是单位向量，则a b =. 【答案】C 【解析】 【分析】可举390的角在第一象限，但不是锐角，可判断A ；考虑两向量是否为零向量，可判断B ；由,a b 不共线，推得a b +与a b -不共线，可判断C ；考虑两向量的方向可判断D ，得到答案．【详解】对于A ，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角， 比如390的角在第一象限，但不是锐角，故A 错误； 对于B ，如果两个非零向量,a b 满足0a b ⋅=，则a b ⊥， 若存在零向量，结论不一定成立，故B 错误；对于C ，在ABC ∆中，记,AB a AC b ==，可得a b +与a b -不共线， 则向量a b +与a b -可以作为平面ABC 内的一组基底，故C 正确；对于D ，若,a b 都是单位向量，且方向相同时，a b =；若方向不相同，结论不成立， 所以D 错误． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．4.角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（） A. -3 B. 3C. 3±D. 5【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，建立方程关系，即可求解． 【详解】由题意，角α的终边经过点(,4)P b -且3cos5α=-，则3cos 5α==-， 又由3cos 05α=-<，所以0b >，则2291625b b =+，解得3b =或3b =-（舍去）， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.设(2,1)a =，(3,2)b =，(5,4)c =，若c a b λμ=+则λ，μ的值是（） A. 3λ=-，2μ= B. 2λ=-，3μ= C. 2λ=，3μ= D. 3λ=，2μ=【答案】B 【解析】 【分析】由向量相等的充要条件可得：(5,4)(23,2)λμλμ=++，列出方程组，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量(2,1)a =，(3,2)b =，(5,4)c =， 又因为c a b λμ=+，所以(5,4)(23,2)λμλμ=++，所以23524λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得23λμ=-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数乘运算及向量相等的充要条件，其中解答中熟记向量的共线条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知向量(3,1)a =-，(3,1)b =，则a 在b 方向上的投影为（） A.15B.14C.13D. 1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，向量(3,1)a =-，(3,1)b =，则a 在b 方向上的投影为：3112a b b⋅-==． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.已知实数59a =°，实数sin15cos15b =+°°，实数31cos31c =°°，则实数a 、c b 、的大小关系是（） A. a c b << B. a b c << C. a c b D. a b c【答案】B 【解析】 【分析】将,b c 转化成具体的正弦函数，利用正弦函数单调性，进行比较，即可得到答案． 【详解】由题意，得sin15cos152sin(1545)2sin 60b =+=+=，31cos 2sin 6231c ==，由正弦函数的单调性可得sin 59sin 60sin 62<<，所以a b c <<，【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选：D ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．9.为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（） A. 向左平移724π B. 向右平移724π C. 向左平移712πD. 向右平移712π【答案】B【分析】利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，即可求解，得出结论． 【详解】由题意，函数2sin(2)2sin[2()]36y x x ππ=-=-，2sin(2)2sin[2()]48y x x ππ=+=+，又由7()8624πππ--=，故把函数2sin[2()]8y x π=+的图象上所有的点，向右平移724π个单位长度， 可得72sin[2()]2sin(2)2443y x x πππ=-+=-的图象， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（）A. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= B. 5,512π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= C. 2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=D. 2,53π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=【答案】B 【解析】 【分析】直接利用余弦型函数的性质求出函数的对称轴和对称中心，即可得到答案． 【详解】由题意，函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的性质， 令2,3x k k Z ππ-=∈，解得,26k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，23x π=，即函数一条对称轴的方程为23x π=，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,212k x k Z ππ=+∈，当0k =时，512x π=，即函数的一个对称中心为5(,5)12π， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了余弦型函数的性质对称轴和对称中心的应用，着重考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a b c bc =+-，则角A =（） A.6πB.4π C.3π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求三角形的一个内角A 的余弦值，可得A 的值，得到答案． 【详解】在ABC ∆ 中，因为222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=，利用余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，又由(0,)A π∈,所以3A π=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件，合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知1sin cos 5αα-=，0απ，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）【答案】C 【解析】 分析】首先利用同角三角函数关系式的变换，求出sin 2α的值，进一步求sin cos αα+的值，最后利用差角公式的应用求出结果．【详解】由题意，知1sin cos 5αα-=，0απ， 所以221sin cos 2sin cos 25αααα+-=，解得242sin cos 025αα=>， 所以02πα，所以7sin cos 5αα+===， 又由7cos 2(cos sin )(cos sin )25ααααα=+-=-，则247sin(2)2cos 242222522550πααα-=-=+=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数关系式的变换，以及二倍角公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力，属于基础题．二、填空题（将你所做答案写在答题卡相应位置上，每小题3分，共12分）13.11sin(2)cos()cos cos 229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭________.【答案】tan α- 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式，进行化简，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，原式sin (cos )(sin )(sin )tan (cos )sin sin cos ααααααααα----==--，故答案为：tan α-【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用，关键在于熟练掌握诱导公式，考查学生记忆公式与应用公式的能力，属于基础题．14.已知(1,1)a =-，(,1)b λ=，a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________.【答案】(,1)(1,1)-∞--【解析】【分析】根据,a b的夹角为钝角，得出1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，即可求得λ的范围．【详解】由题意，向量a与b的夹角为钝角，所以0a b⋅<，且,a b不共线，则1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，解得1λ<，且1λ≠-，所以实数λ的范围(,1)(1,1)-∞--．故答案为：(,1)(1,1)-∞--．【点睛】本题主要考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的坐标运算的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.计算：tan20tan40tan120tan20tan40++=_______________.【答案】3-【解析】试题分析：tan20tan40tan120 tan20tan40++考点：两角和的正切公式点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.16.若两个向量a与b的夹角为θ，则称向量“a b⨯”为向量的“外积”，其长度为sina b a bθ⨯=.若已知1a=，5b=，4a b⋅=-，则a b⨯= .【答案】3【解析】44155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯＝＝＝＝33[0sin |15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯，），＝＝＝故答案为3.【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题（将必要解题过程和推演步骤写在答题卡相应位置上，6小题共52分） 17.已知tan 2α=，求 （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+（2）22sin sin cos cos αααα++ 【答案】（1）611（2）75【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，知tan 2α=，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4tan 2422653tan 53211αα-⨯-===++⨯；（2）由22sin sin cos cos αααα++2222sin sin cos cos sin cos αααααα++=+＝22tan tan 1tan 1ααα+++＝75． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m 22⎛=- ⎝⎭ ，n ＝(sin x ，cos x)，x∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）若m ⊥n ，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）1；（2）512π 【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，m n ⊥，则0m n ⋅=，结合三角函数的关系式即可求出tan x 的值。